Định lý rolle và một số áp dụng

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❉×❒◆● ❑■➋❯

✣➚◆❍ ▲Þ ❘❖▲▲❊
❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ⑩P ❉Ư◆●
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❉×❒◆●

ị
P ệ
Pì PP ❚❖⑩◆ ❙❒ ❈❻P
▼❶ ❙➮✿ ✻✵✳✹✻✳✹✵

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ữợ ồ

S hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên






ử ử

ỵ ởt số rở

ỵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
ỵ r ỵ
ỵ tr ❦❤♦↔♥❣ ✈æ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷ ❑❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❝❤➜t ỡ ừ số

ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷ ỗ ó ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ỗ ó
ở ✤➲✉ ✈➔ s➢♣ t❤ù tü ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝

✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✸ ▼ët sè ự ử ỵ tr số











ự sỹ tỗ t số ừ ữỡ
tr ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✷ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✸ ❙ü ♣❤➙♥ ❜è ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✹ ▼ët ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❚❛②❧♦r✲●♦♥t❝❤❛r♦✈✳

✸✳✺ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹ ❇➔✐ t➟♣ ❜ê s✉♥❣
❑➳t ❧✉➟♥
❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



✶
✹

✹
✼
✶✵

✶✶
✶✶
✶✸
✶✸
✶✽

✷✸
✷✸
✸✺
✹✷
✹✽
✺✵

✻✶
✻✺
✻✼
✻✽





ỵ ởt số rở ừ ỵ ỵ r
ỵ ỵ tr ởt ổ
ỵ q✉❛♥ trå♥❣ ✈➲ ❣✐→ trà tr✉♥❣ ❜➻♥❤ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t ờ
ử ừ ỵ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❚r✉♥❣ ❤å❝
♣❤ê t❤ỉ♥❣ r➜t ✤❛ ❞↕♥❣ ✈➔ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ✈➲ ❣✐↔✐
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ♠ët ❦❤♦↔♥❣✱
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ①➨t ❝ü❝ trà ❝õ❛ ❤➔♠ sè✳✳✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr♦♥❣
❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ t❤➻ ❝→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣
♥➔② ừ ỵ ữ ữủ tr ởt tố ừ
ợ s t ỵ t÷ð♥❣ ✤â✱ ♠ư❝ t✐➯✉ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥
♥➔② ❧➔ ♥❤➡♠ ❝✉♥❣ ❝➜♣ t❤➯♠ ❝❤♦ ❝→❝ ❡♠ ❤å❝ s✐♥❤✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝→❝ ❡♠ ❤å❝
s✐♥❤ ❦❤→✱ ❣✐ä✐✱ ❝â ♥➠♥❣ ❦❤✐➳✉ ✈➔ ②➯✉ t❤➼❝❤ ♠æ♥ t♦→♥ ♠ët t➔✐ ❧✐➺✉✱ ♥❣♦➔✐
♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝á♥ ❝â t❤➯♠ ♠ët ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t➟♣ ♥➙♥❣ ❝❛♦✱
q✉❛ ✤â s➩ t❤➜② rã ❤ì♥ ❝→❝ t ự ử rt ú ừ
ỵ ỵ r ởt số ỵ rở t
ụ ữợ ử ỵ t
t tỏ ♥❤ú♥❣ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❤❛②✱ ✤ë❝ ✤→♦ ✤➦❝ t❤ị ❝❤♦ tø♥❣ t ử
t tứ õ t ỵ tự s t↕♦ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♠ỵ✐✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ✤➙②
❝ơ♥❣ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♠➔ ❜↔♥ t❤➙♥ t→❝ ❣✐↔ s➩ t✐➳♣ tö❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ tr♦♥❣
q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❣✐↔♥❣ ❞↕② t♦→♥ t✐➳♣ t❤❡♦ ð tr÷í♥❣ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥❣♦➔✐ ♠ư❝ ❧ư❝✱ ớ õ t t t

ỗ ố ữỡ
ữỡ ỵ ởt số rë♥❣✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✷
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ♥❤➡♠ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❝ì t
ỵ tr tr ũ ởt số q q trồ ỵ
tt ❝ì sð ✤➸ ✈➟♥ ❞ư♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ù♥❣ ❞ư♥❣ ð ♥❤ú♥❣ ❝❤÷ì♥❣
s❛✉✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❑❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè✳
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ù♥❣ ử trỹ t ừ ỵ
ỵ r tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❦❤↔♦ s→t ❤❛✐ t➼♥❤ ❝❤➜t r➜t ❝ì ❜↔♥ ✈➔ q✉❛♥
trå♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ sè tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❚❍P❚✱ õ t ỗ
t t ỗ ❧ã♠ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❦❤↔ ✈✐ ❜➟❝ ❤❛✐✳
❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët số ự ử ỵ tr số
♥ë✐ ❞✉♥❣ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ♥➯✉ ự ử
ừ ỵ ỵ rë♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤✱ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✱
sü ♣❤➙♥ ❜è ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠✳ ❈→❝ ❜➔✐ t➟♣ ♠✐♥❤ ❤å❛ ✤÷đ❝
❧ü❛ ❝❤å♥ tø ✤➲ t❤✐ ❝õ❛ ❝→❝ ❦➻ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ◗✉è❝ ❣✐❛✱ ❝→❝ ❦➻ t❤✐
❖❧②♠♣✐❝ ❦❤✉ ✈ü❝ ✈➔ ◗✉è❝ t➳✱ ♠ët sè ❜➔✐ t➟♣ ❞♦ t→❝ ❣✐↔ tü s→♥❣ t→❝✳ ✣è✐
✈ỵ✐ ♠é✐ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t➟♣ ✤➲✉ ♥➯✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❝ư t❤➸✱ ❝â ✤÷❛ r❛ ♥❤ú♥❣
❜➔✐ t♦→♥ ✈ỵ✐ ❧í✐ ❣✐↔✐ ✤ë❝ ✤→♦ ✤➛② t➼♥❤ s→♥❣ t↕♦ ✈➔ ❜➜t ♥❣í✳
❈❤÷ì♥❣ ✹✳ ❇➔✐ t➟♣ ❜ê s✉♥❣✳
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ợ t ởt số t t ữủ s➢♣ ①➳♣ ✈➔
❧ü❛ ❝❤å♥ ❦ÿ ❧÷ï♥❣✳ ▼é✐ ❜➔✐ ✤➲✉ ❝â ữợ ử

