31 CÂU BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ CHO HSG THPT

CHUN ĐỀ:

BẤT ĐẲNG THỨC
Biên soan: Thầy Đồn Cơng Hồng

Câu 1: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức

(

)(

)(

P = a 2 − ab + b2 b2 − bc + c 2 c 2 − ac + a 2

)

Lời giải
a ( a − b )  0 a 2 − ab + b 2  b 2
 2
+ Giả sử 0  a  b  c  3 . Khi đó 
2
2
a ( a − c )  0 c − ca + a  c

(

)

2 2

2
2
2 2
+ Cho nên P  b c b − bc + c = b c ( b + c ) − 3bc 


2

+ Mà b + c  a + b + c = 3 nên P  b2 c 2 ( 9 − 3bc ) = −3 ( bc + 1)( bc − 2 ) + 12  12
2

+ Vậy max P = 12  a, b, c là các hoán vị của ( 0;1;2 )
Câu 2: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab = 1 + c ( a + b ) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=

a
b
c2
+
+
.
1 + a 2 1 + b2 1 + c 2

Lời giải
 
  
+ Đặt a = tan x, b = tan y, c = − tan z với x, y   0;  và z   − ;0 
 2
 2 

+ Khi đó x + y + z =


2

và P =

1
( sin 2 x + sin 2 y ) + sin 2 z
2

2
+ Ta có P = sin ( x + y ) cos ( x − y ) + sin z

= − cos 2 z + cos z cos ( x − y ) + 1



cos ( x − y )  cos 2 ( x − y )
5
= −  cos z −
+1
 +
2
4
4


2

+ Vậy max P =

5
 a = b = 2 + 3; c = 3
4

Câu 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x3 + y 2 + z = 2 3 + 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1 1
1
+ 2 + 3.
x y
z

Lời giải
+ Áp dụng bất đẳng thức cơ-si ta có

x3 1
1
1 4
+
+
+
 ;
3 3x 3x 3x 3

z z z 1 4 3
y2 1
2

+ 2 
; + + + 3 
9
3 y
3 9 9 9 z

+ Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có

 x3 y 2 z   1 1
1  12 + 10 3
+ + + 2 + 3 
 +
3 3  x y
z 
9
 3

1 1
1  12 + 10 3  x3 y 2 z  9 + 4 3
 P= + 2 + 3
− +
+ 
z 
9
3 3
9
x y
 3
+ Vậy min P =

9+4 3
 x = 1; y = 4 3; z = 3
9

Câu 4: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = 3abc.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

a
8a + 1
2

+

b
8b + 1
2

+

c
8c + 1
2

Lời giải
+ Để tồn tại biểu thức P ta thấy a, b, c  0 . Xét hai trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: Có ít nhất một số bằng 0

.

Giả sử a = 0 khi giả thiết trở thành b2 + c 2 = 0  b = c = 0
Giá trị của biểu thức là P = 0
+ Trường hợp 2: a, b, c  0
Áp dụng bất đẳng thức cơ-si ta có a 2 + b2 + c 2  ab + bc + ca

 3abc  ab + bc + ca 

1 1 1
+ + 3
a b c

b
c 
 a
+ 2
+ 2
Áp dụng bất đẳng thức bunhia ta có P 2  3  2

 8a + 1 8b + 1 8c + 1 

Ta có

a
8a + 1
2

1

1
1

 2
2
a + a + 1 a + 2a



a 2
1 
a
2
1

+
 2 + 2
 2
9  3a
a + 2a 
8a + 1 27a a + 2

2a + 1

Nên

8a + 1

2

a
2

a
9
a 2
1 
. 2
  2 + 2

2
2
9 3a + 3a + 2a + 1 9  3a
2a + 1 

=

=

Mà

(1)

2

( 2)

Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được

b
8b + 1
2

c
8c + 1
2



2
1
+
27b b + 2

( 3)



2
1
+
27c c + 2

( 4)

Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) , ( 4 ) ta có P 2 

Mặt khác ta lại có

Vậy P 2 

21 1 1 1 1
1

1 
+
+
 + + + 

9  a b c 3 a + 2 b + 2 c + 2

1
1
1
11 1 1

+
+
  + + + 6
a+2 b+2 c+2 9a b c


21 1 1 1 1 1 1

2
 + + +
 + + + 6  P  1  P  1
9  a b c  27  a b c


+ Đáp số max P = 1  a = b = c = 1.
Câu 5: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 . Chứng minh rằng

x( y + z) y ( z + x) z ( x + y)
+
+
 2 xyz
4 − yz
4 − zx
4 − xy
Lời giải
+ Bất đẳng thức cần chứng mình  P =

