Chuyên đề bài tập tích phân - Phân dạng tích phân - Luyện thi đại học tích phân

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (243.3 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chun đề

CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN

CƠNG THỨC

Bảng ngun hàm

Nguyên hàm của những

hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp

Nguyên hàm của những
hàm số hợp

∫

dx=x+C

∫

xαdx=x

α+1

α+1+C(α ≠1)

∫

dxx =ln|x|+C(x ≠0)

∫

exdx

=ex+C

∫

axdx

= a

x

lna+C(0<a ≠1)

∫

cos xdx=sinx+C

∫

sin xdx=−cosx+C

∫

cos2x dx=tanx+C

∫

sin2x dx=−cotx+C

∫

d(ax+b)=1

a(ax+b)+C

∫

(ax+b)αdx=1

a

(ax+b)α+1

α+1 +C(α ≠1)

∫

dxax+b=1

aln|ax+b|+C(x ≠0)

∫

eax+bdx=1

ae
ax+b

+C

∫

cos(ax+b)dx=1

asin(ax+b)+C

∫

sin(ax+b)dx=−1

acos(ax+b)+C

∫

cos2(ax1

+b) dx=

a tan(ax+b)+C

∫

sin2(ax1

+b) dx=−

acot(ax+b)+C

∫

du=u+C

∫

uαdu=u

α+1

α+1+C(α ≠1)

∫

duu =ln|u|+C(u ≠0)

∫

eudu

=eu+C

∫

audx

= a

u

lna+C(0<a ≠1)

∫

cos udu=sinu+C

∫

sin udu=−cosu+C

∫

cos2u du=tanu+C

∫

sin2udu=−cotu+C

I. ĐỔI BIẾN SỐ

TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
1. Đổi biến số dạng 2

Để tính tích phân

/
a

f[u(x)]u (x)dx

ị

ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt =u (x)dx/ .

Bước 2. Đổi cận: x= Þa t= u(a)= a, x =bÞ t =u(b)= b.
Bước 3.

/
a

f[u(x)]u (x)dx f(t)dt

ị

Ví dụ 7. Tính tích phân

dx
I

x ln x
=

ị

Giải
Đặt

t ln x dt

= Þ =

x= Þe t=1, x =e Þ t =2
2

2
1
1

I ln t ln2

Þ =

ị

= =

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ví dụ 8. Tính tích phân

cosx

I dx

(sin x cosx)

ị

.
Hướng dẫn:

4 4

3 3 2

0 0

cosx 1 dx

I dx .

(sin x cosx) (tan x 1) cos x

p p

= =

+ +

ò

. Đặt t =tan x +1

ĐS:
3
I

8
=

Ví dụ 9. Tính tích phân

1
2

dx
I

(1 x) 2x 3

+ +

ị

.
Hướng dẫn:

Đặt t = 2x+3

ĐS:

3
I ln

2
=

Ví dụ 10. Tính tích phân

3 x

I dx

1 x

ị

.
Hướng dẫn:

Đặt

3 2

2 2

3 x t dt

t 8

1 x (t 1)

-= Þ

+ L

ò

; đặt t =tanuL

ĐS: I 3 3 2

= - +

Chú ý:

Phân tích

3 x

I dx

1 x

ị

, rồi đặt t = 1+x sẽ tính nhanh hơn.

2. Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính

( )
b

a

f x dx

∫

ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx u t dt/( ) .

Bước 2. Đổi cận: x  a t , x  b t .

Bước 3.

( ) [ ( )] ( ) ( )

b

a

f x dx f u t u t dt g t dt

 

 

 

∫

Ví dụ 1. Tính tích phân

1
2

2
0

I dx

1 x
=

-ò

Giải

Đặt x sin t, t 2 2; dx costdt
p p

ộ ự

= ẻ -ờ ỳị =

ở ỷ

x 0 t 0, x t

2 6

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

6 6
2

0 0

cost cost

I dt dt

cost
1 sin t

p p

Þ = =

-ị

ị

6 6

0
0

dt t 0

6 6

p p p

ò

= = - =

Vậy I 6

.
Ví dụ 2. Tính tích phân

2
0

I =

ị

4- x dx
.
Hướng dẫn:

Đặt x=2sin t
ĐS: I = p.

