Bài tập - Hướng dẫn giải môn ổn định học công trình

CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

Bi 1: Cho hãû nhỉ hỗnh (H.1). k1, k2 laỡ õọỹ cổùng cuớa caùc lión kãút ân häưi C v B (mämen
phạt sinh khi liãn kóỳt xoay bũng õồn vở). Tỗm lổỷc tồùi haỷn theo:
a. Phổồng phaùp thióỳt lỏỷp vaỡ giaới phổồng trỗnh õaỷi sọỳ
Giaới:
a. Phổồng phaùp thióỳt lỏỷp vaỡ giaới phổồng trỗnh õaỷi sọỳ
P

P
VA



A

EJ=

EJ=

l2

A

C

k1

c

y

Mc
C'

C

EJ=

EJ=

l1

Mc


MB

k2



B

VB B
P

(H.1)
Taỷo hóỷ ồớ traỷng thaùi lóỷch nhổ hỗnh

Ta coù:
y
y
y y
A = ; ϕ B = ;ϕC = ϕ A + ϕ B = +
l2
l1
l1 l2
M B = k2ϕ B =

k2 y
;
l1

y y
M C = k1ϕC = k1 ( + );
l1 l2

∑M

tr
C'

=0

⇒ Py − VAl 2 − M C = 0

⇒ VA =

 Nàơng 2007

Py − M C  P
l +l 
=  − k1 1 2 2  y
l2
l1l2 
l 2

(1)

Trang 1


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

∑M

B

=0

⇒ VA (l 1 +l2 ) − M B = 0
MB
k2
⇒ VA =
=
y
l 1 +l2 l1 (l1 + l2 )

(2)

Tỉì (1), (2)...
Âiãưu kiãûn täưn tải traỷng thaùi lóỷch laỡ y 0 , vỗ vỏỷy:
k1 ... + k2l22
Pth =
l1l2 (l1 + l2 )

Baìi 2: Cho hỗnh chởu lổỷc neùn P nhổ hỗnh (H.2). k laỡ âäü cỉïng ca liãn kãút ân häưi B, C
(phn lỉûc phạt sinh khi liãn kãút chuøn vë bàịng âån vë). Tênh lỉûc tåïi hản theo:
a. Phỉång phạp thiãút láûp v giaới phổồng trỗnh õaỷi sọỳ

a. Phổồng phaùp thióỳt lỏỷp vaỡ giaới phổồng trỗnh õaỷi sọỳ
P

P

EJ=

A

B

a

C

VB
B

SA

l=3a
2

EJ=





VC


A



C

SC

Giaới:

a

(H.2)
Taỷo hóỷ ồớ traỷng thaùi lóỷch. Âáưu thanh âỉïng lãûch δ
Khi âọ chuøn vë åí cạc gäúi B, C láưn lỉåüc l SB, SC xạc âënh theo cäng thæïc sau:
SC S B δ
aδ

=
= ⇒ S B = SC =
a
a
l
l

Phn lỉûc tải cạc gäúi B, C láưn lỉåüc l VB =
Ta cọ:

 Nàơng 2007

aδ
k = VC (chiãưu nhổ hỗnh veợ)
l

Trang 2


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

∑M

A

=0

⇒ Pδ − VA a − VB a = 0
..............
⇒ δ (P −

2ka 2
)=0
l
2ka 2
=0
l

Âãø tọửn taỷi bióỳn daỷng lóỷch thỗ 0 , tỉïc l P −
Do âọ: Pth =

2 ka 2
3a
4ak
. Khi l =
thỗ Pth =
l
2
3

Baỡi 3:

Cho hóỷ chởu lổỷc neùn P nhổ trón hỗnh (H.3). Tỗm lổỷc tồùi haỷn.
P

(H.3)

l

EJ=

B

EJ0

C

D

A

c

a

a

EJ0

c

P

B

P



D

C



A

D

C

k
RC

k
RD

3EJ 0

c2

3EJ 0

c2

rC1=

3EJ 0

c3

c3 =rD1

3EJ 0

Phn lỉûc tải C v D do chuøn vë thàóng ∆C = ∆ D = 1 gáy ra:
Trong âọ k = rC1 = rD1 l phn lỉûc phạt sinh khi liãn kãút chuyãøn vë 1 âån vë.
Xaïc âënh k : Cho chuøn vë âáưu console 1âv, xạc âënh k
 Nàơng 2007

