Các dạng toán và bài tập giới hạn và liên tục
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.28 MB, 154 trang )
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
CHƯƠNG
4
GIỚI HẠN
Mục lục
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ................................................................................................. 1
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .................................................................................................... 2
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ............................................................................................... 3
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN..................................................................................................... 22
BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ .............................................................................................. 25
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .................................................................................................. 25
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ............................................................................................. 26
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN..................................................................................................... 70
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC ...................................................................................................... 113
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ................................................................................................ 113
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ........................................................................................... 114
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN................................................................................................... 138
BÀI 4. ÔN TẬP CHƯƠNG IV .................................................................................................. 139
A. BÀI TẬP .......................................................................................................................... 139
B. LỜI GIẢI.......................................................................................................................... 145
1
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1 (Giới hạn bằng 0 ). Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn là 0 nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý
cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số
dương đó. Khi đó ta viết lim un = 0 hay lim un = 0 hay un → 0 khi n → + .
n →+
Định nghĩa 2 (Giới hạn bằng a ). Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn là số thực a nếu lim ( un − a ) = 0 . Khi
đó ta viết lim un = a hay lim un = a hay un → a khi n → + . Dãy số có giới hạn là số a hữu hạn gọi là
n →+
dãy số có giới hạn hữu hạn.
Định nghĩa 3 (Giới hạn vô cực).
1. Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn là + khi n → + nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ,
kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Ký hiệu: lim un = + hay un → + khi n → + .
2. Dãy số ( un ) có giới hạn là − khi n → + nếu lim ( −un ) = + .
Ký hiệu: lim un = − hay un → − khi n → + .
GIỚI HẠN HỮU HẠN
Các giới hạn đặc biệt
Các giới hạn đặc biệt
(
)
•
1
= 0, k * .
k
n
lim q n = 0, ( q 1) .
•
lim C = C , ( C
•
lim
lim ( un vn ) = a b .
u
a
lim n =
(b 0) .
vn b
•
•
lim nk = + , k
•
lim q n = 0, ( q 1) .
*
).
Định lí 2.
•
lim ( un vn ) = a b .
•
(
•
)
Định lí 1. Nếu lim un = a và lim vn = b thì
•
GIỚI HẠN VƠ CỰC
Nếu lim un = a và lim vn = thì
lim
•
Nếu un 0, n và lim un = a thì a 0
và lim un = a .
un
=0.
vn
Nếu lim un = a 0 và lim vn = 0 và
vn 0, n thì lim
•
un
= + .
vn
Nếu lim un = + và lim vn = a 0 thì
lim ( un vn ) = + .
Định lí 3 (Nguyên lý kẹp). Cho ba dãy số ( un ) , ( vn ) , ( wn ) . Lúc đó, nếu un vn wn , n và
lim un = lim wn = a , ( a
)
thì lim vn = a .
Định nghĩa 4. Cấp số nhân ( un ) có cơng bội q được gọi kà cấp số nhân lùi vô hạn nếu q 1 .
Nhận xét. Cho cấp số nhân lùi vơ hạn ( un ) có cơng bội q . Với mỗi n
đó: lim Sn =
u1
1− q
*
, đặt S = u1 + u2 + ... + un . Lúc
( 4.1)
Định nghĩa 5. Giới hạn ( 4.1) được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( un ) và được ký hiệu là
2
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
S = u1 + u2 + ... + un
Như vậy:
S = lim Sn =
u1
, ( q 1)
1− q
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
Dạng 1. Tính giới hạn L = lim
P (n)
với P ( n ) , Q ( n ) là các đa thức.
Q (n)
Phương pháp giải:
Rút lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu, rồi sử dụng các cơng thức:
• lim nk = + ( k
c
• lim k = 0, ( k * , c ) .
•
•
n
lim un = +
lim ( un vn ) = + .
lim vn = a 0
lim un = +
lim ( un vn ) = − .
lim vn = a 0
*
).
•
lim un = −
lim ( un vn ) = − .
lim vn = a 0
•
lim un = −
lim ( un vn ) = + .
lim vn = a 0
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn L
4n 2 n 1
lim
.
3 2n 2
ĐS: L = 2
Lời giải
1 1
n2 4 − − 2
n n
Ta có L = lim
3
n2 2 + 2
n
1 1
4− − 2
= lim
n n = 4−0−0 = 2.
3
0+2
+2
2
n
Nhận xét: Nếu bậc tử P ( n ) bằng bậc mẫu Q ( n ) thì lim
P (n)
Q (n)
= (Hệ số bậc cao nhất của tử)
(Hệ số bậc cao nhất của mẫu).
Ví dụ 2. Tính giới hạn L
lim
2n 2
n
5
20n6 2n 2
4n 1
n 1
4
4
.
ĐS: L =
128
5
Lời giải
5
2
1
2
n 2 − n n 4 − n
Ta có L = lim
4
3 1
6 2
20n n 2 − + 2
n n
4
3
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
5
4
5
4
1
2
1
2
n 2 − n4 4 −
5
4
2− 4−
2 − 0 ) ( 4 − 0 ) 128
(
n
n
n
n
= lim
= lim
= lim
=
4
4
4
5
20 ( 2 − 0 + 0 )
3 1
3 1
6 8
20n n 2 − + 2
20 2 − + 2
n n
n n
10
Nhận xét: Với bài tốn có lũy thừa bậc cao, ta thường rút bậc cao trong từng dấu ngoặc, sau
đó áp dụng công thức ( a.b ) = a n .b n và tính tốn như các bài trước.
n
Ví dụ 3. Tính giới hạn L = lim
n2 − n + 3
.
n 3 + 2n
ĐS: L = 0
Lời giải
1 3
1 3
n 2 1 − + 2
1 1 − n + n2
n n
= lim .
Ta có L = lim
2
3
n 1 + 22
n 1 + 2
n
n
1− 0 + 0
=0
= 0.
1+ 0
Nhận xét: Nếu bậc tử P ( n ) nhỏ hơn bậc mẫu Q ( n ) thì L = lim
Ví dụ 4. Tính giới hạn L = lim
P(n)
=0
Q(n)
2n3 − 11n + 1
.
n2 − 2
ĐS: L = +
Lời giải
11 1
11 1
n3 2 − + 3
2− + 3
n
n
= lim n.
n n
L = lim
2
2
1− 2
n 2 1 − 2
n
n
11 1
2 − n + n3
(vì lim n = + và lim
1 − 22
n
= +
= 2 0 ).