Ví dụ 3. Tính tích phân

2
0

dx
I

1 x

ị

Giải
Đặt

x tan t, t ; dx (tan x 1)dt

2 2
æ p pữử
ỗ

= ẻ -ỗỗố ữữữị = +

ứ

x 0 t 0, x 1 t

4
p

= Þ = = Þ =

4 2 4

0 0

tan t 1

I dt dt

4
1 tan t

p p

+ p

Þ = = =

ị

Vậy I 4

p
=

.
Ví dụ 4. Tính tích phân

3 1
2
0

dx
I

x 2x 2

+ +

ò

.
Hướng dẫn:

3 1 3 1

2 2

0 0

dx dx

x 2x 2 1 (x 1)

-= =

+ + + +

ị

.
Đặt x+ =1 tan t

ĐS: I 12

p
=

Ví dụ 5. Tính tích phân

2
0

dx
I

4 x

-ị

ĐS: I 2

p
=

Ví dụ 6. Tính tích phân

3 1
2
0

dx
I

x 2x 2

+ +

ị

ĐS: I 12

p
=

3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân

2 3

I cos x sin xdx

ị

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Hướng dẫn:

Đặt t =cosx

ĐS:
2
I

15
=

Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân

2
5
0

I cos xdx

ị

.
Hướng dẫn:

Đặt t =sin x
ĐS:

8
I

15
=

Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân

4 2

I cos x sin xdx

ò

.
Giải

2 2

4 2 2 2

0 0

I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4

p p

ò

2 2

0 0

1 (1 cos4x)dx 1 cos2x sin 2xdx

16 4

p p

ò

- +

ò

2 2

0 0

1 (1 cos4x)dx 1 sin 2xd(sin2x)

16 8

p p

ò

- +

ò

3 2

x 1 sin 2x

sin 4x

16 64 24 32

ổ ửữ p

ỗ

=ỗỗố - + ÷÷ =

ø .

Vậy I 32

p
=

Ví dụ 14. Tính tích phân

2
0

dx
I

cosx sin x 1

+ +

ò

.
Hướng dẫn:

Đặt

t tan

2
=

ĐS: I = ln2.

Biểu diễn các hàm số LG theo tan2
a
t

2 2 2

2 1 2

sin ; cos ; tan .

1 1 1

t t t

a a a

t t t



  

  

3.2. Dạng liên kết

Ví dụ 15. Tính tích phân 0

xdx
I

sin x 1

ị

Giải

Đặt x= p - tÞ dx= - dt
x= Þ0 t = p, x = p Þ t= 0

(

)

( t)dt t

I dt

sin( t) 1 sin t 1 sin t 1

p - p

Þ = - =

-p - + + +

ò

0 0

dt I I dt

sin t 1 2 sin t 1

p p

= p - Þ =

+ +

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

(

)

(

)

0 0

dt dt

t t

2 sin cos 4 cos

2 4

2 2

p p

= = p

ò

0 2 0

t
d

2 4 t

tan

2 cos t 2 2 4

2 4

p p

ổ pữử

ỗ - ữ

ỗ ữữ

ỗ ổ ử

ố ứ

p p ỗ pữ

= = ỗỗ - ữữữ = p

ổ pữử ố ứ

ỗ - ữ

ỗ ữữ

ỗố ứ

ũ

.
Vy I = p.

Tng quỏt:

0 0

xf(sin x)dx f(sin x)dx
2

p p

p
=

ị

Ví dụ 16. Tính tích phân

2 2007

2007 2007

sin x

I dx

sin x cos x

ò

.
Giải

Đặt x 2 t dx dt

= - Þ =

-x 0 t , x t 0

2 2

p p

= Þ = = Þ =

(

)

(

)

(

)

2007
0

2007 2007

sin t

I dx

sin t cos t

2 2

p

-Þ = - p p

- +

-ị

2 2007

2007 2007

cos t dx J

sin t cos t

= =

ò

(1).

Mặt khác

2
0

I J dx

+ =

ò

(2). Từ (1) và (2) suy ra I 4

p
=

Tổng quát:

2 n 2 n

n n n n

0 0

sin x dx cos x dx ,n

sin x cos x sin x cos x 4

p p

= = Ỵ

+ +

ị

Z

Ví dụ 17. Tính tích phân

6 2

sin x

I dx

sin x 3cosx

ò

và

6 2

cos x

J dx

sin x 3cosx

ò

.
Giải

I - 3J = -1 3 (1).

(

)

6 6

0 0

dx 1 dx

I J dx

sinx 3cosx sin x

p p

+ = = p

+ +

ị

Đặt t x 3 dt dx

= + Þ =



I J ln3

4
+ =

(2).

