Giáo trình Giải tích 3 - Tạ Lê Lợi, Đỗ Nguyên Sơn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (572.62 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐAØ LẠT

KHOA TOÁN - TIN HỌC 
 Y Z

TẠ LÊ LỢI - ĐỖ NGUYÊN SƠN

GIAÛI TÍCH 3

(Giáo Trình)

--

Lưu hành nội bộ

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Giải Tích 3

Tạ Lê Lợi - Đỗ Ngun Sơn
Mục lục

Chương I. Tích phân phụ thuộc tham số

1. Tích phân phụ thuộc tham số . . . 4

2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số . . . 9

3. Các tích phân Euler . . . 14

Chương II. Tích phân hàm số trên đa tạp

1. Đa tạp khả vi trong

Rn

. . . 19

2. Tích phân hàm số trên đa tạp . . . 24

Chương III. Dạng vi phân

1. Dạng

k

-tuyến tính phản đối xứng . . . 31

2. Dạng vi phân . . . 33

3. Bổ đề Poincaré . . . 37

Chương IV. Tích phân dạng vi phân

1. Định hướng . . . 41

2. Tích phân dạng vi phân . . . 44

3. Cơng thức Stokes . . . 47

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3></div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

I. TÝch ph©n phơ thc tham sè

1

TÝch ph©n phơ thuộc tham số

1.1

Định nghĩa

nh ngha 1. Xột hm f(x, t) = f(x1, . . . , xn, t1, . . . , tm) xác định trên miền

X ìT ⊂RnìRm. Giả sử X đo đ-ợc (Jordan) và với mỗi giá trị của t∈T cố
định, hàm f(x, t) khả tích theo x trênX. Khi đó tích phân

I(t) =

Z
X

f(x, t)dx (1)

lµ hµm theo biÕn t = (t1, . . . , tm), gọi là tích phân phụ thuộc tham số với m
tham số t1, . . . , tm.

1.2

Tính liên tục

Định lý 1. Nếu f(x, t) liên tục trên X ìT RnìRm, ở đây X, T là các tập
compact, thì tích phân

I(t) =

Z
X

f(x, t)dx

liên tục trên T.

Chng minh. C nh t0T. Ta sẽ chứng minh với mọi >0, tồn tạiδ > 0sao

cho víi mäi t ∈T, d(t, t0)< δ ta cã |I(t)−I(t0)|< .

Từ định nghĩa suy ra

|I(t)−I(t0)|=

Z
X

(f(x, t)−f(x, t0))dx

≤

Z
X

|f(x, t)−f(x, t0)|dx.

Do f liên tục trên compact nên liên tục đều trên đó, tức là tồn tại δ >0sao cho

|f(x0, t0)−f(x, t)|<
v(X)

với mọi (x, t),(x0, t0)∈X ìT, d((x0, t0),(x, t))< δ.
Từ đó, với d(t, t0)< δ ta có

|I(t)−I(t0)|< v(X)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ví dụ. 1) Ta có lim
t0

R
1

x2+t2dx=
1

R
1

|x|dx= 1 vì hàm x2+t2 liên tục trên

[1,1]ì[, ].

2) Khảo sát tính liên tục tại điểm(0,0)của hàmf(x, t) =

(

xt2ex2t2 nếu t6= 0
0 nếu t= 0.

Nếu f(x, t)liên tục tại(0,0), thìf(x, t)liên tục trên [0,1]ì[−, ]. Khi đó, tích
phân I(t) =

f(x, t)dx liªn tơc trªn [−, ] . Nh-ng ta cã

lim

t→0I(t) = limt→0
1

xt−2e−x2t−2 =−1

2limt→0
1

e−x2t−2d(−x2t−2)
=−1

2limt→0(e

−t−2

−1) = 1

2 6= 0 =I(0).

Vậy, hàm f(x, t) không liên tục tại(0,0).

Sau đây chúng ta sẽ khảo sát một tổng quát hóa của Định lý 1 trong tr-ờng hợp
X = [a, b].

Định lý 2. Cho f(x, t) liên tục trên[a, b]ìT, víi T lµ tËp compact vµa(t), b(t)

là hai hàm liên tục trên T sao cho a(t), b(t)∈[a, b] với mọi t∈ T. Khi đó, tích
phân

I(t) =
b(t)

Z
a(t)

f(x, t)dx

liªn tơc trªn T.