ỳ tự t ữủ tứ ữỡ trữợ ❧➟♣
❧✉➟♥ ✈➔ ❦ÿ ♥➠♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ❝ư t❤➸✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ t ữợ sỹ ữợ ồ ừ ❣✐→♦
♥❤➙♥ ❞➙♥✱ ●❙✲❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉✱ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ✤÷đ❝ tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥
❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ●❙ ✲ ◆❣÷í✐ ❚❤➛② r➜t ♥❣❤✐➯♠ ❦❤➢❝ ✈➔ t➟♥ t➙♠
tr♦♥❣ ❝ỉ♥❣ tr tử tự qỵ ụ ♥❤÷ ❦✐♥❤
♥❣❤✐➺♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ t➔✐✳
❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✤➳♥ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉✱
P❤á♥❣ ✤➔♦ t↕♦ s❛✉ ✣↕✐ ❤å❝✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❚✐♥ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên





ồ ồ ũ qỵ t ổ t
ữợ ồ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❈❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✷✳
❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❯❇◆❉ ❚➾♥❤✱ ❙ð ●✐→♦ ❞ư❝ ✈➔ ✣➔♦
t↕♦ ❚➾♥❤ ❈❛♦ ❇➡♥❣✱ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉ ✈➔ t➟♣ t❤➸ ❝→♥ ❜ë ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ❚r÷í♥❣
❚❍P❚ ❉➙♥ të❝ ◆ë✐ tró ❚➾♥❤ ❈❛♦ ❇➡♥❣ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ ❝â
❝ì ❤ë✐ ✤÷đ❝ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
❚→❝ ❣✐↔ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❝↔♠ ì♥ sü q✉❛♥ t➙♠✱ ❣✐ó♣ ✤ï ♥❤✐➺t t➻♥❤ ❝õ❛
❝→❝ ❜↕♥ ❤å❝ ✈✐➯♥ ❈❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✶✱ ❑✷✱ ❑✸ tr÷í♥❣ ✣❍❑❍ ✲ ✣❍❚◆ ✤è✐
✈ỵ✐ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳
✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ t➟♣ tr✉♥❣ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠ët ❝→❝❤ ♥❣❤✐➯♠ tó❝ tr♦♥❣ s✉èt ❦❤â❛ ❤å❝✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ r➜t
❝➞♥ t❤➟♥ tr♦♥❣ ❦❤➙✉ ❝❤➳ ❜↔♥ ▲❛❚❡①✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❞♦ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ✈➲ t❤í✐
❣✐❛♥✱ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ✈➔ ❤♦➔♥ ❝↔♥❤ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ♥➯♥ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥
❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✱ t→❝ ❣✐↔ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ữủ sỹ

ừ qỵ t ổ ỳ õ þ ❝õ❛ ❜↕♥ ✤å❝ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥
t❤✐➺♥ ❤ì♥✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✵✾ ♥➠♠ ✷✵✶✵✳
◆❣÷í✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥
◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❉÷ì♥❣ ❑✐➲✉

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên






ữỡ
ỵ ởt số rở
r ữỡ ú tổ ợ t ở ỵ ởt
số rở ừ ỵ ▼ët sè ❤➺ q✉↔
q✉❛♥ trå♥❣ ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ð ✤➙② ✤➸ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ✈➟♥ ❞ư♥❣
❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣ t✐➳♣ t❤❡♦✳

✶✳✶ ✣à♥❤ ỵ
ỡ s ừ ỵ ỹ ỵ ỡ t ừ r
strss ố ợ ❧✐➯♥ tö❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ ❦❤✐ f ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥
[a, b] t❤➻ ♥â ♣❤↔✐ ✤↕t ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t tr ọ t tr õ
ỵ ❋❡r♠❛t ✈➲ ✤✐➸♠ ❝ü❝ trà ❝õ❛ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉
❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ g(x) tr♦♥❣ (a, b) ✤↕t ❝ü❝ trà ✭❝ü❝ ✤↕✐ ❤♦➦❝ ❝ü❝ t✐➸✉✮ t↕✐ ♠ët
✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ✤â t❤➻ ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ ✤✐➸♠ ✤â ❜➡♥❣ ✵✳

✣à♥❤ ỵ ỵ sỷ f ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b]

✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ ♠å✐ x ∈ (a; b)✳ ◆➳✉ f (a) = f (b) t tỗ t t t
ởt c (a; b) s❛♦ ❝❤♦ f (c) = 0✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❱➻ f ❧✐➯♥ tử tr [a; b] t ỵ rstrss
f ♣❤↔✐ ✤↕t ❣✐→ trà ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ ❣✐→ trà ❝ü❝ t✐➸✉ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b]✱ tù❝ ❧➔

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên





tỗ t x1 , x2 (a; b) s❛♦ ❝❤♦
f (x1 ) = min f (x) = m, f (x2 ) = max f (x) = M.
[a;b]

[a;b]

❈â ❤❛✐ ❦❤↔ ♥➠♥❣✿
a) m = M. ❑❤✐ ➜② f (x) = const tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b]✱ ❞♦ ✤â f (x) = 0 ✈ỵ✐
♠å✐ x ∈ (a; b) ✈➔ c ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦➻ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✤â✳
b) m < M ✳ ❑❤✐ ✤â ✈➻ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ f (a) = f (b) ♥➯♥ ➼t ♥❤➜t ♠ët tr♦♥❣
❤❛✐ ✤✐➸♠ x1 , x2 s➩ ❦❤æ♥❣ trị♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤➛✉ ♠ót ❝õ❛ ✤♦↕♥ [a; b]✳ ●✐↔ sỷ
x1 (a; b) t ỵ rt t 0 t
ỵ ữủ ự

t

ỵ õ s ❦❤ỉ♥❣ ❝á♥ ✤ó♥❣ ♥➳✉ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣
(a; b) ❝â ✤✐➸♠ c t õ f (c) ổ tỗ t ①➨t ❤➔♠
√
3
f (x) = 2 − x2 , x ∈ [−1; 1]✳ ❉➵ t❤➜② f (x) t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ f (x)
2
✱
❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ (−1; 1) ✈➔ f (−1) = f (1)✳ ❚❛ ①➨t ✤↕♦ ❤➔♠ f (x) = − √
33x
rã r➔♥❣ t↕✐ x0 = 0 ∈ (−1; 1) ổ tỗ t số ổ
t ừ ừ ỵ
❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b] ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ f (x) ❝ơ♥❣ ❦❤ỉ♥❣
t❤➸ t❤❛② ❜ð✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ f (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ①➨t
❤➔♠

