Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề I:. C¸c bµi to¸n vÒ tû lÖ thøc. A.KiÕn thøc c¬ b¶n 1. Học sinh nắm vững định nghĩa, tính chất của tỷ lệ thức, tính chất của dẫy tỷ lệ thøc b»ng nhau. 2. Bæ xung: e a c = = =K f b d. NÕu:. K 1 .a  K 2 .c  K 3 .e K K 1 .b  K 2 .d  K 3 . f. Th×. B.C¸c bµi to¸n D¹ng 1: T×m thµnh phÇn ch­a biÕt cña tû lÖ thøc (hoÆc dÉy tû sè b»ng nhau). VÝ dô 1:. T×m c¸c sè x,y,z biÕt.. 5.x=8.y=20.z. vµ. x – y - z=3.. **Có thể định hướng học sinh giải theo 3 cách *§Ó t×m ®­îc 3 sè x, y, z cÇn sö dông tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc, tÝnh chÊt cña dÉy tû sè b»ng nhau. Muèn vËy cÇn sö dông gi¶ thiÕt cña bµi to¸n, ®i tõ gi¶ thiÕt cña bµi to¸n, biến đổi để xuất hiện các tỷ lệ thức, các tỷ số bằng nhau. C¸ch 1. V×. 5x = 8y. . x y = 8 5. (1). 8y = 20z. . y z = 20 8. . . x = 8. Tõ (1) vµ (2). y 5. y 5. =. z (2) 2. z 2. =. *Sử dụng tính chất của dẫy số bằng nhau biến đổi để sử dụng điều kiện còn lại của bµi to¸n. C¸ch 2: V× 5.x = 8.y = 20.z. x y z    ... 1 1 1 5 8 20. . C¸ch 3: 5x=8y=20z Cïng chia c¸c tÝch trªn cho BCNN ( 5, 8, 20 ) lµ 40 ta ®­îc. 5 x 8 y 20 z   40 40 40. . x 8. =. y 5. = 1. Lop7.net. z =… 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trong các cách giải trên:Cách 1 đơn giản, dễ hiểu nhưng hơi dài. Cách 2: Ngắn song bước biến đổi tiếp theo lại phức tạp hơn ( Cộng 3 phân số khác mẫu) C¸ch 3:§èi víi häc sinh kh¸, giái phï hîp h¬n. VÝ dô 2: T×m x, y biÕt 2x  1 3y  2 2x  3y  1   . 5 7 6x. *Hướng dẫn học sinh nhận xét mối quan hệ các biểu thức trong 3 tỷ số từ đó có c¸ch lµm hîp lý: Mét sè bµi to¸n: Bµi 1.. T×m 3 sè x, y, z biÕt.. 4 2 3   x 1 y  2 z  2. vµ x.y.z = 12. Bµi 2. T×m x, y biÕt. y2  x2 x2  y2  3 5. vµ. x10. y10 = 1024. Bài 3. Tìm tỷ lệ 3 cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đượng cao của tam giác đó thì tỷ lệ các kết quả là 5:7:8. D¹ng 2. Chøng minh tû lÖ thøc. Từ một tỷ lệ thức có thể chuyển thành đẳng thức đúng giữa hai tích. Học sinh nắm vững phương pháp chứng minh tỷ lệ thức, sau này có thể giải quyết tốt dạng toán chứng minh đẳng thức ở các lớp trên. Do đó khi dạy về tỷ lệ thức cần yêu cầu học sinh khá, giỏi hiÓu vµ chøng minh ®­îc c¸c tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc vµ tÝnh chÊt cña dÉy tû sè b»ng nhau. VÝ du 1: Cho tû lÖ thøc Chøng minh r»ng :. a c  b d.  1 Víi. ab cd  a c. Giáo viên định hướng cho học sinh các cách chứng minh. C¸ch 1. Dùa vµo tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc a c = b d. . a.d = b.c 2 Lop7.net. a, b, c, d.  0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> §Ó cã ®­îc tû lÖ thøc ( §iÒu cÇn chøng minh ) cÇn cã hai tÝch b»ng nhau. Ta biÕn đổi tích thứ nhất để có kết quả bằng tích thứ hai. XÐt tÝch (a-b). c = a.c - b.c = a.c - a.d = a.(c-d) VËy (a-b).c = a.(c-d). (V×. a c   a.d = b.c b d. §Æt thõa sè chung). ab cd  . a c. . C¸ch 2. §Ó chøng minh tû lÖ thøc ( Hai tû sè b»ng nhau ) ta chøng minh hai tû sè đó bằng tỷ số thứ 3. §Æt. a c  =K b d. NÕu cã:. a  b.K  c  d .K. a  b b.K  b b( K  1) K  1    a b.K b.K K. (1). c  d d .K  d d ( K  1) K  1    c d .K d .K K. (2). . Tõ (1) vµ (2). . ab cd  . a c. **GV hình thành cho học sinh cách chứng minh đẳng thức có thể biến đổi cả hai vế để chúng có cùng một giá trị. C¸ch 3.. V×. a c  b d. . b d  a c. . ab cd  a c.  1-. b d  1 a c. *Hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau, cho học sinh nhận xÐt c¸c c¸ch gi¶i. Gi¸o viªn chèt l¹i c¸ch nµo hay vËn dông vµ gi¶i quyÕt ®­îc nhiÒu bµi to¸n nhÊt. Tuú theo tõng bµi mµ cã c¸ch gi¶i hîp lý.. VÝ dô 2. Cho CMR:. a c  b d. 3 d ). 5. ( c  . 5a  3b 5a  3b  . 5c  3d 5c  3d. C¸ch 1. Sö dông tÝnh chÊt cña dÉy sè b»ng nhau. 3 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> C¸ch 2. Chøng minh 2 tû sè cã cïng gi¸ trÞ. a c  b d. §Æt. = K.. Khi đó cả hai tỷ số cùng bằng. b . d. C¸c bµi to¸n: Bµi 1. Cho b2 = a.c. Bµi 2. Cho. a c  b d. Chøng minh r»ng.. a2  b2 a  . b2  c2 c.   1 vµ c  0 2. CM r»ng:. a.b  ab .    c.d cd . Bµi 3 CM r»ng nÕu ta cã dÉy tû sè b»ng nhau. a a1 a 2 a3    ...  2005 a 2 a3 a 4 a 2006. Th× cã thÓ suy ra ®­îc biÓu thøc..  a  a 2  a3  ...  a 2005 a1   1 a 2006  a 2  a3  a 4  ...  a 2006.   . 2005. .. D¹ng 3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. Sao cho a + b + c + d  0. VÝ dô 1: Cho bèn sè a, b, c, d;. bcd cd a d ab abc    K a b c d. BiÕt. TÝnh gi¸ trÞ cña K. C¸ch 1. ¸p dông tÝnh chÊt cña dÉy tû sè b»ng nhau ta ®­îc. 3(a  b  c  d ) K abcd.  K = 3. C¸ch 2. Céng thªm 1 vµo mçi tû sè.  a = b = c = d  K=3. C¸c bµi to¸n: Bµi 1:. BiÕt. a b c  ,  , 4 , a b c. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. Vµ P. =. a, + 3b, - 2c,  0 a  3b  2c a ,  3b ,  2c ,. 4 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bµi 2. Cho. M=. x  2 y  3z . x  2 y  3z. TÝnh gi¸ trÞ cña M biÕt c¸c sè x, y, z tû lÖ víi 5; 4; 3. Bµi 3. Cho c¸c sè A, B, C tû lÖ víi c¸c sè a, b, c. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc.. Q =. A.x  B. y  C ax  by  c. Kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x,y. Chuyên đề II:. Phương pháp tam giác bằng nhau. Đối với học sinh lớp 7 bước đầu làm quen với bài toán chứng minh hình học. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau. Cách làm thông thường cũng là cách làm được coi là cơ bản đó là: Gắn vào các tam giác, chứng minh các tam giác chứa các yếu tố cần chứng minh đó bằng nhau. Các tam giác đó có thể là các tam giác có sẵn hoặc phải t¹o ra b»ng c¸ch vÏ thªm ®­êng phô. §­êng phô cã thÓ lµ ®o¹n th¼ng nèi hai trung ®iÓm, h¹ ®­êng vu«ng gãc, song song,vÏ tia ph©n gi¸c… VÝ du1: Cho  ABC. VÏ vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c nµy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A lµ ABE vµ ACF. a.CM r»ng BF = CE vµ BF  CE b.Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC CM r»ng AM =. 1 EF 2. Câu a. GV hướng dẫn học sinh những định hướng ban đầu. Thường đặt hệ thống câu hỏi theo sơ đồ phân tích đi lên. Gióp häc sinh thÊy ®­îc mèi liªn hÖ gi÷a kÕt luËn vµ giả thiết của bài toán. Những câu hỏi đó học sinh được rèn, tập dượt nhiều lần. Sau này đó chính là những suy nghĩ, tư duy cña häc sinh khi lµm to¸n.. 5 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Sơ đồ phân tích đi lên:. BE = CE. ABF = AEC. BAF = EAC. AB = AE. AF = AC. ( = 90 o + BAC). (gt). (gt). Câu b: Học sinh vẽ tách riêng hình, định hướng cho học sinh cách chứng minh thường lµ 2 c¸ch: Cách 1: Gấp đôi đoạn thẳng nhỏ được đoạn thẳng mới. CM đoạn đó bằng đoạn thẳng lín. Cách 2: Chia đôi đoạn thẳng lớn. CM mét nöa cña nã b»ng ®o¹n th¼ng nhá Víi bµi to¸n lµm theo c¸ch 1 ( H×nh vÏ ) Khai th¸c bµi to¸n: 1. VÏ thªm ®­êng cao AH cña  ABC ( H  BC ). Chøng minh ®­êng th¼ng AH ®i qua trung ®iÓm EF. 2. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BE, CF. Tính các góc của MIK. C¸c bµi to¸n: Bµi 1: Cho ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E, trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm F sao cho  EMF = 90 o. Chøng minh AE = AC. Bµi 2: Cho ABC cã ®­êng cao AH vµ ®­êng trung tuyÕn AM chia gãc A thµnh 3 gãc b»ng nhau. LÊy ®iÓm E thuéc c¹nh AC sao cho AE = AH a. CM r»ng ME =. 1 BC 4. b. TÝnh c¸c gãc cña EMC 6 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> c. BiÕt AB = 4cm. TÝnh. AC.. Bài 3. Cho tam giác ABC. Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm các đường trung trực của tam giác đó. Chứng minh. a. AH bằng hai lần khoảng cách từ O đến BC. b. Ba ®iÓm H, G, O th¼ng hµng. Chuyên đề III.. Phương pháp tam giác đều. *Phương pháp tam giác đều thể hiện một cách vẽ hình phụ nhằm tạo thêm trong hình vÏ c¸c c¹nh b»ng nhau, c¸c gãc b»ng nhau. Gióp cho viÖc gi¶i bµi to¸n ®­îc thuËn lîi. NhÊt lµ d¹ng to¸n tÝnh sè ®o cña gãc. VÝ dô: Cho tam gi¸c ABC c©n ë A, A = 80o .Gäi O lµ mét ®iÓm ë trong tam gi¸c sao cho OBC = 30o ,  OCB=100 . TÝnh.  COA.. *Hướng dẫn học sinh dựa vào mối quan hệ góc. ABC c©n t¹i A,. A=800.  B = C = 500. *Liên quan đến góc của tam giác đều. 500 + 100 = 600 Vậy để dựng tam giác đều: Như hình vẽ Nèi D víi A :  CBO =  CDA. (c.g.c).  CA=CO. *Giáo viên có thể nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ góc cần tìm số đo thường là góc đặc biệt hoặc góc được gắn vào tam giác đặc biệt (  Cân, Vuông cân, một nửa  đều…) hoặc gắn vào tam giác đã biết được số đo các góc của nó. C¸c bµi to¸n. Bµi 1. Cho ABC c©n t¹i A, A=1000. Gäi O lµ mét ®iÓm trªn tia ph©n gi¸c cña C Sao cho CBO = 300. TÝnh  CAO Bµi 2. Cho ABC C©n t¹i A, A=1000 .Trªn tia AC lÊy ®iÓm D Sao cho AD = BC TÝnh  CBD Bµi 3. Cho ABC C©n t¹i A, A=800 .Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm I sao cho BAI =500 Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm K sao cho ABK=300. Hai ®o¹n th¼ng AI vµ BK c¾t nhau t¹i H : CM r»ng  HIK C©n. 7 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 8 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>