Chøng minh. Do f liªn tơc trªn tËp compact nªn giíi nội, tức là tồn tại M > 0

sao cho |f(x, y)|≤M với mọi (x, t)∈[a, b]ìT. Cố địnht0 ∈T ta có:

|I(t)− I(t0)|=

a(Rt0)
a(t)

f(x, t)dx+
bR(t)

b(t0)

f(x, t)dx+
b(Rt0)
a(t0)

[f(x, t)−f(x, t0)]dx

≤

a(Rt0)
a(t)

f(x, t)dx

+

bR(t)

b(t0)

f(x, t)dx

b(Rt0)
a(t0)

(f(x, t)−f(x, t0))dx

≤M |a(t)−a(t0)|+M | b(t)−b(t0)| +

b(Rt0)
a(t0)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Khẳng định suy ra từ tính liên tục của a(t), b(t)và Định lý 1. 2

Ví dụ. Do hàm 1

1 +x2+t2 liên tục trên [0,1]ì[, ] và các hàm (t) = t,

(t) = cost liên tục trên[, ], ta có

lim
t0

cost
Z

1 +x2+t2dx=
1

dx
1 +x2 =

1.3

Tính khả vi.

Định lý 3. Nếu f(x, t) và các đạo hàm riêng ∂f

∂ti(x, t), i = 1, . . . , m, liên tục

trên X ìT RnìRm, ở đây X, T là các tập compact, thì tích phân
I(t) =

Z
X

f(x, t)dx

khả vi trên

T và với mỗii ta có:

I
ti(t) =

Z
X

ti(x, t)dx.

Chứng minh. Với mỗi t0

T c nh ta cú:

I(t0+hiei)I(t0)

hi =

Z
X

f(x, t0+hiei)f(x, t0)

hi dx.

trong đó ei là cơ sở chính tắc của Rm. áp dụng định lý giá trị trung bình cho
hàm 1 biến ta có:

f(x, t0+hiei)−f(x, t0) =

∂f

∂ti(x, t0+θihiei)hi, 0< θi <1
Khi đó :

I(t0+hiei)−I(t0)

hi −

∂f

∂ti(x, t0)dx

=

Z
X

[∂f

∂ti(x, t0+θihiei)−
∂f

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Sư dơng tÝnh liên tục của f

ti(x, t)trên compactXìT và lý luận nh- trong chứng
minh Định lý 1 suy ra

ti(t0) = limhi0

I(t0+hiei)I(t0)

hi =

Z
X

ti(x, t)dx.

Tính liên tục của I

ti(t) trênT suy ra từ Định lý 1 2

VÝ dô. XÐtI(t) =
π/R2

1
cosxln

1 +tcosx

1−tcosxdx, t∈(−1,1). Ta cã các hàm
f(x, t) =

1
cosxln

1 +tcosx

1tcosx nếu x6=/2

2t nếu x=/2

t(x, t) =

2
1−t2cos2x,

liên tục trên [0, π/2]ì[−1 +,1−]. Vậy, theo định lý trên
I0(t) = 2

π/2

1−t2cos2x = 2

∞
Z

1−t2+u2 =

√

1−t2.

Từ đó, I(t) =πarcsint+C. Vì I(0) = 0, nên C = 0. Vậy, I(t) =πarcsint.

Định lý 4. Nếu f(x, t) và các đạo hàm riêng ∂f

∂ti(x, t), i = 1, . . . , m, liên tục

trên [a, b]ìT, ở đây T là tập compact trong Rm, (t), (t) khả vi trên T và
(t), (t)[a, b]với mọit T, thì tích phân

I(t) =
b(t)

a(t)

f(x, t)dx

khả vi trên

T và với mỗii ta có:

I
ti(t) =

Z(t)

(t)

ti(x, t)dx+f((t), t)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Chøng minh. XÐt hµm m+ 2 biÕn

F(t, u, v) =
v
Z

f(x, t)dx, (t, u, v)∈D =T ×[a, b]×[a, b].

Ta sẽ chỉ ra rằng F(t, u, v) là hàm khả vi. Với mỗi u, v cố định, từ Định lý 3,
suy ra

∂F

∂ti(t, u, v) =
v
Z

u
∂f

∂ti(x, t)dx.

Vế phải của đẳng thức trên đ-ợc xem nh- là tich phân phụ thuộc các tham sốt, u, v.
Hm f

ti(x, t)xem nh- là hàm theo các biếnx, t, u, v liên tục trên[a, b]ìD. Từ
Định lý 2, víi a(t, u, v) = u, b(t, u, v) = v, suy ra F

ti(t, u, v) là hàm liên tục
trên D. Ngoài ra ta còn có

u(t, u, v) =f(u, t) vµ

∂F

∂v(t, u, v) =f(v, t)
đều là những hàm liên tục trên D. Vậy, hàm F(t, u, v)khả vi.

Hàm I(t) đ-ợc xem nh- là hàm hợp I(t) = F(t, α(t), β(t)). T ú , hm I(t)

khả vi và
I

ti(t) =
F

ti(t, (t), (t)) +
∂F

∂u(t, α(t), β(t))
∂α
∂ti(t) +

∂F

∂v(t, α(t), β(t))
∂β
∂ti(t)

=
βR(t)

α(t)

∂f

∂ti(x, t)dx+f(β(t), t)
∂β

∂ti(t)−f(α(t), t)
∂α
∂ti(t).