Từ (1) và (2)

3 1 3 1 1 3

I ln 3 , J ln3

16 4 16 4

-= + =

-.
Ví dụ 18. Tính tích phân

2
0

ln(1 x)

I dx

1 x

+
=

ò

.
Giải

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

x 0 t 0, x 1 t
4
p

= Þ = = Þ =

(

)

4 4

2
2

0 0

ln(1 tan t)

I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt

1 tan t

p p

Þ = + = +

ị

Đặt t 4 u dt du

= - Þ =

-t 0 u , t u 0

4 4

p p

= Þ = = Þ =

0
4

I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du

ộ ỗp ữ

ờ ỳ

ị = + = - ờ + ỗỗ - ữữữỳ

ố ứ

ở ỷ

ũ

4 4

0 0

1 tanu 2

ln 1 du ln du

1 tanu 1 tanu

p p

ỉ - ư÷ ổ ửữ

ỗ ỗ

= ỗỗ + ữữữ = ỗỗ ữữữ

ố + ø è + ø

ò

(

)

4 4

0 0

ln2du ln 1 tanu du ln2 I

p p

ò

+ =

Vậy I 8ln2

p
=

Ví dụ 19. Tính tích phân

4
x
4

cosx

I dx

2007 1

ò

.
Hướng dẫn:

Đặt x= - t

ĐS:

2
I

2
=

Tổng quát:

Với a > 0, a >0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [- a a; ] thì

f(x)

dx f(x)dx

a 1

a a

- a

=
+

ị

Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và thỏa f( x)- +2f(x)= cosx.

Tính tích phân

I f(x)dx

ò

.
Giải

Đặt

J f( x)dx

ò

-, x= - Þt dx= - dt

x t , x t

2 2 2 2

p p p p

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

-[ ]

2 2

I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx

p p

-Þ =

ị

- = Þ = + =

ò

- +

2 2

0
2

cosxdx 2 cosxdx 2

p p

ò

.
Vậy

2
I

3
=

.
3.3. Các kết quả cần nhớ

i/ Với a > 0, hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

f(x)dx 0

ị

.
ii/ Với a > 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

a a

a 0

f(x)dx 2 f(x)dx

ị

.
iii/ Cơng thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)

2 2

n n

0 0

(n 1)!!
,
n!!
cos xdx sin xdx

(n 1)!!
. ,
n!! 2

p p ìïï

-ïïï

= = íï - p

ïï
ïïỵ

ị

nếu n lẻ

nếu n chẵn

.
Trong đó

n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn:

0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = =

6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = = .

Ví dụ 21.
2

11
0

10!! 2.4.6.8.10 256
cos xdx

11!! 1.3.5.7.9.11 693

= = =

ị

Ví dụ 22.
2

10
0

9!! 1.3.5.7.9 63

sin xdx . .

10!! 2 2.4.6.8.10 2 512

p p p

= = =

ị

II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1. Cơng thức

Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có

(uv)/ =u v/ +uv/ Þ (uv dx)/ =u vdx/ +uv dx/
( )

b b b

a a a

d uv vdu udv d(uv) vdu udv

Þ = + Þ

ò

b b b b

b b

a a

a a a a

uv vdu udv udv uv vdu

Þ =

ị

= -

ị

.
Cơng thức:

b b

b
a

a a

udv= uv - vdu

ò

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b b
b

/ /

a a

f(x)g (x)dx =f(x)g(x) - f (x)g(x)dx

ị

(2).
2. Phương pháp giải tốn

Giả sử cần tính tích phân

f(x)g(x)dx

ị

ta thực hiện
Cách 1.

Bước 1. Đặt u =f(x), dv=g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân

du =u (x)dx khơng q phức tạp. Hơn nữa, tích phân 
b

vdu

ị

phải tính được.
Bước 2. Thay vào cơng thức (1) để tính kết quả.

Đặc biệt:
i/ Nếu gặp

b b b

a a a

P(x) sinaxdx, P(x) cosaxdx, e .P(x)dx

ò

ị

với P(x) là đa thức thì đặt u =P(x).

ii/ Nếu gặp

P(x) ln xdx

ị

thì đặt u=ln x.

Cách 2.

Viết lại tích phân

b b

a a

f(x)g(x)dx= f(x)G (x)dx

ị

và sử dụng trực tiếp cơng thức (2).
Ví dụ 1. Tính tích phân

1
x
0

I =

ị

xe dx
.

Giải
Đặt

x x

u x du dx

dv e dx v e

= ì =

ì ï

ïï Þ ï

í = í

ï ï =

ï ï

ỵ ỵ (chọn C =0)

1 1

1
1

x x x x

0 0

xe dx xe e dx (x 1)e 1

ị

= -

ị

= - =

.
Ví dụ 2. Tính tích phân

I =

ị

x ln xdx
.