Nhận xét: - Nếu bậc tử P ( n ) lớn hơn bậc mẫu Q ( n ) thì L = lim
P(n)
= .
Q(n)
- Để biết là + hay − ta dựa vào dấu của giới hạn trong tích theo quy tắc “cùng
dấu thì tích dương, trái dấu thì tích âm”. Thơng thường, sẽ để dấu = và xét dấu
sẽ điền vào sau.
- Về trắc nghiệm, đó chính là tích của hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
1 + 3 + 5 + 7 + (2n + 1)
1
.
ĐS: L =
2
3n + 4
3
Lời giải
Xét cấp số cộng 1,3,5, 7,9,..., 2n + 1 có số hạng đầu tiên u1 = 1 công sai d = 2 và số hạng cuối
Ví dụ 5. Tính giới hạn L = lim
cùng là um = 2n + 1 ta có:
u1 + (m − 1)d = 2n + 1 1 + 2(m − 1) = 2n + 1 m = n + 1.
4
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Vậy cấp số cộng có n + 1 số hạng. Suy ra tổng
m
n +1
S = 1 + 3 + 5 + 7 + + 2n + 1 = (u1 + um ) =
(1 + 2n + 1) = n2 + 2n + 1
2
2
Vì thế L
2
n
n2 1
n 2 2n 1
lim
3n 2 4
lim
n2 3
1
n2
2
n
1
lim
4
n2
1
n2
4
n2
3
1 0 0
3 0
1
.
3
Nhận xét: Cần nhớ công thức cấp số cộng:
uk +1 − uk = d , với d là công sai.
un = u1 + ( n − 1) d , với d là cơng sai.
uk
Sn
uk
1
1
u1
u2
2uk , k
un
2.
n
u1
2
1
1
1
1
Ví dụ 6. Tính giới hạn L = lim +
+
+
+
1.2 2.3 3.4 4.5
un .
+
1
.
n ( n + 1)
ĐS: L = 1
Lời giải
Số hạng tổng quát
1
1
1
= −
; ( k = 1, 2,..., n ) do đó
k (k + 1) k k + 1
1
1
1 1 1 1 1 1
L = lim 1 − + − + − + − + −
n n +1
2 2 3 3 4 4
1
1
1
n
= lim 1 −
=1
= lim
= lim 1 =
1
+
0
n +1
n +1
1+
n
Nhận xét: Phân tích
1
a
b
1
1
= +
= 1; b =
= −1 .
với a =
k ( k + 1) k k + 1
k + 1 k =0
k k =−1
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tính giới hạn sau:
3n 2 n 5
;
2n 2 1
a) L
lim
c) L
6n 3 2n 1
lim 3
;
5n n n 2 n 1
e) L
lim
2n 1
4n
2
2
b) L
3 4n3
3
2 n
2
;
d) L
f) L
lim
lim
lim
n3
2n 3
n 3
;
3n3 1
2n 4
1
2
n17
3n 2 1
2n 4
3
4
n
2
9
;
1
2
2n
5
9n
4
2n 3
1 2n 2
7
;
5
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
g) L
Bài 2.
n2
lim
n 1 2n 2
3
2
.
7 n 3 + 2n 2 + 1
;
n4 + 5n3 + n
b) L = lim
7n + 3
;
2n + 3n3 + 4
n2 + 4n − 5
;
3n3 + n2 + 7
d) L = lim
−2n3 + 3n2 + 4
;
n 4 + 4n 3 + n
n3 − 5n + 3
;
3n2 + n − 1
b) L = lim
5n4 − n3 + 5n2 + 3
;
n2 − 3n3 − 1
3n4 + 2n2 − 1
;
n 3 + 2n + 9
d) L = lim
3n5 − 2n4 + 2n + 7
;
−6n4 + 2n3 + n2 − 1
c) L = lim
e) L = lim
2
−2n2 + n + 2
.
3n4 + 5
Tính giới hạn sau:
a) L = lim
c) L = lim
Bài 4.
3
Tính giới hạn sau:
a) L = lim
Bài 3.
2 n 1
Tính giới hạn sau:
a) L = lim
1 + 2 + 3 + ... + n
;
3n2 + 1
b) L = lim
1 + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2n − 1)
;
n2 + 3n + 1
1 + 2 + 3 + ... + n
;
2n2 − n + 9
d) L = lim
5 + 9 + 13 + ... + ( 4n − 3)
;
3n2 + 5n − 1
1 − 2 + 3 − 4 + ... + ( 2n − 1) − 2n
;
2n + 1
f) L = lim [
c) L = lim
e) L = lim
g) L = lim [
1
1
1
1
+
+
+ ... +
];
1.3 3.5 5.7
( 2n − 1)( 2n + 1)
h) L = lim [
1
1
1
1
+
+
+ ... +
].
1.3 3.5 5.7
( 2n − 1)( 2n + 1)
1
1
1
1
+
+
+ ... +
];
1.3 2.4 3.5
n ( n + 2)
LỜI GIẢI
n2 3
2
Bài 1.
a) L
lim
3n n 5
2n 2 1
lim
n2 2
1
n
5
n2
1
n2
1
n
3
lim
2
5
n2
1
n2
3 0 0
2 0
3
.
2
6
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
3
b) L
c) L
d) L
n
lim 2
2n
lim
n 3
3n3 1
6n
5n
3
1
n
17
n
2
n
n3
2n 1
n n2 n 1
2n 4
lim
lim
3
2
1
n2
n3 1
3
3
6n
lim 3
4n
1
n4
lim
1
1
lim
2n 1
n2 n
n8 2
9
2
3
n3
1
n3
17
n
1
1
n2
2
n
3
3
n3
1
n3
1
.
3
2
n2
lim
1
n3 4
n
1
n3
1
n2
n3 6
2
2
n
n9 1
9
1
n4
2
lim
1
n17
2
n2
lim
1
4
n
6
1
2
2
n
1
1
n3
1
n2
3
.
2
9
1
n17
(2 + 0)2 .(1 + 0)9
= lim
= 4.
1+ 0
2
2
1
1 3
3
n 2 − n3 3 − 4
2 − 3 − 4
( 2n − 1) ( 3 − 4n3 )
n
n n
n
= lim
e) L = lim
= lim
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
( 4n + 2 ) ( 2 − n )
n3 4 + n 2 2 −
4
+
2
−
n
n
n
n
2
2
lim
2
2 0
4
0
0 4
3
(3n
f) L = lim
2 0
1
.