1, ♥➳✉ x = 0,
f (x) =
x, ♥➳✉ 0 < x ≤ 1.
Ð ✤➙② x = 0 ❧➔ ✤✐➸♠ ❣✐→♥ ✤♦↕♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ ró r ổ tỗ t x0 (0, 1)
f (x0 ) = 0.
✸✮ Þ ♥❣❤➽❛ ❤➻♥❤ ❤å❝✿ ◆➳✉ ❝→❝ ừ ỵ ữủ t
t tr ỗ t ừ số y = f (x), x [a; b] tỗ t
M (c; f (c)), c ∈ (a; b) ♠➔ t✐➳♣ t✉②➳♥ t↕✐ ✤â s♦♥❣ s♦♥❣ ✈ỵ✐ trư❝ ❤♦➔♥❤ Ox✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳ ◆➳✉ ❤➔♠ sè f (x) ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) ✈➔ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ f (x) = 0 ❝â n ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤✉ë❝ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) t❤➻ ♣❤÷ì♥❣
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

✻
tr➻♥❤ f (x) = 0 ❝â ➼t ♥❤➜t n − 1 ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤✉ë❝ ❦❤♦↔♥❣ (a; b).
✭P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (k) (x) = 0 ❝â ➼t ♥❤➜t n − k ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤✉ë❝
❦❤♦↔♥❣ (a; b)✱ ✈ỵ✐ k = 1, 2, . . . , n✮✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐↔ sû ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = 0 ❝â n ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t
t❤✉ë❝ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) ✤➣ ✤÷đ❝ s➢♣ t❤ù tü x1 < x2 < · · · < xn ✳ ❑❤✐ ✤â
→♣ ❞ö♥❣ ỵ n 1 [x1 ; x2 ], [x2 ; x3 ], . . . , [xn−1 ; xn ] t❤➻
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = 0 ❝â ➼t ♥❤➜t n − 1 ♥❣❤✐➺♠ t❤✉ë❝ n − 1 ❦❤♦↔♥❣
(x1 ; x2 ), (x2 ; x3 ), . . . , (xn−1 ; xn )✳ ●å✐ n − 1 ♥❣❤✐➺♠ ✤â ❧➔ ξ1 , ξ2 , . . . , ξn−1
t❤➻ t❛ ❝â
f (ξ1 ) = f (ξ2 ) = · · · = f (ξn−1 ) = 0.
tử ử ỵ n 2 ❦❤♦↔♥❣ (ξ1 ; ξ2 ), . . . , (ξn−2 ; ξn−1 )
t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = 0 ❝â ➼t ♥❤➜t n − 2 ♥❣❤✐➺♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b).
tử ỵ tr s k ữợ ữỡ tr f (k) (x) = 0 ❝â ➼t ♥❤➜t
n − k ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b).

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳ ●✐↔ sû ❤➔♠ sè f (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b] ✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠
tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = 0 ❝â ❦❤ỉ♥❣ q✉→
n − 1 ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = 0 ❝â
❦❤ỉ♥❣ q✉→ n ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✤â✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐↔ sû ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = 0 ❝â ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ n ♥❣❤✐➺♠
♣❤➙♥ ❜✐➺t tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ❧➔ n + 1 ♥❣❤✐➺♠✱ t❤➳ t❤➻ t❤❡♦ ❤➺

q✉↔ 1.1 ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = 0 ❝â ➼t ♥❤➜t n ♥❣❤✐➺♠ t❤✉ë❝ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✳
✣✐➲✉ tr ợ tt ữỡ tr f (x) = 0 ❝â ❦❤æ♥❣ q✉→ n
♥❣❤✐➺♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✳
❚✐➳♣ t t t ởt rở ừ ỵ

q số f (x) t ỗ t❤í✐ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉
✤➙②✿

✐✮ f (x) ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ n (n ≥ 1) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥
[a; b].

✐✐✮ f (x) ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ n + 1 tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (a; b).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✼
✐✐✐✮ f (a) = f (a) = · · · = f (n) (a) = 0, f (b) = 0.
❑❤✐ õ tỗ t b1 , b2 , . . . , bn+1 ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤✉ë❝ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)s❛♦
❝❤♦
f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, . . . , n + 1.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚ø ❣✐↔ t❤✐➳t f (a) = f (b) = 0, t ỵ tỗ
t b1 (a; b) s f (b1 ) = 0, ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ f (a) = 0, s
r tỗ t b2 (a; b1 ) (a; b) s❛♦ ❝❤♦ f (b2 ) = 0. ▲↕✐ ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ f (a) = 0 ✈➔ t✐➳♣ tử ử ỵ t õ f (b3 ) = 0 ✈ỵ✐
b3 ∈ (a; b2 ) ⊂ (a; b).

tử ữ ữợ tự n tỗ t bn ∈ (a; bn−1 ) ⊂ (a; b)
s❛♦ ❝❤♦ f (n) (bn ) = 0, ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ f (n) (a) = 0, s r tỗ t
bn+1 (a; bn ) ⊂ (a; b) s❛♦ ❝❤♦ f (n+1) (bn+1 ) = 0.
ữ tỗ t ❜✐➺t b1 , b2 , . . . , bn+1 tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)
s❛♦ ❝❤♦
f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, . . . , n + 1.
ớ ỳ q ỵ trð t❤➔♥❤ ♠ët ❝ỉ♥❣
❝ư r➜t ♠↕♥❤ ✤➸ ❣✐↔✐ t♦→♥✱ ✤➦❝ t ố ợ t ữỡ
tr ❦✐➸♠ ❝❤ù♥❣ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ ♥➔♦
✤â✳ ❈→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ♥➔② s➩ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❝❤✐ tt tr ữỡ s

ỵ r ỵ
t t t ởt số ỵ q t tt ợ ỵ

ỵ ỵ r sỷ f tử tr ✤♦↕♥
✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (a; b). õ tỗ t t
t ởt c (a; b) s❛♦ ❝❤♦

[a; b]

f (b) − f (a) = f (c)(b − a).

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✭✶✳✶✮

❚❛ ①➨t ❤➔♠ ♣❤ö
✭✶✳✷✮

F (x) = f (x) − λx,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✽
tr♦♥❣ ✤â sè λ ✤÷đ❝ ❝❤å♥ s❛♦ ❝❤♦ F (a) = F (b)✱ tù❝ ❧➔ s❛♦ ❝❤♦
f (a) − λa = f (b) − λb.

✣➸ ❝â ✤✐➲✉ ✤â ❝❤➾ ❝➛♥ ❧➜②
λ=

f (b) − f (a)
.
b−a

✭✶✳✸✮

❘ã r➔♥❣ ❤➔♠ F (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b], ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣
(a; b) ✈➔ F (a) = F (b), ❞♦ ✤â t❤❡♦ ỵ tỗ t c (a; b) s ❝❤♦
F (c) = 0. ❚ø ✭✶✳✷✮ t❛ ❝â F (x) = f (x) − λ✱ ❞♦ ✤â
F (c) = 0 ⇔ f (c) − λ = 0 ⇔ f (c) = λ.