Trang 3


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN
c

P=1

3EJ
1 c 3k 2
=1⇒ k = 3 0
EJ 0 2 3
c

c
ck

P=k

c

Så âäư ban âáưu cọ thãø thay bàịng så âäư våïi gäúi ân häưi tải C v D, trong âọ âäü
cỉïng ca l xo k =

3EJ 0
.
c3

2 ka 2
2a 2 3EJ 0 6a 2 EJ 0
Theo kãút qu bi 2 Pth =
→
=
Pth =
3 EJ
k= 3 0
l
l c3
c 3l
c

Hồûc cọ thãø gii nhỉ sau:
δ
Hồûc ϕ A = B
l
Âäü dn ca liãn kãút C v D l:
δ a
∆C = ∆ D = B
l
Phn lỉûc tải C v D:

δ a
RC = RD = k ∆C = k B
l
2
δ a
∑ M A = 0 ⇒ 2k Bl − Pδ B = 0
Âãø hãû cọ cán bàịng lãûch: δ B ≠ 0
⇒ Pth =

 Nàơng 2007

2ka 2 6a 2 EJ 0
=
l
c3l

Trang 4


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

Bi 4:

Cho hãû chëu lỉûc neùn P nhổ trón hỗnh (H.4). Tỗm lổỷc tồùi haỷn.
a. Phỉång phạp chênh xạc
b. Phỉång phạp sai phán hỉỵu hản (4 õoaỷn)
z

a. Phổồng phaùp chờnh xaùc:
Ta vióỳt phổồng trỗnh vi phán cho hai âoaûn:

Âoaûn 1: l ≤ z ≤ 2l
EJy1" + Py1 = Pδ

P

y2 = A2 sin α 2 z + B2 cosα 2 z + δ
Trong âoï:

EJ

2EJ

l

2EJ

y

(H.4)

P
P α 22 1
2
α =
;α 2 =
;
=
EJ
2 EJ α12 2
2

1

Âiãöu kiãûn biãn:
z = 0; y2' = 0

(1)

z = 2l; y1 = δ

(2)

Âiãöu kiãûn ghẹp näúi giỉỵa hai âoản
(3)
z = l; y1' = y2'
2 EJ "
M 1 = M 2 ⇒ y1" =
y2 = 2 y2" (4)
EJ
Ta coï:
 y1' = α1 A1cosα1z − α1B1 sin α1 z
 "
 y1 = ............
 '
 y2 = α 2 A2cosα 2 z − α 2 B2 sin α 2 z
 y" = ............
 2
Thay vaìo (1), (2), (3), (4), ta coï:
 A1 sin α1 2l + B1cosα1 2l = 0

α1 A1cosα1l − α1B1 sin α1l + α 2 B2 sin α 2l = 0

 2
2
2
α1 A1 sin α1l + α1 B1cosα1l − 2α 2 B2cosα 2l = 0
Hay

 Nàơng 2007

P

EJ

Âoản 2: 0 ≤ z ≤ l
2EJy2" + Py2 = P
Nghióỷm cuớa phổồng trỗnh trón coù daỷng:
y1 = A1 sin α1 z + B1cosα1 z + δ

δ

l

Giaíi:

Trang 5


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

 A1 sin α1 2l + B1cosα1 2l = 0


...............
 A sin α l + B cosα l − B cosα l = 0
1
1
1
2
2
 1
Âiãöu kiãûn täưn tải trảng thại cán bàịng lãûch:
sin α1 2l cosα1 2l
0
D(α ) = cosα1l
sin α1l
Âàût