Giải

Đặt

dx
du

u ln x x

dv xdx v x

2
ìï =
ï
=

ìï ï

ï Þ ï

í í

ï = ï

ï ï

ỵ ïïỵ =

e 2 e e 2

1 1

x 1 e 1

x ln xdx ln x xdx

2 2 4

ị

= -

ị

Ví dụ 3. Tính tích phân

2
x
0

I e sin xdx

ò

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Đặt

x x

u sin x du cosxdx

dv e dx v e

= ì =

ì ù

ùù ị ù

ớ ớ

ù = ù =

ù ù

ợ ợ

2 2

x x 2 x 2

0 0

I e sin xdx e sin x e cosxdx e J

p p

Þ =

ị

= -

ò

-.
Đặt

x x

u cosx du sin xdx

dv e dx v e

= ì =

-ì ï

ïï Þ ï

í = í

ï ï =

ï ï

ỵ ỵ

2 2

x x 2 x

0 0

J e cosxdx e cosx e sin xdx 1 I

p p

Þ =

ị

= +

ị

= - +

2 e 1

I e ( 1 I) I

p +

Þ = - - + Þ =

Chú ý:

Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.

Ví dụ 7. Tính tích phân

4
0

I cos xdx

ò

.
Hướng dẫn:

Đặt t = x

I 2 t costdt 2

Þ =

ị

= = p

-L L

.
Ví dụ 8. Tính tích phân

I =

ị

sin(ln x)dx
.
ĐS:

(sin1 cos1)e 1
I

- +

III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải tốn
1. Dạng 1

Giả sử cần tính tích phân

I =

ò

f(x) dx

, ta thực hiện các bước sau

Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a x1 x2 b

f(x) + 0 - 0 +

Bước 2. Tính

1 2

b x x b

a a x x

I =

ị

f(x) dx=

ị

f(x)dx-

ị

f(x)dx+

ị

f(x)dx
.
Ví dụ 9. Tính tích phân

2
2
3

I x 3x 2 dx

ị

- +

.
Giải

B ng xét d uả ấ

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

x - 3x+2 + 0 - 0

( ) ( )

1 2

2 2

3 1

I x 3x 2 dx x 3x 2 dx

ò

- + -

ò

- + =

.
Vậy

59
I

2
=

Ví dụ 10. Tính tích phân

2
0

I 5 4cos x 4sin xdx

ò

-.
ĐS: I 2 3 2 6

= -

-.
2. Dạng 2

Giả sử cần tính tích phân

[ ]

I =

ò

f(x) ± g(x) dx

, ta thực hiện
Cách 1.

Tách

[ ]

b b b

a a a

I =

ò

f(x) ± g(x) dx=

ò

f(x) dx ±

ò

g(x) dx

rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.

Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 11. Tính tích phân

( )

I x x 1 dx

ị

-.
Giải
Cách 1.

( )

2 2 2

1 1 1

I x x 1 dx x dx x 1 dx

- -

ò

- - =

ò

-0 2 1 2

1 0 1 1

xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx

-= -

ò

- -

ò

-0 2 1 2

2 2 2 2

1 0 1 1

x x x x

x x 0

2 - 2 2 - 2

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ

= - + +ỗỗ - ữữ - ỗỗ - ữữ =

ố ø è ø .

Cách 2.
Bảng xét dấu

x –1 0 1 2
x – 0 +  +
x – 1 – – 0 +

( ) ( ) ( )

0 1 2

1 0 1

I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx

ò

- + - +

ò

+ - +

ò

- +

( 2 ) 1

0 2

1 0 1

x- x x x 0

= - + - + = .

Vậy I =0.

3. Dạng 3

Để tính các tích phân

{ }

I =

ị

max f(x), g(x) dx
và

{ }

J =

ò

min f(x), g(x) dx

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x)=f(x)- g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2.

+ Nếu h(x)>0 thì max f(x), g(x){ } =f(x) và min f(x), g(x){ } =g(x).

+ Nếu h(x)<0 thì max f(x), g(x){ } =g(x) và min f(x), g(x){ } =f(x).

Ví dụ 12. Tính tích phân

{ }

2
0

I =

ị

max x +1, 4x- 2 dx

.
Giải

Đặt h(x)=(x2 +1) - (4x- 2) = x2- 4x+3.

Bảng xét dấu

x 0 1 3 4
h(x) + 0 – 0 +

( ) ( ) ( )

1 3 4

2 2

0 1 3

I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx

ị

+ +

ị

- +

ị

+ =

.
Vậy

3
=

.
Ví dụ 13. Tính tích phân

{ }

x
0

I =

ị

min 3 , 4- x dx
.
Giải

Đặt h(x)=3x - ( 4- x) =3x + -x 4.

