Chuyên đề Những bài toán liên quan đến phương trình bậc hai

<span class='text_page_counter'>(1)</span> NHỮNG BAØI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI A-MUÏC TIEÂU: HS:Nắm được các phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai HS:Biết được các sai lầm cần tránh HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán. B-THỜI LƯỢNG:7 tiết lý thuyết và Luyện tập -1tiết kiểm tra Tieát 1,2: I-BAØI TOÁN 1: Biện luận theo m sự có nghiêm của PT bậc hai ax2+bx +c = 0 (a  0)(1)  PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI: Xet heä soá a coù hai khaû naêng: a) Trường hợp a = 0 với một giá trị nào đó của m Giả sử a = 0 <=> m = m0 ta có (1) trở thành PT bậc nhất bx + c =0 Ta bieân luaän tieáp b) Trường hợp a  0 Lập biệt số  = b2 –4ac hoặc  ’ = b’2 –ac Biện luận théo từng trường hơp :  > 0 ;  = 0 ;  < 0 Sau đó tóm tắt phần biên luận trên II BAØI TOÁN 2: Tìm ĐK của tham số để pt có nghiệm:  Coù hai khaû naêng xaåy ra : a) a = 0, b  0 b) a  0 ,   0 III BAØI TOÁN 3: Tìm ĐK của tham số để PT có 2 nghiệm phân biệt: a  0    0 IV BAØI TOÁN 4:Tìm ĐK của tham số để PT có một nghiệm: a  0 a  0 V  b  0   0 V BAØI TOÁN 5: 1) Ñieàu kieân hai nghieäm cuøng daáu   0; P  0 2) Điều kiện để hai nghiêm điều dương:   0  c  P 0 a  S   b  0  a 3) Điều kiện để hai nghiêm điều âm:   0  c  P 0 a  S   b  0  a 3) Điều kiện để hai nghiêm trái dấu: P< 0 hoặc a và c trái dấu VI-BAØI TOÁN TÌM ĐK để PT có một nghiêm x = x1 tìm nghiệm kia: Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  Ta thay x = x1 vaøo (1) Giaûi tìm m  Hoặc dựa vào S ;P tìm m VII-BAØI TOÁN 7:Tìm ĐK của m để PT có hai nghiệm thoã mãn các ĐK: 1 1 2 2 2 2 1)x1  x 2   2) x1  x 2  k 3) x1  x 2  h 4)  n x1 x 2 3. 3. 5) x1  x 2  t. . PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI:. b   x1  x 2   a Ñieàu kieân chung :   0 Theo Ñònh lyù Vi et ta coù :  c  x1 .x 2  a  b   x1  x 2   a)Trường hợp : x1  x 2   (3) Ta giải HPT  a => x1 ;x2 Thay caùc giaù trò x1x2 vaøo x1  x 2   c x1x2 = giaûi tìm giaù trò cuûa tham soá a b)Trường hợp :x12+x22 = k <=> (x1+x2)2 –2x1x2 = k Thay tổng và tích giải tìm giá trị thamsố m c) Trường hợp : x12+x22  h <=> (x1+x2)2 –2x1x2  h Giải BPT tìm m Một số ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1 :Biện luận theo m sự có nghiệm của PT x2 –4x +m = 0 (1) Trước hết ta tính  = b2 –4ac =..= 4-m a) Neáu 4-m > 0 thì pt coù hai nghieäm phaân bieät b) Neáu 4-m = 0 thì PT coù nghieäm keùp c) Neáu 4- m <0 thì PT voâ nghieäm Ví duï 2: Cho PT x2- 3x –m = 0 a) Tìm m để PT có nghiệm b) Tìm m để pT có nghiệm là –2 tìm nghiệm còn lại HD:  = b2 –4ac = 9 +4m a) Đẻ PT có nghiệm thì 9+ 4m  0 b) PT có nghiêm là –2 Do đó (-)2 +3(-2) – m = 0 <=> Giải PTb tìm giá trị của m Ví dụ 3: Xác định m để PT x2 –(m+5) x – m + 6 = 0 có hai nghiêm x1 và x2 thõa mãn: a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị b) 2x1+ 3x2 = 13 HD:Tính  = m2 +14m +1 PT coù hai nghieäm <=> m2 +14m +1  0 Giaûi BPT xaùc ñònh m a) Giả sử x1 > x2 ta có Hệ thức;  x 2  x1  1(1)  (I )  x1  x 2  m  5(2)  x x  m  6(3)  1 2. Giaûi HPT tìm m b) Giải Tương tự như câu a Ví duï 4: Cho PT x2 +ax +a+7 = 0(1) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho pt có hai nghiệm thõa mãn hệ thức x12+x22 = 10 HD:  = a2-4a –28 PT coù hai nghieäm <=> a2-4a –28  0 Biến đổi x12+x22 = 10 <=> (x1+x2)2 –2x1x2 = 10 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Thay toång vaø tích roài giaûi PT tìm m Ví duï 5: Cho PT. x2+ax. x +1 = 0 Tìm các giá trị của a để PT có hai nghiệm thoã mãn  1  x2. 2.   x2      x1. 2.    7 . LUYEÄN TAÄP:. Tieát 3,4,5,6,7. Baøi 1: (TN 1996) bx c 0 (a  0) . 1. Viết bảng tóm tắc công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax 2  2. Giaûi caùc phöông trình: 2 3 11 y 19 0 a/  2 y  12t 9 0 b/ 4t 2  Baøi 2: (TN 2001) 2(m 1) x m 2 3m 0 với m là tham số. Cho phöông trình baäc hai: x 2  1. Giải phương trình với m = 8. 2. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0. Baøi 3: (TS 10 - 1993) (1 m) x m 0 (1) với m là tham số. Cho phöông trình : x 2  1. Giải phương trình (1) với m = 2. 2. Xác định m để phương trình (1) có một nghiệm bằng -2. 3. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m. Baøi 4: (TS 10 - 1996) (m 1) x 3(m 1) 0 (1) với m là tham số. Cho phöông trình : mx 2  1. Giaûi phöông trình (1) khi m = 2. 2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép.. 3. Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm khác 0 là x1 và x2. Chứng minh rằng:. 1 1  x1 x2. 1 . 3. Bài 5*: (TS 10 Trường chuyên Nguyễn Du - 1996) 1 1 1 1 2 . 2 x  9 x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 x 2  2x 1 x2 2x 2 7  2. Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình sau: 2 . x  2x 2 x2 2x 3 6. 1. Giaûi phöông trình sau:. 2. HD: R \  4; 5; 6; 7 1) Taäp xaùc ñònh D  x 2  9 x 20 x 2  11x 30 x 2  13 x 42.  x 4  x 5  x 5 x 6   x 6  x 7 . 1 1 1  x  4 x 5 x 5 trình đưa đến 2 nghiệm x 13; x 2 .. Biến đổi phương trình:. 1. 1. 1. x 6. x 6. x 7. 2) Taäp xaùc ñònh D  R .. Lop7.net. 1 , từ đó có cách giải phương 18.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  x 1. x 2x 2 Ñaët t  2. t  2 x. 0; x. 2. t 1 t Z , ta coù  t t 1. 1 1, t. 7 6. t  2 3  , ta loại nghiệm t  . Với 3 t  5  5. 2. Baøi 6: (TS 10 THPT Chuyeân ban - 1997) 2mx  2m 3 0 (1) Cho phöông trình: x 2  1. Giaûi phöông trình (1) khi m = 1. 2. Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 3. Tìm m để có một tam giác vuông cạnh huyền bằng 14 và hai cạnh góc vuông có độ dài x1 vaø x2 laø hai nghieäm cuûa (1). HD: Với 3) chú ý điều kiện x1  0, x2.  x1 x2 0 ...   x1 x2  0. 0. Baøi 7*: (TS 10 Chuyeân Toùan - Tin (voøng 1)_ ÑHTH Tp Hoà Chí Minh - 1996_1997) 4 4 2   x 3 1 Giaûi phöông trình:  x  a HD: Phöông trình:  x  4. x. b. 4. M , ta ñaët t x. ab 4 n , ñöa veà daïng  mt  2.  