Bài giảng De thi hoc sinh gioi lop 9

Phòng Giáo dục & Đào tạo
___________________
Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 2010
Môn toán 9
Thời gian làm bài 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
__________________________________
Đề thi gồm 01 trang
Họ và tên thí sinh:..................................................................... Chữ ký giám thị 1..............................................................................
Số báo danh:................................................................................... Chữ ký giám thị 2...............................................................................
Bài 1 (4 điểm):
Cho biểu thức
( )
5 2
3 2
4 3 7 12
x
x x
A
x x x x

+ +
=
+
với x

0; x

9; x

16

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.
Bài 2 (4,5 điểm) Cho hệ phơng trình ( x, y là ẩn, a là tham số):

2
2 1
x ay
ax y
+ =


=

a) Giải hệ phơng trình theo tham số a.
b) Tìm số nguyên a lớn nhất để hệ phơng trình có nghiệm (x
0
, y
0
) thoả mãn bất đẳng thức
x
0
y
0
< 0.
Bài 3 ( 3,5 điểm):
Cho biết:
1 1 1
z x y

= +

ữ

và x > 0; y > 0. Chứng minh rằng:
x z z y x y
+ + + = +
Bài 4 (5 điểm):
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính AC. Trên tia AB lấy điểm D sao
cho AD = 3AB. F là giao điểm của DC với đờng tròn tâm O (B và F cùng nằm trên nửa
mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AC). Đờng thẳng Dy vuông góc với DC tại D, cắt tiếp
tuyến Ax của đờng tròn tâm O tại E. H là giao điểm của AF với BC, M là giao điểm của
DH với AC.
a) Chứng minh tứ giác AEDH là hình bình hành.
b) Chứng minh tam giác BED là tam giác cân.
c) Gọi N là giao điểm của DM với BF. Chứng minh BN.MF = NF.BM
Bài 5 (3 điểm):
Cho
ABC

,
2BAC

=
( )
0 0
0 90

< <
; AD là tia phân giác của
BAC

(
D BC

).
Chứng minh rằng:
a)
1
. .sin
2
ABD
S AB AD

=
b)
sin
2 .
BC
AB AC



Chính thức
================== Hết =================
Phòng Giáo dục & Đào tạo Đáp án Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 2010
Môn toán 9
__________________________________
Bài 1 (4 điểm):
a) Rút gọn biểu thức A.
Với x

0; x

9; x

16 ta có:
( )
( ) ( )
5 2
3 2
4 3
4 3
x
x x
A
x x
x x

+ +
=


0,5 đ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 2 4 5 2
4 3
x x x x x
x x
+ +

=

0,5 đ

( ) ( )
9 2 8 5 10
4 3
x x x x
x x
+ + +
=

0,5 đ

( ) ( )
3 9 3
4
4 3
x
x
x x
+
= =


0,5 đ
b) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên.
Với x là số nguyên và x

0; x

9; x

16 thì A có giá trị là số nguyên khi và
chỉ khi
4 x

là ớc của 3
0,5 đ
Do đó
4 x

nhận các giá trị -3; -1; 1; 3
0,5 đ
Khi đó x nhận các giá trị 49; 25; 9; 1 0,75 đ
Vì x

9 nên a nhân các giá trị 1; 25; 49. 0,25 đ
Bài 2 (4,5 điểm) Cho hệ phơng trình ( x, y là ẩn, a là tham số):

2
2 1
x ay
ax y
+ =


=

a) Giải hệ phơng trình theo tham số a.

Từ pt (1) ta có x = 2 - ay thay vào pt (2) ta đợc (2 + a
2
)y = 2a - 1
0,5 đ
Vì a
2
+ 2

0 với mọi a nên
2
2 1
a 2
a
y

=
+
0,5 đ
Tìm đợc
2 2
(2 1) 4
2 2
a 2 a 2
a a a
x ay
+
= = =
+ +
0,5 đ
Vậy với mọi giá trị của a. Hệ phơng trình luôn có nghiệm duy nhất:

2
2
4
a 2
2 1
a 2
a
x
a
y
+

=


+



=

+

0,5 đ
(1)
(2)
b) Tìm số nguyên a lớn nhất để hệ phơng trình có nghiệm (x
0
, y

0
) thoả mãn bất đẳng thức
x
0
y
0
< 0.
Vì a
2
+ 2 > 0 với mọi a, hệ phơng trình có nghiệm (x
0
, y
0
) thoả mãn:
x
0
y
0
< 0

(a + 4)(2a 1) < 0
0,5 đ
4 0
2 1 0
a
a
+ <

>

(3) hoặc
4 0
2 1 0
a
a
+ >


<

(4)
0,5 đ
Giải (3) ta đợc
4
1
2
a
a
<



>


0,5 đ
Giải (4) ta đợc -4 < a <
1

2
0,5 đ
Hệ phơng trình có nghiệm (x
0
, y
0
) thoả mãn x
0
y
0
< 0

- 4 < a <
1
2
(5)
0,25 đ
=> Số nguyên lớn nhất thoả mãn (5) là a = 0 0,25 đ
Bài 3 ( 3,5 điểm):
Cho biết:
1 1 1
z x y

= +
ữ

và x > 0; y > 0. Chứng minh rằng:
x z z y x y
+ + + = +
.