4
2
− 1) ( 2n + 5) ( 9n + 4 )
3
2
( 2n − 4 )
4
2
( 2n
3
+ 1)( 2n 2 − 7 )
3
2
2
1
5
4
1
5
4
3− 2 2 + 9 +
n 3 − n2 n 2 + n n 9 + n
n
n
n
= lim
L = lim
4
4
4
1
7
4
1
7
n 4 2 − n3 2 + 3 n 2 2 − 2
2 − 2 + 3 2 − 2
n
n
n
n
n
n
lim
3 0
3
2 0
4
2
2
0
9
0
2
0 2 0
3
243
.
16
3
(n
g) L = lim
2
+ 2 ) ( n − 1)
3
( n + 1) ( 2n2 + 3)
lim
1 0 1 0
1 0 2
0
3
2
2
2
3
2 1
2 1
n 1 + 2 n3 1 −
1 + 2 1 −
n n
n n
= lim
= lim
2
2
3
3
1 4
1
n 1 + n 2 + 2
1 + 2 + 2
n
n
n
n
2
1
.
4
7
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2 1
2 1
n3 7 + + 3
7+ + 3
1
7 n + 2n + 1
n
n
= lim .
n n
= lim
a) L = lim 4
5
5
1
n
n + 5n3 + n
1 + + 13
n 4 1 + + 3
n n
n n
3
Bài 2.
b) L
lim
2
n
5
n
7
1
n
(Vì lim
2
0; và lim
1
7n
2n 2
1
(Vì lim 2
n
lim
4
2
n
n
3
3
n
7
0 và lim
7 ).
3
n
n 7
3
3n3
1
n3
1
n3
2
n
3
4
n3
1
lim 2 .
n 2
n
3
n
7
3
0
4
n3
7
).
3
4
n3
3
= 0
4 5
4 5
n 2 1 + − 2
1+ − 2
n + 4n − 5
1
n
n
= lim . n n
= lim
c) L = lim 3 2
1
7
3n + n + 7
n 3 + 1 + 73
n3 3 + + 3
n n
n n
2
=0
4 5
1+ − 2
1
1
(Vì lim = 0 và lim n n = ).
1 7
n
3+ + 3 3
n n
3 4
n3 −2 + + 3
−2n + 3n + 4
n n
= lim
d) L = lim 4
3
4 1
n + 4n + n
n 4 1 + + 3
n n
3
2
3 4
2
1
n n3
lim .
n 1 4 1
n n3
1
0 (Vì lim
n
2
0 và lim
1
3 4
n n3
4 1
n n3
2 ).
1 2
1 2
n 2 −2 + + 2
−2 + + 2
1
−2n + n + 2
n n
n n
= lim
= lim 2 .
e) L = lim
4
5
5
3n + 5
n
3+ 4
n4 3 + 4
n
n
2
(Vì lim
1
n2
2
0 và lim
3
1
n
5
n4
2
n2
= 0.
2
).
3
8
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
5 3
5 3
n3 1 − 2 + 3
1− 2 + 3
n − 5n + 3
n
n
= lim n. n n
= lim
a) L = lim 2
1
1
3n + n − 1
3 + 1 − 12
n2 3 + − 2
n n
n n
3
Bài 3.
= +
5 3
+ 3
2
1
(Vì lim n = + và lim n n = ).
1 1
3+ − 2 3
n n
1−
1 5 3
1 5 3
n4 5 − + 2 + 4
5− + 2 + 4
5n − n + 5n + 3
n n n
n n n
= lim
= lim n.
b) L = lim
2
3
1
1
1
n − 3n − 1
31
−3− 3
n −3− 3
n
n
n
n
4
3
2
= − .
1 5 3
5− + 2 + 4
5
(Vì lim n = + và lim n n n = − ).
1
1
3
−3− 3
n
n
2 1
2 1
n4 3 + 2 − 4
3+ 2 − 4
3n + 2n − 1
n n
n n
= lim
= lim n.
c) L = lim 3
2 9
n + 2n + 9
1 + 22 + 93
n3 1 + 2 + 3
n n
n n
4
2
= + .
2 1
− 4
2
n
n = 3 ).
(Vì lim n = + và lim
2 9
1+ 2 + 3
n n
3+
2 2 7
2 2 7
n5 3 − + 4 + 5
3− + 4 + 5
3n − 2n + 2n + 7
n n n
n n n
= lim
= lim n.
d) L = lim
4
3
2
2
1
1
−6n + 2n + n − 1
−6 + 2 + 12 − 14
n 4 −6 + + 2 − 4
n n n
n n n
5
4
= − .
2 2 7
3+ + 4 + 5
n n n = − 1 ).
(Vì lim n = + và lim
2 1 1
2
−6 + + 2 − 4
n n n
Bài 4.
a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 1 + 2 + 3 + ... + n =
n ( n + 1) n2 + n
=
2
2
2
1+ 2
1 + 2 + 3 + ... + n
n2 + 2
n =1.
= lim 2
= lim
Do đó L = lim
2
2
3n + 1
6n + 2
6+ 2 6
n
b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 1 + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2n − 1) =
(1 + ( 2n −1) ) n = n
2
2
9
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Do đó L = lim
1 + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2n − 1)
n2
1
=
lim
= lim
= 1.
2
2
3 1
n + 3n + 1
n + 3n + 1
1+ + 2
n n
c) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 1 + 2 + 3 + ... + n =
Do đó L = lim
n ( n + 1) n2 + n
=
2
2
1+
1
n
1 + 2 + 3 + ... + n
n +n
1
= lim 2
= lim
= .
2
2 18
2n − n + 9
4n − 2n + 18
4− + 2 4
n n
2
d) Xét cấp số cộng với u1 = 5; d = 4
un−1 = 5 + ( n − 2 ) 4 = 4n − 3 5 + 9 + 13 + ... + ( 4n − 3) =
( 5 + 4n − 3)( n − 1) = 2n2 − n −1
2
1 1
2− − 2
2
5 + 9 + 13 + ... + ( 4n − 3)
2n − n − 1
n n =2.
= lim 2
= lim
Do đó L = lim
2
5 1
3n + 5n − 1
3n + 5n − 1
3+ − 2 3
n n
e) Ta có
1 − 2 + 3 − 4 + ... + ( 2n − 1) − 2n = (1 − 2 ) + ( 3 − 4 ) + ... + ( ( 2n − 1) − 2n ) = ( −1) + ( −1) + ... + ( −1) = − n
Do đó L = lim
f) Ta có
1 − 2 + 3 − 4 + ... + ( 2n − 1) − 2n
−n
−1
1
= lim
= lim
=− .