mt. n. 4. M,. biến đổi về dạng phương trình trùng phương theo t ... Moät soá phöông trình tham khaûo: 4  x  x  4 x 4   x 1 4. 3. 4. 256. 97. Baøi 8*: (TS 10 Chuyeân Toùan - Tin (voøng 2)_ ÑHTH Tp Hoà Chí Minh - 1996_1997) px 1 0 ; c, d laø hai nghieäm cuûa phöông trình: Goïi a, b laø hai nghieäm cuûa phöông trình: x 2  c  a d  b c  b d  y 2  qy 1 0 . Chứng minh hệ thức:  a . b a  c   d HD: Aùp duïng ñònh lyù Víeùt ta coù heä  ab  1 cd  1. p q. p. q . 2. , sử dụng để biến đổi VT bằng VP .... Baøi 9: (TS 10 Chuyeân Toùan, Nguyeãn Du 1997_1998) 2 x3 8 x 2 3x 9 0 . Giaûi phöông trình: 4 x 4  HD: Nhẩm nghiệm, thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng phöông trình tích.. Baøi 10: (TS 10 THPT 2003_2004) Cho phöông trình:  x 2 6 2 x  kx 4  0. 1. 1. Giaûi phöông trình treân khi k = -1. 2. Tìm soá nguyeân k nhoû nhaát sao cho phöông trình (1) voâ nghieäm. Bài 11: (TS 10 môn: Tóan chuyên, Trường chuyên Nguyễn Du 2003_2004) px q 0 (aån x). Goïi x1, x2 laø caùc nghieäm cuûa phöông trình. Cho phöông trình: x 2  1. Xaùc ñònh caùc heä soá p, q bieát x1, x2 thoûa: x1 x2 5 vaø x13 x23 35 1, n N pS n qS n 1 0 với n  2. Đặt Sn x1n x2n . Chứng minh rằng: Sn 1  3. Giả sử x1, x2 là các số nguyên và p + q = 198. Tìm x1, x2 . Baøi giaûi: Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1. Vì x1 , x2 laø caùc nghieäm cuûa phöông trình neân ta coù :  x1n 1  x12  px1 q  0 x12  px1 q 0   2 n 1 2 px2 q 0 px2 q  0  x2  x2   x2  *  S n 1 pS n qS n 1 0   , với n  N * x2  x1   x1 x2  q. p. 2. Theo ñònh lyù Víet ta coù . 3. Ta coù p  q x1 x2  x1 x2  198. x. n  1 1. x2n. 1. . p  x1n. x2n  q  x1n. 1. x2n. 1. . 0.  p  1 q  6. , kết hợp với giả thiết ta tìm được .  x1 1 x2. 1 199.  *. . Bài toán quy về việc tìm nghiệm. nguyeân x1 , x2 cuûa phöông trình (*) . Do 199 laø soá nguyeân toá neân: x  1 199 x1 1  x2  1 1 x2 1 . 1 *  . 199. x1. 200. x1. 1. x2 1 2. x2. 0 198. Bài tập tương tự: Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình ax 2  bx c 0 n n Đặt Sn x1 x2 , với n  1, 2,... 1. Chứng minh rằng aSn 2  bS n. cS n. 1. 0. 6. *. 1. .. 6.   1 5 1 5 2. Aùp duïng tính A   2 2    1 5  x1  x2 1  x1   2  HD: Ñaët  . Vaäy x1 , x2 laø 2 nghieäm cuûa phöông trình x 2  x 1 0 1 5  x1 x2  1  x    2 2 Aùp duïng (*) cho (2) ta coù A  18.  2. Bài 12*: (Thi chọn Học sinh giỏi Thành phố BMT môn tóan lớp 9 -1996_1997) Giaûi phöông trình: 3x 2  6x 7 5 x 2 10 x 14 4 2 x x 2 HD: Dùng phương pháp đánh giá 2 vế phương trình. 3 x 2  6x 7. 3  x 1. 5  x 1. 5 x 2  10 x 14 4  2x x2. 5. 2.  x 1. 2. 5. 4 2. 2 9. 1. 3.  2. . Từ (1), (2) và (3) ta có VT  VP 5. x. 1.  3. Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: * x 2  6 x 11 x 2 6 x 13 4 x 2 4 x 5 3 2  . HD: VT   x 3 2  x 3 2.  x 32 Từ *   2  x 2 . 0 0. 2. 4. 4. x. 2. 2. 1. 2 2 1 3. 