❚❤❛② ❣✐→ trà λ tø ✭✶✳✸✮ ✈➔♦ t❛ ❝â f (c) =

f (b) − f (a)
, ❤❛②
b−a

f (b) − f (a) = f (c)(b − a).

❈ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✶✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ sè ❣✐❛ ❤ú✉ ❤↕♥ ▲❛❣r❛♥❣❡✳

◆❤➟♥ ①➨t

t ữủ ỵ r ữ ởt q ừ ỵ
ữ ỵ ừ tự ởt
trữớ ủ r ừ ỵ r ự ợ tt f (a) = f (b)✮✳
✷✮ Þ ♥❣❤➽❛ ❤➻♥❤ ❤å❝✿ ◆➳✉ ❤➔♠ f (x) t❤♦↔ ♠➣♥ ✤➛② ✤õ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
❝õ❛ ỵ r t tr ỗ t ừ số y = f (x) tỗ t
t t ởt M (c; f (c)) s t t ợ ỗ t❤à t↕✐ ✤✐➸♠ ✤â
s♦♥❣ s♦♥❣ ✈ỵ✐ ❞➙② ❝✉♥❣ AB ✱ ð ✤â A(a; f (a)) ✈➔ B(b; f (b))✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✹✳ ●✐↔ sû f : [a; b] −→ R ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔ f (x) = 0✱ ✈ỵ✐
♠å✐ x ∈ (a; b)✳ ❑❤✐ ✤â f = const tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b].

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû x0 ∈ (a; b) ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❝è ✤à♥❤ ♥➔♦ ✤â✱
❝á♥ x ❧➔ ✤✐➸♠ tý ỵ ừ (a; b) t [x0 ; x] ❤♦➦❝ [x; x0 ] ♥➡♠ trå♥
tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✱ ✈➻ t❤➳ f ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ✭✈➔ ❞♦ ✤â ♥â ❧✐➯♥ tử ỡ
tr ử ỵ ▲❛❣r❛♥❣❡ t❛ ❝â
f (x) − f (xo ) = f (c)(x − x0 ), ∀c ∈ (xo ; x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

ữ t tt f (x) = 0 ợ ồ x ∈ (a; b) ♥➯♥ f (c) = 0 ✈ỵ✐ ♠å✐
c ∈ (x0 ; x)✳ ❱➻ t❤➳ t❛ ❝â f (x) = f (x0 )✱ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣
❣✐→ trà ❝õ❛ ❤➔♠ f (x) t↕✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý x ∈ (a; b) ❧✉æ♥ ❧✉æ♥ ❜➡♥❣ ❣✐→ trà
❝õ❛ ❤➔♠ t↕✐ ♠ët ✤✐➸♠ ❝è ✤à♥❤✳ ❉♦ ✈➟②✱ f = const tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b].

❍➺ q✉↔ ✶✳✺✳ ◆➳✉ ❤❛✐ ❤➔♠ f (x) g(x) õ ỗ t
tr ♠ët ❦❤♦↔♥❣ t❤➻ ❝❤ó♥❣ ❝❤➾ s❛✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❜ð✐ ❤➡♥❣ sè ❝ë♥❣✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤➟t ✈➟②✱ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t t❛ ❝â
[f (x) − g(x)] = f (x) − g (x) = 0.

❚❤❡♦ ❤➺ q✉↔ ✶✳✹ t❤➻ f (x) − g(x) = C (C = const) ❤❛② f (x) = g(x) + C

ỵ ỵ sỷ ❤➔♠ f, g ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥

✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (a; b), ♥❣♦➔✐ r❛ g (x) = 0
✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ (a; b). ❑❤✐ ✤â tỗ t t t ởt c (a; b) s❛♦ ❝❤♦

[a; b]

f (b) − f (a) f (c)
=
.
g(b) − g(a)
g (c)

ự

rữợ ự ỵ t ①➨t r➡♥❣ ❝æ♥❣
t❤ù❝ ✭✶✳✹✮ ❧✉æ♥ ❝â ♥❣❤➽❛✱ tù❝ ❧➔ g(b) = g(a)✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ♥➳✉ g(b) = g(a)
t❤➻ ❤➔♠ sè g(x) t ừ ỵ õ
tỗ t c (a; b) s g (c) = 0 ữ tr ợ t❤✐➳t
g (x) = 0, ∀x ∈ (a; b). ❇➙② ❣✐í t❛ ①➨t ❤➔♠ ♣❤ö
F (x) = f (x) − λg(x),

✭✶✳✺✮

tr♦♥❣ ✤â sè λ ✤÷đ❝ ❝❤å♥ s❛♦ ❝❤♦ F (a) = F (b)✱ tù❝ ❧➔
f (a) − λg(a) = f (b) − λg(b).

✣➸ ❝â ✤✐➲✉ ✤â t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❧➜②
λ=

f (b) − f (a)
.
g(b) − g(a)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

✭✶✳✻✮




✶✵
❍➔♠ F (x) t❤♦↔ ♠➣♥ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ✤à♥❤ ỵ õ c (a; b)

s F (c) = 0. ▼➦t ❦❤→❝ tø ✭✶✳✺✮ t❛ ❝â F (x) = f (x) − λg (x) ♥➯♥
F (c) = 0 ⇔ f (c) − λg (c) = 0 ⇔ λ =

f (c)
.
g (c)

✭✶✳✼✮

❚ø ✭✶✳✻✮✈➔ ✭✶✳✼✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝
f (b) − f (a) f (c)
=
.
g(b) − g(a)
g (c)

❈æ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✹✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ sè ❣✐❛ ❤ú✉ ❤↕♥ ❈❛✉❝❤②✳

◆❤➟♥ t ỵ r trữớ ủ r ừ ỵ
ợ tt g(x) = x.