2
sin α 2l = 0
2
−cosα 2l

− sin α1l
cosα1l

α 2l = ν
α1l = 2ν
tg 2ν tgν = 2

Giaới phổồng trỗnh, ta coù:
1,0342 EJ
Pth =

l2
b. Phổồng phaùp sai phán hỉỵu hản (4 âoản)
P

y

EJ

l/2

P

l
l/2

l

y1

l/2

l

y3

l

2EJ

l/2

y2

l/2

y4
y3

H.4

z
2

P l
= 2 β0
EJ 4
P l2
2
2
β3 = β 4 =
= β0 (*)
2 EJ 4
β12 = 22 =

Ta coù caùc phổồng trỗnh sai phỏn:

aỡ Nụng 2007

Trang 6

CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN
 y0

 y1

 y2
 y3

+
+
+
+

(β12 − 2) y1
(β22 − 2) y2
(β32 − 2) y3
(β42 − 2) y4

+
+
+
+

y2
y3
y4
y3

=

=
=
=

0 (2β0 − 2) y1

y1
0 
⇒
0
0 
0
0 

+
y2
+ (2β0 − 2) y2
y2
+
0
+

+
0
y3
+
+ (β0 − 2) y3
2 y3
+

+
0
0
+
y4
+
+ (β0 − 2) y4

=
=
=
=

Phổồng trỗnh ọứn õởnh:
1
0
0
(2 0 2)

1
(2 0 − 2)
1
0 

=0

0
1
( β0 − 2)
1 



0
0
2
( β0 − 2) 

1
0
0 
(2 β0 − 2)
1
0 
(2 β0 − 2)

1
(2 β0 − 2)
1
0 


= (2 β0 − 2) 
1
( β0 − 2)
1 

0
1
( β 0 − 2)
1 


0
2
( β0 − 2) 


0
0
2
( β 0 − 2) 

0
0 
1

−1 1 ( β0 − 2)
1  = 4β 04 − 24 β 03 + 41β 02 − 22 β 0 + 2 = 0 ⇒ β0 = 0,1132
0
2
( β0 − 2) 
P l2
EJ
Thay vo (*), ta cọ:
= 0,1132 ⇒ Pth = 0,906 2
2 EJ 4
l

:

Bi 5: Cho hãû chëu lỉûc nẹn P nhỉ trón hỗnh (H.5).

Mọmen quaùn tờnh thay õọứi theo quy luỏỷt J = J 0
Tỗm lổỷc tồùi haỷn theo:
c. Phổồng phaùp sai phán hỉỵu hản (4 âoản)

 Nàơng 2007

4 z (l − z )
l2

Trang 7

0
0
0
0


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

Gii:
c. Phỉång phạp sai phán hỉỵu hản (4 âoản)
Ta cọ: y0 = y4 = 0
y1 = y3
l
4.l (l − ) 3
4 = J
J1 = J 0
0
2
4.l

4
P l2
β12 =
= ..........
EJ1 16
β 22 =

P l2
=A
EJ 0 16

Caïc phổồng trỗnh sai phỏn hổợu haỷn:
y0 + ( 12 − 2) y1 + y2 = 0

2
 y1 + ( β 2 − 2) y2 + y3 = 0
( β 2 − 2) y1 +
y2
= 0
⇒ 1
2
+ ( β 2 − 2) y2 = 0
 2 y1
 4
y2
= 0
( A − 2) y1 +
⇒ 3

2 y1

+ ( A − 2) y2 = 0

Phổồng trỗnh ọứn õởnh:

4

1
A = 0,5
( 3 A − 2)
= 0 ⇒ 2 A2 − 7 A + 3 = 0 ⇒  1


 A2 = 3
2
( A − 2) 

8 EJ
Våïi A1 = 0, 5 ⇒ Pth = 2 0
l

 Nàơng 2007

Trang 8


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

CHỈÅNG III: ÄØN ÂËNH CẠC THANH THÀĨNG
Bi 7:

Chỉïng minh cạc cäng thỉïc sau Pth =
P

π 2 EJ
( µl )2
P

P

Så âäư thanh

P

µ

2
0,7
1
0,5
Âãø chỉïng minh cạc cäng thổùc naỡy thỗ ta cỏửn aùp duỷng caùc cọng thổùc thäng säú ban
âáöu sau:
z

0

y ( 0) y' ( 0) y

P

P

M(0)

M+dM
M

0

Q*(z)

