Bài tập Phương trình và bất phương trình vô tỷ

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI –HƯNG YÊN. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I.Một số PT,BPT vô tỷ thông thường: 1/ x  3  6  x  3;2 / x  4  1  x  1  2 x ;3/ x  9  5  2 x  4;4 / x( x 1)  x( x  2)  x( x  3) 5 / 2 x2  8x  6  x 2 1  2 x  2;6 / x( x  1)  x( x  2)  2 x 2 ;7 /( 1  x 1)( 1  x  1)  2 x 8 / x  x  11  x  x  11  4;9 / x  2 x  1  x  2 x  1  2;10 / x  3  4 x  1  x  8  6 x  1  1. 11/. 15 /. 4 x x x 2. . 3 20  x 20  x 2 x 2 x  ;12 /   6;13/  2 2 x x 2  2 x 2  2 x x x x x 1. 2. 5 2 5 2 1 1  x  1  x2   x  1  x2  x  1   1  x2   1  x2  x  1 4 4 2 2. 16 / f ( x)  x 2  x  5  x 2  8x  4  5 . f(x) nb’ khi x  4  2 5 và đb’ khi x . 21  1 . Pt có ngdn x = 2. 2. 17 / 2 x2  1  x2  3x  2  2 x2  2 x  3  x 2  x  2  2 x2  2 x  3  2 x2  1  x 2  x  2  x 2  3x  2  0  x  2;18 / 3x2  7 x  3  x 2  2  3x 2  5x  1  x 2  3x  4( x  2) 18 / 7  x2  x x  5  3  2 x  x 2 ( x  1);19 / 3  x  x 2  2  x  x 2  1( 5  t 2  1  t , t  0  t  1). 20 / x  2 x  1  ( x  1  1) x 2  x  0  ( x  1  1)( x  1  1  x 2  x )  0  x  2 . 21/ 4 x  1  4 x 2  1  1( x  1/ 2  VT  VP  x  1/ 2); 22 / ( x  2)(2 x 1)  3 x  6  4  ( x  6)(2 x 1)  3 x  2.  f ( x)  ( x  6  x  2).( 2 x 1  3)  g ( x).h( x)  4  x  5  g(x)&h(x) đồng biến trên (5; )  f(x) đồng biến trên khoảng đó nên PT có nghiệm duy nhất x = 7.. 23/ ( x  1)(4  x)  x  2(4  x  1);24 / x  1  3  x  4( x  0);25 / x  3  2 x  8  7  x (4;5  6;7 ) 26 / x  2  3  x  5  2 x (2  x  2);27 / x 2  3x  2  x 2  6 x  5  2 x 2  9 x  7( x  5; 1). . . 28 / x 2  4 x  3  2 x 2  3x  1  x  1 1  (4  13) / 2;1/ 2  ; 29 /( x  3) x 2  4  x 2  9( x  13/ 6; x  3). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2 30 /. 32 /. 34 /. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI –HƯNG YÊN x2 1  1  4 x2 4 x2 2  x  4  ( x  1  1)  x  4(  1  x  8);31/  3   3(1  1  4 x 2 ), (1/ 2  x  0) 2 x x (1  x  1) 12  x  x 2 12  x  x 2 1 1 2  , ( x  3; 2  x  4);33/ x  2  x  2  ( x  1)  x3  1  x3  1  2( x  3 5 / 4) x  11 2x  9 x x x. 1 x 1 1 1 1  0   x  0;35 / x 2  3x  2  x 2  x  1  1( x  2; x  1) x x2 ( x  2) 1  x  1.  7  21   11  13  36 / 1  4 x  2 x  1( x  0);37 / x  5  9  x  1 ; ;9  ;38 / 2 x  6 x 2  1  x  1( x  0;0  x  2)    2   2  . 39 / 3 3x  1  2 x  4  3 . 2001 x . Xét tính đơn điệu của hàm số thì nghiệm của BPT là  2;0  . 304. 40 / 3x  1  6  x  3x 2  14 x  8  0 . 