1
2n + 1
2n + 1
2
2+
n
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
+
+
+ ... +
= − + − + ... + −
1.3 2.4 3.5
n ( n + 2) 2 1 3 2 4
n n+2
1 1
1
1 3
1
1
= 1 + −
−
−
= −
2 2 n + 1 n + 2 4 2n + 2 2n + 4
Do đó L = lim [
1
1
1
1
1
1 3
3
+
+
+ ... +
]=lim −
−
= .
1.3 2.4 3.5
n ( n + 2)
4 2n + 2 2n + 4 4
g) Ta có
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1 1
1
+
+
+ ... +
= − + − + ... +
−
= 1 −
1.3 3.5 5.7
2n − 1 2n + 1 2 2n + 1
( 2n − 1)( 2n + 1) 2 1 3 3 5
Do đó L = lim [
h) Ta có
1
1
1
1
1
1 1
+
+
+ ... +
]= lim [ 1 −
] = .
1.3 3.5 5.7
2 2n + 1 2
( 2n − 1)( 2n + 1)
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.4 4.7 7.10
( 3n − 2)( 3n + 1)
1 1 1 1 1 1
1
1 1
1
= 1 − + − + − + ... +
+
= 1 −
.
3 4 4 7 7 10
3n − 2 3n + 1 3 3n + 1
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
10
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Dạng 2. Tính giới hạn dạng L = lim
P ( n)
với P ( n ) , Q ( n ) là các hàm mũ a n .
Q ( n)
Phương pháp giải:
Áp dụng lim q n = 0 với q 1 .
Sử dụng công thức mũ, rồi chia cả và mẫu cho a n với a là cơ số lớn nhất.
Công thức mũ cần nhớ
a
m+ n
= a .a và a
m
n
m−n
am
= n .
a
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn L = lim
1 − 3n + 4.5n+ 2
.
2n+1 + 3n+ 2 + 5n+1
ĐS: L = 20
Lời giải
n
Chia cả tử và mẫu cho 5 , ta có
n
n
1 3
1 3n
− n + 100
− + 100 0 − 0 + 100
n
5
5
5
5
L = lim
= lim n n
=
= 20.
n
n
2
3
0+0+5
2
3
2. n + 9. n + 5
2. + 9. + 5
5
5
5
5
Nhận xét: Ta chia cho a n với a là cơ số lớn nhất vì sau khi chia ln tạo ra cơ số có trị tuyệt
đối nhỏ hơn 1 để áp dụng công thức lim q n = 0 với q 1 .
Ví dụ 2. Tính giới hạn L = lim
1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n
.
5.2n + 1
ĐS: L =
2
5
Lời giải
Xét cấp số nhân 1, 2, 2 , 2 ,..., 2 có số hạng đầu tiên u1 = 1 , công bội q = 2 và có số hạng tổng
2
3
n
quát
um = 2n u1q m−1 = 2n m − 1 = n m = n + 1 .
Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân trên là:
Sm = u1
q m − 1 2n +1 − 1 n+1
=
= 2 −1.
q −1
2 −1
Suy ra
n
1
2−
n +1
2 −1
2 = 2−0 = 2.
L = lim n
= lim
n
5.2 + 1
5+0 5
1
5+
2
Nhận xét: Các công thức cần nhớ về cấp số nhân
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
11
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1.
uk +1
= q ( q là công bội).
uk
2. Sn = u1 + u2 + ... + un = u1.
qn −1
.
q −1
4. uk +1.uk −1 = uk2 với k 2 .
3. un = u1q n−1 .
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tính các giới hạn sau:
4.3n + 5n+1
.
a) L = lim
3.2n + 5n
c) L = lim
Bài 2.
2n − 3n−2 + 3.5n+2
.
2n−1 + 3n+2 + 5n+1
n
e)
( −3)
L = lim
n
g)
( −1)
L = lim
− 4.5n +1
.
2.4n + 3.5n
.25 n +1
35 n + 2
ĐS: L = 5.
4n+ 2 + 6n+1
.
b) L = lim n−1
5 + 2.6n+3
ĐS: L = 15 .
d) L = lim
20
ĐS: L = − .
3
f) L = lim
ĐS: L =
2n − 3n + 5n+ 2
.
2n+1 + 3n+ 2 + 5n+1
2n + ( −5)
n
2.3 + 3. ( −5)
n
n
.
1
.
72
ĐS: L = 5 .
1
ĐS: L = .
3
ĐS: L = 0 .
.
Tính các giới hạn sau:
a) L = lim
1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n
.
1 + 3 + 32 + 33 + ... + 3n
ĐS: L = 0 .
1 1
1
1 + + + ... + n
2 .
b) L = lim 2 4
1 1
1
1 + + + ... + n
3 9
3
ĐS: L =
4
.
3
LỜI GIẢI
n
Bài 1.
a) L = lim
4.3n + 5n+1
3.2n + 5n
3
4. + 5
0+5
5
= lim n
=
= 5.
0 +1
2
3. + 1
5
n
b) L = lim
4n+ 2 + 6n+1
5n−1 + 2.6n+3
2
16. + 6
0+6
1
3
.
= lim
=
=
n
0 + 432 72
1 5
. + 432
5 6
n
2n − 3n −2 + 3.5n + 2
c) L = lim n−1 n+ 2 n+1
2 +3 +5
Fb: ThayTrongDGL
n
2 1 3
− . + 75 0 − 0 + 75
5
9 5
= lim n n
=
= 15 .
0+0+5
1 2
3
. + 9. + 5
2 5
5
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
12
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
n
n
2 3
− + 25
0 − 0 + 25
5
5
= lim n n
=
= 5.
0+0+5
2
3
2. + 9. + 5
5
5
2n − 3n + 5n + 2
d) L = lim n +1 n + 2 n +1
2 +3 +5
n
e) L = lim
f) L
( −3)
3
− − 20 0 − 20
20
5
= lim
=
=− .
n
0+3
3
4
2. + 3
5
− 4.5n+1
2.4n + 3.5n
n
2n
lim
5
n
2.3
3.
2
5
lim
3
2.
5
n
n
5
n
1
n
g)
Bài 2.
( −1)
L = lim
n
.25 n +1
35 n + 2
0 1
0 3
n
3
1
.
3
n
1
32
−
.2.
243
243 = 0 = 0 .