Q*(0)
z

dz

P
Q*(z)+dQ*(z)

y

a)

b)

y'( 0 )
M( 0)
Q* ( 0 )
sinα z − 2 (1-cosα z)- 3
( α z − sinα z)
α

α EJ
α EJ
M( 0)
Q* ( 0 )
y'( z ) = y'( 0 )cosα z −
sin α z − 2
( 1 − cosα z )
α EJ
α EJ
Q* ( 0 )
M ( z ) = − EJy"( z ) = α EJy'( 0 ) sin α z + M ( 0 )cosα z +
sinα z
α
dM
dy
Q * ( z) =
−P
dz
dz
a. Så âäö 1:
y( z ) = y( 0 ) +

(1)
(2)
(3)
(4)

Z

l

P

y

 Nàơng 2007

Trang 9


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

Âäúi våïi trỉåìng håüp ny, cạc thäng säú ban âáưu cọ giạ trë nhỉ sau:
 y(0) = ?

 y '(0) = ?

 M (0) = 0
Q * (0) = 0

Âiãưu kiãûn åí âáưu b:
 y (l ) = 0

 y '(l ) = 0

Ta coï:

y '(0)

sinα l = 0

 y (l ) = 0
π
 y (0) +
⇒
⇒ cosα l = 0 ⇒ α thl =
α

2
 y '(l ) = 0 
y '(0)cosα l = 0

π 2 EJ
⇒ Pth =
(2l ) 2
b. Så âäö 2:
P

Z

y

Âäúi våïi trỉåìng håüp ny, cạc thäng säú ban âáưu cọ giạ trë nhỉ sau:
 y(0) = 0

 y '(0) = 0
Âiãưu kiãûn biãn åí âáưu b
 y(l ) = 0

 M (l ) = 0
Ta coï:

Q * (0)
 M (0)
(1 − cos α l )+ 3
(α l − sinα l )=0
2

y
(
l
)
=
0

α EJ
α EJ
⇒

 M (l ) = 0  M (0)cosα l + Q * (0) sinα l = 0

α
α M (0)(1- cos α l )+Q *(0)(α l − sinα l)=0
⇒
α M (0)cosα l + Q *(0) Sinα l = 0

Hãû coù cỏn bũng lóỷch tổùc phaới tọửn taỷi ...
Phổồng trỗnh ọứn õởnh:
...
Giaới phổồng trỗnh naỡy ..., ta coù:
aỡ Nụng 2007

Trang 10


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

π
π 2 EJ
αl =
⇒ Pth =
0, 7
(0,7l ) 2

y

y = tg ν

y

=ν

π/2

π 10π
7

3π/2

2π

ν

y = tg

0

Do õoù, tổỡ phổồng trỗnh tọứng quaùt (3-5):
y'( 0 )
y( z ) =
sinα z
α
Theo âiãöu kiãûn biãn, khi z = l thỗ y(l) = 0, ta coù :
y'( 0 )
y( l ) =
sin α l = 0
α
Âiãưu kiãûn ny tha mn våïi hai kh nàng:
 y'( 0 ) = 0
 sin α l = 0


l

c. Så âäư 3:
Âäúi våïi trỉåìng håüp ny, cạc thäng säú ban âáưu cọ giạ trë nhæ sau:
 y(0) = 0
z

 y '(0) = ?


 M (0) = 0
Q * (0) = 0

y'( 0)
0

y

Hỗnh 3-2

a) Nóỳu y(0) = 0 thỗ y(z) 0, tổùc thanh vỏựn thàóng chỉa máút äøn âënh.

 Nàơng 2007

Trang 11


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

b) Mún P âảt tåïi giạ trë tåïi hản ỉïng våïi trảng thại máút äøn õởnh, thỗ trong
hóỷ phaới tọửn taỷi mọỹt traỷng thaùi cỏn bàịng khạc våïi trảng thại cán bàịng ban âáưu, tỉïc
y’(0) 0. Vỗ vỏỷy, õióửu kióỷn õóứ õaỷt õổồỹc traỷng thại cán bàịng lãûch l:
sinαl = 0 ⇒ αl = kπ (k =1, 2, ...)
π2
Ti trng tåïi hản nh nháút æïng våïi k =1 ⇒ Pth1 = 2 EJ
l
d. Så âäư 4:
P

Z

y

Âäúi våïi trỉåìng håüp ny, cạc thäng säú ban âáưu cọ giạ trë nhỉ sau:
 y(0) = 0

 y '(0) = 0

 M (0) = ?
Q * (0) = ?