1 1 1
z x y

= +
ữ

và x > 0; y > 0 => z < 0 và xy + yz + xz = 0
0,5 đ
=> z
2
= z
2
+ xy + yz + xz = z(x + z) + y(x + z) = (x + z)(y + z) (1)
0,5 đ
=> (x + z)(y + z) > 0 0,25 đ
Từ
1 1 1
z x y

= +
ữ

=>
1 1 1
0
y z
x z y yz

+
= + = >

ữ

=>
0
y z
yz
+
<
Mà yz < 0 nên y + z > 0 => x + z > 0
0,25 đ
0,25 đ
Vì z < 0 nên từ (1) =>
( ) ( )
x z y z z
+ + =

0,5 đ
2z + 2
( ) ( )
0x z y z
+ + =
0,5 đ
(x + z) + (y + z) + 2
( ) ( )
x z y z
+ + =
x + y
0,25 đ
Vì x + z và y + z là những số dơng nên ta có:

( ) ( )
2 2
x z y z x y
+ + + = +
0,25 đ
=>
x z y z x y
+ + + = +
0,25 đ

D
N
M
B
C
A
y
x
E
A
N
I
B
H
M
O
C
F
D
Bài 4 (5 điểm):

a) Tứ giác AEDH là hình bình hành.
Kéo dài DH cắt AC tại M
Chỉ ra đợc
; ;EA AC DM AC AF DC

(0,75 đ)
Chỉ ra đợc AE//DH; AH//DE (0,25 đ)
Suy ra tứ giác AEDH là hình bình hành. (0,25 đ)
b) Tam giác BED là tam giác cân.
Gọi I là trung điểm của BD.
(0,25 đ)
Tứ giác AEDH là hình bình hành => DE = AH (0,25 đ)
AD = 3AB và I là trung điểm của BD => AB = BI = ID (0,25 đ)
Tứ giác AEDH là hình bình hành => DE // AH =>
EDI HAB
=
(0,25 đ)
Suy ra đợc
EDI HAB
=
(0,25 đ)
Suy ra
DIE ABH
=
mà
0
90ABH
=
=>
0

90DIE
=
=> EI

BD (0,25 đ)

BED

có EI vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến nên
BED

cân (0,25 đ)
c) Chứng minh BN.MF = NF.BM
Chứng minh
DB DH
DBH DMA
DM DA
=
:
DA DH
DM DB
=
(0,5 đ)

ADH

và
MDB

có

DA DH
DM DB
=
; Chung
D

=>
ADH MDB

:
(0,25 đ)
=>
DAH DMB
=
(1) (0,25 đ)
Tơng tự nh chứng minh trên ta có
DMF DCH
=
(2)
(0,25 đ)
Mà
DAH DCH
=
(cùng phụ với
ADC

) (3)
(0,25 đ)
Từ (1); (2); (3) =>
DMF DMB

=
=> MN là tia phân giác của góc BMF (0,25 đ)

BMF

có MN là đờng phân giác =>
. .
BN BM
BN MF NF BM
NF MF
= =
(0,25 đ)
Bài 5 (3 điểm):
a)
1
. .sin
2
ABD
S AB AD

=
Kẻ BM vuông góc với AD tại M
AD là phân giác của
BAC

=>
BAD

=
DAC

=

0,25 đ
Chỉ ra đợc
1
.
2
ABD
S BM AD
=
(1)
0,5 đ
Chứng minh đợc BM = AB.sin

(2) 0,25 đ
Từ (1); (2) =>
1
. .sin
2
ABD
S AB AD

=
0,25 đ
b)
sin
2 .
BC
AB AC

Kẻ CN vuông góc với AD tại N
Có đợc BM = AB.sin

; CN= AC.sin

=> BM + CN = (AB + AC).sin

0,5 đ
Có đợc BM + CN

BC 0,5 đ
=> (AB + AC).sin


BC =>
sin
BC
AB AC


+
0,25 đ
Mà
2 .AB AC AB AC
+

0,25 đ
=>

2 .
BC BC
AB AC
AB AC

+
=>
sin
2 .
BC
AB AC


0,25 đ
* Chú ý:
1, Trong từng câu:
+ Học sinh giải cách khác hợp lý, kết quả đúng cho điểm tơng ứng.
+ Các bớc tính, hoặc chứng minh độc lập cho điểm độc lập, các bớc liên quan với
nhau đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2, Điểm toàn bài là tổng điểm các phần đạt đợc không làm tròn.