= lim
9
9
a) Áp dụng cơng thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có
1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n =
1 + 3 + 32 + 33 + ... + 3n =
2n+1 − 1 n+1
= 2 −1
2 −1
3n+1 − 1 3n+1 − 1
=
3 −1
2
n
n
2 1
2. −
n +1
n
2 −1
2.2 − 1
0−0
3
3
= 2.lim n
= 2.lim n = 2.
= 0.
Do đó L = lim n +1
3 −1
3.3 − 1
3−0
1
3−
2
3
b) Áp dụng cơng thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có
n +1
1
−1
1 1 n
1 1
1 2
1 + + + ... + n =
= ( −2 ) . − 1
1
2 4
2
2 2
−1
2
n +1
1
−1
n
1 1
1 3
3 1 1
1 + + + ... + n =
= − . − 1
1
3 9
3
2 3 3
−1
3
1 1 n
1
( −2 ) . − 1
.0 − 1
4
2 2
4 2
=
.
= .
Do đó L = lim
n
3 1 .0 − 1 3
3 1 1
−
.
−
1
3
2 3 3
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
13
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức.
Phương pháp giải: Rút lũy thừa bậc cao hoặc liên hợp và sử dụng lim n k = .
Lưu ý: Dấu hiệu nhận dạng liên hợp (dạng +.0 ) là sau khi rút n có mũ cao trong căn và nhóm thừa
số, xuất hiện số 0 . Chẳng hạn:
- Tính giới hạn dãy un = n 2 + 3n + 5 − n : biểu thức trong căn có n 2 là lũy thừa cao nhất và
ta quan tâm đến nó, những hạng tử sau bỏ hết, có nghĩa ta xem un = n 2 − n = n − n = 0
nên cần liên hợp.
- Tính giới hạn dãy un = 2n 2 + 3n + 5 − n : biểu thức trong căn có 2n 2 là lũy thừa cao nhất
nên nháp
2n 2 − n = n 2 − n = n
(
)
2 −1 0 nên ta không cần liên hợp mà rút ra
2 − 1 , có
giải trực tiếp.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn L = lim
(
)
2n2 + 3n + 5 − n .
ĐS: L = + .
Lời giải
2n + 3n + 5
3 5
3 5
−
n
Ta có: L = lim n 2
=
lim
n
2
+
+
−
n
=
lim
n
2
+
+
−
1
n2
n n2
n n2
3 5
Vì lim n = + và lim 2 + + 2 − 1 = 2 − 1 0 nên L
.
n
n
2
Ví dụ 2. Tính giới hạn L = lim
(
)
9n2 + 3n − 4 − 3n + 20 .
ĐS: L =
41
.
2
Lời giải
Ta có: L
lim 20
lim
4
n
4
n2
n 3
20
lim
3
n
n 9
20
3 0
9 0 0
3
9n 2
3n 4
3n 4
20 lim
3n
4
n
3 4
n n2
9n 2
3n 4
3n
3
20
3n
lim
9
3
41
.
2
( a − b )( a + b ) = a 2 − b 2
Cần nhớ : Liên hợp là hình thức trục căn dựa vào HĐT
.
2
2
3
3
a
b
a
ab
+
b
=
a
b
(
)
(
➢
a− b=
➢
a −b =
Fb: ThayTrongDGL
a −b
.
a+ b
a − b2
.
a +b
3
3
a+3b=
a −b =
a+b
3
a 2 − 3 ab + 3 b2
a − b3
3
)
a 2 + 3 ab + b 2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
.
.
14
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
➢
3
a −b
a− b=
3
3
.
a 2 + 3 ab + 3 b2
Ví dụ 3. Tính giới hạn L = lim
(
3
a + b3
a +b =
3
3
a 2 − 3 ab + b 2
.
)
n+2 − 3 n
ĐS: L = 0 .
Lời giải
Ta có: L
n
lim
3
2
n
2 n
3
2
n
3
2
3
n
2
lim
2
2
n
2
n
n1
3
n1
3
2
n
3
n
3
2
n
2
3
2
lim
lim
2
3
n2
Cần nhớ:
3
3
2
n
1
3
a−3b=
Ví dụ 4. Tính giới hạn L = lim
2
n
1
1
(
a + 3 ab + 3 b2
2
3
2
n
1
3
a −b
3
0
3
n2
2
3
2
n
1
0.
1
.
)
8n3 + 3n2 − 2 + 5 − 2n .
ĐS: L =
21
.
4
Lời giải
Ta có: L
5
lim
lim
3
8n
3
3
8n3
3n
3n2
2
2
2
5 2n
lim5 lim
3
5
3n 2
lim
n3 8
3
n
2
n3
3n2
2
3n2
3
2
2
2n
2 8n3
8n3
3n2
2 2n
4n 2
2
n3 8
lim
3
n
2
.2n
n3
2
n2
3
Cần nhớ:
8n3
3n2
2
3
5
8n3
8n3
5 lim
2n
3
5
2
3
n
3
8
3
a −b =
2
n2
3
8
3
n
a − b3
3
a2 + 3 a b + b2
2
2
n3
4n 2
4
3
4
4
21
.
4
4
. Trong lời giải trên, đã sử dụng hai tính chất:
➢ lim ( un + vn ) = lim un + lim vn .
➢ limC = C với C là hằng số C
Ví dụ 5. Tính giới hạn L = lim
Fb: ThayTrongDGL
(
.
)
n 2 + n + 1 − 3 n3 + n 2 .
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
ĐS: L =
1
.
6
15
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Lời giải
Ta có:
L = lim
= lim
= lim
= lim
= lim
(
(
(
n 2 + n + 1 − 3 n3 + n 2
)
) (
)
n 2 + n + 1 − n + n − 3 n3 + n 2
)
(
n2 + n + 1 − n + lim n − 3 n3 + n2
n2 + n + 1 − n2
n2 + n + 1 + n
n +1
n2 + n + 1 + n
)
(
n3 − n3 + n 2
+ lim
n 2 + n 3 n3 + n 2 +
−n 2
+ lim
n 2 + n 3 n3 + n 2 +
)
(
3
n3 + n 2
)
(
3
n3 + n 2
)
2
2
1
−1
1 1 1
n
=
+ lim
= − = .
2
2 3 6
1 1
1
1
1+ + 2 +1
3
3 1+
1
+
+
1
+
n n
n
n
1+
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tính các giới hạn sau:
a) L
lim
b) L
lim
9n 2 n 1
.