Âiãưu kiãûn åí âáưu b:
 y (l ) = 0
⇒ ....

 y '(l ) = 0

α M (0)(1-cosα l)+Q * (0)(α l − sinα l) = 0
⇒
α M (0) sin α l + Q * (0)(1 − cosα l ) = 0
Hãû cọ cán bàịng lãûch tỉïc phi täưn tải M (0), Q * (0)
Phổồng trỗnh ọứn õởnh:
(1-cos l )(1-cos l )-sin α l (α l − sinα l ) = 0
⇒ 1 − 2cosα l + cos 2α l + sin 2 α l − α l sin α l = 0
⇒ 2(1 − cosα l ) − α l sin α l = 0
αl
αl
αl
⇒ 4sin 2
− 2α l sin cos = 0

2
2
2
αl
αl
αl
⇒ sin (2sin − α lcos ) = 0
2
2
2
 α1thl
 αl
sin
=
0
 2 =π

2π
2
⇒
⇒
⇒ α th =
l
 α 2thl = 10π
tg α l = α l
 2
2
7
 2
2

π EJ
Pth =
(0,5l ) 2
 Nàơng 2007

Trang 12


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

Bi 8: Cho hãû nhỉ hỗnh veợ (H.7). Tỗm sồ õọử tờnh vaỡ lỏỷp phổồng trỗnh ọứn õởnh.
P

EA=
k

l

EJ

l1

k

EJ1

P=1
EJ1

EJ

kl1

l1

l

P

P=k
EJ1

l1

(H.7)
Thay taùc dung thanh õổùng bón phaới vaỡ thanh ngang thnh gäúi ân häưi. Hãû säú ân
häưi l k (lỉûc phạt sinh khi chuøn vë bàịng 1 âån vë).
Xạc âënh k bàịng phỉång phạp nhán biãøu âäư, cho chuyãøn vë âáöu console =1âvë.
1 kl12
... = 1 ⇒ k = ...
EJ1 2

* Lỏỷp phổồng trỗnh ọứn õởnh:
y0

Z
Q(0)=ky0
P

k

l
y

Ta coù:
y'( 0 )
M( 0)
Q* ( 0 )
sinα z − 2 (1-cosα z)- 3
( α z − sinα z)
α
α EJ
α EJ
Q* ( 0 )
M ( z ) = − EJy"( z ) = α EJy'( 0 ) sin α z + M ( 0 )cosα z +
Sinα z
α
Cạc âiãưu kiãûn ban âáưu bi toạn:
Âáưu trại:
y( z ) = y( 0 ) +

 y (0) = ?
 '
 y (0) = ?

 M (0) = 0
Q (0) = ky(0)

Âáưu phi:

 Nàơng 2007

Trang 13


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN
 y (l ) = 0

 M (l ) = 0

Thay âiãưu kiãûn biãn vo:
y'( 0 )

sinα l − ...( α l − sinα l)=0
 y( l ) = y( 0 ) +
α

 M ( l ) = α EJy'( 0 )sinα l + ...Sinα l = 0
sinν

 y( 0 )... − α y'( 0 ) = 0
⇒
 y( 0 ) k sinν + α EJSin y'( 0 ) = 0


Phổồng trỗnh ọứn õởnh:

...

k sinν

 α

−

(ν = α l )

sinν 
sinν α 3 sin

+
=0
=0
EJ
k

...


Baỡi 9: Cho hóỷ nhổ hỗnh veợ (H.8). Tỗm sồ õọử tờnh vaỡ lỏỷp phổồng trỗnh ọứn õởnh.
y( 0)

P

P
y

2EJ

l/2

2EJ

l/2

Z

l

l

EJ

Thay gäúi
ân häưi

0

ϕ

H.8

Py(0)

a. Cạc thäng säú ban âáưu:

Ta cọ:

 y (0) = ?
 y '(0) = ?