ỵ ❘♦❧❧❡ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✈ỉ ❤↕♥
❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ t❛ ①➨t ♠ð rở ừ ỵ r ổ
ỡ s ừ rở ỹ ỵ ❇♦❧③❛♥♦✲❈❛✉❝❤② ❦❤➥♥❣
✤à♥❤ r➡♥❣ ♠✐➲♥ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a, b] ❧➜♣ ✤➛② ❝→❝ ❣✐→
trà tr♦♥❣ ✤♦↕♥ min f (x), max f (x) .
[a,b]

[a,b]

ỵ sû ❤➔♠ sè f (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ [a; +∞)✱ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠

tr♦♥❣ (a; +∞) ✈➔x→+∞
lim f (x) = f (a). õ tỗ t c (a; +) s ❝❤♦
f (c) = 0✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

◆➳✉ f (x) = f (a) ✈ỵ✐ ♠å✐ x > a t❤➻ ❧➜② c ❧➔ ♠ët số t

ý ợ ỡ a
sỷ tỗ t b > a s❛♦ ❝❤♦ f (b) = f (a)✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ f (b) > f (a)✳ ●å✐
µ ❧➔ ♠ët sè t❤ü❝ t ý tở (f (a); f (b)), t ỵ
tỗ t (a; b) s f () = µ✳ ❱➻ lim f (x) = f (a) < à tỗ
x+

t d > b s f (d) < µ. ❉♦ f (x) ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ [a; +∞) t
ỵ tỗ t (b; d) s❛♦ ❝❤♦ f (β) = µ = f (α), ❞♦ õ
t ỵ tỗ t c (; ) s❛♦ ❝❤♦ f (c) = 0.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✶✶

❈❤÷ì♥❣ ✷
❑❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❤➔♠
sè

❚➼♥❤ ❝❤➜t ỗ t ỗ ó ừ sè ❧➔ ♥❤ú♥❣
✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ P ỵ r õ
ởt trỏ q trồ tr ự ỵ t t ỡ
tr ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝ơ♥❣ ✤➲
❝➟♣ ✤➳♥ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤ë ❣➛♥ ✤➲✉ ✈➔ s➢♣ t❤ù tü ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝✱ ♠➔ ❞ü❛ ✈➔♦
❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♥â t❛ ❝â ✤÷đ❝ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ r➜t t❤ó ✈à ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠ët sè ❜➔✐
t♦→♥ ✈➲ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ t❛♠

ỗ
ứ s❛✉✱ t❛ sû ❞ö♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ I(a; b) ⊂ R ❧➔ ♥❤➡♠ ♥❣➛♠ ✤à♥❤
♠ët tr♦♥❣ ❜è♥ t➟♣ ❤ñ♣ (a; b), [a; b), (a; b] ✈➔ [a; b] ✈ỵ✐ a < b.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ●✐↔ sû ❤➔♠ sè f (x) ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ I(a; b) ⊂ R ✈➔

t❤♦↔ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
❱ỵ✐ ♠å✐ x1, x2 ∈ I(a; b) ✈➔ x1 < x2✱ t❛ ✤➲✉ ❝â f (x1) ≤ f (x2) t❤➻ t❛
♥â✐ r➡♥❣ f (x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ tr➯♥ I(a; b).
✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❦❤✐ ù♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❝➦♣ x1, x2 ∈ I(a; b) ✈➔ x1 < x2✱ t❛ ✤➲✉ ❝â
f (x1 ) < f (x2 ) t❤➻ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ f (x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ t❤ü❝ sü
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên






tr I(a; b).
ữủ ợ ồ x1, x2 I(a; b) ✈➔ x1 < x2✱ t❛ ✤➲✉ ❝â f (x1) ≥
f (x2 ) t❤➻ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ f (x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ tr➯♥ I(a; b).
✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❦❤✐ ù♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❝➦♣ x1, x2 ∈ I(a; b) ✈➔ x1 < x2✱ t❛ ✤➲✉ ❝â

f (x1 ) > f (x2 ) t❤➻ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ f (x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ t❤ü❝ sü
tr➯♥ I(a; b).
◆❤ú♥❣ ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ t❤ü❝ sü tr➯♥ I(a, b) ✤÷đ❝ ❣å✐ ỗ
tr I(a; b) ỡ ❣✐↔♠ t❤ü❝ sü tr➯♥ I(a; b) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔
❤➔♠ ♥❣❤à❝❤ ❜✐➳♥ tr➯♥ I(a; b).
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤➣ ❜✐➳t ✤➳♥ ❝→❝ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ✤➸
♥❤➟♥ ❜✐➳t ✤÷đ❝ ❦❤✐ t ởt số trữợ tr ❦❤♦↔♥❣
(a; b) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✤â✳ ú t s ũ
ỵ r ự ỵ ừ ừ t ỡ
ừ số ởt ỵ rt q trồ tr ữỡ tr
t ợ P

ỵ ❈❤♦ ❤➔♠ sè y = f (x) ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b).

✐✮ ◆➳✉ f (x) > 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ (a; b) t❤➻ ❤➔♠ sè y = f (x) ỗ
tr õ
f (x) < 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ (a; b) t❤➻ ❤➔♠ sè y = f (x) ♥❣❤à❝❤
❜✐➳♥ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✤â✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

▲➜② ❤❛✐ ✤✐➸♠ x1 , x2 (x1 < x2 ) tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✳ ❱➻
f (x) ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) ♥➯♥ f (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ [x1 ; x2 ] ✈➔ ❝â
✤↕♦ ❤➔♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (x1 ; x2 ).
⑩♣ ử ỵ r số y = f (x) tr➯♥ [x1 ; x2 ]✱ ❦❤✐ ✤â
∃c ∈ (x1 ; x2 ) s❛♦ ❝❤♦
f (x2 ) − f (x1 ) = f (c)(x2 − x1 ).
i) ◆➳✉ f (x) > 0 tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) t❤➻ f (c) > 0✱ ♠➦t ❦❤→❝ x2 −x1 > 0
♥➯♥ f (x2 ) − f (x1 ) > 0 ❤❛② f (x2 ) > f (x1 ), s r f (x) ỗ ❜✐➳♥
tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✶✸
ii) ◆➳✉ f (x) < 0 tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) t❤➻ f (c) < 0✱ ♠➦t ❦❤→❝ x2 −x1 > 0
♥➯♥ f (x2 ) − f (x1 ) < 0 ❤❛② f (x2 ) < f (x1 ), s✉② r❛ f (x)
tr (a; b)

ỵ rở ừ ỵ sỷ số y = f (x) ❝â ✤↕♦
❤➔♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✳ ◆➳✉ f (x) ≥ 0 ✭❤♦➦❝ f (x) ≤ 0✮ ✈➔ ✤➥♥❣ t❤ù❝
❝❤➾ ①↔② r❛ t↕✐ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ tr (a; b) t f (x) ỗ
♥❣❤à❝❤ ❜✐➳♥ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✤â✮✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✤➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝→❝❤ ❧➟♣ ❧✉➟♥✱ ❣✐↔ sû r➡♥❣ f (x) ≥ 0

tr➯♥ (a; b) ✈➔ f (x) = 0 t↕✐ x1 (a, b) t õ f (x) ỗ tr♦♥❣
tø♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (a, x1 ) ✈➔ (x1 , b) ✈➔ ❧✐➯♥ tö❝ tr♦♥❣ (a, x1 ] ✈➔ [x1 , b) õ
ụ ỗ tr (a, x1 ] [x1 , b). ứ õ s r õ ỗ tr
(a, b).