Bảng xét dấu

x 0 1 2
h(x) – 0 +

( )

1 2 x 1 2 2

0 1

3 x 2 5

I 3 dx 4 x dx 4x

ln3 2 ln3 2

ổ ửữ

ỗ

= + - = +ỗỗố - ÷÷ = +

ị

.
Vậy

2 5

ln3 2

= +

IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Phương pháp giải tốn
1. Dạng 1

Để chứng minh

f(x)dx³ 0

ò

(hoặc

f(x)dx£ 0

ò

) ta chứng minh f(x)³ 0 (hoặc f(x)£ 0) với

[ ]

x a; b
" Ỵ .

Ví dụ 14. Chứng minh

3 6

1 x dx- ³ 0

ò

Giải
Với

[ ]

3 3

6 6 6

x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0

" ẻ Ê ị - ³ Þ

ị

- ³

.
2. Dạng 2

Để chứng minh

b b

a a

f(x)dx³ g(x)dx

ị

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ví dụ 15. Chứng minh

2 2

10 11

0 0

dx dx

1 sin x 1 sin x

p p

+ +

ò

.
Giải
Với

11 10

x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x
2

é ự

" ẻ ờ ỳ Ê Ê ị Ê Ê

ở ỷ

10 11

1 1

1 sin x 1 sin x 0

1 sin x 1 sin x

Þ + ³ + > Þ £

+ + .

Vậy

2 2

10 11

0 0

dx dx

1 sin x 1 sin x

p p

+ +

ò

3. Dạng 3

Để chứng minh

A £

ò

f(x)dx£ B

ta thực hiện các bước sau

Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m£ f(x)£ M.
Bước 2. Lấy tích phân

A =m(b- a)£

ị

f(x)dx£ M(b- a) =B
.
Ví dụ 16. Chứng minh

2
0

2£

ò

4+x dx£ 5
.

Giải

Với " Îx [0; 1 : 4] £ 4+x2 £ 5Þ 2£ 4+x2 £ 5.
Vậy

2
0

2£

ị

4+x dx£ 5
.

Ví dụ 17. Chứng minh

3
4

2
4

4 3 2sin x 2

p £ £ p

-ò

.
Giải
Với

3 2 1

x ; : sin x 1 sin x 1

4 4 2 2

p p

é ù

" Ỵ ê ú £ £ Þ £ £

ë û

1 1

1 3 2sin x 2 1

2 3 2sin x

Þ £ - £ Þ £ £

-(

)

(

)

3
4

2
4

1 3 dx 1 3

2 4 4 3 2sin x 4 4

p p p p

Þ - £ £

-ò

Vậy

3
4

2
4

4 3 2sin x 2

p £ £ p

-ị

Ví dụ 18. Chứng minh

3 cotxdx 1

12 x 3

ò

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Xét hàm số

cotx

f(x) , x ;

x 4 3

ép pù

ê ú

= Ỵ

ê ú

ë û ta có

2
/

cotx
sin x

f (x) 0 x ;

4 3
x

-- ép pù

ê ú

= < " Ỵ ê ú

ë û

( )

ff (x) f x ;

3 4 4 3

p p ép pù

Þ £ £ " Ỵ ê ú

ë û

3 cotx 4

x ;

x 4 3

ép pù

ê ú

Þ £ £ " Î ê ú

p p ë û

3 cotxdx 4

3 4 x 3 4

ổp pửữ ổp pửữ

ỗ ỗ

ị ỗỗ - ữữữÊ Ê ỗỗ - ữữữ

ố ứ ố ứ

ũ

3 cotx 1

12 x 3

ò

.
4. Dạng 4 (tham khảo)

Để chứng minh

A £

ị

f(x)dx£ B

(mà dạng 3 khơng làm được) ta thực hiện

Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho

[ ]

b
b

a
a

f(x) g(x) x a; b

f(x)dx B
g(x)dx B

ì Ê " ẻ
ùù

ùù ị Ê

ớù =

ùù
ùợ

ũ

Bc 2. Tỡm hm s h(x) sao cho

[ ]