2. x  3 , heä phöông trình voâ nghieäm, neân (*) voâ nghieäm. x  2. Bài 13**: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1996_1997) ax 1 0 với một nghiệm nào đó của phương Bieát raèng, tích moät nghieäm cuûa phöông trình x 2  2 2 trình x  bx 1 0 laø nghieäm cuûa phöông trình x  cx 1 0 . 2 2 2 b c abc 4 . Chứng minh rằng: a  Bài 14: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2000_2001) 1 x 2 2  a 1 x a 2 0 với a là tham số. Cho phöông trình  a  Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1. Tìm điều kiện của tham số a để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2. Với giá trị nào của tham số a thì phương trình có một nghiệm bằng 3?. Tính nghiệm còn laïi. 3. Với giá trị nào của tham số a thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: 4  x1 x2  7 x1 x2 . Bài 15: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1998_1999) 1 Cho phöông trình aån x:  a  1 x 2 2  a b  x  b 1 0   1. Với giá trị nào của a thì (1) là phương trình bậc hai. 2. Giaûi phöông trình (1) khi a  3 1; b 3 1. 3. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b. Bài 16: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1999_2000) 1 Cho phöông trình x 2  mx m 1 0   1. Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm. 2. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1), tìm giá trị lớn nhất của: P. 2 x1 x2  3 x  x22 2 1 x1 x2  2 1. Bài 17: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp huyện môn Tóan lớp 9 -2000_2001) Cho phöông trình (a, b laø tham soá): ax 2   ab 1 x b 0 1. Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm. 2. Tìm giá trị của a, b để phương trình có một nghiệm kép là:. 1 . 2. Bài 18: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2001_2002) x a 1 a  0 traùi daáu? 1. Với giá trị nào của a thì các nghiệm của phương trình x 2  px 35 0 , bieát raèng toång bình phöông hai nghieäm baèng 74. 2. Giaûi phöông trình x 2 . Bài 19: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2002_2003) Goïi x1, x2 laø nghieäm cuûa phöông trình: x 2   m 4  x m2 3m 3 0 , m laø tham soá. 1. Xaùc ñònh m sao cho x12 x22 mx 2 1 x1. 2. Chứng minh rằng: 1 1. 6. mx22 1 x2. 121 . 9. 8. Bài 20: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2003_2004) 1 Giả sử a, b, c khác nhau đôi một và c  0 . Chứng minh rằng nếu phương trình x 2  ax bc 0   2 vaø phöông trình x 2  bx ca 0   có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương 3 trình đó thỏa mãn phương trình x 2  cx ab 0   . HD: (Sử dụng định lý Viét).  x0 2  ax0 bc 0 Goïi x0 laø nghieäm chung cuûa (1) vaø (2), ta coù  2 bx0 ca 0  x0  b  x0 c  a b  được  a . laàn. lượt. laø. caùc. x0. nghieäm.  4  5. , trừ (4) cho (5) vế theo vế ta. c  gt  , vaäy nghieäm chung cuûa (1) vaø (2) laø x0  c . Goïi x1 vaø x2. khaùc. cuûa. (1). Lop7.net. vaø. (2),. theo. ñònh. lyù. Víet. ta. coù.