ỗ ó
t ừ ỗ ó


số f (x) ữủ ồ ỗ tr t I(a; b) ⊂ R ♥➳✉ ✈ỵ✐
♠å✐ x1, x2 ∈ I(a; b) ợ ồ số ữỡ , õ tê♥❣ α + β = 1✱ t❛
✤➲✉ ❝â
f (αx1 + βx2 ) ≤ αf (x1 ) + βf (x2 ).

✭✷✳✶✮

◆➳✉ ❞➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✭✷✳✶✮ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x1 = x2 t❤➻ t❛ ♥â✐
f (x) ❧➔ ❤➔♠ ỗ tỹ sỹ t tr I(a; b).
số f (x) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ❧ã♠ tr➯♥ t➟♣ I(a; b) ⊂ R ♥➳✉ ✈ỵ✐
♠å✐ x1, x2 ∈ I(a; b) ✈➔ ợ ồ số ữỡ , õ tờ + β = 1✱ t❛
✤➲✉ ❝â
f (αx1 + βx2 ) ≥ αf (x1 ) + βf (x2 ).

✭✷✳✷✮

◆➳✉ ❞➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✭✷✳✷✮ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x1 = x2 t❤➻ t❛ ♥â✐
f (x) ❧➔ ❤➔♠ ❧ã♠ t❤ü❝ sü ✭❝❤➦t✮ tr➯♥ I(a; b).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✶✹

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳ ❑❤✐ x1 < x2 t❤➻ x = x1 + x2 ợ ồ số ữỡ

, õ tê♥❣ α + β = 1 ✤➲✉ t❤✉ë❝ (x1 ; x2 ) ✈➔
α=

x2 − x
x − x1
; β=
.

x2 − x1
x2 x1

ỵ f (x) số ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ I(a; b) t❤➻ f (x) ❧➔ ❤➔♠ ỗ
tr I(a; b) f (x) ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ tr➯♥ I(a; b)✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐↔ sû f (x) ỗ tr I(a; b) õ ợ x1 < x < x2 ✱
(x, x1 , x2 ∈ I(a; b))✱ t❛ ❝â
x − x1
x2 − x
> 0;
> 0 ✈➔
x2 − x1
x2 − x1

x2 − x
x − x1
+
= 1.
x2 − x1 x2 − x1

❱➻ t❤➳
x2 − x
x − x1
f (x1 ) +
f (x2 )
x2 − x1
x2 − x1

f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x)
⇔
≤
.
x − x1
x2 − x
f (x) ≤

✭✷✳✸✮

❚r♦♥❣ ✭✷✳✸✮ ❝❤♦ x → x1 ✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝
f (x1 ) ≤

f (x2 ) − f (x1 )
.
x2 − x1

✭✷✳✹✮

❚÷ì♥❣ tü✱ tr♦♥❣ ✭✷✳✸✮ ❝❤♦ x → x2 ✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝
f (x2 ) − f (x1 )
≤ f (x2 ).
x2 − x1

✭✷✳✺✮

❚ø ✭✷✳✹✮ ✈➔ ✭✷✳✺✮✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ f (x1 ) ≤ f (x2 )✱ tù❝ ❤➔♠ sè f (x) ❧➔ ❤➔♠
✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣✳
◆❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû f (x) ❧➔ ❤➔♠ sè ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ ✈➔ x1 < x < x2
(x, x1 , x2 ∈ I(a; b)). ỵ r tỗ t x3 , x4 ✈ỵ✐ x3 ∈ (x1 ; x)

✈➔ x4 ∈ (x; x2 ) s❛♦ ❝❤♦
f (x) − f (x1 )
= f (x3 ),
x − x1
f (x2 ) − f (x)
= f (x4 ).
x2 − x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✶✺
❉♦ f (x3 ) ≤ f (x4 ) ♥➯♥
f (x) ≤

f (x) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x)
≤
, ❤❛② t❛ ❝â
x − x1
x2 − x
x2 − x
x − x1
f (x1 ) +
f (x2 ).
x2 − x1
x2 x1

ự f (x) ỗ tr I(a; b).

ỵ f (x) tr I(a; b) t f (x) ỗ ó tr
I(a; b)

❝❤➾ ❦❤✐ f

tr➯♥ I(a; b).

(x) ≥ 0 (f (x) ≤ 0)

ự

trỹ t tứ ỵ 2.3
s t t ỗ ó tự ❝→❝ ❤➔♠ sè ❦❤↔ ✈✐
❜➟❝ ❤❛✐ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ✷ ❦❤æ♥❣ ✤ê✐ ❞➜✉ tr♦♥❣ I(a; b).

❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳ ◆➳✉ số y = f (x) ỗ ó tr I(a; b) t❤➻ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ f (x) = 0 ❝â ❦❤ỉ♥❣ q✉→ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ t❤✉ë❝ I(a; b).

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû số y = f (x) ỗ ó tr
I(a; b), tù❝ f (x) > 0 ❤♦➦❝ f (x) < 0 tr➯♥ I(a; b). ❑❤✐ ✤â ❤➔♠ sè f (x)
❧✉æ♥ ỗ tr I(a; b), ữỡ tr➻♥❤ f (x) = 0
❝â ❦❤æ♥❣ q✉→ ✶ ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ I(a; b). ❉♦ ✤â t❤❡♦ ❤➺ q✉↔ 1.2
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = 0 ❝â ❦❤æ♥❣ q✉→ ✷ ♥❣❤✐➺♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✤â✳

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳ ❱ỵ✐ ❤➺ q✉↔ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➯♠ ♠ët ❝ỉ♥❣ ❝ư ❤ú✉ ❤✐➺✉
✤➸ →♣ ❞ư♥❣ ❝❤♦ t ữỡ tr ự sỹ tỗ t
ừ ữỡ tr ú tổ s ợ t ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐
t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ✈➼ ❞ư ❝ư t❤➸ tr♦♥❣ ữỡ s

ỵ



t tự rt
I(a; b), k = 1, 2, . . . , n}✱ t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿

❤❛✐ ❞➣② sè

{xk , yk ∈

x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✶✻

✈➔




x1 ≥ y1 ,







x + x 2 ≥ y1 + y2 ,

 1
···





x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + · · · + yn−1 ,




x + x + · · · + x = y + y + · · · + y .
1
2
n
1
2
n

õ ự ợ ồ ỗ tỹ sỹ f (x) tr➯♥ I(a; b)✱ t❛ ✤➲✉ ❝â
f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ f (y1 ) + f (y2 ) + Ã Ã Ã + f (yn ).

