Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán trắc nghiệm tính diện tíchhình nón và thể tích khối nón

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: - Hội đồng sáng kiến Trường THPT Phú Riềng
- Hội đồng sáng kiến Ngành Giáo dục và Đào tạo Bình Phước
- Hội đồng sáng kiến tỉnh Bình Phước
Chúng tơi ghi tên dưới đây:
Tỷ lệ
Số
TT

Họ và tên

Ngày,

Nơi

tháng,

cơng

năm sinh

tác

Chức

Trình độ

danh

chun
mơn

đóng
góp
tạo ra
sáng
kiến

Trường
1

Bùi Thị Ngọc Anh

01/12/1979

Cử nhân

THPT
Phú

Tổ

trưởng Sư phạm

Riềng
Trường
2

Lê Thị Mai Ly

10/09/1981

Đại học

50%

Toán.
Cử nhân

THPT

Giáo

Đại học

Phú

viên

Sư phạm

Riềng
Là các tác giả đề nghị xét cơng nhận sáng kiến:

50%

Tốn.

“Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài tốn trắc nghiệm tính diện tích

hình nón và thể tích khối nón”.
- Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường THPT Phú Riềng
- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục
- Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: Ngày 25 tháng 03 năm 2017.

Trang 1


* Mơ tả bản chất của sáng kiến
Bài tốn tính diện tích hình nón và thể tích khối nón thường xuất hiện
trong các đề kiểm tra định kỳ mơn Tốn lớp 12 của học sinh Trung học phổ
thông và đề thi THPT Quốc gia. Mặt khác, theo định hướng mới của Bộ Giáo
dục Đào tạo, hình thức kiểm tra đánh giá mơn Tốn được chuyển từ hình thức tự
luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan. Điều này dẫn đến một nhu cầu tất
yếu trong thực tế đối với học sinh: làm sao để giải quyết tốt các bài toán trắc
nghiệm tính diện tích hình nón và thể tích khối nón. Qua thực tế giảng
dạy, trao đổi với đồng nghiệp và học sinh, chúng tôi thấy rằng, nhiều
học sinh tỏ ra lúng túng và không biết giải khi gặp các bài tốn
bài tốn trắc nghiệm tính diện tích hình nón và thể tích khối nón, vì nhiều
ngun nhân:
Về mặt khách quan, trong sách giáo khoa chỉ đưa ra các khái niệm về mặt
nón, hình nón, khối nón; cơng thức tính diện tích hình nón và thể tích khối nón;
một vài bài tập trắc nghiệm tương đối ít, chưa đầy đủ. Bên cạnh đó, tài liệu tham
khảo viết về bài tốn này tương đối ít, nội dung trong các tài liệu này chưa có
tính hệ thống, chưa phân dạng tốn, sắp xếp bài tập chưa hợp lí, chưa cập nhật
kịp thời các nội dung có tính thực tiễn và phù hợp tư duy học sinh, chưa hướng
dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả
thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải
bài toán.
Về mặt chủ quan, khơng ít học sinh chưa nắm vững cơ sở lý thuyết của bài

tốn tính diện tích hình nón và thể tích khối nón, hoặc mặc dù học sinh nắm
được cơ sở lý thuyết nhưng chưa được tiếp cận đầy đủ với các dạng tốn, dẫn
đến khơng vận dụng được vào các trường hợp cụ thể. Bên cạnh đó, qua trao đổi
với đồng nghiệp cũng như học sinh, chúng tôi nhận thấy, một số giáo viên xem
nhẹ việc rèn luyện cho học sinh vấn đề hệ thống các lý thuyết cơ bản, các
phương pháp làm các dạng bài tập cơ bản, đơn giản, thường đặt nặng việc giải

Trang 2


các ví dụ, bài tập chuyên sâu, nâng cao. Do đó, các em thường bị “khớp”, gặp
nhiều khó khăn, lúng túng hoặc mắc sai lầm khi định hướng giải toán.
Đề tài được thực hiện với mục đích khắc phục những nhược điểm của thực
trạng nêu trên.
Là giáo viên giảng dạy với niềm đam mê bộ mơn Tốn học, với tất cả nỗ
lực, lòng nhiệt huyết và sự cố gắng của bản thân, chúng tôi đã đầu tư nghiên cứu
để hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán trắc nghiệm tính diện tích hình
nón và thể tích khối nón theo các bước:
(1) Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan.
(2) Nêu phương pháp chung giải bài toán trắc nghiệm tính diện tích hình
nón và thể tích khối nón.
(3) Áp dụng vào bài tập: hệ thống bài tập được phân theo từng dạng tốn.
Trong từng dạng tốn, chúng tơi nhắc lại cơ sở lý thuyết liên quan, sau đó là
các ví dụ theo hình thức trắc nghiệm, đầy đủ, chọn lọc, cập nhật thực tiễn theo
định hướng mới của Bộ Giáo dục - Đào tạo, đặc biệt là cập nhật các ví dụ trích
trong các đề thi minh họa, đề thi thử nghiệm và đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn
năm 2017.
Ở mỗi dạng tốn, các ví dụ được sắp xếp một cách hợp lý từ dễ đến khó
theo bốn mức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao, phù hợp với
sự phát triển tư duy của người học, tạo sự hứng thú tự tin cho các em.

Trong mỗi ví dụ giải mẫu đều có nhận xét, phân tích, chú ý kèm theo giúp
học sinh suy nghĩ, nắm bắt được mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết
luận của bài toán, giúp các em phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề, xác định
được những kiến thức, kỹ năng trọng tâm, từ đó tìm ra lời giải và đáp án bài tốn
một cách chính xác, nhanh chóng, hiệu quả.
Sau đó là các bài tập đề nghị với các bài tập tương tự, nâng cao để học sinh
rèn luyện năng lực tương tự hoá, tổng quát hố, nắm vững kỹ năng giải bài tốn
trắc nghiệm tính diện tích hình nón và thể tích khối nón, rèn luyện khả năng tự
học, tìm tịi, sáng tạo.

Trang 3


Đề tài được thực hiện như trên có thể xem là một tài liệu hướng dẫn học tập
đầy đủ, chi tiết nhằm giúp học sinh khắc phục những hạn chế, khó khăn khi
đứng trước bài tốn trắc nghiệm tính diện tích hình nón và thể tích khối nón,
giúp các em chủ động, tự tin, giải quyết hiệu quả bài toán này trong các đề kiểm
tra định kỳ mơn Tốn lớp 12 của học sinh Trung học phổ thông và đề thi THPT
Quốc gia.
Phần thực hiện trên đây được coi là những đóng góp mới của đề tài.
Các bước thực hiện sáng kiến cụ thể như sau:
Bước 1: Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan.
1. Mặt nón trịn xoay
Trong mặt phẳng (P), cho hai đường thẳng d và Δ
cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc β , 00 < β < 900.
Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh Δ thì đường thẳng
d sinh ra một mặt trịn xoay gọi là mặt nón trịn xoay
đỉnh O. Người ta thường gọi tắt mặt nón trịn xoay là
mặt nón.
+ Đường thẳng Δ gọi là trục.

+ Đường thẳng d gọi là đường sinh .
+ Góc 2β gọi là góc ở đỉnh.
2. Hình nón trịn xoay và khối nón trịn xoay
a) Cho tam giác OIM vng tại I. Khi quay tam
giác đó xung quanh cạnh góc vng OI thì đường gấp
khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón trịn
xoay, gọi tắt là hình nón.
+ Hình trịn tâm I sinh ra bởi các điểm thuộc cạnh
IM khi IM quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của
hình nón.
+ Điểm O gọi là đỉnh của hình nón.
+ Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón.
+ Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón.
Trang 4


+ Độ dài đoạn IM gọi là bán kính đường trịn đáy của hình nón.
+ Phần mặt trịn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay
quanh trục OI gọi là mặt xung quanh của hình nón đó.
b) Khối nón trịn xoay là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình nón
trịn xoay kể cả hình nón đó. Người ta gọi tắt khối nón trịn xoay là khối nón.
+ Những điểm khơng thuộc khối nón được gọi là những điểm ngồi của
khối nón.
+ Những điểm thuộc khối nón nhưng khơng thuộc hình nón ứng với khối
nón ấy được gọi là những điểm trong của khối nón.
+ Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón theo thứ tự là đỉnh,
mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.
3. Diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay
a) Một hình chóp được gọi là nội tiếp một hình nón nếu đáy của hình chóp
là đa giác nội tiếp đường trịn đáy của hình nón và đỉnh của hình chóp là đỉnh

của hình nón. Khi đó ta cịn nói hình nón ngoại tiếp hình chóp.
Diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay là giới hạn của diện tích xung
quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vơ hạn.
b) Cơng thức tính diện tích xung quanh của hình nón
Cho hình nón có bán kính r của đường trịn đáy và độ dài đường sinh l
+ Diện tích xung quanh của hình nón: S xq = π rl .
+ Diện tích mặt đáy của hình nón: Sđ

= π r2

.

+ Diện tích tồn phần của hình nón: Stp = Sđ + Sxq.
Chú ý:
Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần của hình nón trịn xoay cũng là
diện tích xung quanh, diện tích tồn phần của khối nón được giới hạn bởi hình
nón đó.
Nếu cắt mặt xung quanh của hình nón tròn xoay theo một đường sinh rồi
trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình quạt có bán kính bằng độ dài
Trang 5


đường sinh của hình nón và một cung trịn có độ dài bằng chu vi đường trịn đáy
của hình nón. Ta có thể xem diện tích hình quạt này là diện tích xung quanh của
hình nón.

4. Thể tích của khối nón trịn xoay
a) Thể tích của khối nón trịn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội
tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vơ hạn.
b) Cơng thức tính thể tích khối nón trịn xoay

Cho khối nón có bán kính r của đường trịn đáy và độ dài đường cao h. Thể

1 2
tích khối nón là: V = π r h .
3
Bước 2: Nêu phương pháp chung để giải bài tốn tính diện tích hình nón và
thể tích khối nón.
Tính các yếu tố của hình nón như: bán kính r của đường trịn đáy, độ dài
đường sinh l, độ dài đường cao h.
Áp dụng công thức:
•
•
•
•

Diện tích xung quanh của hình nón: S = π rl
xq
Diện tích mặt đáy của hình nón: Sđ

= π r2

Diện tích tồn phần của hình nón: Stp = Sđ + Sxq

Thể tích khối nón:

1
.
V = π r 2h
3

Bước 3: Một số dạng toán thường gặp.
Trang 6


DẠNG 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH NĨN VÀ THỂ TÍCH
KHỐI NĨN CHO TRƯỚC
Ví dụ 1: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho khối nón có bán kính đáy
r = 3 và chiều cao h = 4 . Tính thể tích V của khối nón đã cho.

A.

V=

16π 3 .
3

B. V = 4π .

C.

V = 16π 3

.

D. V = 12π .

Giải:
1
V = π r 2 h = 4π .
3

Đáp án: B.
Nhận xét:
Ví dụ này là một ví dụ cơ bản, thuộc mức 1- Nhận biết.
Học sinh nhận xét được khối nón đã cho có bán kính đáy và độ dài đường

1 2
cao. Áp dụng cơng thức tính thể tích của khối nón: V = π r h - phần Kiến thức
3
cơ bản, học sinh nhanh chóng giải quyết được yêu cầu bài tốn.
Ví dụ 2: Cho khối nón trịn xoay có bán kính đáy 3 và thể tích bằng 12π ,
Tính diện tích xung quanh của hình nón.
A. S xq = 16π .

B. S xq = 24π .

C. S xq = 15π .

D. S xq = 18π .

Giải:
Giả sử khối nón có bán kính đường trịn đáy r, đường
sinh l và đường cao h. Ta có:
1
V = π r 2 h = 12π ⇒ h = 4
3
l = h2 + r 2 = 5
S xq = π rl = 15π .
Đáp án: C.
Nhận xét:

Ví dụ này là ví dụ thuộc mức 2- Thông hiểu.
Trang 7


Ở ví dụ này, học sinh cần nhận xét được, đề bài đã cho bán kính đáy của
hình nón, do đó, để tính được diện tích xung quanh hình nón theo cơng thức

S xq = π rl , phải tính được đường sinh hình nón. Dựa vào hình vẽ, giáo viên cần
hướng dẫn học sinh phát hiện và nắm vững được cơng thức thể hiện mối liên
hệ giữa bán kính đáy, độ dài đường sinh và chiều cao hình nón: l 2 = h 2 + r 2
.Từ đó học sinh định hướng được cần phải tính độ dài đường cao dựa vào dữ
kiện thể tích và bán kính đáy. Khi ấy các em nhanh chóng giải quyết được yêu
cầu đặt ra của bài tốn.
Ví dụ 3: Cho hình nón trịn xoay có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 600.
Diện tích tồn phần của hình nón là
2
A. 3π a .
2
Giải:

2
B. π a .
4

2
C. π a .
2

2
D. 3π a .

4

Giả sử hình nón có đường cao h=SO, bán kính đường
trịn đáy r=OA, đường sinh l=SA.
a
0
·
Ta có: OSA
= 300 , OA = SA.sin 30 = .
2
Diện tích xung quanh của hình nón là:
a
π a2
.
S xq = π rl = π . .a =
2
2

Diện tích đáy của hình nón là: Sđ

π a2 .
=πr =
4
2

Diện tích tồn phần của hình nón là: S = S + Sđ = 3π a .
tp
xq
4
2

Đáp án: D.
Nhận xét:
Ví dụ này cũng là ví dụ thuộc mức 2- Thông hiểu.

Trang 8


Ở ví dụ này, học sinh định hướng cần tính bán kính đáy của hình nón. Dựa
vào hình vẽ, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOA, học sinh tìm
được mối liên hệ giữa các giả thiết đã cho (độ dài đường sinh, góc ở đỉnh) với
yếu tố cần tính (bán kính đáy); từ đó giải quyết được u cầu đặt ra của bài
tốn.
Như vậy, qua các ví dụ 2,3, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh phát
hiện được, theo định nghĩa, hình nón được tạo thành khi cho tam giác vng
quay quanh cạnh góc vng; do đó việc giải quyết tốt các bài tốn hình nón
thực chất quy về việc giải quyết tốt các bài toán trong tam giác vng. Điều
này địi hỏi các em cần thường xuyên rèn luyện, củng cố kiến thức trong hình
học phẳng, cụ thể ở đây là những kiến thức hệ thức lượng trong tam giác vng.
Ví dụ 4: Cho hình nón trịn xoay có diện tích xung quanh bằng 200π , góc
giữa đường sinh và mặt phẳng chứa đường trịn đáy bằng 60 0. Tính thể tích
của khối nón ứng với hình nón đã cho.
A. 1000 3π .
3
Giải:

B. 1000 3π .

C. 100 3π .

D. 100 3π .
3

Giả sử hình nón có đường cao h=SO, bán kính
đường trịn đáy r=OA, đường sinh l=SA.
Góc giữa đường sinh và mặt phẳng chứa đường trịn
·
đáy là SAO
= 60o .
Ta có: SA =

OA
= 2OA ⇒ l = 2r .
cos 600

S xq = π rl = 2π r 2 = 200π ⇒ r = 10 .
⇒ l = 20, h = l 2 − r 2 = 10 3 .
1
1000 3π
Thể tích khối nón là: V = π r 2 h =
.
3
3

Đáp án A.
Trang 9


Nhận xét:
Ví dụ này là một ví dụ nâng cao hơn so với các ví dụ trên, thuộc mức 3Vận dụng thấp.

Với ví dụ này, trước hết địi hỏi học sinh phải chuyển đổi được từ ngơn
ngữ hình học khơng gian (góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ) sang ngơn
ngữ hình học phẳng (góc giữa hai đường thẳng cắt nhau SA, OA trong tam
giác vuông SOA). Dựa vào dữ kiện góc này, học sinh nhận thấy có mối liên hệ
giữa 3 yếu tố: chiều cao, bán kính đáy, độ dài đường sinh hình nón. Kết hợp với
giả thiết đã cho về diện tích xung quanh hình nón, học sinh cần nhận xét được,
chọn 1 trong 2 yếu tố (đường sinh, bán kính đáy) là ẩn, các em sẽ tìm được ẩn
đó. Như vậy học sinh tìm được các yếu tố cịn lại và giải quyết thành cơng u
cầu đặt ra của bài tốn.
Ví dụ 5: Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc
đường trịn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và
·
·
SAO
= 300 , SAB
= 600 . Tính diện tích xung quanh hình nón.
3πa 2
A. S xq =
.
2
Giải:

πa 2
B. S xq =
.
2

C. S xq =

πa 2 3

.
2

2
D. S xq = πa 3 .

Gọi I là trung điểm của AB ⇒ OI ⊥ AB, SI ⊥ AB, OI = a .
SA 3
SA
·
·
.
OA = SA.cos SAO
=
, AI = SA.cos SAI
=
2
2
AI
3
·
⇒ cos IAO
=
=
OA 3
a
6
a 6
·
⇒ sin IAO

=
=
⇒ OA =
=r.
OA 3
2
SA =

OA
=a 2 =l.
·
cos SAO

Vậy, diện tích xung quanh hình nón: S xq = π rl = π a 2 3 .
Đáp án: D.
Trang 10


Nhận xét:
Ví dụ này cũng là một ví dụ thuộc mức 3- Vận dụng thấp.
Trong ví dụ này, từ giả thiết, dựa vào các kiến thức về đường trịn trong
hình học phẳng và các kiến thức về quan hệ vuông góc trong hình học khơng
gian, học sinh phải nhận xét được các tam giác SOA, SAI, AOI là các tam giác
vng. Kết hợp với dữ kiện góc mà đề bài đã cho, giáo viên cần hướng dẫn học
sinh phát hiện được, có thể tìm thấy mối liên hệ giữa các cạnh tam giác vng
OIA qua SA. Khi đó, vận dụng dữ kiện khoảng cách OI của đề bài, các em tìm
được bán kính đáy OA, vì vậy tìm được độ dài đường sinh của hình nón, giải
quyết thành cơng u cầu bài tốn.
Ví dụ 6: Một cơng ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3
với chiều cao là h và bán kính đáy là r . Để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì

giá trị của r là:
36 .
r=
2π 2
Giải:
A.

4

B.

38 .
r=
2π 2
6

C.

38 .
r=
2π 2
4

D.

36 .
r=
2π 2
6

1 2
81
81 1
2
Thể tích của cốc: V = πr h = 27 ⇒ r h = ⇒ h = . 2 .
3
π
π r
Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.
S xq = π rl = π r r 2 + h 2 = π r r 2 +
= π r4 +

812 1
812 1
4
.
=
π
r
+
.
π 2 r4
π 2 r2

812 1 812 1
812 1 812 1
814 .
3 r 4.
6
.

+
.
≥
π
3
.
.
.
=
3
π
2π 2 r 2 2π 2 r 2
2π 2 r 2 2π 2 r 2
4π 4

2
8
8
S xq nhỏ nhất ⇔ r 4 = 81 . 1 ⇔ r 6 = 3 ⇔ r = 6 3 .
2π 2 r 2
2π 2
2π 2

Đáp án B.
Nhận xét:
Ví dụ này là một ví dụ thuộc mức 4- Vận dụng cao.
Ở ví dụ này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận xét được, để lượng
giấy tiêu thụ ít nhất thì diện tích xung quanh của cốc giấy hình nón nhỏ nhất.
Trang 11

Như vậy bài toán đã cho quy về bài toán tìm r để diện tích xung quanh hình
nón đạt giá trị nhỏ nhất.
Để giải quyết được bài toán này giáo viên cần phát vấn, hướng dẫn học
sinh hình thành phương pháp, thể hiện qua các bước sau:
- Chuyển đổi bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh
hình nón thành bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số theo biến r ( học
sinh cần chú ý do đã có thể tích hình nón nên hồn tồn có thể biểu diễn được
chiều cao và độ dài đường sinh hình nón qua r ). Đây là một bài tốn quen
thuộc trong Đại số- Giải tích.
- Nhắc lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số
đã học trong Đại số- Giải tích, áp dụng làm bài.
- So sánh các cách làm với nhau và lựa chọn cách làm tối ưu, ngắn gọn
nhất. Trong ví dụ này học sinh nhận xét được, để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm
số, ngồi phương pháp dùng bất đẳng thức Cauchy như trên, học sinh có thể sử
dụng nhiều phương pháp khác ( phương pháp hàm số... ). Tuy nhiên phương
pháp giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy như đã trình bày là cách
giải tối ưu và ngắn gọn nhất.
Giáo viên cũng cần chú ý học sinh: một trong những thách thức của các
em khi làm bài trắc nghiệm là yếu tố thời gian. Ví dụ trong đề thi THPTQG năm
2017, với số lượng câu hỏi là 50, thời gian làm bài 90 phút, như vậy trung bình
một câu các em chỉ có 1 phút 48 giây để hồn thành. Do đó giáo viên cần
hướng dẫn học sinh phải rèn luyện tư duy suy luận nhanh, chọn phương án
hợp lý làm bài kết hợp sử dụng cơng cụ hỗ trợ máy tính cầm tay để giải quyết
được mỗi câu hỏi trong thời gian ngắn nhất.
Ngồi ra khi giải quyết các ví dụ mẫu, giáo viên cũng có thể hướng dẫn
các em một số mẹo để chọn nhanh đáp án. Chẳng hạn trong ví dụ trên học sinh
cần chú ý yêu cầu đề bài đồng nghĩa với tìm r để giá trị hàm số là nhỏ nhất, do
đó học sinh chỉ cần tìm được điều kiện của r để dấu “=” của bất đẳng thức
Cauchy xảy ra (khơng nhất thiết phải tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số theo

như lời giải hoàn chỉnh ở trên), từ đó chọn nhanh được đáp án.
Trang 12


Bài tập đề nghị:
Câu 1: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho hình nón có bán kính đáy

r = 3 và độ dài đường sinh l = 4 . Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón
đã cho.
A. S xq = 12π .

B. S xq = 4 3π .

C. S xq = 39π .

D. S xq = 8 3π .

Câu 2: (Đề thi thử nghiệm kì thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho khối nón
(N) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15π . Tính thể tích V
của khối nón (N).
A. V = 12π .

B. V = 20π .

D. V = 60π .

C. V = 36π .

Câu 3: Cho hình nón có bán kính đáy 4a và chiều cao 3a . Diện tích tồn phần
của hình nón là

A. 38π a 2 .

B. 32π a 2 .

C. 36π a 2 .

D. 30π a 2 .

Câu 4: Cho khối nón có chu vi đường trịn đáy là 6π , chiều cao bằng

7 . Thể

tích của khối nón là:
A. 12π .

B.

9π 7

.

C.

3π 7

.

D. 36π .

Câu 5: Cho hình nón có chiều cao h và góc ở đỉnh bằng 900. Thể tích của khối

nón xác định bởi hình nón trên là:
3
A. π h .
3

B.

6π h3 .
3

3
C. 2π h .
3

D.

2π h3

.

Câu 6: Cho hình nón có đường sinh bằng 2a và góc giữa đường sinh và mặt
phẳng đáy bằng 60o . Tính diện tích tồn phần của hình nón đã cho.
A.

3π a 2

B.

5π a 2

C.

π a2

D.

2π a 2

Câu 7: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy bạc có thể tích 12π (cm3) và
chiều cao là 4cm. Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần, nhưng
chiều cao khơng thay đổi thì diện tích miếng giấy bạc cần thêm là:

Trang 13


(

)

A. 12 13 + 15 π ( cm 2 ) .

B. 12π 13 ( cm2 ) .

C. 12 13π
.
cm 2 )
(
15

D. 12 13 − 15 π ( cm 2 )

(

)

Đáp án: 1B, 2A, 3C, 4C, 5A, 6A, 7D.
DẠNG 2: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH NĨN VÀ THỂ TÍCH KHỐI NĨN TẠO
BỞI PHÉP QUAY TAM GIÁC
Dạng 2.1. Quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vng
Quay tam giác SOA vng tại O quanh cạnh góc
vng SO. Khi đó ta được hình nón có:
+ Đỉnh S.
+ Đường cao SO.
+ Đường sinh SA.
+ Bán kính đường trịn đáy: OA.
·
+ Góc ở đỉnh 2OSA
.
Dạng 2.2. Quay tam giác bất kì quanh một cạnh bất kì
Quay tam giác SAC quanh cạnh SC ta được hình
trịn xoay được xác định như sau:
+ Gọi AO là đường cao của tam giác SAC.
+ Chia tam giác SAC thành hai phần là tam giác
SAO và tam giác CAO.
+ Quay tam giác SAC quanh cạnh SC ta được ta
được hai hình nón chung đáy và trục như hình bên
(hai hình nón được tạo thành bởi tam giác SAO quay
quanh SO và tam giác CAO quay quanh CO) - quy về
Dạng 2.1.
Ví dụ 1: Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, IM = a, OM = 2a .

Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI, thì đường gấp khúc OMI
tạo thành hình nón có diện tích xung quanh S xq bằng
Trang 14


2 3
πa .
3
Giải:
A.

B. 3π a 2 .

C. 2π a 2 .

D.

1 2
πa .
2

S xq = π .IM .OM = 2π a 2 .
Đáp án: C.
Nhận xét:
Ví dụ này thuộc mức 1- Nhận biết, thuộc Dạng 2.1. Khối nón được sinh
ra khi quay tam giác vng quanh một cạnh góc vng.
Đối với các ví dụ dạng này, giáo viên cần chú ý học sinh nhận biết, xác
định đúng trục, đỉnh, đường cao, đường sinh, bán kính đáy của hình nón,
khối nón dựa vào định nghĩa hình nón, khối nón - phần Kiến thức cơ bản.
Trong ví dụ trên, học sinh nhận xét được hình nón đã cho có trục OI, đỉnh

O, đường cao OI, đường sinh OM, bán kính đường trịn đáy IM. Áp dụng cơng
thức tính diện tích xung quanh của hình nón, học sinh nhanh chóng giải quyết
được u cầu bài tốn.
Ví dụ 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Trong không gian cho tam giác
ABC vuông tại A, AB = a và ·ACB = 30° . Tính thể tích V của hình nón nhận
được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC.
3π a 3
A. V =
.
3
Giải:
Ta có AC =

B. V = 3π a .
3

3π a 3
C. V =
.
9

D. V = π a 3 .

AB
= a 3.
t an300

Thể tích V của khối nón nhận được khi quay tam giác
ABC quanh cạnh AC là:
1

3π a 3
2
.
V = π AB . AC =
3
3
Đáp án: A.
Nhận xét:
Trang 15


Ví dụ này thuộc mức 2- Thơng hiểu, thuộc Dạng 2.1. Khối nón được sinh
ra khi quay tam giác vng quanh một cạnh góc vng
Tương tự ví dụ 1, học sinh phải xác định đúng được hình nón cần tính thể
tích có trục CA, đỉnh C, đường cao AC, đường sinh CB, bán kính đường trịn
đáy AB. Từ đó, với dữ kiện đề bài, áp dụng kiến thức về hệ thức lượng trong tam
giác vuông đã được rèn luyện ở Dạng 1, học sinh giải quyết thành công yêu cầu
bài tốn.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA
vng góc với đáy, SC = a 6 . Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì
đường gấp khúc SCA tạo thành một hình nón trịn xoay. Thể tích của khối nón
trịn xoay đó là:
4π a 3
.
3
Giải:
A.

B.

a 3π 2
.
6

C.

π a3 3
.
3

D.

π a3 3
.
6

Ta có: AC = a 2 ⇒ SA = SC 2 − AC 2 = 6a 2 − 2a 2 = 2a
Hình nón trịn xoay được tạo thành có thể tích là:
1
1
4π a 3
2
2
V = π AC .SA = π .2a .2a =
.
3
3
3
Đáp án: A.
Nhận xét:

Ví dụ này cũng là một ví dụ thuộc mức 2- Thơng hiểu.
Với những ví dụ kiểu này, giáo viên cần chú ý các em: mặc dù đề bài cho
là hình chóp, nhưng phân tích kỹ đề bài học sinh phải định hướng được bài toán
này thuộc Dạng 2.1. Khối nón được sinh ra khi quay tam giác vng quanh
một cạnh góc vng.
Cụ thể trong bài tốn trên, theo dữ kiện đề bài, dựa vào các kiến thức về
quan hệ vng góc trong hình học khơng gian, học sinh cần nhận xét được
tam giác SAC là tam giác vng tại A. Do đó, khi tam giác SAC quay quanh
Trang 16


cạnh SA thì đường gấp khúc SCA tạo thành hình nón có trục SA, đỉnh S, đường
cao SA, đường sinh SC, bán kính đường trịn đáy AC. Theo u cầu đề bài, học
sinh xác định được các yếu tố cần tính dựa vào những yếu tố đã cho, từ đó giải
quyết thành cơng bài tốn.
Ví dụ 4: Trong khơng gian cho tam giác ABC cân tại A, AB = a 10 , BC = 2a .
Gọi H là trung điểm của BC. Tính thể tích V của khối nón nhận được khi
quay tam giác ABC xung quanh trục AH.
A. V = 2π a 3 .
Giải:

B. V = 3π a 3 .

C. V = 9π a 3 .

D. V = π a 3 .

Ta có:
BH = a, AH = AB 2 − BH 2 = 10a 2 − a 2 = 3a .
Thể tích của khối nón:

1
1
V = π .BH 2 .AH = π .a 2 .3a = π a 3 .
3
3
Đáp án: D.
Nhận xét:
Ví dụ này là một ví dụ thuộc mức 2- Thông hiểu.
Với dữ kiện đề bài và tính chất của tam giác cân, học sinh định hướng
được hình nón sinh ra do tam giác vng ABH quay quanh cạnh góc vng AH,
đưa bài tốn về Dạng 2. 1. Các em xác định được AH là trục, đỉnh A, đường
cao AH, đường sinh AB, bán kính đường trịn đáy BH; áp dụng các kỹ năng đã
được rèn luyện ở những ví dụ trước, học sinh giải quyết được u cầu đặt ra
của bài tốn.
Ví dụ 5: Trong khơng gian cho tam giác ABC có AB = 6a, AC = 8a, BC = 10a .
Quay tam giác ABC quanh đường thẳng BC tạo thành hình trịn xoay có diện
tích toàn phần là
A. Stp = 72π a 2 .

B. Stp = 36π a 2 .

C. S = 336π a .
tp
5
2

D. S = 345π a .
tp
5
2

Giải:
Trang 17


Gọi AH là đường cao của tam giác ABC. Khi quay tam giác ABC quanh đường
thẳng BC tạo thành hình trịn xoay gồm hai hình nón do hai tam giác vng
AHB quay quanh cạnh góc vng HB và tam giác vng AHC quay quanh cạnh
góc vng HC.
+ Hình nón tạo bởi tam giác AHB có đường sinh AB = 6a , bán kính đáy
AH =

AB. AC 24a
144π a 2
=
S
=
π
.AH
.AB
=
.
BC
5 . Do đó diện tích xung quanh là xq
5

+ Hình nón tạo bởi tam giác AHC có đường sinh AC = 8a , bán kính đáy
AH =

24a

192π a 2
S' = π .AH .AC =
.
5 . Do đó diện tích xung quanh là xq
5

336π a 2
Vậy, diện tích tồn phần của hình nón tạo thành là: Stp = S xq + S' xq =
5 .
Đáp án: C.
Nhận xét:
Ví dụ này là ví dụ thuộc mức 3- Vận dụng thấp, thuộc Dạng 2.2. Hình
nón được sinh ra khi quay tam giác bất kì quanh một cạnh bất kì.
Để giải quyết được bài tốn này, theo cơ sở lý thuyết của Dạng 2.3, giáo
viên cần phát vấn, hướng dẫn học sinh hình thành phương pháp, thể hiện qua
các bước sau:
- Từ dữ kiện đề bài, học sinh phải xác định được khối tròn xoay sinh ra khi
quay tam giác ABC quanh đường thẳng BC gồm hai khối nón sinh ra khi hai
tam giác vng AHB quay quanh cạnh góc vng HB và tam giác vng AHC
quay quanh cạnh góc vng HC - đưa bài toán về Dạng 2. 1.
- Dựa vào các kỹ năng đã được rèn luyện thành thạo ở dạng Dạng 2. 1,
học sinh tính được thể tích hai khối nón trên, giải quyết được yêu cầu đặt ra của
bài toán.
Trong các bước tính tốn như thế này, giáo viên cần chú ý học sinh khai
thác tối đa máy tính cầm tay để hỗ trợ, giảm bớt thời gian làm bài. Chẳng hạn
Trang 18


trong ví dụ này, sử dụng máy tính cầm tay để tính diện tích tồn phần sẽ giúp
học sinh tìm được kết quả một cách nhanh chóng, chính xác, từ đó chọn nhanh

được đáp án.
Ví dụ 6: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2 R và điểm C thay đổi trên
·
nửa đường trịn đó, đặt α = CAB
và gọi H là hình chiếu vng góc của C lên
AB. Tìm α sao cho thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay tam giác
ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất.
A. α = 600 .

B. α = 450 .

C. α = arctan

1
.
2

D. α = arctan 6 .
3

Giải:
Xét tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH, ta có:
AC = AB.cos α = 2 R cos α
CH = AC.sin α = 2 R cos α .sin α
AH = AC.cos α = 2 R cos 2 α .
Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay
tam giác ACH quanh trục AB là:
1
8
V = π .CH 2 . AH = π R 3 cos 4 α .sin 2 α .

3
3
2
Đặt t = cos α ( 0 < t < 1) .
3

8
8
8
 t + t + 2 − 2t  32 3
⇒ V = π R 3t 2 ( 1 − t ) = π R 3t.t ( 2 − 2t ) ≤ π R 3 .
÷ = πR .
3
6
6
3

 81
Vậy V lớn nhất khi t =

1
1
2
⇔ α = arctan
hay tan α =
.
3
2
2

Đáp án: C.
Nhận xét:
Ví dụ này thuộc mức 4- Vận dụng cao.
Dựa vào dữ kiện đề bài, học sinh nhận dạng được bài tốn thuộc Dạng 2.1.
Hình nón được sinh ra khi quay tam giác vuông quanh một cạnh góc
vng.
Trang 19


Dựa trên cơ sở lý thuyết và các tri thức phương pháp đã biết, học sinh tự
tin, chủ động giải quyết ví dụ này bằng cách thực hiện các bước sau:
- Biểu diễn thể tích khối trịn xoay qua R ( yếu tố cố định, đóng vai trị là
một hằng số ) và góc α ( yếu tố cần tìm, đóng vai trị là biến). Học sinh cần chú
ý ở đây: để biểu thị được chiều cao, bán kính đáy, độ dài đường sinh hình nón
qua R và góc α , ngoài việc sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vng,
cịn cần chú ý khai thác dữ kiện góc nội tiếp chắn nửa đường trịn.
- Chuyển đổi bài tốn tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trịn xoay
thành bài tốn tìm giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác.
- Nhắc lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
lượng giác, chọn lọc phương pháp tối ưu và áp dụng cho bài tốn.
- Học sinh nhận xét được: để tìm giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác
trên một cách ngắn gọn nhất, nên tiếp tục chuyển đổi bài toán về bài tốn tìm
giá trị lớn nhất của hàm số theo biến t - một bài toán quen thuộc trong Đại số
Giải tích.
- Thực hiện các bước tương tự như Ví dụ 6 - Dạng 1, học sinh cũng giải
quyết được bài tốn này, nhanh chóng tìm ra đáp án.
Bài tập đề nghị:
Câu 1: Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = 3cm, AC =
2cm, người ta quay tam giác ABC quanh cạnh AC được hình nón. Thể tích khối
nón được tạo nên bởi hình nón đó bằng:

A. 6π.

B. 12 π .

C. 4π .

D. 18 π.

·
Câu 2: Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I có OMI
= 600 và cạnh
IM = 10 . Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI thì đường gấp khúc
OMI tạo thành một hình nón trịn xoay. Tính diện tích xung quanh của hình nón
tạo thành.
A. S xq = 1000 3π .

B. S xq = 100 3π . C. S xq = 200π .

D. S xq = 400π .

Trang 20


Câu 3: (Sách giáo khoa Hình học 12) Gọi S là diện tích xung quanh của hình
nón trịn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC’ của hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b khi quay xung quanh trục AA’. Diện tích S là:
B. π b 2 6 .

A. π b 2 .

C. π b 2 3 .

D. π b 2 2 .

Câu 4: (Sách giáo khoa Hình học 12) Cho hình tam giác đều ABC cạnh a quay
quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón
đó là:
A. π a 2 .

B. 2π a 2 .

C.

1 2
πa .
2

D.

3 2
πa .
4

·
Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A, biết AB = a và BAC
= 1200 . Tính thể tích
khối trịn xoay sinh ra khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC.
A. V = π a

3

4

3.

3

B. V = π a .
8

3

C. V = 3π a .
8

3

D. V = π a .
4

Câu 6: Cho hình thoi cạnh a có góc bằng 600 . Tính thể tích V của vật thể trịn
xoay có được khi cho hình thoi quay quanh trục là đường thẳng chứa một cạnh
của nó.
A. V = π a3 .

3

B. V = π a .
4

C. V =

7π a3
.
8

3

D. V = 3π a .
4

Câu 7: Trong khơng gian cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3, trọng tâm G,
đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1. Tính thể tích khối
trịn xoay khi quay tứ giác BMGH quanh trục AH.
A. 49 3π .
12

B. 55 3π .
12

C. 43 3π .
12

D. 25 3π .
24

Câu 8: Bạn An có một đoạn dây kẽm AB dài 40 cm. Trên đoạn AB, An chọn một
vị trí C rồi gấp khúc đoạn kẽm tại vị trí C đó sao cho ba điểm A, B, C tạo thành
tam giác vuông tại B. An cho đường gấp khúc ACB xoay quanh trục AB để được
một hình nón tròn xoay. Xác định độ dài đoạn BC để khối nón trịn xoay có thể

tích lớn nhất.
A. BC = 16 cm.

B. BC = 15 cm.

C. BC = 17 cm.

D. BC = 14 cm.
Trang 21


Đáp án: 1A, 2C, 3B, 4C, 5D, 6D, 7D, 8A.
DẠNG 3: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH NĨN VÀ THỂ TÍCH KHỐI NĨN TẠO
BỞI CÁCH DÁN HÌNH QUẠT
Nếu cắt mặt xung quanh của hình nón trịn xoay theo một đường sinh rồi
trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình quạt có bán kính bằng độ dài
đường sinh của hình nón và một cung trịn có độ dài bằng chu vi đường trịn đáy
của hình nón. Ta có thể xem diện tích hình quạt này là diện tích xung quanh của
hình nón.

Chú ý:
+ Chu vi của hình trịn bán kính r: C = 2π r .
+ Cung có số đo α rad của đường trịn bán kính R có độ dài: l = α .R .
2

+ Diện tích hình quạt trịn bán kính R, số đo cung α rad là: S = α R .
2
Ví dụ 1: Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải
phẳng ra thành một hình quạt. Biết bán kính của quạt bằng độ dài đường sinh
hình nón và độ dài cung bằng chu vi đáy hình nón. Quan sát hình dưới đây và

tính diện tích xung quanh của hình nón.
2
A. 24π ( cm )

2
B. 6π ( cm )

2
C. 48π ( cm )

2
D. 12π ( cm )

Giải:
Trang 22


2
Diện tích xung quanh hình nón là: S xq = π .2.6 = 12π ( cm ) .

Đáp án: D.
Nhận xét:
Ví dụ này thuộc mức 1- Nhận biết.
Áp dụng cơng thức chu vi hình trịn bán kính r: C = 2π r kết hợp dựa vào
hình vẽ, học sinh nhận biết được, với chu vi là 2.π .2 ( cm ) thì bán kính hình nón
là r = 2cm .
Lại có độ dài đường sinh hình nón theo hình vẽ: l = 6cm , học sinh áp dụng
công thức diện tích xung quanh hình nón, nhanh chóng giải quyết được u cầu
bài tốn.
Ví dụ 2: Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải

phẳng ra thành một hình quạt có bán kính bằng 9cm, số đo cung bằng

2π
.
3

Tính diện tích xung quanh hình nón đó.
2
A. 24π ( cm )

2
B. 9π ( cm )

2
C. 27π ( cm )

2
D. 12π ( cm )

Giải:
Giả sử hình nón có đường sinh l, bán kính đường trịn đáy r. Ta có: l = 9 .
Độ dài cung trịn hình quạt: 9.

2π
= 6π .
3

Ta có: 2π r = 6π ⇔ r = 3 .
2
Diện tích xung quanh hình nón là: S xq = π rl = π .3.9 = 27π ( cm ) .

Đáp án: C.
Nhận xét:
Ví dụ này thuộc mức 2- Thông hiểu.

Trang 23


Với ví dụ này, dựa trên dữ kiện đề bài, cơ sở lý thuyết, tri thức phương
pháp đã được giáo viên hình thành, học sinh nhận xét, để giải quyết yêu cầu bài
toán cần thực hiện các bước sau:
- Xác định bán kính hình quạt = độ dài đường sinh hình nón l.
- Từ số đo cung trịn hình quạt cho trước, áp dụng cơng thức cung có số đo

α rad của đường trịn bán kính R có độ dài α .R , tìm được độ dài cung trịn
hình quạt.
- Vì độ dài cung trịn hình quạt = chu vi đường trịn đáy hình nón, từ đó
tính được bán kính đường trịn đáy r của hình nón.
- Áp dụng cơng thức diện tích xung quanh hình nón, tìm ra đáp án.
Ví

dụ

3:

Cho hình trịn tâm O có bán kính bằng 6.

Cắt bỏ

1

4

hình

trịn giữa hai bán

kính OA và

OB,

rồi ghép hai bán

kính đó lại

sao

cho

hình

(như

hình vẽ) . Thể

nón

thành

một

tích khối nón tương ứng đó là:
A. 81π 7 .
8
Giải:

B. 9π 7 .
8

C. 81π 7 .
4

D. 9π 7 .
2

Giả sử hình nón có bán kính đường trịn đáy r, đường sinh l. Ta có: l = OA = 6
Chu vi hình trịn đã cho là: 2π .6 = 12π .
Chu vi hình trịn đáy của hình nón là:

3
.12π = 9π .
4

3 7.
Ta có: 2π r = 9π ⇔ r = 9 ,
h = l2 − r2 =
2
2
1
81π 7
Thể tích khối nón: V = π r 2 h =

.
3
8
Đáp án: A.
Nhận xét:
Trang 24


Ví dụ này thuộc mức 3- Vận dụng thấp, là ví dụ nâng cao hơn so với ví dụ
trên.
Học sinh cần phát hiện được, nếu các Ví dụ 1, Ví dụ 2 là bài tốn cắt mặt
xung quanh của hình nón trịn xoay theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt
phẳng được một hình quạt; thì ví dụ này là bài tốn ngược lại, ghép hai bán
kính một hình quạt tạo thành một hình nón.
Do đó, sử dụng cơ sở lý thuyết của Dạng 3, dựa trên dữ kiện đề bài, tri
thức phương pháp đã được giáo viên hướng dẫn hình thành, học sinh thực hiện
các bước sau để giải quyết yêu cầu bài toán:
- Xác định độ dài đường sinh hình nón l = bán kính hình quạt.
- Xác định chu vi đường trịn đáy của hình nón = độ dài cung trịn của hình
quạt, từ đó tính được bán kính đường trịn đáy r của hình nón.
- Đưa bài tốn cần giải quyết trở về Dạng 1.
Với dạng toán này, giáo viên cần chú ý hướng dẫn học sinh nhận xét
được bước quan trọng nhất là bước 2: Tính tốn chính xác chu vi đường trịn
đáy của hình nón ( độ dài cung trịn của hình quạt ).
Ví dụ 4: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước
bán kính R = 5 và chu vi của hình quạt là P = 8π + 10 , người ta gò tấm kim
loại thành những chiếc phễu theo hai cách:
1. Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu
2. Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung
quanh của hai cái phễu

Gọi V là thể tích của cái phễu thứ nhất, V là tổng thể tích của hai cái phễu ở
1
2

cách 2. Tính

V1
?
V2

Trang 25