4n 2
4n 2
n 1 n
9n 2
lim
2n 4
2n 2
d) L
lim
2n 1
n
4n 5
e) L
lim
3n 2
.
n 3
4n 2 1
16n
3
lim
g) L = lim
Bài 2.
n6
3
4
ĐS:
1
3
3n
c) L
f) L
.
ĐS:
2
3
3
.
8n3
4n
7n3 5n
n 2
2n 2
4
n
8
4
3
.
2
2
ĐS:
2 1
2
ĐS: L
1
1+ 4 + 7 ++ ( 3n + 1 )
4
3
ĐS: L
.
2n 2 + n 4 + 2n + 1
ĐS:
.
ĐS: L = 0
Tính các giới hạn sau:
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
16
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Bài 3.
Bài 4.
ĐS:
a) L
lim
4n 2
n 1 9n .
b) L
lim
9n 2
2n 1
c) L
lim
4n 2
n
d) L
lim
n2
n 1 n 10
e) L
lim
n2
3n
f) L
lim n2
g) L
lim 3n 5
h) L
lim n
4n 2
n4
9n2
n2
1
4
ĐS:
21
2
25 .
ĐS:
53
2
3n 1 .
ĐS: L
2019
ĐS: L
5
ĐS: L
1
2
2 .
n
2019
1 .
n2
1
ĐS:
ĐS:
4n 2
5
1 .
2 .
Tính các giới hạn sau:
a) L
lim
3
n
3
b) L
lim
3
8n3
c) L
lim
3
2n n 3
d) L
lim
3
n n3
e) L
lim
3
n3
2n2
f) L
lim
n4
n2
g) L
lim
n2
n 1
4
ĐS: L
0
ĐS: L
25
4
n 1.
ĐS: L
1
2 .
ĐS: L
n 1.
ĐS: L
n6
ĐS: L
1
2
ĐS: L
1
6
ĐS: L
1
2
ĐS: L
1
6
n 1 .
3n2
4
n
3
3
6 .
2n
1 .
n3
n2 .
2
5
3
Tính các giới hạn sau:
f) L
lim
n4
n2
g) L
lim
n2
n 1
Fb: ThayTrongDGL
3
n6
3
1 .
n3
n2 .
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
17
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
LỜI GIẢI
1 1
n2 9 − + 2
n
n n
9n − n + 1
a) L = lim
= lim
= lim
2
4n − 2
n4 −
n
2
Bài 1.
1
n
9
lim
1
n2
9 0 0
4 0
2
n
4
4n 2 − n + 1 − n
b) L = lim
9n 2 + 3n
1 1
+
n n2
2
n 4 −
n
9−
3
.
4
4−
= lim
1 1
+
−1
4 − 0 + 0 −1 1
n n2
=
= .
3
9+0
3
9+
n
3 2
3 2
2+ 3 − 4
− 4
3
2n + 3n − 2
n n = 2+0−0 = 2 .
n n = lim
c) L = lim
= lim
2
1 3
1 3
2−0+0
2
2n − n + 3
2− + 2
n2 2 − + 2
n n
n n
n2 2 +
4
1
3
1
3
n 2 + − 1+
2
+
−
1
+
n
n
2n + 1 − n + 3
n
n =
= lim
= lim
d) L = lim
4n − 5
5
5
n. 4 −
4−
n
n
2 −1
2 .
1
2 3
n 2 4 − 2 + 3 n3 8 + − 3
n
4n − 1 + 8n + 2n − 3
n n
= lim
e) L = lim
4
1
16n 2 + 4n − 4 n 4 +1
n 2 16 + − 4 n 4 1 + 4
n
n
3
2
3
2
1
2 3
1
2 3
+n3 8+ − 3
4− 2 + 3 8+ − 3
2
2+2 4
n
n n = lim
n
n n
=
= .
4
−
1
3
4
1
4
1
n 16 + − n 4 1 + 4
16 + − 4 1 + 4
n
n
n
n
n 4−
= lim
7 5 8
7 5 8
n6 1 − 3 − 5 + 6
n2 . 3 1 − 3 − 5 + 6
n
n
n
n − 7n − 5n + 8
n n n
= lim
f) L = lim
= lim
n+2
n+2
2
n. 1 +
n
3
6
3
1−
= lim n.
Fb: ThayTrongDGL
3
3
7 5 8
7 5 8
3 1−
− 5+ 6
− +
3
n n n =+ (Vì lim n = + và lim
n3 n5 n6 = 1 ).
2
2
1+
1+
n
n
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
18
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1+ 4 + 7 ++ ( 3n + 1 )
g) L = lim
2n 2 + n 4 + 2n + 1
= lim
( n + 1 )( 3n + 2 )
(
2 2n 2 + n 4 + 2n + 1
)
3 5 2
n4 2 + 3 + 4
3n + 5n + 2
n n n
= lim
= lim
2 1
2 2n 2 + 2 n 4 + 2n + 1
2 2n 2 + 2 n 4 1 + 3 + 4
n n
2
3
n2
n2
lim
2 2n
Bài 2.
a) L = lim
(
2
5
n3
2n
2
2
n4
2
n3
1
(
lim
1
n4
2 2
5
n3
2
n4
2
1
3
n
n4
2 1
0
0.
3 2
1 1
1 1
4n2 + n + 1 − 9n = lim n 2 4 + + 2 − 9n = lim n 4 + + 2 − 9n
n n
n n
)
1 1
lim n. 4 + + 2 − 9
n n
b) L = lim
3
n2
1
1
(Vì lim n = + và lim 4 + + 2 − 9 = −7 0 ).
n n
)
2 1
1
9n2 + 2n − 1 − 4n2 + 1 = lim n 9 + − 2 − 4 + 2
n n
n
= +
2 1
1
− 4 + 2 = 1 0 ).
2
n n
n
(Vì lim n = + và lim 9 + −
c) L = lim
4+
10
e) L
4n + n − 4n + 2
1−
= lim
d) L
(
2
2
2
n
1
2
+ 4+ 2
n
n
lim
lim
lim
Fb: ThayTrongDGL
n2
)
n2
3n
+ n ) − ( 4n 2 + 2 )
4 n + n + 4n + 2
2
2
= lim
lim10
lim
1
n
1 1
n n2
n2
10
n
5
n−2
4n + n + 4n 2 + 2
2
n 1 n
1
n 1
n 1
2
1− 0
1
= .
4+0 + 4+0 4
=
n 1 n 10
n2
( 4n
= lim
lim
1
n
25
lim 25 lim
1 0
1 0 0
10
1
n2
3n
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
5
1
10
1
2
21
.