b
b

a
a

h(x) f(x) x a; b

A f(x)dx
h(x)dx A

ỡ Ê " ẻ
ùù

ùù ị Ê

ớù =

ùù
ùợ

ũ

Vớ d 19. Chứng minh

2
2

2007
0

2 dx

2 1 x 4

£ £

-ò

.
Giải
Với

2007 2

2 1

x 0; : 0 x x

2 2

é ù

" Ỵ ê ú £ £ £

ê ú

ë û

2 2007

2007 2

1 1 x 1 x 1 1 1 1

2 1 x 1 x

Þ £ - £ - £ Þ £ £

-2 2 2

2 2 2

2007 2

0 0 0

dx dx

1 x 1 x

Þ £ £

-ị

ị

.
Đặt x= sin tÞ dx= costdt

x 0 t 0, x t

2 4

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

2 4

0 0

dx costdt

cost 4

1 x

Þ = =

-ị

ị

Vậy

2
2

2007
0

2 dx

2 1 x 4

£ £

-ị

.
Ví dụ 20. Chứng minh

1
2
0

3 1 xdx 2 1

4 x 2 1 2

+ £ £ +

-ị

.
Giải

Với " Ỵx [0; 1 : 2 1] - £ x2 + -2 1£ 3 1

-2

x x x

3 1 x 2 1 2 1

Þ £ £

- + -

-1 1 1

0 0 0

xdx xdx xdx

3 1 x 2 1 2 1

Þ £ £

- + -

-ị

ị

.
Vậy

1
2
0

3 1 xdx 2 1

4 x 2 1 2

+ £ £ +

-ị

V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
y=f(x), x =a, x=b và trục hoành là

ị

f(x) dx
.
Phương pháp giải tốn

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

f(x) dx

ị

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=lnx, x =1, x =e và Ox.
Giải

Do ln x ³ 0 x" Ỵ [1; e] nên

( )

e e

e
1

1 1

ò

ln x dx=

ò

ln xdx =x ln x- 1 =1
.

Vậy S=1 (đvdt).

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= - x2 +4x- 3, x =0, x=3 và Ox.
Giải

Bảng xét dấu

x 0 1 3
y – 0 + 0

( ) ( )

1 3

2 2

0 1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

1 3

3 3

2 2

0 1

x 2x 3x x 2x 3x 8

3 3 3

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ

= - -ỗỗ + + ữữ + -ỗỗ + + ữữ =

ố ứ ố ø .

Vậy
8
S

3
=

(đvdt).
2. Diện tích hình phẳng

2.1. Trường hợp 1.

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y=f(x), y=g(x), x =a, x=b là

ị

f(x)- g(x) dx
.
Phương pháp giải tốn

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

f(x)- g(x) dx

ò

.
2.2. Trường hợp 2.

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y=f(x), y=g(x) là S f(x) g(x) dx

ị

-. Trong đó a b, là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của

phương trình f(x)=g(x) (a£ a < b £ b) .

Phương pháp giải tốn

Bước 1. Giải phương trình f(x)=g(x).

Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) trên đoạn [a b; ].
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

f(x) g(x) dx

-ị

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x3 +11x- 6, y =6x2,
x= 0, x=2.

Giải

Đặt h(x)=(x3 +11x- 6)- 6x2 = x3- 6x2 +11x- 6

h(x)= Û0 x= Ú = Ú =1 x 2 x 3 (loại).
Bảng xét dấu

x 0 1 2
h(x) – 0 + 0

( ) ( )

1 2

3 2 3 2

0 1

S= -

ò

x - 6x +11x- 6 dx+

ò

x - 6x +11x- 6 dx

1 2

4 2 4 2

3 3

0 1

x 2x 11x 6x x 2x 11x 6x 5

4 2 4 2 2

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ

= - ỗỗ - + - ữữ +ỗỗ - + - ữữ =

è ø è ø .

Vậy
5
S

2
=

(đvdt).

Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x3 +11x- 6, y =6x2.
Giải

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

h(x)= Û0 x = Ú = Ú =1 x 2 x 3.
Bảng xét dấu

x 1 2 3
h(x) 0 + 0 – 0

( ) ( )

2 3

3 2 3 2

1 2

ò

x - 6x +11x- 6 dx-

ò

x - 6x +11x- 6 dx

2 3

4 2 4 2

3 3

1 2

x 2x 11x 6x x 2x 11x 6x 1

4 2 4 2 2

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ

=ỗỗ - + - ữữ - ỗỗ - + - ữữ =

ố ứ ố ø .

Vậy

1
S

2
=

(đvdt).
Chú ý:

Nếu trong đoạn [a b; ] phương trình f(x)=g(x) khơng cịn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng cơng

thức

[ ]

f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx

b b

a a

- =

-ị

ị

Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x , y3 =4x.
Giải

Ta có x3 =4x Û x= - 2 xÚ = Ú =0 x 2

( ) ( )

0 2

3 3

2 0

S x 4x dx x 4x dx

-Þ =

ò

- +

ò

-0 2

4 4

2 2

2 0

x 2x x 2x 8

4 - 4

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ

= ỗỗ - ữữ + ỗỗ - ữữ =

ố ứ ố ứ .

Vậy S=8 (đvdt).

Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x2- 4 x +3 và trục hồnh.
Giải

Ta có x2- 4 x + = Û3 0 t2- 4t+ =3 0, t = x ³ 0

t 1 x 1 x 1

t 3 x 3 x 3

= = = ±

é é é

ê ê ê

Û ê Û ê Û ê

= = = ±

ë ë ë

3 3

2 2

3 0

S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx

-Þ =

ò

- + =

ò

- +

( ) ( )

1 3

2 2

0 1

2éê x 4x 3 dx x 4x 3 dx ùú

= ê - + + - + ú

ê ú

ò

1 3

3 3

2 2

0 1

x x 16

2 2x 3x 2x 3x

3 3 3

ộổỗ ửữ ổỗ ửữ ự

ờ ỳ

= ờỗỗ - + ữữ + ỗỗ - + ữữ ỳ=

ố ứ è ø

ë û .

Vậy

16
S

3
=

(đvdt).

Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x2- 4x+3 và y= +x 3.
Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2
2

x 3 0

x 0

x 4x 3 x 3

x 5

x 4x 3 x 3

+ ³

ìïï é =

ïï é - + = + ê

Û í ê Û ê =

ïï ê ë

ï ê - + = -

-ïỵ ë .

Bảng xét dấu

x 0 1 3 5

x - 4x+3 + 0 – 0 +

( ) ( ) ( )

1 3 5

2 2 2

0 1 3

S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx

Þ =

ị

- +

ị

- + - +

ị

-1 3 5

3 2 3 2 3 2

0 1 3

x 5x x 3x x 5x 109

3 2 3 2 3 2 6

ổ ửữ ổ- ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ ỗ

= ỗỗ - ữữ +ỗỗ + - ữữ +ỗỗ - ữữ =

ố ứ è ø è ø .

Vậy

109
S

6
=

(đvdt).

Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x2 - 1 , y= x +5.
Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm

2 2

x - 1 = x + Û5 t - 1 = +t 5, t = x ³ 0

2
2

t x 0

t 1 t 5 x 3

t 3

t 1 t 5

= ³

ìïï ì = ³

ï ï

ï é - = + ï

Û íï ê Û íï = Û = ±

ï ê ïỵ

ï ê - =
-ïỵ ë

( ) ( )

3 3

2 2

3 0

S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx

-Þ =

ị

- - + =

ò

- - +

Bảng xét dấu

x 0 1 3

x - 1 – 0 +

( ) ( )

1 3

2 2

0 1

S 2 x x 4 dx x x 6 dx

Þ =

ị

- - - +

ò

-1 3

3 2 3 2

0 1

x x x x 73

2 4x 6x

3 2 3 2 3

æ- ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ

= ỗỗ - - ữữ +ỗỗ - - ÷÷ =

è ø è ø .

Vậy

3
=

(đvdt).

Chú ý:

Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì khơng có).
B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY

1. Trường hợp 1.

Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f(x)³ 0 x" Ỵ [a;b], y= 0,

x=a và x= b (a<b) quay quanh trục Ox là

b
2
a

V = p

ị

f (x)dx
.

Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình trịn (C) : x2 +y2 =R2 quay quanh Ox.
Giải

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Phương trình (C) : x2 +y2 =R2 Û y2 =R2- x2

( ) ( )

R R

2 2 2 2

R 0

V R x dx 2 R x dx

-Þ = p

ò

- = p

ò

-R

3 3

x 4 R

2 R x

3 3

ổ ửữ p

ỗ

= pỗỗố - ữữ =

ứ .

4 R
V

3
p
=

(đvtt).
2. Trường hợp 2.

Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x= g(y)³ 0 y" Ỵ [c;d], x=0,

y=c và y=d (c<d) quay quanh trục Oy là

d
2
c

V = p

ị

g (y)dy
.

Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse

2 2

x y

(E) : 1

a +b = quay quanh Oy.

Giải
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là

2
2

y 1 y b

b = Û = ± .

Phương trình

2 2 2 2

2 2

2 2 2

x y a y

(E) : 1 x a

a +b = Û = - b

b 2 2 b 2 2

2 2

b 0

a y a y

V a dy 2 a dy

b b

-ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ

ị = p ỗỗ - ữữ = p ỗỗ - ữữ

ố ứ ố ø

ị

2 3 2

2
0

a y 4 a b

2 a y

3
3b

ỉ ửữ p

ỗ

= pỗỗố - ữữ =

ứ .

4 a b
V

3
p
=

(đvtt).
3. Trường hợp 3.

Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x), x=a và

[ ]

x =b (a<b, f(x)³ 0,g(x) ³ 0 x" Î a; b ) quay quanh trục Ox là

2 2

V = p

ị

f (x)- g (x) dx
.

Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2, y2 =x quay quanh
Ox.

Giải
Hoành độ giao điểm

x 0 x 0

x 1

x x

³ =

ì é

ïï Û ê

í ê =

ï =

ï ë

ỵ .