ự

rữợ t t ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

f (x1 ) ≥ f (y1 ) + f (y1 )(x1 − y1 ), ∀x1 , y1 ∈ I(a; b).

✭✷✳✻✮

❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x1 = y1 .
❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❝â
✭✷✳✻✮ ⇔ f (x1 ) − f (y1 ) ≥ f (y1 )(x1 − y1 ).

✭✷✳✼✮

❚❛ ①➨t ✸ tr÷í♥❣ ❤đ♣✳
i) ◆➳✉ x1 = y1 t❤➻ t❛ ❝â ❞➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❞♦ ✤â ✭✷✳✼✮ ✤ó♥❣✳
ii) ◆➳✉ x1 > y1 t❤➻ x1 − y1 > 0 ♥➯♥
✭✷✳✼✮ ⇔

f (x1 ) − f (y1 )
≥ f (y1 ).
x1 y 1



ỵ r t ✭✷✳✽✮ ⇔ f (x1 ) ≥ f (y1 ) ✈ỵ✐ y1 < x1 < x1 . ❇➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ❧✉æ♥ ú f (x) ỗ f (x) > 0 ✭t❤❡♦
❣✐↔ t❤✐➳t✮✱ ✈➻ t❤➳ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✻✮ ✤ó♥❣✳
iii) ◆➳✉ x1 < y1 t❤➻ x1 − y1 < 0 ♥➯♥
✭✷✳✼✮ ⇔

f (x1 ) − f (y1 )

≤ f (y1 ).
x1 y 1



ỵ r t ✭✷✳✾✮ ⇔ f (x1 ) ≤ f (y1 ) ✈ỵ✐ x1 < x1 < y1 . ❇➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ❧✉æ♥ ú f (x) ỗ f (x) > 0 ✭t❤❡♦
❣✐↔ t❤✐➳t✮✱ ✈➻ t❤➳ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✻✮ ✤ó♥❣✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✶✼
❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝
f (xi ) ≥ f (yi ) + f (yi )(xi − yi ), ∀xi , yi ∈ I(a; b), i = 1, 2, . . . , n.

◆❤÷ ✈➟② t❛ ❝â
f (x1 ) ≥ f (y1 ) + f (y1 )(x1 − y1 ),
f (x2 ) ≥ f (y2 ) + f (y2 )(x2 − y2 ),
...........................
f (xn ) ≥ f (yn ) + f (yn )(xn − yn ).

❉♦ ✤â
n

n

f (xi ) ≥
i=1

n

⇔

f (yi )(xi − yi )

f (yi ) +
i=1
n

f (xi ) −
i=1

❳➨t

n

i=1
n

f (yi ) ≥
i=1

f (yi )(xi − yi ).

✭✷✳✶✵✮

i=1

n

f (yi )(xi − yi ).
i=1

❙û ❞ư♥❣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❆❜❡❧ ù♥❣ ✈ỵ✐ ai = f (yi ) ✈➔ bi = (xi − yi ) t❛ ✤÷đ❝✿
n

n−1

f (yi )(xi − yi ) =
i=1

[f (yi ) − f (yi+1 )][(x1 + x2 + · · · + xn−1 ) − (y1 + y2 + · · ·
i=1

+ yn−1 )] + f (yn )[(x1 + x2 + · · · + xn ) − (y1 + y2 + · · · + yn )].

❚ø ❣✐↔ t❤✐➳t t❛ ❝â f (yi ) − f (yi+1 ) 0 f (y) ỗ
(x1 + x2 + · · · + xn−1 ) − (y1 + y2 + · · · + yn−1 ) ≥ 0,
(x1 + x2 + · · · + xn ) − (y1 + y2 + · · · + yn ) = 0.

❱➻ t❤➳

n

f (yi )(xi − yi ) ≥ 0.
i=1

❚ø ✭✷✳✶✵✮ ✈➔ ✭✷✳✶✶✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝
n

n

f (xi ) −
i−1

f (yi ) ≥ 0,
i−1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



✭✷✳✶✶✮


✶✽
tù❝ ❧➔ t❛ ❝â
f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ f (y1 ) + f (y2 ) + · · · + f (yn ).

✷✳✷✳✷ ✣ë ❣➛♥ ✤➲✉ ✈➔ s➢♣ t❤ù tü ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝
❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ♥➯✉ ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ồ t t ỗ ó ử
tr ữỡ tr ữủ ờ tổ

ợ ộ t ABC trữợ t


ồ

ABC

ABC

= max{A, B, C} − min{A, B, C}

❧➔ ✤ë ❣➛♥ ✤➲✉ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC.

❘ã r➔♥❣ δ ABC ≥ 0 ✈➔ δ
♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳

ABC

= 0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❧➔

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✹✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ ❝➦♣ t❛♠ ❣✐→❝ A1B1C1 A2B2C2 t
ỗ tớ

max{A1 , B1 , C1 } ≤ max{A2 , B2 , C2 },
min{A1 , B1 , C1 } ≥ min{A2 , B2 , B2 }

t❤➻ t❛ ♥â✐ ❝➦♣ t❛♠ ❣✐→❝ A1B1C1 ✈➔ A2B2C2 ❧➔ ❝➦♣ s➢♣ ✤÷đ❝ t❤ù tü ✈➔
t❛♠ ❣✐→❝ A1B1C1 ❣➛♥ ✤➲✉ ❤ì♥ t❛♠ ❣✐→❝ A2B2C2✳
❱➟② tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❝â s➢♣ t❤ù tü✱ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ ❝➦♣ t❛♠ ❣✐→❝ A1 B1 C1
✈➔ A2 B2 C2 ✭✈ỵ✐ A1 ≥ B1 ≥ C1 , A2 ≥ B2 ≥ C2 ) t❤♦↔ ♠➣♥ ỗ tớ
A1 A2 , C1 C2 , t❤➻ t❛ s➩ ❝â t❛♠ ❣✐→❝ A1 B1 C1 ❣➛♥ ✤➲✉ ❤ì♥
t❛♠ ❣✐→❝ A2 B2 C2 .