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  x0 x1  bc  x1  b    x0 x2 ca  x2 a. b 2  ab bc 0  2 ab ca 0 a  . b 2 bc ab 0 a 2 ca ab 0. . Hay a vaø b laø nghieäm cuûa (3). Ñaây laø. điều cần chứng minh. Bài 21: Chứng minh rằng nếu 2 phương trình x 2  p1 x q1 0 q2   p1 p2  q2 p1 q1 p2  0 chung thì  q1  2. 1. vaø x 2  p2 x q2. 0.  2. coù nghieäm. *. 1  x 2  p1 x q1 0   HD: Heä phöông trình coù nghieäm chung khi heä sau coù nghieäm  coù nghieäm. 2 2 p2 x q2 0    x  p1 x q1 0  y  Ñaët y  x 2 , ta coù heä  p2 x q2 0  y . . q2  q1  x   p1  p2  Neáu p1  p2 : Giaûi heä phöông trình naøy ta coù nghieäm  . Do y  x 2 q p  p q 1 2 y  1 2  p2  p1 2. q p p q q q Suy ra 1 2 1 2   2 1 , khai triển và biến đổi ta có (*). p1 p2 p1 p2 y q1  p x   Neáu p1  p2 ta coù heä  1 . Hệ này có nghiệm khi q1  q2 , khi đó rõ ràng (*) cũng y q2  p1 x . đúng. Vậy (*) đã được chứng minh. Baøi taäp veà ñieàu kieân coù nghieäm chung: Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung: x 2  mx 2m 1 0. 1. mx 2   2m 1 x 1 0.  2. HD: 1  x0 2  mx0 2m 1 0 Neáu x0 laø nghieäm chung thì  2 , dễ thấy x0  0 (từ (2)).  2 mx  2 m 1 x 1 0    0 0 Nhân x0 vào (1) rồi cộng với (2) vế theo vế x03  1 0 x0 1 , thay x0 vaøo (1) vaø (2) ruùt ra. m  2 .. Bài 22: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 8 -2003_2004) 3 x 2 13 x 15 0 (HD:  x  1 x 3 x 5  0 ) Giaûi phöông trình x3  Bài 23: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 9 -2003_2004) 1. Giaûi phöông trình: 2 x 2  4 x 18 7 x 2 14 x 16 6 x 2 2 x . (Xem baøi giaûi cuûa baøi 14 vaø 14’). 2. Cho phöông trình: 2 x 2   2m 1 x m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoõa maõn: 3x1 4 x2 11 . Bài 24: Chứng minh rằng nếu phương trình x 2  mx n 0  1 x 2  mx n(a a  a. 1 2 ) a. 0.  2. cuõng coù nghieäm.. HD: Với (1) có nghiệm ta có  m 2 4m 0.  3. .. Lop7.net. 1. coù nghieäm, thì phöông trình:.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1 Kết hợp với (3) khi đó (2) có  m  a a. 2. 1 4n a a. 2. 2. 1 a a. 2. m. 4m  0 . Vaäy (2) coù. 2. nghieäm. Bài 25: Chứng minh rằng các phương trình bậc hai: x 2  p1 x q1 0 vaø x 2  p2 x q2 0 coù caùc hệ số thỏa mãn điều kiện p1 p2 2  q1 q2  thì ít nhất 1 trong 2 phương trình đó có nghiệm. 2 2 HD:  p1 4q1 , 2 p2 4q2 1. 1. 2  q1 q2  Từ p1 p2 . 2 p1 p2 ,. 2. 4  q1 q2 . 2 p1 neân 1  1 2. p2. 2. p1. 2.  p1. 2 p1 p2. p2 . 2. p2. 2. 4  q1 q2 . 1. 0 . Do đó 1 trong 2 số  1;. 2. laø khoâng aâm neân ít. nhaát 1 trong 2 phöông trình treân coù nghieäm. Bài 26*: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm: ax 2  2bx c. 0. bx 2  2cx a. 0. cx 2  2ax b. 0. 1  2  (HD:  3  2. bc  2 b c  , 1  b 2 4c  2. b. c. 2. c. a. 0). 2. 1 1 1 1  .Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình sau b c 2 3 , x 2 cx b 0  . Baøi 27*: Cho a, b laø 2 soá sao cho ñaây coù nghieäm: x 2  bx c 0 HD: Từ (1) suy ra:. 1  2  a b 1 2 3  2. c. 2. 