2
n
19
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
n2
25 lim
n2
3n
lim n2
2019
n
2019
2019
n4
n4
2
lim
1
3n
9n 2
1
n
Bài 3.
9n2
9n 2
lim
n2
2
a) L = lim
(
3
n2
2019
1
n
n2
1
1
n2
1
2
n
1
n4
2
n4
9n 2
3n 1
1
2019 .
2019 0
lim5
5.
0 5
lim5
9n 2
1
3n 1
0 0
1 0 0
1
lim
n
lim n2
1
3n
25
5
3n 1
lim
lim 3n
lim
lim5
3n
5
n
3 5
n n2
3
5
lim2019
n 3n 1
3 1
n n2
2019
3
1
1
n3 n 4
9n 2
n n2
3n 1
4
lim
lim n
25 lim
3n 1
lim 3n 5
h) L
3n
n
1
1
g) L
5
53
.
2
n4
lim
n2
5
3 0
1 0 0
25
f) L
3n
1
2
2
n
lim
n
2
)
2
1
n
1
lim
2
2
1
1
n2
1
1
.
2
2
n2
3
n + 4 − 3 n + 1 = lim
3
( n + 4)
2
+ 3 ( n + 4 ) . ( n +1) + 3 ( n +1)
2
3
= lim
2
2
4
4 1
1
n . 1 + + 3 n 2 . 1 + . 1 + − 3 n 2 . 1 +
n
n n
n
3
= lim
= 0.
2
4 2
4 1
1
3 2
n 3 1 + + 3 1 + . 1 + + 3 1 +
n n
n
n
3
b) L
6
2
3
lim
3
lim
8n3
8n3
3n2
3n2
4
4
2n
2n
6
6
lim
6
lim
3
Fb: ThayTrongDGL
8
3
n
4
n3
8n3
4
n2
2
2. 3 8
3n 2
6
3
n
3n2
4
lim
3
3
8n3
3
4
n3
1
4
4
2
2n
6
3n 2
4
2n. 3 8n3
3n 2
4
4n 2
25
.
4
4
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
20
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
c) L = lim
(
3
lim
2
( 2n − n )
3
3
2
n n3
3
lim
3
n
n3
2n2
n3
2n
5
.
3
a) L
lim
n4
n2
lim
n4
n2
n2
n4
n2
n4
n2
n
b) L
lim
lim
2
lim
3
2
n n3
4
n
n. n
n
n 1
2
3
n
lim
n. 3 2n3 2n 2
n6
3
3
lim
n6
1 n2
n6
3
n 1
n 1
n
3
n6
n3
1
1
2
n 2 3 n6
1
2
n2
n 1
1
n
1 1
n n2
n2
Fb: ThayTrongDGL
n
1
n
2 0
2
1
n2
1
3
n 1
1
1
n2
n2
n2
1
n4
2.
1 1
3
lim
n3
2n 2
n
2
3
2
n
1
3
n6
lim
n2 3 n6
n3
n 3 n3
2
3
1
2
n
1
1 n2
1
n2
n4
n 1 n
1
1
1
n2
n
3
0
1
n3
1
.
2
n2
n2
3
n3
n2
3
n3
n2
2
n2
n
n2
n 3 n3
1
1
n n3
= −1 + 0 =−1 .
n6
lim
n3
n2
3
lim
n2
n6
n 1
n2
2
1
n 1 n2
n2
lim
2n2
n4
1
lim
2
2
2
3
n3
)
2
2
3
2 −1 − 3 2 −1 + 1
n
n
2
3
2n − n 3 + n
3
1 lim
lim
n2
n
2 2
lim
n4
n2
lim
n2
n
(
2
n
2 lim
3
3
n2
lim
3
2n 2
2
3
lim
− n 2n − 2n + n
3 2
n
3
Bài 4.
= − 1 + lim
3
n
1 lim
1
)
2n − n3 + n − 1 = −1 + lim
3
n
lim
e) L
(
2n
= −1 + lim
d) L
)
2n − n3 + n − 1 = lim
3
n2
1
2
1 1
3
1
1
n
3
1
1
n
1
2
2
1
3
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
1
.
6
21
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1.
Tính các giới hạn sau:
1) lim
2n2 − 3n + 1
2
. ĐS: .
2
5n + 3
5
2) lim
5n2 − n + 3
5
. ĐS: .
2
2n + 3n − 1
2
3) lim
n3 − n + 3
1
. ĐS: .
2
3
2n + 3n − 1
3
4) lim
8n3 − 2n2 + 1
. ĐS: 4 .
1 − 3n2 + 2n3
6n 3 − 2 n + 1
5) lim 3
. ĐS: 6 .
2n − n ( n2 + n − 1)
( 2n − 1) ( 3 − 4n3 )
7) lim
. ĐS:
3
2
( 4n + 2 ) ( 2 − n )
2
(n
9) lim
2
+ 2 ) ( n − 1)
1
− .
4
2
( n + 1)( 2n + 3)
3
1
. ĐS: .
8
( n + 2 ) ( 3 − n ) . ĐS:
11) lim
( 3n2 + 2 ) ( 5 − n )2
3
1
− .
3
1
1
13) lim 2
− 2
. ĐS: 0 .
n + 2n 2n + 3
Bài 2.
( n + 2 ) ( 3 − n ) + 2n
6) lim
(3n + 2) (5 − n )
2
3
2
( 2n
8) lim
4
+ 1) ( n + 2 )
2
n17 + 1
1
. ĐS: − .
3
9
. ĐS: 4 .
4n 4 − n 2 + 1
10) lim
. ĐS: −2 .
( 2n + 1)( 3 − n ) ( n2 + 2 )
( n + 2) (3 − n )
1
12) lim
. ĐS: − .
3
2
2
27
( 3n + 2n + 1) ( 5 − n )
3
5
n3
n2
1
−
14) lim 2
. ĐS: .
4
2n − 1 2n + 1
Tính các giới hạn sau
2n + 4n
1) lim n n . ĐS: 1 .
4 −3
3.2n − 5n
1
2) lim n
. ĐS: − .
n
5.4 + 6.5
6
3) lim
4n + 2.3n
. ĐS: + .
5 + 3n
4) lim
1 + 2.3n
. ĐS: 2 .
5 + 3n
5) lim
4.3n + 5n +1
. ĐS: 5 .
3.2n + 5n
6) lim
1
4n+ 2 + 6n+1
. ĐS:
.
n −1
n +3
72
5 + 2.6
8) lim
2n − 3n + 4.5n+ 2
. ĐS: 20 .