3( x  5) x 5   ( x  5)(3x  1)  0  x  5 3x  1  4 6  x 1. II.Giải bằng phương pháp đặt biến phụ: 1/ x2  3x  3  x2  3x  6  3;2 / 3x 2  15x  2 x 2  5x  1  2;3/ x 2  7 x  4  4 x ( x  2)( x  t  t  1;2) 4 / x2  x  4  x2  x  1  2 x 2  2 x  9;5 / 3  x  x 2  2  x  x 2  1;6 / x 2  x 2  11  31 7 / 3(2  x  2)  2 x  x  6( x  t 2  2  x  3;(11  3 5) / 2);7 '/ 3 x  2  6 2  x  4 4  x 2  10  3x 8 / x  x / x2  1  2 2( x  1)  x 2  x 2 / ( x 2 1)  2 x 2 / x 2 1  8  t 2  2t  8  0;8'/ ( x  5)(2  x)  3 x 2  3x 9 / 2 x2  5x  1  7 x3  1(u  x  1  0; v  x2  x  1  0);10 / 2( x2  3x  2)  3 x3  8;11/ 2( x2  2)  5 x3  1 12 / x2  2 x  4  2 x3  4 x ;13/ x  1  x  3  2 ( x  1)( x  3)  4  2 x(t  x  1  x  3);. 14 / x  4  x  4  2 x  2 x 2  16  12;15 / 3x  2  x  1  4 x  9  2 3x 2  5x  2 16 / 2 x  3  x  1  3x  2 2 x2  5 x  3  16;17 / x  4  x 2  2  3x 4  x 2 18 /(4 x  1) x2  1  2 x2  2 x  1( y  x 2  1  y  0,5;2 x  1);19 / 2(1  x) x 2  2 x  1  x 2  2 x  1 20 / x2  3x  1  ( x  3) x 2  1;21/ x 2  5x  1  ( x  4) x 2  x  1;22 / x  17  x 2  x 17  x 2  9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI –HƯNG YÊN. 3. 23/ 1  1  x2  x(1  2 1  x2 )( x  sint ,0  t   / 2  t   / 2;  / 6);24 / x 2  x  5  5( x  5  t ) 23'/ 1  x2  4 x3  3x,( x  cosx;0  x    x   2 / 2;  2  2 / 4); 24'/ x3  6 3 6 x  4  4  0,( x  2;1  3). 25 / x2  x  1  1; 26 / 3  3  x  x,( 3  x  t ); 27 / x3  1  2 3 2 x  1,( 3 2 x  1  t ); 28 /(3  x 2 )2  3  x,(t  3  x 2 ) 27'/ 8x3  1  3 162 x  27  u 3  1  3 3 3u 1  u 3  3u  1  0  8 x3  6 x  1  0; x  cosy  2cos3 y  1  0  x1; x2 ; x3. 29 / x3  a(3  a 2 )  3 3 3x  (a 2  3)a ,(t  3 3x  (a 2  3)a );30 / 3 2  x  1  x  1,(u  3 2  x ; v  x  1) 31/ 3 x  7  x  1;32 / 3  x  1  1  x  2;33/ 3 x  4  3 x  3  1,(u  3 x  4; v  3 x  3  u 3  v3  7). 34 / 3 2 x  1  3 x  1  3 3x  1;35 / 3 2 x 1  x 3 16  3 2 x  1;36 / 3 x 2  7 x  8  3 x 2  6 x  7  3 2 x 2 13x 12  3. 37 / 3. 2x 3 1 1    2;38 / 2 x 2  4 x  x 1 2 2x. x3  u2  1 1 4 4 4 ,  u  x  1; v   ;39 / x  1  x  x  1  4 1   1  4 1  2  2  x x.  u  1  v & u 4  v 4  2;40 / 4 57  x  4 x  40  5;41/ x 3 35  x3 ( x  3 35  x3 )  30;42 /1/ x  1/ 2  x 2  2,( y  2  x 2 ) 38'/ 2 x  15  32 x2  32 x  20  2 x  15  8(2 x  1) 2  28  u  14  8u 2  28; u  14  ku  u  14  k 2u 2  k  2 43/ 3 x  1  3 x  1  6 x 2  1; 44 / 2 n ( x  1) 2  3 n 1  x 2  n ( x  1) 2  0; 45 / 4 x  1  3 x  2 . x 3 u 2  v2  u  v    5  5 . a b 2  a3  1 7 x  3 x5  2  2 46 / 3  6  x  a  b  2ab(a  b)  0  x  5  7; 47 / 1  x    x  (: t; HVN ) 7 x  3 x5 3  3 3 a  b  2  3.  5  2 5   2 5  5  48 / x 2  2 x  5  4 2 x 2  4 x  3, (1  4 3  x  1  4 3); 49 / 5 x 2  10 x  1  7  x 2  2 x, 3; ;1  5    5 . 50 /  4 (4  x)(2  x)  x2  2 x 12( x  1  5);51/ x( x  4)  x 2  4 x  ( x  2) 2  2(2  3  x  2  3). 52 /( x3  1)  ( x2  1)  3x x  1  0,(t  x x  1  2 3 / 9  t 2  3t  2  0, TM  n0 : x  1) 53/ 3 x . 3 2 x.  2x .   16  6 7   16  6 7  1 1  7,  t  x   2t 2  3t  9  0  t  3  n0 :  0;  ;         2x 4 4 2 x     .  35 x4 x2 1225 54 / x   ( x  1)  2 2   0,  t  x 1 x 2  1 12 x 2  1 144  x. Lop12.net.   n0 : (1;1, 25)  (5 / 3; )  x2 1  x2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI –HƯNG YÊN.      55 / x  1  x  3  2( x  3)2  2 x  2(*),(u  ( x  1; x  3), v  (1;1).(*)  u.v  u . v  x  1  x  3  x  5)      56 / x x  1  3  x  2 x 2  1,(u  ( x;1), v  ( x  1; 3  x )  u.v  u . v  x  1  x 3  x  x  1;1  2). 57 / 5 x3  1  2( x 2  2);58 / 2( x 2  3x  2)  3( x3  8);59 / 2( x  1) x 2  2 x  1  x 2  2 x  1. 60 / x3  3x2  2 ( x  2)3  6 x  0;61/ 3 24  x  12  x  6;62 / 3(2  x  2)  2 x  x  6 63 / 2 x2  2 x  4 x  3;64 / 3x  1  6  x  3x 2  14 x  8  0;65 / 2 x 2  7 x  10  x  x 2  12 x  20. 66 / x2  x  7  7;67 / 2 x 2  6 x  4  4 x  5;68 / x 2  4 x  3  x  5;69 / 7  x 2  x x  5  3  2 x  x 2 70 / x 2  ( x  2) x  1  x  2;71/ 2  2 1  x 2  x 1  1  x 2 ;72 / 2 x  1  x 2  (1  x 2 )3 (1  x 2 ) 73 / 1  1  x 2  (1  x)3  (1  x)3   2  1  x 2 ; 1  x  u, 1  x  v  u 2  v 2  2, u 3  v3  (u  v)(2  uv)  .  (u  v)2 2(u  v)  1  u 2  v 2  2  x  2 / 2;74 / (3x  1) 2 x 2  1  5 x 2  3  3x / 2  2(3x  1) 2 x 2  1  4(2 x 2  1)  2 x 2  3x  2  2(3x  1)t  4t 2  2 x 2  3x  2   '  ( x  3) 2 75 / 5 x  5 / 2 x  2 x  4  1/ 2 x;76 / 7 x  7  7 x  6  2 49 x 2  7 x  42  181 14 x. III.Biện luận PT và BPT vô tỉ: Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm: 1/ 2  x  2  x  (2  x)(2  x)  m;(t  2  x  2  x  t 2  4  2 (2  x)(2  x)  2  t  2 2  2m  t 2  2t  4  f (t )  4 2  4; 4  m  2 2  2; 2. 2 / 5  x  x  1  5  6 x  x 2  m, (2  m  2  2 2);3/( x  3)( x  1)  4( x  3). x 1  m, (m  4) x 3. 4 / x  3  6  x  m  ( x  3)(6  x),(3 2  4,5  m  3);5 / x  9  x   x 2  9 x  m ,(2, 25  m  10). 6 / x  2 x2  1  m,(m  2 / 2);7 / x  2m  x  1,(m  5 / 8);8 / 4  x 2  mx  m  2,(m  4 / 3; m  0) 9 / 2 x2  2(m  4) x  5m  10  3  x  0( PTf ( x)  ( x  1)2 /(2 x  5)  m có nghiệm x  3  m  3) 10 / 3 x  1  m x  1  2 4 x2  1,( m  2t  3t 2 ;0  t  4 ( x  1) /( x  1)  1  1  m  1/ 3). 11/ x  1  4m 4 x2  3x  2  (m  3) x  2  0,( m  f (t )  (3t 2  1) /(t 2  4t );0  t  1  m  3/ 4) 12 /( 1  x  x )3  x(1  x)  m,(t  1  x  x  1; 2   f (t )  t 3  (t 2  1) / 2  m  1  m  2 2  0,5) Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 5. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI –HƯNG YÊN. 13/ m( 1  x 2  1  x 2  2)  2 1  x 4  1  x 2  1  x 2 ,(t  1  x 2  1  x 2  2  2; 2  2   m  (5t  6  t 2 ) / t   2  1;1);14 / f ( x)  4 x 2  1  x  m,( f '( x)  0x  0  m   0;1) 15/ x x  x  12  m( 5  x  4  x ); f ( x)  ( x x  x  12) /( 5  x  4  x ) là hs đồng biến trên đoạn. 0;4  2. 15  4 3  m  12;16 / x2  2 x  2  2m  1  2 x 2  4 x,(m  1). 17 / x  6 x  9  x  6 x  9  ( x  m) / 6; m  6(t  3  t  3 )  t 2  9  f (t )  27,(t  x  9  0) 18 / m  2 x  x 2 / 3  x  1  x ; t  x  1  x  1; 2   m  t  (t 2  1) / 3  (1; 2  1/ 3). 19/ Biện luận theo m số nghiệm của pt: x  3  m x 2  1( m  f ( x)  ( x  3) / x 2  1) 20/ Tìm a để PT sau có nghiệm duy nhất: (3x2  1) / 2 x  1  2 x  1  ax ( a  (3x  2) / 2 x  1  (3t 2  1) / 2t; t  0  PT có nghiệm duy nhất với mọi a ). 21/ Xác định theo m số nghiệm của PT: x4  4 x  m  4 x 4  4 x  m  6,( 4 x 4  4 x  m  2  m  16  x 4  4 x KL: m > 19: PTVN; m = 19: PT có 1 nghiệm; m < 19: PT có hai nghiệm. 22/ Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm dn thuộc đoạn  1/ 2;1 : f ( x)  3 1  x 2  2 x3  2 x 2  1  m .   3  3x  4 3 3  22    m  1  4  m   f '( x)   x    2 2 x3  2 x 2  1   1 x  . 23/ Tìm m để PT sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 x2  2mx  1  3 4 x3  2 x.  m  2  3 2  2 x 2  1  3 4 x3  2 x (2 x 2  1)( 4 x3  2 x  3x)  f ( x)  f '( x)    m   3   2 x m   9 / 4 2 x 4 x  2 x    24/ Chứng minh với mọi giá trị dương của m, PT sau luôn có 2 nghiệm phân biệt: x 2  2 x  8  m( x  2) (n0 : x  2; x  2  m  f ( x)  ( x  2)( x  4)2  f '( x)  3x( x  4)  0  nếu m > 0 thì PT có 2 nghiệm 2 và x2  2). 25/ Tìm m đê PT sau có nghiệm dn:. x  1  x  2m x(1  x)  2 4 x(1  x)  m3. - ĐK cần: dễ thấy nếu PT có nghiệm a   0;1 thì nó cũng có nghiệm 1 – a . Do đó để nó có nghiệm duy nhất thì a = 1-a  a  1/ 2  2  m  2  m3  m  0; 1 - ĐK đủ: thay m = 0;- 1; 1 vào PT ta thấy 0 và – 1 TMYCBT.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 6. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI –HƯNG YÊN. 26/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi x   1;1 : x  1  x 2  m, (m  2) 27/ Tìm các GT của m để BPT sau có nghiệm: mx  x  3  m  1   x  3 1 t 1 3  1 3 1   2  f (t )   0;   m   m x  1 t  2 4 4     28/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi x  0;1 : ( x2  1)2  m  x x2  2  4 (t  x x 2  2  0; 3   m  f (t )  t 2  t  3   3;3, 25  m  3). 29/ Tìm các giá trị của a để BPT sau có nghiệm với mọi x: a 2 x 2  7  x  a   21 21  x 21   f ( x)    ; a   a    6  6  2 x2  7 1  6  30/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi x   4;6 : ( x  4)(6  x)  x2  2 x  m;(m  6) 31/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi x   2; 4 : 4 ( x  2)(4  x)  x2  2x  m  18;(m  10) 32/ Tìm các giá trị của m để PT sau có một số lẻ nghiệm: x2  3x  1  m x 4  x 2  1. m  f ( x)  ( x 2  3x  1) / x 4  x 2  1  f '( x)  ( x 2 1)(3x 2  x  3) /( x 4  x 2  1)3/ 2  m   3 / 3;5 3 / 3. -------------------- // --------------------. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>