4b  b 2 c 2. 4  b c  b 2 c 2 2bc. b. c. 2. 0 . Do đó ít nhất. 1 trong 2 phöông trình treân coù nghieäm. 1 Baøi 28*: Phöông trình ax 2  bx c 0   có đúng một nghiệm dương là x1 chứng minh rằng 2 bx a 0   cũng có đúng một nghiệm dương x2 và x1 x2 2 . phöông trình cx 2  HD: (Chú ý thứ tự các hệ của 2 phương trình).. Giả sử x1  0 là nghiệm của (1), khi đó ta có ax12  bx1 c 0 , chia 2 veá cuûa phöông trình cho  1 1 ta được a  b c x1 x1 . 1 x1. Khi đó x1  2 x1.. 1 x1. 2. 1 c x1. 0. 2. x1. x2. 2. b. 1 x1. a. 1 0 , nghóa laø (2) nhaän x2  x1. 1 2 x1. 0 laøm nghieäm.. 2. 1 Bài 29: Giả sử phương trình ax 2  bx c 0   có 2 nghiệm dương x1 , x2 . Chứng minh rằng phương * 2 x2 x3 x4 4   bx a 0   cũng có 2 nghiệm dương x3 , x4 . Chứng minh x1  trình cx 2 . HD: Chia 2 vế phương trình (1) lần lượt cho x12 và x2 2 , ta có: 2   1 1 c   b x1 x1    2   1 1  b c  x2 x2  . a. 0. , nghóa laø (2) nhaän a. 0. 1 1 vaø laøm 2 nghieäm döông x3 , x4 cuûa noù. x1 x2. Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 ta có kết quả. Baøi 30: Cho phöông trình baäc hai: x 2  mx m 1 0 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1 , x2 với mọi m, tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị m tương ứng. x12 x22 6 x1 x2 2. Ñaët A  m 2 8m 8 . a/ Chứng minh A  b/ Tìm m sao cho A  8 . c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng. Baøi 31**: Giaûi caùc phöông trình sau: 1 3 x 1 2 x 2 5 x 1 9 x 2   1.  2 x 2  2 1 x 3 x 5  x 7  297    x  3. 4  x  5  x 6  x 10  x 12  3 x 2. 2.. 4. x3  2x2 2 2x 2 2 0 5 5. 2 x3  3x 2 2 0   6.. 1  x . 2  x 4 1. 1. 1. 4.  3. 0.  4.  6. . 1. 1. 2005 2006. 7. 1. 1. 9. x 4. x 6. 7.  1  1 1 ... 1 1.3 2.4 3.5    x.  x  2  8.. x 2. 8. 4. x. 2. x. 2. x. 2. x. 2 2. ... ... x 1  1 x 1 1 1 x 7 x 1 x 3 2. 9.. 1 1 1  x x  2 x 5. x  1995 1995  10. 2 x  1995 1995  2. x  x 1996 . x 1996   x. 1996 . 2. x  x. 1996 . 2. . 19 49. 10 . HD: 1) Roõ raøng x  0 khoâng thoûa (1). 2 x 2  3x 1 2 x 2 5 x 1  1 9  2x 3 x x  x t  1 trình t  t  8  9 t 2 8t 9 0 t  9 , ... . Neân 1  .. 2)  2    x 2 4 x 5 x 2 4 x 21 297. 2x. t  t 16 . 297. 1 5 x. 9 . Ñaët t  2x. t 2 16t 297. 0. 1 3 , ta coù phöông x. t  27 t  11 . x 2 4 x 5 . Giaûi tieáp .... Với t  4  3)  3   x 5 x 12  . x. 60  60  4  x 17 x 16 x  x. 6  x 10 . 3. 3x 2. 4.. 4t  t 1 3 0. Lop7.net. x 2  60 17 x x 2 60 16 x . x x  1 t  2 2 4t 4t 3 0  t  3  2. 3.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> x (với t . 60 16 ), ... x. . 2x x 2 4) Ñöa veà phöông trình tích x3 . 5) Ñaët aån phuï y  x 2 0  5. .  y 1 y. x. 23 2. 2. 0. . 2 x 2  y 1  y  2 . 2. . 2 x 2. 0,....  2 x  2   x  2. 6) Khai trieån ruùt goïn x 4  4 x3 6 x 2 4 x 1 0 , chia 2 veá cho x 2 roài ñaët t x. 1 , ta ñöa veà phöông x. trình t 2  4t 8 0 t 2 2 3 x 1 3 3 2. 2 2 3 2 1 2 ; 2.4 1 3 ; 3.5 1 4 ;...; x( x 1) 1  x 1 7) Vì: 1.3  1  1  1.3 . 1. 1 2.4. x 1 x2. Neân  7  . 1.  1 1 ...  