2n+1 + 3n+ 2 + 5n+1
7)
( −3)
lim
− 4.5n +1
−20
. ĐS:
.
n
n
2.4 + 3.5
3
n
2n − 3n + 5n+ 2
9) lim n+1 n+ 2 n+1 . ĐS: 5 .
2 +3 +5
11) lim
9n + 1
. ĐS: 1 .
3n − 1
Fb: ThayTrongDGL
10) lim
12) lim
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
2n + ( −5)
n
2.3n + 3. ( −5)
n
. ĐS:
1
.
3
n + n2 + 1
. ĐS: 0 .
n.3n
22
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
13)
( −1)
lim
n
.25 n +1
( −5) + 4n . ĐS: 0 .
14) lim
n +1
( −7 ) + 4n+1
n
. ĐS: 0 .
35 n + 2
−1
4n + 2.22 n +1
15) lim 2( n +1) n . ĐS:
.
4
5.2
+3
−1
3 − 2n + 5n
16) lim n
. ĐS:
.
n
2
3 − 2.5
2n + 3n − 4n
1
17) lim n n+1 n+1 . ĐS: .
2 +3 +4
4
4 + 2.3n−1 − 4n−2
1
18) lim n n +1 n +1 .ĐS: − .
2 +3 +4
64
( −3) − 5n . ĐS:
19) lim
n−2
( −3) + 5n+1 + 2
20) lim
3n.2n−1 + 3n+ 2
1
. ĐS:
.
n+2
n +1
3 +6
12
2) lim
2n 1
n
4n 5
n
Bài 3.
Tính các giới hạn sau:
4n 2
1) lim
n 1 n
9n 2
16n 2
3n2
5) lim
. ĐS:
1
.
3
2n 2
3
3n
4n 2 1
3) lim
Bài 4.
−1
.
5
n
3
8n3
4
4n
n4
. ĐS:
1
n . ĐS:
5
4
.
3
.
n2
4) lim
4
3
6) lim
3
n
8n3
16n 4
n2
3
n3
2 1
.
2
. ĐS:
3n
. ĐS: 1 .
1
n 2
n . ĐS:
.
Tính các giới hạn sau:
)
1) lim
(
n2 + n + 1 − n . ĐS:
3) lim
(
n2 + 3n + 5 − n . ĐS:
1
.
2
)
3
.
2
5) lim n ( n + 1 − n ) . ĐS: + .
(
4n2 + n − 4n2 + 2 . ĐS:
4) lim
(
4n2 + 3n − 2n . ĐS:
)
6) lim n
)
8) lim
7) lim
(
n2 + 2n − n + 3 . ĐS: 4 .
9) lim
(
9n2 + 3n − 4 − 3n + 2 . ĐS:
)
11) lim
(
3
n + 2 − 3 n . ĐS: 0 .
13) lim
(
3
n − n3 + n + 2 . ĐS: 2 .
15) lim
(
3
n3 − 2n2 − n − 1 . ĐS:
5
.
2
)
)
Fb: ThayTrongDGL
)
2) lim
)
−5
.
3
(
1
.
4
3
.
4
)
−1
n2 + 1 − n2 + 2 . ĐS:
.
2
)
(
4n2 + 3n + 1 − 2n + 1 . ĐS:
7
.
4
)
(
10) lim 1 + n2 − n4 + 3n + 1 . ĐS: 1 .
)
12) lim
(
3
n3 + 3n2 − n . ĐS: 1 .
14) lim
(
3
2n − n3 + n − 1 . ĐS: −1 .
16) lim
(
3
8n3 + 4n2 + 2 − 2n + 3 . ĐS:
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
)
)
10
.
3
23
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Bài 5.
Tính các giới hạn sau:
1) lim
2
1 4
2) lim
3) lim
4) lim
5 8
4n 2
1
7
2n 2
2
3n 1
3n 1
n4
4
3.2n
Fb: ThayTrongDGL
ĐS: 0 .
.
ĐS:
.
1
1 2
1
2 1
3
.
8
2n 1
2n
1
ĐS:
.
2 3
1
3 2
n n 1
n 1
n
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
.
2
.
3
ĐS: 1.
24
Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1 (Giới hạn của hàm số tại một điểm).
Giả sử ( a ; b ) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập hợp
( a ; b ) \ x0 . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu
với mọi dãy số ( xn ) trong tập hợp ( a ; b ) \ x0 mà lim xn = x0 ta đều có lim f ( xn ) = L .
Khi đó ta viết lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → x0 .
x→ x
0
Định nghĩa 2 (Giới hạn của hàm số tại vô cực).
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( a ; + ) . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực
L khi x dần tới + nếu với mọi dãy số
( xn )
trong khoảng
( a ; + )
mà lim xn = + ta đều có
lim f ( xn ) = L .
Khi đó ta viết lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → + .
x →+
GIỚI HẠN HỮA HẠN
Giới hạn đặc biệt
Giới hạn đặc biệt
1) lim x = x0 .
k
1) lim x = + .
x → x0
2) lim c = c
x → x0
GIỚI HẠN VÔ CỰC
x →+
(c ) .
3) lim−
x →0
1
= − .
x
c
=0.
x → x k
1
4) lim+ = + .
x →0 x
2) lim
+ khi k 2 ( k 0 )
5) lim x k =
x →−
− khi k 2
Định lí
Định lí 1
Nếu lim f ( x ) = L và lim g ( x ) = M thì
Nếu lim f ( x ) = L 0 và lim f ( x ) = thì
1) lim f ( x ) g ( x ) = L M .
x → x0
+ khi L. lim g ( x ) 0
x → x0
lim f ( x ) .g ( x ) =
.
x → x0
g ( x) 0
− khi L. xlim
→ x0
x → x0
x → x0
2) lim f ( x ) .g ( x ) = L.M .
x → x0
3) lim
x → x0
x → x0
Nếu f ( x ) 0 và lim f ( x ) = L thì
x → x0
lim f ( x ) = L và lim
x → x0
x→ x0
Nếu lim g ( x ) = 0 thì
f ( x) L
=
với M 0 .
g ( x) M
x → x0
x → x0
lim
x → x0
f ( x)
+ khi L.g ( x ) 0
.
=
g ( x)
− khi L.g ( x ) 0
f ( x) = L .
Giới hạn một bên
lim f ( x ) = L lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L .
x → x0
x → x0
Fb: ThayTrongDGL
x → x0
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
25
Chúc các em học tốt !