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✸✳

✶✮ ❚❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❣➛♥ ✤➲✉ ❤ì♥ ♠å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤→❝✳

✷✮ ❚r♦♥❣ t➟♣ ❤đ♣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤ỉ♥❣ ♥❤å♥ t❤➻ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉ỉ♥❣ ❝➙♥
❣➛♥ ✤➲✉ ❤ì♥ ♠å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤→❝✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✶✾
❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❑❛r❛♠❛t❛✱ ❝❤ó♥❣ t sỷ
ử ỵ r ự ởt t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣✱ t❤÷í♥❣
✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ✤ë ❣➛♥ ✤➲✉ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❚❛ s➩ ♥❤➢❝
❧↕✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤â✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷✳✶✳ ❈❤♦ ❤➔♠ sè y = f (x) ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ❤❛✐ f
(a; b).

❛✮ ◆➳✉ f

(x) ≥ 0

(x) ≤ 0

tr♦♥❣

✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ (a; b) t❤➻

f (x) ≥ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ),

❜✮ ◆➳✉ f

(x)

✈ỵ✐

x, x0 ∈ (a; b).

✈ỵ✐

x, x0 ∈ (a; b).

✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ (a; b) t❤➻

f (x) ≤ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ),

❙❛✉ ✤➙②✱ t❛ ①➨t ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t✐➯✉ ❜✐➸✉ ♥❤➡♠ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝→❝ t➼♥❤
❝❤➜t ✤➣ ♥➯✉ tr➯♥✳

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✶✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ A2B2C2 ❣➛♥ ✤➲✉ ❤ì♥ t❛♠ ❣✐→❝ A1B1C1 ✈➔
❝❤♦ ❤➔♠ sè f (x) ❝â f (x) ≥ 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ (0; π). ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣
f (A1 ) + f (B1 ) + f (C1 ) ≥ f (A2 ) + f (B2 ) + f (C2 ).

●✐↔✐✳

❉♦ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0; π) ♥➯♥ t❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t 2.1 t❛ ❝â✿
f (x) ≥ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ), ∀x, x0 ∈ (0; π).

❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ t❛ ❝♦✐
A1 ≥ B1 ≥ C1 , A2 ≥ B2 ≥ C2 .

❑❤✐ ✤â✱ t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ 2.4 t❛ ❝â A1 ≥ A2 ✈➔ C1 ≤ C2 . ❙✉② r❛



A ≥ A2 ,

 1
A1 + B1 ≥ A2 + B2 ,



A + B + C = A + B + C .
1
1
1
2
2
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



✭✷✳✶✷✮


✷✵
❚❤❡♦ ✭✷✳✶✷✮ t❤➻




f (A1 ) ≥ f (A2 ) + f (A2 )(A1 − A2 ),



f (B1 ) ≥ f (B2 ) + f (B2 )(B1 − B2 ),



f (C ) ≥ f (C ) + f (C )(C − C ).
1
2
2
1
2

✭✷✳✶✸✮

❈ë♥❣ ❝→❝ ✈➳ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ ✭✷✳✶✸✮✱ t❛ ✤÷đ❝
f (A1 ) + f (B1 ) + f (C1 ) ≥ f (A2 ) + f (B2 ) + f (C2 )
+ [f (B2 ) − f (C2 )][(A1 + B1 ) − (A2 + B2 )]
+ [f (A2 ) − f (B2 )](A1 − A2 )
≥ f (A2 ) + f (B2 ) + f (C2 ).

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ ❝❤♦ ❜❛ sè ❞÷ì♥❣ α, β, γ s❛♦ ❝❤♦

α + β + γ = 1. ✣➦t





A = αA + βB + γC,

 0
B0 = αB + βC + γA,



C = αC + βA + γB.

✭✷✳✶✹✮

0

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿
sin A + sin B + sin C ≤ sin A0 + sin B0 + sin C0 .

●✐↔✐✳

❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t t❛ ❝â A0 + B0 + C0 = A + B + C = π ♥➯♥ A0 , B0 , C0
❧➔ ❝→❝ ❣â❝ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔



A ≥ A0 ,


A + B ≥ A0 + B0 ,




A + B + C = A + B + C .
0
0
0

✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t A ≥ B ≥ C, A0 ≥ B0 ≥ C0 .
❳➨t ❤➔♠ sè f (x) = sin x, ∀x ∈ [0; π]. ❚❛ ❝â
f (x) = cos x, f (x) = − sin x ≤ 0, ∀x ∈ [0; π].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✷✶
❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t 2.1 t❛ ❝â
f (x) ≤ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ), ∀x, x0 ∈ [0; π].

❱➟② ♥➯♥
sin A ≤ sin A0 + cos A0 (A − A0 ),
sin B ≤ sin B0 + cos B0 (B − B0 ),
sin C ≤ sin C0 + cos C0 (C − C0 ).

❙✉② r❛
sin A + sin B + sin C ≤ sin A0 + sin B0 + sin C0
+ cos C0 (A + B + C − A0 − B0 − C0 )
+ (cos B0 − cos C0 )(A + B − A0 − B0 )
+ (cos A0 − cos B0 )(A − A0 ).

❱➻ A + B + C − (A0 + B0 + C0 ) = 0; A + B ≥ A0 + B0 ; A ≥ A0 ,
π > B0 ≥ C0 ≥ 0 ⇒ cos B0 ≤ cos C0 ,
π > A0 ≥ B0 ≥ 0 ⇒ cos A0 ≤ cos B0 ,
♥➯♥ sin A + sin B + sin C ≤ sin A0 + sin B0 + sin C0 .

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❦❤æ♥❣ ♥❤å♥✱
t❛ ❧✉æ♥ ❝â

tan

●✐↔✐✳

√
A
B
C
+ tan + tan ≥ 2 2 − 1.
2
2
2

❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ t❛ ❝♦✐ A ≥ B ≥ C. ❑❤✐ ✤â



A ≥ π2 ,


A + B ≥ π2 + π4 ,




A + B + C = π +
2

π
4


A


≥ π4 ,

2

⇒ A2 + B2 ≥ π4 + π8 ,



A + B + C = π +
2
2
2
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

+ π4 .

π

8

+ π8 .



✷✷
❳➨t ❤➔♠ sè f (x) = tan x ✈ỵ✐ x ∈ 0;
❱➟② ♥➯♥ t❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t 2.1, t❛ ❝â

π
π
. ❚❛ ❝â f (x) > 0, ∀x ∈ 0;
.
2
2

f (x) ≥ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ), ∀x, x0 ∈ 0;

π
.
2

❚❤❡♦ ❜➔✐ t♦→♥ 2.1 t❤➻
B
C
π
π
π
A

+ tan + tan tan + tan + tan .
2
2
2
4
8
8

ỵ r➡♥❣ tan = 2 − 1 ♥➯♥
8
√
π
π
π
tan + tan + tan = 2 2 − 1.
4
8
8
tan

❉♦ ✤â
tan

√
A
B
C
+ tan + tan ≥ 2 2 − 1.
2
2

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên