Bài soạn Đề kiểm tra Học kì 1 - Toán 11 - đề số 13

Đề số 13
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: (4 điểm)
1) a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
y x2sin
3
π
 
= +
 ÷
 
trên đoạn
4 2
;
3 3
π π
 
−
 
 
.
b) Từ đó suy ra đồ thị của hàm số:
y x2sin
3
π
 
= +
 ÷
 

trên đoạn
4 2
;
3 3
π π
 
−
 
 
.
2) Giải các phương trình sau:
a)
x x
2 2
sin 2 cos 3 1+ =
b)
x x x
2 2
3sin 2sin 2 7 cos 0+ − =
c)
x x
x
x x
2
cos2 sin 2
3 cot 3
sin cos
 
+ = +
 ÷

 
Câu 2: (3 điểm)
1) Trong khai triển
n
x(1 )−
với n là số nguyên dương. Tìm n biết hệ số của số hạng chứa x là –7.
2) Trên một kệ sách có 8 quyển sách Anh và 5 quyển sách Toán. Lấy ngẫu nhiên 5 quyển. Tính xác
suất để trong 5 quyển sách lấy ra có:
a) Ít nhất 3 quyển sách Toán b) Ít nhất 1 quyển sách Anh.
Câu 3: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(3; 0), B(0; 3), C(0; –3). Gọi d là đường thẳng đi
qua 2 điểm A, B.
1) Viết phương trình đường thẳng d
′
là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.
2) M là điểm di động trên đường tròn tâm O đường khính BC. Tìm quĩ tích trọng tâm G của ∆MBC.
Câu 4: (1,5 điểm) cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD // BC và AD = 2BC. Gọi G
là trọng tâm của ∆SCD.
1) Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD), (SAD) và (SBC), (SAB) và (SCD).
2) Xác định giao điểm H của BG với mp(SAC). Từ đó tính tỉ số
HB
HG
.
--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
Đề số 13
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1:

1) a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
y x2sin
3
π
 
= +
 ÷
 
trên đoạn
4 2
;
3 3
π π
 
−
 
 
.
Đặt
u x
3
π
= +
⇒ Với
x
4 2
;
3 3
π π
 

∈ −
 
 
thì
[ ]
u ;
π π
∈ −
.
+ Hàm số
y usin=
nghịch biến trên các khoảng
; , ;
2 2
π π
π π
   
− −
 ÷  ÷
   
⇒ Hàm số
y x2sin
3
π
 
= +
 ÷
 
nghịch biến trên các khoảng
4 5 2

; , ;
3 6 6 3
π π π π
   
− −
 ÷  ÷
   
+ Hàm số
y usin=
đồng biến trên khoảng
;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
⇒ Hàm số
y x2sin
3
π
 
= +
 ÷
 
đồng biến trên khoảng
5
;
6 6
π π

 
−
 ÷
 
Bảng biến thiên:
b) Đồ thị của hàm số
y x2sin
3
π
 
= +
 ÷
 
trên đoạn
4 2
;
3 3
π π
 
−
 
 
.
Ta có:
x khi x
y x
x khi x
2sin 2sin 0
3 3
2sin

3
2sin 2sin 0
3 3
π π
π
π π

   
+ + ≥
 ÷  ÷

 

   
= + =
 ÷

   
 

− + + <
 ÷  ÷

   

Do đó đồ thị (C′) của hàm số
y x2sin
3
π
 

= +
 ÷
 
có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số
y x2sin
3
π
 
= +
 ÷
 
như sau:
+ Trên đoạn
2
;
3 3
π π
 
−
 
 
thì (C′) trùng với (C).
+ Trên đoạn
4
;
3 3
π π
 
− −
 

 
thì lấy đối xứng phần đồ thị (C) qua trục hoành.
2
-π -π/2 π/2
-2
-1
1
2
x
y
2
3
π
5
6
π
−
4
3
π
−
O
3
π
−
6
π
2) Giải phương trình:
a)
x x

2 2
sin 2 cos 3 1+ =
⇔
x x1 cos 4 1 cos 6
1
2 2
− +
+ =
⇔
x xcos6 cos4=
⇔
x x k
x x k
6 4 2
6 4 2
π
π

= +

= − +

⇔
x k
x k
5
π
π

=


=


⇔
x k
5
π
=
b)
x x x
2 2
3sin 2sin 2 7 cos 0+ − =
⇔
x x x x
2 2
3sin 4 sin .cos 7cos 0+ − =
(*)
+ Với
xcos 0
=
, ta thấy không thoả PT (*)
+ Với
xcos 0
≠
, chia 2 vế của PT (*) cho
x
2
cos
, ta được:

(*) ⇔
x x
2
3tan 4 tan 7 0+ − =
⇔
x
x
tan 1
7
tan
3

=

= −


⇔
x k
x k
4
7
arctan
3
π
π
π

= +



 

= − +
 ÷

 

c)
x x
x
x x
2
cos2 sin 2
3 cot 3
sin cos
 
+ = +
 ÷
 
(*). Điều kiện
x
x
sin 0
cos 0

≠

≠


⇔
x m
2
π
≠
(1).
Với ĐK (1) thì (*) ⇔
x x x x x
x x
x
2
2
cos cos2 .cos sin 2 .sin
3 3.
sin .cos
sin
+
+ =
⇔
x x
x x
x
2
2
cos cos
3 3.
sin .cos
sin
+ =
⇔

x x
2
2sin 3sin 1 0− + =
⇔
x
x
sin 1
1
sin
2

=

=


⇔
x k loaïi
x k
x k
2 ( )
2
2
6
5
2
6
π
π
π

π
π
π

= +



= +


= +


Vậy PT có nghiệm
x k x k
5
2 ; 2
6 6
π π
π π
= + = +
.
Câu 2:
1) Khai triển
n
x(1 )−
.
Số hạng chứa x là:
n

C x nx
1 1
( )− = −
. Theo giả thiết ta suy ra được:
n n7 7− = − ⇔ =
.
2) Số cách lấy ngẫu nhiên 5 quyển sách từ 13 quyển sách là:
C
5
13
=
1287 (cách) ⇒
n( ) 1287
Ω
=
.
a) Gọi A là biến cố "Trong 5 quyển sách lấy ra có ít nhất 3 quyển sách Toán"
+ Nếu lấy 3 quyển Toán và 2 quyển Anh thì số cách lấy là:
C C
3 2
5 8
. 280=
+ Nếu lấy 4 quyển Toán và 1 quyển Anh thì số cách lấy là:
C C
4 8
5 8
. 40=
+ Nếu lấy 5 quyển Toán thì số cách lấy là:
C
5

5
1=
⇒
n A( ) 280 40 1 321= + + =
⇒ P(A) =
n A
n
( ) 321 107
( ) 1287 429
Ω
= =
b) Gọi B là biến cố "Trong 5 quyển sách lấy ra có ít nhất 1 quyển sách Anh"
Số cách lấy ra 5 quyển sách mà không có quyển sách Anh nào là:
C
5
5
1=
⇒ Số cách lấy ra 5 quyển sách trong đó có ít nhất 1 quyển sách Anh là: 1287 – 1 = 1286
⇒
n B( ) 1286=
⇒ P(B) =
1286
1287
.
Câu 3:
a) Xét phép đối xứng trục Ox. Gọi A′, B′ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox.
Vì A(3; 0), B(0; 3) nên A′(3; 0) ≡ A, B′(0; –3) ≡ C. Mặt khác A, B ∈ d ⇒ A′, B′ ∈ d′.
3
⇒ Phương trình đường thẳng d′:
x y

1
3 3
+ =
−
⇔
x y 3 0− − =
.
b) PT đường tròn (C) có tâm O, đường kính BC:
x y
2 2
9+ =
.
G là trọng tâm của ∆MBC ⇒
OG OM
1
3
=
uuur uuur
⇒
O
V M G
1
,
3
:
 
 ÷
 
a
Vậy quĩ tích điểm G là đường tròn (C′) ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số

k
1
3
=
.
PT đường tròn (C′) là:
x y
2 2
1+ =
.
Câu 4:
a) Giao tuyến của các cặp mặt phẳng:
• Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD)
Mặt khác, S ∈ (SAC) ∩ (SBD)
Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO
• Trong (ABCD), gọi E = AB ∩ CD ⇒ E ∈ (SAC) ∩ (SBD)
Mặt khác, S ∈ (SAB) ∩ (SCD)
Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SE
• Ta có S ∈ (SAD) ∩ (SBC). Gọi Sx = (SAD) ∩ (SBC).
Mà AD // BC nên Sx // AD // BC.
Vậy giao tuyến của 2 mp (SAD) và (SBC) là đường thẳng Sx đi qua
S và song song với AD, BC.
b) Trong (ABCD), gọi I = BM ∩ AC ⇒ I ∈ (SBM)
Trong (SBM), gọi H = BG ∩ SI ⇒ H = BG ∩ (SAC)
Gọi N là trung điểm của AD ⇒ MN // AC (MN là đường trunh cình của ∆ACD)
J là giao điểm của AC và BN ⇒ J là giao điểm của 2 đường chéo hình bình hành ABCN
Từ IJ // MN ⇒ I là trung điểm của BM.
Trong ∆SBM, vẽ GK // SI
Trong ∆SIM ta có: GK // SI ⇒
MI MS

MK MG
3= =
(vì G là trọng tâm của ∆SCD) ⇒
IM
IK
3
2
=
Trong ∆BHG, ta có: HI // GK ⇒
HB IB IM
HG IK IK
3
2
= = =
. Vậy
HB
HG
3
2
=
.
==============================
4
S
A
D
B C
O
E
x