1  3.5  x.  x 2 . 2005 2006. x. 2.. x 1 x 2. 2004. x  x 1 1 2 1  1 x 1 x 4. 8) Ñieàu kieän x  1 . Ta coù Neân  8   x 1 1 4. x 1 x. x 1 1. VT. x 1 1. R \ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 9) Taäp xaùc ñònh: D . Nhóm hợp lý các phân thức ta được: 1 1 1   2 x 7   10 y 6 y y   1 1 1 1  y y  6 y 10 y 12 . 2 x  7 2x 7 2 2 x  7 x x 7 x 10. 1 y 12 0. 2x 7 x 7x 6 2. 2x 7 x 7 x 12 2. 7 0 0 , với y x 2 7 x , phương trình 2 x . 6 y. 2. 6x. y. 2 22 y 120. 2. 0. x. 7 , 2. y 2 18 y 90 0 , phöông trình voâ. nghieäm. 10) Đặt x 1995 y , được. y 2  y  y 1.  y 1. 2. y  y  y 1.  y 1. 2. 2. 19  4 y 2 4 y 15 0 49. 5  y  2 .   y  3  2. 3994  x   2 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình (10) laø  3996 x   2. Bài 32: Định m để phương trình:  m  2  x 2 2  m 1 x m 3 0  m 2  coù nghieäm x1 , x2 vaø thieát lập hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m. Baøi 33: Cho phöông trình x 2  2  m 1 x m 2 3m 4 0 1. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thõa mãn hệ thức. 1 1  x1 x2. 1.. 2. Tìm hệt thức liên hệ giữa x1 , x2 mà không phụ thuộc vào m. Baøi 34: Cho phöông trình: x 2  mx m 2 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x12  x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Baøi 35: Cho phöông trình x 2  2 x 3 1 0 coù caùc nghieäm x1 , x2 . Khoâng giaûi phöông trình tính giaù 7 3 x12 5 x1 x2 3 x22 trị của biểu thức: A  . (ÑS ) 3 3 8 4 x1 x2  4 x1 x2. Bài 36**: Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2 bx c. 1. a. bf  x  c 0 Chứng minh rằng phương trình af 2  x  . *. voâ nghieäm.. 0  . Bieát raèng f  x   x.  2. voâ nghieäm.. x R, f  x  x hoặc  x R, f  x  x HD: Vì (2) voâ nghieäm neân  x R, f  x  x x R, f  f  x * Neáu  .  x R, af 2  x  bf  x  c. f  x. x. x. R, f f  x . x. x , hay (*) voâ nghieäm.. * Tương tự với trường hợp còn lại ta cũng có (*) vô nghiệm. Vaäy (*) voâ nghieäm. Baøi 37*: 1 1. Chứng minh rằng nếu phương trình x 4  x 2 0   , coù nghieäm döông laø x0 thì x0  7 8 . 2. Chứng minh rằng nếu phương trình x3  3x 3 0.  2. , coù nghieäm döông laø x0 thì x05  36 .. 2 3. Chứng minh nếu phương trình x 2  ax b 0 có nghiệm x0 . Chứng minh x0  1 a 2 b2. HD: 1. Ta coù x0 4  x0 2 2 2.x0. x0. 8. 8 x0. 7. x0. *. 8 (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng. trong bất đẳng thức không xảy ra vì x0  2 , không thỏa (1). 2. Ta coù x03  3 x0 3 2 9.x0. x0. 6. 36 x0. x0. 36 (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng. 5. trong bất đẳng thức không xảy ra vì x0  3 , không thỏa (2). 3. Ta coù. a. 2. x0  ax0 b 0 x0. Bunhiacoápxki ta coù: 2. . .  b 2  x0 1  ax0 b  2. 4. x0  1  a 2 b2 2 x0  1. x0. 2. 1. 2. x0 x0. 2. 4. 2. ax b. a. 2. x0. . b 2  x0.  ax0. 4. 2. . 1. b.  ax0. . Aùp dụng bất đẳng thức. 2. b. 2. 1 a 2 b2 1 a 2 b 2 . Vaäy x0  2. --------------. Lop7.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>