( )

1 1

4 4

0 0

V x x dx x x dx

Þ = p

ị

- = p

ò

-(

)

5 2

1x 1x 3

5 2 10

= p - =

.
Vậy

3
V

10
p
=

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x=f(y), x =g(y), y=c và

[ ]

y= d (c<d, f(y)³ 0,g(y) ³ 0 y" Ỵ c; d ) quay quanh trục Oy là

2 2

V = p

ị

f (y)- g (y) dy
.

Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x= - y2 +5, x= -3 y
quay quanh Oy.

Giải
Tung độ giao điểm

2 y 1

y 5 3 y

y 2

=
-é
ê

- + = - Û ê =

ë .

( ) ( )

2 2

2
1

V y 5 3 y dy

-Þ = p

ị

- + -

-( )

4 2

y 11y 6y 16 dy

-= p

ò

- + +

5 3

y 11y 153

3y 16y

5 3 - 5

ổ ửữ p

ỗ

= p ỗỗ - + + ÷÷÷ =

è ø

.
Vậy

153
V

5
p
=

(đvtt).

VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP

1. Tính I=





10
0

1

∫

x dx

Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:

1 2 10

10 10 10

1 1 1

1 ...

2 3 11

    

S C C C

2. Tính:





19
0

I 

∫

x  x dx

. Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:

0 1 2 18 19

19 19 19 19 19

1 1 1 1 1

...

2 3 4 20 21

S C  C  C   C  C

3. Chứng minh rằng:

1 2

1 1 1 2 1

1 ...

2 3 1 1

n
n

n n n

C C C

n n




    

 

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=

sin cos

x x



 , biết rằng F 4 ln 2



 

 

 

2. Tính các tích phân sau:

A=
2

2 5 - 7

e x x

dx
x



∫

2
2
-2

-1

x dx

∫

2 ln 2x dx

∫

3. Tính các tích phân sau:

A=
3

3 cos
0

sin
x

e xdx



∫

B=
4

e x

dx
x

∫

C*=

2 3
2

5 4

dx
x x 

∫

D*=

11 -1

x dx

x



∫

4. Tính các tích phân sau:

I=1

sin(ln )

e x

dx
x

∫

J=
4

2
6

sin cot

dx

x x



∫

lgxdx

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

ln 5

ln 3 2 3

x x

dx

e e

 

∫

M=
2
2 2
0
sin 2
cos 4 sin

xdx
x x



∫

N=
2
2

1 - 9

dx
x

∫

C=
2
2 2
0
sin 2
(1 cos )

x dx

x





∫

5. Tính các tích phân sau:

1
2

0 4

-dx
x

∫

B=
3
2
3 3
dx
x 

∫

C=
4
2
0

16 -x dx

∫

D=
ln 2

0

1-1
x
x
e dx
e


∫

E=
3
2
2
2
1dx
x 

∫

6. Tính các tích phân sau:

A=
2
1
ln
e x
dx
x

∫

B*=0 2

sin
1 cos

x x dx

x





∫

C*=

2
2
1

lnxdx
x

∫

D*=1cos(ln )

e
x dx


∫

E=
2 4
3
1

3x 2x

dx
x


∫

1 2
*
4
1
1
1
x
F dx
x





∫

7. Tính:
A=
4
2

0
cos xdx


∫

B=
2
3
0
cos xdx


∫

C=
1
0
x
xe dx

∫

D=
4
1
x
e
dx
x

∫

E=
2
1
ln
x xdx

∫

F=1
ln 1
e
x
dx
x


∫

G=
2
2
0
1 2

x  x dx

∫

1 2

x  xdx

∫

I=
2
1 1
x
dx
x

∫

J=
1
2
01
x
dx
x


∫

8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a. x=1; x=e; y=0 và y=

1 lnx
x



b. y=2x; y=3x và x=0

c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=3


9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với đường

cong (C) tại điểm có hồnh độ bằng 2.

10.Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0.

a. Tính diện tích hình phẳng D.

b. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.

11.Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1

khi nó quay quanh:

a)Trục Ox.

b)Trục Oy.

</div>

Chuyên đề bài tập tích phân - Phân dạng tích phân - Luyện thi đại học tích phân

<b>CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN</b>

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

ị

ị

ị

<sub>ị</sub>

<sub>ị</sub>

ị

ò

ò

ị

ị

ò

ị

∫

∫

∫

∫

-ò

-ị

ị

<sub>ò</sub>

<sub>ị</sub>

ị

ị

ị

ò

ị

ị

-ị

ị

<sub>ị</sub>

<sub>ị</sub>

<sub>ò</sub>

<sub>ò</sub>

<sub>ò</sub>

<sub>ò</sub>

<sub>ò</sub>

<sub>ò</sub>

<sub>ò</sub>

ò

ị

(

)

ò

ò

(

)

(

)

ò

ò

ũ

ị