+ Ta có

y+z
z+x
x+ y
+
+
2
yz ( 4 − yz ) zx ( 4 − zx ) xy ( 4 − xy )

y+z
2
2


yz ( 4 − yz )  yz 2 − yz  2 + yz
2 + yz



(

)(

)



1
1
1
18
+
+
+ Suy ra P  2 
 
 2 + xy 2 + yz 2 + zx  6 + xy + yz + zx

+ Mặt khác theo bunhia

(

xy + yz + zx

)

2

 ( x + y + z )( x + y + z ) = 9

 xy + yz + zx  3
+ Nên P 

18
= 2  đpcm. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
6+3

Câu 6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

a3
b3
c3
P=
+
+
.
b+3
c+3
a+3
Lời giải
+ Áp dụng bất đẳng thức cô-si

a3
a3
b+3
+
+
 33
8

b+3
b+3

a3
a3 b + 3
2a 3
b + 3 3a 2

+

8
2
b+3 b+3 8
b+3

+ Hoàn toàn tương tự ta cũng có

2b3
c + 3 3b 2
+

8
2
c+3

( 2)

và

2c3

a + 3 3c 2
+

8
2
a+3

( 3)

(1)


+ Cộng các bất đẳng thức (1) , ( 2 ) và ( 3 ) ta được

2P +

a+b+c+9 3 2
 ( a + b2 + c 2 )
8
2

 2P +

a+b+c+9 1
2
 (a + b + c)
8
2

 2P +

3+9 1
3
 .9  P 
8
2
2

+ Vậy min P =

3
 a = b = c =1
2

Câu 7: Cho x, y, z  0 . Chứng minh rằng
3

 x
y
z 
4 x3 + y 3 + 3 4 y 3 + z 3 + 3 4 z 3 + x3 + 2  2 + 2 + 2   12
z
x 
y

(

)

(

)

(

)

Lời giải

(

)

3
3
+ Chứng minh được 4 x + y  ( x + y ) bằng phương pháp biến đổi tương đương

+ Khi đó

3

4 ( x3 + y 3 ) + 3 4 ( y 3 + z 3 ) + 3 4 ( z 3 + x3 )  2 ( x + y + z )  6 3 xyz

 x
y
z 
+ Mặt khác 2  2 + 2 + 2  
z
x 
y

+ Nên

3

3

6
xyz

3

 x
y
z 
4 x3 + y 3 + 3 4 y 3 + z 3 + 3 4 z 3 + x 3 + 2  2 + 2 + 2   6 3 xyz +
z
x 
y

(

)

(

)

(

)

3

+ Dấu “=” xảy ra  x = y = z = 1
Câu 8: Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng
1 + x2
1 + 4 1 + y + 3z
3

2

+

1 + y2
1 + 4 1 + z + 3x
3

Lời giải

2

+

1 + z2

3
 .
5
1 + 4 1 + x + 3y

3

2

6
 12
xyz


+ Đặt P =

1 + x2
1 + 4 1 + y 3 + 3z 2

+

1 + y2
1 + 4 1 + z 3 + 3x 2

+

1 + z2
1 + 4 1 + x3 + 3 y 2

và 1 + x2 = a, 1 + y 2 = b, 1 + z 2 = c với a, b, c  1
3
+ Ta có 1 + y =

+ Theo cơ-si

+ Suy ra

(1 + y ) (1 − y + y 2 )

(1 + y ) (1 − y + y
1 + x2

1 + 4 1 + y 3 + 3z 2



2

)

2 + y2
2 + y2
3

 1+ y 
2
2

1 + x2
a
=
2
2
2 (1 + y ) + 3 (1 + z ) 2b + 3c

+ Hồn tồn tương tự ta cũng có
1 + y2
1 + 4 1 + z 3 + 3x 2
1 + z2
1 + 4 1 + x3 + 3 y 2



1 + y2
b
=
2
2
2 (1 + z ) + 3 (1 + x ) 2c + 3a

( 2)



1 + z2
c
=
2
2
2 (1 + x ) + 3 (1 + y ) 2a + 3b

( 3)

+ Cộng các bất đẳng thức (1) , ( 2 ) , ( 3) theo vế ta được

P

a
b
c
+
+
2b + 3c 2c + 3a 2a + 3b

a2
b2
c2
P
+
+
2ab + 3ca 2bc + 3ab 2ca + 3bc

(a + b + c)
P
5 ( ab + bc + ca )
2

P

3 ( ab + bc + ca ) 3
=  đpcm
5 ( ab + bc + ca ) 5

+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2

(1)


Câu 9: Cho x, y, z  0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P=

x2
y2
z2
+
+
4 x3 + 3 yz + 2 4 y 3 + 3zx + 2 4 z 3 + 3xy + 2
Lời giải

+ Nếu cả 3 số x, y, z đều bằng 0 thì P = 0
+ Nếu hai trong 3 số x, y, z bằng 0, chẳng hạn x  0; y = z = 0 thì
P=

x2
1

3
4x + 2 6

+ Nếu một trong 3 số x, y, z bằng 0, chẳng hạn x, y  0; z = 0 thì

P=

x2

y2
1
+

3
3
4x + 2 4 y + 2 3

+ Nếu x, y, z  0 thì

P

x2
y2
z2
+
+
6 x 2 + 3 yz 6 y 2 + 3zx 6 z 2 + 3xy

Đặt a =

yz
zx
xy
1 1
1
1 
+
+
, b = 2 , c = 2 với a, b, c  0 và abc = 1 thì P  


2
3 2 + a 2 + b 2 + c 
x
y
z

1  12 + 4(a + b + c) + ab + bc + ca 
= 
3  9 + 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) 

Ta có 9 + 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca)  12 + 4(a + b + c) + ab + bc + ca vì
ab + bc + ca  3
1
Vậy P  ; Dấu “=” xảy ra  a = b = c = 1  x = y = z = 1
3
x = y = z = 1
 x = y = 1, z = 0
1
+ Kết hợp các trường hợp ta có: maxP =  
 y = z = 1, x = 0
3

 x = z = 1, y = 0
Câu 10: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng

x ( y + z) y ( z + x) z ( x + y)
+
+
 2 xyz.

4 − yz
4 − zx
4 − xy


Lời giải
+ Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

x+ y
y+z
z+x
+
+
2
xy ( 4 − xy ) yz ( 4 − yz ) zx ( 4 − zx )
+ Đặt P =

x+ y
y+z
z+x
+
+
xy ( 4 − xy ) yz ( 4 − yz ) zx ( 4 − zx )

+ Ta chứng minh

1
2 1
 + , t  ( 0;3)
t ( 4 − t ) 9t 9

+ Thật vậy, vì t  ( 0; 3) nên 4 − t  0 do đó

1
2 1
 +  9  ( 2 + t )( 4 − t )  t 2 − 2t + 1  0 luôn đúng
t ( 4 − t ) 9t 9
+ Khi đó
x+ y
21 1 1
  +  + ( x + y)
xy ( 4 − xy ) 9  x y  9
y+z
21 1 1
  +  + ( y + z)
yz ( 4 − yz ) 9  y z  9

z+x
21 1 1
  +  + ( z + x)
zx ( 4 − zx ) 9  z x  9

+ Suy ra P 

41 1 1 2
 + +  + (x + y + z)
9x y z 9

P

41 1 1 2
 + + +
9x y z 3

P

4
3 xyz
3

+ Mặt khác 3 = x + y + z  3 3 xyz 

3

xyz  1


+ Vậy  P 

4
4 2
 + = 2.
3 3 xyz 3 3

+ Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Câu 11: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
P=

a

1+ a

2

+

b
1+ b

2

+

2c
1 + c2

.

Lời giải
+ Ta có

1 + a 2 = ab + bc + ac + a 2 = ( a + b )( c + a )

1 + b 2 = ab + bc + ac + b 2 = ( a + b )( b + c )
1 + c 2 = ab + bc + ac + c 2 = ( c + b )( c + a )
a

+ Suy ra P =

( a + b )( c + a )

+

2a

P=

4 ( a + b )( c + a )

b

( a + b )( b + c )
+

+

2c

( c + a )( b + c )

2b
4 ( a + b )( b + c )

+

4c
4 ( c + a )( b + c )




1
1 
1
1 
1 
 1
 P  a
+
+
+
 +b
 + c

a+b c+a
 4 ( a + b) c + a 
 4 (a + b) b + c 

P

a
b
a
c
b
c
+
+
+
+
+

4 ( a + b) 4 ( a + b) a + c a + c b + c b + c

P

1
9
+1+1 =
4
4

+ Vậy max P =

9
1
7
a=b=
,c =
4
15
15


Câu 12: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + 1 = z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
P=

x3 y 3

( x + yz )( y + zx )( z + xy )

2

.

Lời giải
+ Ta có

x + yz = yz + z − y − 1 = ( y + 1)( z − 1) = ( y + 1)( x + y )
y + zx = zx + z − x − 1 = ( x + 1)( z − 1) = ( x + 1)( x + y )
z + xy = xy + x + y + z = ( x + 1)( y + 1)
+ Nên P =

x3 y 3

( x + 1) ( y + 1) ( x + y )
3

2

2

+ Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cơ-si ta có
3

x x
27 x 2
( x + 1) =  + + 1 
4
2 2 
3

3

y y
27 y 2
( y + 1) =  + + 1 
4
2 2

3

( x + y)
+ Nên P 

2

 4 xy

x3 y 3
4
=
2
2
27 x 27 y
729
.
.4 xy
4
4

+ Vậy max P =

4
 x = y = 2, z = 5
729

Câu 13: Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx − xyz = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P =

2 x2 + y 2
2 y2 + z2
2 z 2 + x2
+
+
xy
yz
zx


Lời giải
+ Đặt a =

1
1
1
, b = , c = với a, b, c  0
x
y
z

2
2
2
2
2
2
+ Khi đó a + b + c = 1 và P = a + 2b + b + 2c + c + 2a

1
( 3a + 3b + 3c ) = 3
3

+ Theo bunhia P 

+ Vậy min P = 3  x = y = z = 3
Câu 14: Cho x, y, z là các số thực không đồng thời bằng 0 và thỏa
2
2
2
mãn x + y + z = 2 ( xy + yz + zx ) . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

x3 + y 3 + z 3
( x + y + z ) x2 + y 2 + z 2

(

)

Lời giải
2
2
2
+ Ta có x + y + z = 2 ( xy + yz + zx )

(

)

 2 x2 + y 2 + z 2 = ( x + y + z )
+ Suy ra P =

+ Đặt a =

(

2 x3 + y 3 + z 3

(x + y + z)

2

)

3

4x
4y
4z

,b=
,c=
x+ y+z
x+ y+z
x+ y+z

b + c = 4 − a
a + b + c = 4

+ Khi đó 
2
ab + bc + ca = 4 bc = 4 − a ( b + c ) = ( 2 − a )

+ Do ( b + c )  4bc nên ( 4 − a )  4 ( a − 2 )  0  a 
2

+ Mặt khác P =

2

(

)

2

8
3

1 3

1  3
3
a + b3 + c 3 =
a + ( b + c ) − 3bc ( b + c )


32
32


=
+ Vậy min P =

(

)

1
3
1 1
2
3a3 − 12a 2 + 12a + 16 =
a ( a − 2) + 
32
32
2 2

1
 x = 0, y = z  0
2

Câu 15: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 2abc . Chứng minh rằng
1
a ( 2a − 1)

2

+

1
b ( 2b − 1)

2

+

1
c ( 2c − 1)

2



1
2

Lời giải
+ Đặt x =

1

1
1
, y = , z = ta có x,y,z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z = 2.
a
b
c

( y + z) 2
x3
y3
z3
12 
+
+
+ Ta có a(2a – 1)2 =  − 1 =
.
Từ
đó
P
=
x x 
x3
( y + z ) 2 ( z + x) 2 ( x + y ) 2
2

x3
y+z y+z
x3 3
3
+

+

3
= x (1)
+ Áp dụng bất đẳng thức Cô si
8
8
64 4
( y + z) 2
y3
z+x z+x 3
+
+
 y
+ Tương tự:
2
8
8
4
( z + x)

(2)

z3
x+ y x+ y 3
+
+
 z (3)
2
8

8
4
( x + y)

+ Cộng từng vế của (1), (2), (3) rồi ước lược được: P 

1
1
(x + y + z) = .
4
2

+ Đẳng thức xảy ra  x = y = z = 2/3  a = b = c = 3/2.
Câu 16: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
P=

7 x 2 + 6 xy + 5 y 2
3x 2 + 10 xy + 5 y 2

+

7 y 2 + 6 yz + 5 z 2
3 y 2 + 10 yz + 5 z 2

Lời giải

+

7 z 2 + 6 zx + 5 x 2

3z 2 + 10 zx + 5 x 2

.


+ Với mọi số thực dương a, b ta có ( a − b )  0 
2

+ Áp dụng bất đẳng thức trên ta được









7 x 2 + 6 xy + 5 y 2
3x + 10 xy + 5 y
2

2

7 x 2 + 6 xy + 5 y 2
3x + 10 xy + 5 y
2

2

7 x 2 + 6 xy + 5 y 2
3x + 10 xy + 5 y
2

7 x 2 + 6 xy + 5 y 2
3x 2 + 10 xy + 5 y 2

7 x 2 + 6 xy + 5 y 2
3x 2 + 10 xy + 5 y 2

=

(7x

2

+ 6 xy + 5 y 2 )

2

3x 2 + 10 xy + 5 y 2

 2 ( 7 x 2 + 6 xy + 5 y 2 ) − ( 3x 2 + 10 xy + 5 y 2 )

 11x 2 + 2 xy + 5 y 2

 2 ( 2x + y ) − 3 ( x − y )
2

2

a2
 2a − b
b

 2 ( 2x + y )

2

(1)

+ Hoàn toàn tương tự ta có
7 y 2 + 6 yz + 5 z 2
3 y 2 + 10 yz + 5 z 2
7 z 2 + 6 zx + 5 x 2
3z 2 + 10 zx + 5 x 2

 2 (2y + z)

( 2)

 2 ( 2z + x)

( 3)

+ Cộng các bất đẳng thức (1) , ( 2 ) và ( 3 ) theo vế ta được

P  3 2 ( x + y + z )  3 2.3 ( xy + yz + zx ) = 9 2
+ Vậy min P = 9 2  x = y = z = 1
Câu 17: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz và x  1, y  1, z  1 . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức
P=

x −1 y −1 z −1
+ 2 + 2
y2
z
x


Lời giải
+ Ta có P =

x −1+ y −1 y −1+ z −1 z −1+ x −1  1 1 1   1
1
1 
+
+
− + + + 2 + 2 + 2 
2
2
2
y
z
x
y
z 
x y z x

 1

 1
1 
1
1  1 1 1  1
1
1
 1
= ( x − 1)  2 + 2  + ( y − 1)  2 + 2  + ( z − 1)  2 + 2  −  + +  +  2 + 2 + 2 
y 
z 
x  x y z x
y
z 
z
x
y


2 ( x − 1) 2 ( y − 1) 2 ( z − 1)  1 1 1   1
1
1
+
+
− + + + 2 + 2 + 2 
xy
yz
zx
y
z 
x y z x

=

 1
1 1 1 1
1
1
1
1 
+ + + 2 + 2 + 2 − 2 +
+ 
x y z x
y
z
 xy yz zx 

+ Từ giả thiết ta suy ra

1
1
1
+
+
=1
xy yz zx
2

1 1 1
 1
1

1
1
1
1
1
1
1
+
+
= 1 và  + +   3  +
+ =3
+ Mặt khác 2 + 2 + 2 
x
y
z
xy yz zx
x y z
 xy yz zx 

+ Nên P  3 − 1
+ Vậy min P = 3 − 1  x = y = z = 3
Câu 18: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
nhất của biểu thức P =

1
1
1
3
+
+

= . Tìm giá trị nhỏ
a+b b+c c+a 2

a 2 + 1 b2 + 1 c2 + 1
+
+
.
4b 2
4c 2
4a 2

Lời giải
+ Ta có P 

1 a
b
c 
 2 + 2 + 2
2b
c
a 

P

1 a 1 b 1 c 1 11 1 1
+ −  + + 
 + + + +
2  b2 a c 2 b a 2 c  2  a b c 

P

1 1 1 11 1 1
+ + −  + + 
b c a 2a b c


P

11 1 1
 + + 
2a b c

P

11 1 1 1 1 1
 + + + + + 
4a b b c c a

P

1
1
1
3
+
+
=
a+b b+c c+a 2

+ Vậy min P =

3
 a = b = c = 1.
2

Câu 19: Cho a, b, c là 3 số thực thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 33

c 2 − 3a 2
a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca
−2
.
6
3

Lời giải

 2 b2
2a + 2  2ab

 2 c2
 2ca  5a 2 + 2b 2 + c 2  2 ( ab + bc + ca )
Ta có 3a +
3

 3b 2 2c 2
+
 2bc

3

 2
2
2
2
2
+ Suy ra −3a  2a + 2b + c − 2 ( ab + bc + ca )

 c 2 − 3a 2  2a 2 + 2b2 + 2c 2 − 2 ( ab + bc + ca )
+ Do đó P  3 3

+ Đặt

6

a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca
a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca
−2
3
3

a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca
= t với t  0 thì
3

P  3t 2 − 2t 3  P  3t 2 − 2t 3 − 1 + 1  P  − ( 2t + 1)( t − 1) + 1  1
2


a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca = 3



+ Vậy max P = 1  4a 2 = b 2
9a 2 = c 2


 a = 1; b = 2; c = 3
 a = −1; b = −2; c = −3


Câu 20: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

( a − b ) + (b − c ) + (c − a )
2a
2b
2c
+
+
 3+
2
b+c c+a a+b
(a + b + c)
2

2

2

Lời giải
+ Ta có

2a
2b
2c
+
+
−3
b+c c+a a+b
=

a −b+a −c b−c+b−a c−b+c−a
+
+
b+c
c+a
a+b

1 
1 
1 
 1
 1
 1
= (a − b)
−
−
−
 + (b − c ) 
 + (c − a)

b+c c+a

c+a a+b
a+b b+c

( a − b ) + (b − c ) + (c − a )
=
( b + c )( c + a ) ( c + a )( a + b ) ( a + b )( b + c )
2

2

2

(a − b)  (a − b)
+ Dùng biến đổi tương đương ta chứng minh được
( b + c )( c + a ) ( a + b + c )2
2

2

( a − b ) + (b − c ) + ( c − a ) 
2a
2b
2c
+
+
−3
+ Nên
đpcm.
2
b+c c+a a+b

(a + b + c)
2

2

2

+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Câu 21: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c  3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P =

bc
ca
ab
+ 3
+ 3
.
a ( b + 2c ) b ( c + 2a ) c ( a + 2b )
3

Lời giải


+ Đặt x =

x3
y3
z3
1
1

1
+
+
, y = , z = với x, y, z  0 thì xy + yz + zx  3 và P =
2 y + z 2z + x 2x + y
a
b
c

2
x2 + y 2 + z 2 )
(
xy + yz + zx )
(
x4
y4
z4
+
+


+ Ta có P =
2 xy + zx 2 yz + xy 2 zx + yz 3 ( xy + yz + zx ) 3 ( xy + yz + zx )
2

P

( xy + yz + zx )  1
3

+ Vậy min P = 1  a = b = c = 1
Câu 22: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 3xyz  x + y + z. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P =

xy + yz + zx − 1
3x 2 + 1 + 3 y 2 + 1 + 3z 2 + 1

.

Lời giải
+ Ta có 3xyz  x + y + z  3xyz  2 xy + z  3z

 xy 

1 + 3z 2 + 1
 3z xy  1 + 3z 2 + 1
3z

+ Mặt khác

xy 

3 ( yz + zx )
2

 1 + 3y2 + 1

3 ( zx + xy )
2

)

2

− 2 xy + z  0

(1)
( 2)
( *)

 1 + 3z 2 + 1

+ Tương tự ta cũng chứng minh được
3 ( xy + yz )

xy

3 ( yz + zx )
x+ y
 3z xy 
2
2

+ Từ (1) và ( 2 ) suy ra

2

(

 1 + 3x 2 + 1

(***)

+ Cộng các bất đẳng thức (*) , (**) và (***) ta được

3 ( xy + yz + zx )  3 + 3x 2 + 1 + 3 y 2 + 1 + 3z 2 + 1

 3 ( xy + yz + zx − 1)  3x 2 + 1 + 3 y 2 + 1 + 3z 2 + 1

(**)




xy + yz + zx − 1
3x 2 + 1 + 3 y 2 + 1 + 3z 2 + 1

+ Vậy min P =



1
3

1
 x = y = z = 1.
3

Câu 23: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng
a

b
c
3 3
+ 2
+ 2

.
2
2
2
b +c +2 c +a +2 a +b +2
8
2

Lời giải
+ Đặt P =

P=

P=

P=

a
b
c
+ 2
+ 2
2
2

b + c + 2 c + a + 2 a + b2 + 2
2

a
b
c
+ 2
+ 2
2
2
b + c + 2 ( ab + bc + ca ) c + a + 2 ( ab + bc + ca ) a + b + 2 ( ab + bc + ca )
2

2

a

(a + b + c)

2

−a

2

+

a2
a ( a + b + c ) − a3
2

b

(a + b + c)
+

2

−b

2

+

c

(a + b + c)

b2

+

b ( a + b + c ) − b3
2

(a + b + c)
P
3
( a + b + c ) − ( a 3 + b3 + c 3 )
2

+ Suy ra

(a + b + c)
P
4
( a + b + c ) − ( a + b + c ) ( a 3 + b3 + c 3 )
3

+ Mặt khác theo bunhia

( a 2 + b2 + c 2 ) =
2

(

a a 3 + b b3 + c c 3

)

2

 ( a 2 + b 2 + c 2 )  ( a + b + c ) ( a 3 + b3 + c 3 )
2

2
 ( a + b + c ) − 2   ( a + b + c ) ( a 3 + b 3 + c 3 )


2

2

− c2

c2
c ( a + b + c ) − c3
2


(a + b + c)
P
2
4
2
( a + b + c ) − ( a + b + c ) − 2
3

+ Suy ra

(a + b + c)
P
2
4 (a + b + c) − 4
3

+ Ngoài ra ( a + b + c )  3 ( ab + bc + ca ) nên a + b + c  3
2

(a + b + c)  3 3

2
8
4 (a + b + c) − 4
3

+ Tiếp theo ta chứng minh

với a + b + c  3

(a + b + c)  3 3
2
8
4 (a + b + c) − 4
3

+ Thật vậy, với a + b + c  3 thì

 2 (a + b + c) − 3 3 (a + b + c) + 3 3  0
3

2

(

)(

 2a + 2b + 2c + 3 a + b + c − 3

)

2

 0 , đúng với mọi a + b + c  3

+ Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi a = b = c =

1
3

2
2
2
Câu 24: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z + 4 xyz = 2 ( xy + yz + zx ) . Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức P = x (1 − y )(1 − z ) .
Lời giải
2

y + z) 
2
(
  4 P  x  2 − ( y + z ) 
+ Ta có P  x 1 − ( y + z ) +
4 


2
2
2
+ Từ giả thiết ta có x + y + 2 yz + z + 4 xyz = 2 x ( y + z ) + 4 yz

 x 2 + ( y + z ) − 2 x ( y + z ) = (1 − x ) 4 yz
2

+ Nhận thấy x 2 + ( y + z ) − 2 x ( y + z ) = ( x − y − z )  0 nên x  1
2

2

+ Vì vậy x 2 + ( y + z ) − 2 x ( y + z ) = (1 − x ) 4 yz
2

 x 2 + ( y + z ) − 2 x ( y + z )  (1 − x )( y + z )
2

2


 x2 − 2x ( y + z )  − x ( y + z )
 x − 2( y + z)  − ( y + z)

2

2

 x  ( y + z )  2 − ( y + z ) 
+ Suy ra 4 P  ( y + z )  2 − ( y + z ) 

3

3
Đặt 2 − ( y + z ) = t khi đó ta có 4 P = ( 2 − t ) t

 4P = ( 2 − t ) t 3 −

( 4t
 4P = −

2

27 27
+
16 16

+ 4t + 3) ( 2t − 3)
16

2

+

27
27
P
16
64

Câu 25: Cho các số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng

b+c

a+c
a+b
a
b
c 
+
+
2
+
+

a
b
c
a+c
a+b 
 b+c

Lời giải
+ Với x, y  0 

+ Do đó

1 1
4
+ 
và
x y x+ y

x+ y 

1
2

(

x+ y

)

b+c
a+c
a+b
a b
b c
c a
+
+
=
+ +
+ +
+
a
b
c
c c
a a
b b



1  a
b 1  b
c 1  c
a
+
+
+

+

+


2 c
c
2 a
a
2 b
b



a 1
1 
b 1
1 
c 1
1 
+

+
+

+

+


2 b
c
2 a
c
2 a
b




2 2a
2 2b
2 2c
+
+
b+ c
a+ c
a+ b



2 2a

2 2b
2 2c
+
+
2(b + c)
2(a + c)
2(a + b)


a
b
c 
 2 
+
+

a+c
a + b 
 b+c

+ Dấu bằng xảy ra  a = b = c
Câu 26: Cho a, b, c là ba số thực không âm thỏa mãn a + b  0, a + c  0, b + c  0. Chứng
minh rằng

a
b
c
9 ab + bc + ca
+
+

+
 6.
b+c
c+a
a+b
a+b+c
Lời giải
+ Đặt P =

a
b
c
9 ab + bc + ca
+
+
+
b+c
c+a
a+b
a+b+c

+ Từ giả thiết của bài tốn ta thấy có hai trường hợp: Có một số bằng 0 và hai số cịn lại lớn hơn
0; Cả ba số đều lớn hơn 0.
+ Trường hợp 1: Có một số bằng 0 và hai số còn lại lớn hơn 0. Chẳng hạn a, b  0 và c = 0
Khi đó P =

a
b 9 ab a + b 9 ab
+
+

=
+
6
b
a a+b
ab a + b

Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi

a + b 9 ab
=
 a 2 − 7ab + b 2 = 0
a+b
ab

+ Trường hợp 2: Cả ba số đều lớn hơn 0
Không mất tính tổng quát, giả sử a  b  c  0
Bằng cách biến đổi tương đương ta chứng minh được
ab
b2
ca
c2


và
c+a b+c
a+b b+c


Suy ra

ab
ca
b2
c2
+

+
c+a
a+b
b+c
b+c



ab
ca
+
 b+c
c+a
a+b



b
c
b+c
+

c+a

a+b
a

Vì vậy P 

P

a
b + c 9 ab + bc + ca
+
+
b+c
a
a+b+c

a+b+c
a (b + c )

 P  64

+

9 ab + bc + ca
a+b+c

ab + bc + ca
P6
ab + ca

+ Vậy P  6. Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi có một số bằng 0 và hai số cịn lại thỏa mãn phương

trình x 2 − 7 xy + y 2 = 0
Câu 27: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

P=

1 1 1
+ +
= 3 . Tìm giá trị lớn nhất của
x y xy

3 1
3
3 1
3
− 2−
+ − 2−
y y
y ( x + 1) x x
x ( y + 1)
Lời giải

+ Đặt a =

1
1
, b = với a, b  0
x
y

(

)

+ Khi đó a + b + ab = 3 và P = 3 ( a + b ) − a 2 + b 2 −
+ Ta có P = 3 ( a + b ) − ( a + b ) + 2ab − 3ab
2

a+b
ab + a + b + 1

− ( 2ab − 5 ) + 25
1
5
2
= − ( ab ) + ab =
4
4
16
2

3ab 3ab
−
a +1 b +1


+ Mặt khác

(a + b)
ab 

2

4

( 3 − ab )
=

2

 0  ab  1 nên

4

−5  2ab − 5  −3  9  ( 2ab − 5 )  25
2

 −25  − ( 2ab − 5 )  −9  0 
2

− ( 2ab − 5 ) + 25
2

16

1

+ Vậy max P = 1  x = y = 1
Câu 28: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = 3. Chứng minh

1

1
1
+
+
 3.
2−a 2−b 2−c
Lời giải
+ Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

2
2
2
+
+
6
2−a 2−b 2−c


2
2
2
−1+
−1+
−1  3
2−a
2−b
2−c



a
b
c
+
+
3
2−a 2−b 2−c



a2
b2
c2
+
+
3
2a − a 2 2b − b 2 2c − c 2

(a + b + c)
a2
b2
c2
+
+

+ Theo bunhia ta có
2
2
2
2a − a

2b − b
2c − c
2 ( a + b + c ) − ( a 2 + b2 + c 2 )
2

(a + b + c)
a2
b2
c2

+
+

2
2
2
2a − a
2b − b
2c − c
2 (a + b + c) − 3
2


( a + b + c ) = 1 2 a + b + c − 3 +
9
+ 6
+ Mặt khác
)
 (
2 (a + b + c) − 3 4 

2 (a + b + c) − 3

2


+ Mà theo cơsi ta có

2 (a + b + c) − 3 +

9
6
2 (a + b + c) − 3

(a + b + c)  1 6 + 6  (a + b + c)  3
(
)
2 (a + b + c) − 3 4
2 (a + b + c) − 3
2

+ Vì vậy

2

a2
b2
c2

+
+

 3 (đpcm)
2a − a 2 2b − b 2 2c − c 2

+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 29: Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn xyz = 2 2 . Chứng minh rằng

x8 + y 8
y8 + z 8
z 8 + x8
+
+
8
x4 + y 4 + x2 y 2 y 4 + z 4 + y 2 z 2 z 4 + x4 + z 2 x2
Lời giải
+ Đặt a = x 2 , b = y 2 , c = z 2
+ Bài toán trở thành “ Cho các số thực a, b, c  0 thỏa mãn abc = 8 . Chứng minh rằng
a 4 + b4
b4 + c4
c4 + a4
+
+
8”
a 2 + b 2 + ab b 2 + c 2 + bc c 2 + a 2 + ac

+ Ta có

a 4 + b4

a 2 + b 2 + ab

(a

2

+ b2

)

2

2

a 2 + b2
a +b +
2
2

2



a 4 + b4
1
 a 2 + b2
2
2
a + b + ab 3

(

b4 + c 4
1
 b2 + c 2
+ Tương tự ta cũng có 2
2
b + c + bc 3

)

( 2)

c4 + a4
1
 c2 + a2
2
2
c + a + ac 3

)

( 3)

(

(

)

+ Cộng các bất đẳng thức (1) , ( 2 ) và ( 3 ) ta có
a 4 + b4

b4 + c4
c4 + a4
2
+
+
 a 2 + b 2 + c 2  2 3 a 2b 2 c 2 = 8
2
2
2
2
2
2
a + b + ab b + c + bc c + a + ac 3

(

)

(1)


+ Vậy

x8 + y 8
y8 + z 8
z 8 + x8
+
+
 8.
x4 + y 4 + x2 y 2 y 4 + z 4 + y 2 z 2 z 4 + x4 + z 2 x2

+ Dấu “=” xảy ra  x = y = z = 2
Câu 30: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 3xyz  x + y + z. Tìm giá trị nhỏ nhất của
xy + yz + zx − 1
.
biểu thức P =
2
3x + 1 + 3 y 2 + 1 + 3z 2 + 1
Lời giải

+ Ta có 3xyz  x + y + z  3xyz  2 xy + z  3z

 xy 

1 + 3z 2 + 1
 3z xy  1 + 3z 2 + 1
3z

+ Mặt khác

xy 

3 ( yz + zx )
2

3 ( zx + xy )
2

 1 + 3x 2 + 1

3 ( xy + yz + zx )  3 + 3x 2 + 1 + 3 y 2 + 1 + 3z 2 + 1
 3 ( xy + yz + zx − 1)  3x 2 + 1 + 3 y 2 + 1 + 3z 2 + 1
xy + yz + zx − 1
3x + 1 + 3 y + 1 + 3z + 1
2

2

2



1
3

− 2 xy + z  0

( *)

+ Cộng các bất đẳng thức (*) , (**) và (***) ta được



2

( 2)

(***)

 1 + 3y2 + 1

)

(1)

 1 + 3z 2 + 1

+ Tương tự ta cũng chứng minh được
3 ( xy + yz )

xy

3 ( yz + zx )
x+ y
 3z xy 
2
2

+ Từ (1) và ( 2 ) suy ra

2

(

(**)