 M (0) = 0
Q *(0) = 0

y( z ) = y( 0 ) +
 Nàơng 2007

y'( 0 )
M( 0)
Q* ( 0 )
sinα z − 2 (1-cosα z)- 3
( α z − sinα z) (3-5)
α
α EJ
α EJ
Trang 14


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

M( 0)
Q* ( 0 )
sin α z − 2
( 1 − cosα z )
α EJ
α EJ
Thay cạc thäng säú ban âáưu vo:
y'( 0 )

sin α z

 y( z ) = y( 0 ) +
α

 y'( z ) = y'( 0 )cosα z
y'( z ) = y'( 0 )cosα z −

b. Cạc âiãưu kiãûn biãn:
 y (l ) = 0

 y '(l ) = ϕ

Goüi ϕ - hãû säú ân häưi ca liãn kãút (tỉïc l gọc xoay ca ngm ân häưi do mämen
bàịng âån vë gỏy ra), thỗ trong trổồỡng hồỹp naỡy, vỗ mọmen taỷi ngm ân häưi bàịng − Py(0) ,
cho nãn:
ϕ = − Py(0)ϕ (chiãưu mämen ngỉåüc chiãưu chuøn vë)
Dỉûa vo âiãưu kiãûn bión, ta lỏỷp õổồỹc hóỷ phổồng trỗnh õaỷi sọỳ tuyóỳn tênh thưn nháút
âãø xạc âënh y(0) v y’(0):
sin α l

y'( 0 ) = 0
 y( l ) = 0
 y( 0 ) +
Ta coï: 
⇒
α
 y'( l ) = ϕ  Pϕ .y( 0 ) + (cos α l )y'( 0 ) = 0


c. Tỉì âiãưu kiãûn täưn tải trảng thại cán bàịng lãûch so våïi trảng thại cán bàịng ban âáưu,
tỉïc y(0) ≠ 0, y’(0) ≠ 0, ta âỉåüc phổồng trỗnh ọứn õởnh:

sin l
1
D( ) =
=0
P cos α l
D( α ) = cos α l − sin α l

Pϕ
=0
α

P
⇒ P = α 2 EJ ⇒ D( α ) = cosα l − (sinα l ).α EJ = 0
EJ
l
hay l.tg l =
EJ

Vỗ 2 =

 Nàơng 2007

Trang 15


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

Trong bi toạn ny, ϕ âỉåüc xạc âënh nhỉ sau:
M=1
2EJ

1
1
2 l 21
l
M .M k =
Ω.M k =
( )=
2 EJ
2 EJ
2 EJ 8 3 2
24 EJ
l
Thay vaỡo phổồng trỗnh l.tg l =
ta coù:
EJ

l.tg l = 24 cotg =
24
Giaới phổồng trỗnh naỡy bũng âäư thë hồûc gii têch:

2EJ

l/2

ϕ=

l/2
1/2
1/2

l/2

ν th = 1, 5 ⇒ Pth = 2,3

l/2

2
Tỗm lổỷc tồùi haỷn cho khung hỗnh (H.9), våïi l2 = l1
3
P

P

l1

EJ1

EJ1
EJ2

P

B

l2

(H.9)

P

EJ1

l1

Bi 10:

A

EJ
l2

A

A

ϕ Α=

l1
3EJ

1l
22

(Trỉåìng håüp biãún dảng âäúi xỉïng)

1. Trỉåìng håüp hãû biãún dảng âäúi xỉïng: âỉa hãû vóử tờnh nổớa hóỷ nhổ hỗnh veợ.
Taỷi A, thay bũng liãn kãút ân häưi.
AC mäüt âáưu khåïp, mäüt âáưu ngm trỉåüt nãn gọc xoay ϕ do mämen bàịng âån vë
gáy ra laỡ:

= ...
Baỡi toaùn õaợ giaới vồùi phổồng trỗnh âàûc træng:
P
α l1.tg (α l1 ) = ... våïi α 2 =
EJ
Hay: α l1.tg (α l1 ) = 3 ⇒ ν tg (ν ) = 3 våïi ν = α l1
Giaới phổồng trỗnh ta coù:

aỡ Nụng 2007

= 1,1922
Trang 16


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

Pthdx = 1, 4213

EJ
l12

2. Trỉåìng håüp hãû biãún dảng phn xỉïng: âỉa hãû vãư tênh nổớa hóỷ nhổ hỗnh veợ.
P

P

l1

EJ1
A

A

l1
= 9EJ

1l
22

Taỷi A, thay bũng liãn kãút ân häưi.
AC mäüt âáưu khåïp, mäüt âáưu gäúi di âäüng nãn gọc xoay ϕ do mämen bàịng âån vở
gỏy ra laỡ:
= ...
Phổồng trỗnh õỷc trổng
l1.tg ( l1 ) = ...
Hay: ν .tgν = 9 , giaíi phổồng trỗnh, ta coù: = 1, 414
1,999EJ
Pthpx =
l12
So saùnh hai lỉûc tåïi hản, ta cọ:
EJ
Pth = 1, 4213 2
l1

 Nàông 2007

Trang 17


CAẽC BAèI TP COẽ HặẽNG DN

Baỡi 11:

Thióỳt lỏỷp phổồng trỗnh ọứn õởnh cho khung vaỡ tỗm lổỷc tồùi haỷn trổồỡng håüp.
k = 2, l = 2h
P1

P2

h

kJ
P
ν =h
EJ
kEJ
J
J
in =
l
EJ
l
id =
l
1. Trỉåìng håüp biãún dảng âäúi xỉïng ta âỉa vãư tênh nỉía hãû:

h

P1

P1

P1

Z1
HCB

J

Z1=1

4idϕ 2 ( ν )

l
2

i'n= 2kEJ

l

M1
2idϕ 3 ( ν )

Phæång trỗnh chờnh từc:
r11Z1 = 0
Phổồng trỗnh ọứn õởnh:
r11 = 0
4idϕ 2 (ν ) + in' = 0
4EJ
2kEJ

=0
ϕ2 (ν ) +
h
l
kh
⇒ ϕ 2 (ν ) = −
2l
1
Våïi k = 2, l = 2h; ϕ2 (ν ) = −
2
Tra baíng ν = 5,02
5,022 EJ
EJ
Pthdx =
= 25, 2 2
2
h
h
⇒

 Nàơng 2007

Trang 18


CẠC BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN

2. Trỉåìng håüp biãún dảng phn xỉïng, ta âỉa vãư tênh nỉía hãû;

h

P1

P1

id ν

Z1

tg ν

l
2

Z1=1
3i' n

HCB

J

P1

M1
id
sin

Phổồng trỗnh chờnh từc:
r11Z1 = 0
Phổồng trỗnh ọứn õởnh:

r11 = 0
ν
+ 3in' = 0
tgν
EJ v 6kEJ
⇒
+
=0
h tgv
l
v
6kh
⇒
=−
tgv
l
ν
Våïi k = 2, l = 2h;
= −6
tgν
Tra baíng: ν = 2,7163
2,71632 EJ
EJ
px
Pth =
= 7,3783 2
2
h
h
2

2,7163 EJ
EJ
So saïnh choün: Pth =
= 7,3783 2
2
h
h
⇒ id

 Nàơng 2007

Trang 19


CAẽC BAèI TP COẽ HặẽNG DN

Baỡi 12:

Tỗm lổỷc tồùi haỷn cho hãû:
P

P
EF=∞

EF=∞

h

J

J

EF=∞

J

l

J

l
P

EF=∞

J

l

l

P

Z1
HCB

P

P

Z1=1
M1
3EJ

3EJϕ1( ν )

h2

3EJϕ 1( ν )

h2

h2

3EJ

3EJ

h2

h2

r11
3EJ

h3

3EJϕ1( ν )

h3

3EJϕ 1( )

h3

v=h

3EJ

3EJ

h3

h3

P
EJ

Phổồng trỗnh ọứn õởnh
r11 = ...
3
1 (v) = = −1,5
2
Tra bng ta cọ: ν = 2, 4521
EJ
Pth = ... = 6,0128 2
h

 Nàơng 2007

Trang 20