VÝ dô. Xét tích phân I(t) =

sinRt
t

etxdx. Theo Định lý trên, hàm I(t)khả vi và

I0(t) =

sint
Z

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2

Tích phân suy réng phô thuéc tham sè

2.1

Các định nghĩa

Định nghĩa 2. Giả sử hàm f(x, t) xác định trên [a,∞)ìT, T ⊂R, sao cho với
mỗi t ∈T cố định , hàm f(x, t) khả tích trên[a, b], với mọi b > a. Tớch phõn

I(t) =

Z

f(x, t)dx (1),

gọi là tích phân suy rộng loại 1 phụ thuộc tham số. Tích phân(1)gọi là hội tụ
tại t0 nếuu tích phân

R
a

f(x, t0)dx hôi tụ, tức là tồn tại lim

b
b
R
a

f(x, t0)dx=I(t0)
hữu hạn.

Tích phân (1) gọi là hội tụ trên T nếuu hội tụ tại mọi điểm cđa T, tøc lµ

∀ >0,∀t∈T,∃a0(, t)> a, sao cho ∀b≥a0 =⇒

∞
Z

f(x, t)

< .

Tích phân (1) gọi là hội tụ đều trên T nếuu

∀ >0,∃a0()> a, sao cho ∀b≥a0,∀t ∈T =⇒

∞
Z

f(x, t)

< .

Định nghĩa 3. Giả sử hàm f(x, t)xác định trên [a, b)ìT, T ⊂R, sao cho với
mỗi t ∈T cố định , hàmf(x, t) khả tích trên mỗi đoạn [a, b−η], η > 0 . Tích
phân

J(t) =
b
Z
a

f(x, t)dx= lim
η→0+

b−η
Z
a

f(x, t)dx, (2)

gọi là tích phân suy rộng loại 2 phụ thuộc tham số. Tích phân(2)gọi là hội tụ
tại t0 nếuu tích phân

b
R
a

f(x, t0)dx hội tụ, tức là tồn tại lim

bR
a

f(x, t0)dx=J(t0)
hữu hạn.

Tích phân (2) gọi là hội tụ trên T nếuu hội tụ tại mọi điểm của T, tức là

>0,∀t ∈T,∃δ(, t)>0, sao cho 0<∀η < δ =⇒

b
Z
b−η

f(x, t)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Tích phân (2) gọi là hội tụ đều trên T nếuu

∀ >0,∃δ0()>0, sao cho 0<∀η < δ,∀t∈T =⇒

b
Z
b−η

f(x, t)< .

Chú ý. 1) T-ơng tự, ta định nghĩa

I(t) =
b
R
−∞

f(x, t)dx = lim
a→−∞

b
R
a

f(x, t)f(x, t),
J(t) =

b
R
a

f(x, t)dx= lim
η→0+

b
R
a+η

f(x, t)f(x, t),

và cũng có khái niệm hội tụ, hội tụ đều t-ơng ứng.

2) Việc khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham số loại 2 đ-ợc thực hiện
hoàn toàn t-ơng tự nh- loại 1, từ định nghĩa các khái niệm đến các tính chất.
Do đó, trong mục này, ta chỉ khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
I(t) =

∞
R
a

f(x, t)dx.

VÝ dơ. XÐt tÝch ph©n I(t) =
∞
R

te−xtdx. Khi đó
a) I(t) hội tụ trên(0,∞)vì

∀ >0,∀t∈T,∃a0 =

−t,∀b > a0 =⇒

∞
Z
b
te−xt

=e−bt < .

b) I(t) khơng hội tụ đều trên (0,∞) vì với ∈(0,1), với mọia0 >0, nếu chọn

b=a0 vàt từ bất đẳng thức0< t <

−a0

, th× ta cã

∞
R
b
te−xt

=e−bt> .
c) I(t) hội tụ đều trênTr = [r,∞), với r >0. Thật vậy, ta có

∀ >0,∃a0 =

−r,∀b≥a0,∀t∈Tr =⇒

∞
Z

b
te−xt

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2.2

Một số tiêu chun hi t u

Định lý 5. (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân I(t) =

R
a

f(x, t)dx hi t u trờn

T khi và chØ khi

∀ >0,∃a0()> a, sao cho ∀b1, b2 ≥a0,∀t∈T =⇒

b2
Z
b1

f(x, t)

< . (∗)

Chøng minh. Gi¶ sư I(t) =
∞
R
a

f(x, t)dx hội tụ đều trênT. Khi đó, Điều kiện (∗)

suy ra từ bất đẳng thức

b2
Z
b1

f(x, t)

≤

∞
Z
b1

f(x, t)

+

∞
Z
b2

f(x, t)

Ng-ợc lại, với t cố định, điều kiện (∗)suy raI(t)hội tụ. Trong (∗), chob2 →0,

suy ra I(t hi t u theo nh ngha. 2

Định lý 6. (Tiêu chuẩn Weierstrass) Giả sử

(1) tồn tại hàm (x)sao cho |f(x, t)| ≤ϕ(x), ∀x≥a, ∀t ∈T,
(2) tÝch ph©n

∞
R
a

ϕ(x)dx héi tơ.

Khi đó, tích phân I(t) =
∞
R
a

f(x, t)dx hội tụ đều trên T.

Chứng minh. Theo tiêu chuẩn Cauchy đối với tích phân suy rộng hội tụ, với mọi
>0, tồn tạia0 sao cho

b2
Z
b1

ϕ(x)< , ∀b1, b2 ≥a0.

Suy ra,

b2
Z
b1

f(x, t)

≤

b2
Z
b1

|f(x, t)|

≤

b2

Z
b1

ϕ(x)

< .

Theo Định lý 5, tích phân I(t)hội tụ đều. 2

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Mệnh đề 1. Giả sử tích phânI(t) =
∞
R
a

f(x, t)dx hội tụ đều trên T và (an), với

an> a. lµ d·y sè sao cho lim
n→∞an =

∞. Khi đó, dãy hàm

In(t) =
an

Z
a

f(x, t)dx

hội tụ đều tới hàm số I(t)trên T.

Chøng minh. Do I(t) =
∞
R
a

f(x, t)dxhội tụ trên T nên dãy hàm (In(t))hội tụ tới
I(t) trên T. Vì I(t) hội tụ đều nên với mọi >0, tồn tại a0 sao cho

∞
Z

f(x, t)

< , b > a0,tT.

Vì lim
nan =

nên tồn tạiN > 0 sao cho víi mäi n ≥ N, ta cã an ≥ b. VËy,
ta cã

|In(t)−I(t)|=

Z
a

f(x, t)−

∞
Z

f(x, t)

∞
Z
an

f(x, t)

< ,

với mọi n≥N, với mọi t∈T. Từ đó, In(t)hội tụ đều tới I(t) trờn T. 2

2.2.1 Tính liên tục

Định lý 7. Nếu hàm f(x, t) liên tục trên [a,)ì[c, d] và tích phân I(t) =

R
a

f(x, t)dx hội tụ trên trên [c, d], thì I(t)liên tục trên [c, d].

Chứng minh. Gọi (an), với an > a. lµ d·y sè sao cho lim
n→∞an =

∞ vµ xÐt d·y
hµm

In(t) =
an

Z
a

f(x, t)dx, t∈[c, d].

Với mỗi n cố định, theo Định lý 1, hàm In(t) liên tục trên [c, d]. Theo mệnh đề

1, dãy hàm (In(t))hội tụ đều tớiI(t). Theo định lý về tính liên tục của dãy hm

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

2.2.2 Tính khả vi
Định lý 8. Giả sư

(a) Hàmf(x, t)liên tục và có đạo hàm riêng ∂f

∂t(x, t)liên tục trên[a,)ì[c, d].

(b) Tích phân I(t) =

R
a

f(x, t)dx hội tụ trên [c, d].

(c) Tích phân

R
a

t(x, t)dx hi t u trên[c, d].

Khi đó, hàm I(t) khả vi trên[c, d] và ta có cơng thức I0(t) =
∞
R
a

∂f

∂t(x, t)dx.

Chøng minh. XÐt d·y hàm

In(t) =
a+n
Z

f(x, t)dx, t[c, d].
Với mỗi n, theo Định lý 3, hàm In(t) khả vi trên [c, d] và

In0(t) =
a+n
Z

a
f

t(x, t)dx, t∈[c, d].
Ta cã limIn(t) = I(t) vµ limIn0(t) =

∞
R
a

∂f

∂t(x, t)dx. Theo mệnh đề 1, dãy hàm
In0(t) hội tụ đều trên [c, d]. Theo định lý về tính khả vi của dãy hàm hội tụ đều,
I(t) khả vi trên [c, d] v

I0(t) = lim
nIn(t)

= lim
nI

n(t) =

Z
a

t(x, t)dx.

2.2.3 Tính khả tích

Định lý 9. Giả sử hàm f(x, t) liên tục trên [a,)ì[c, d] và tích phân I(t) =

R
a

f(x, t)dx hi t đều trên [c, d]. Khi đó, hàm I(t) khả tích trên [c, d] và ta có
cơng thức

d
Z

I(t)dt=
d

c
Z∞

f(x, t)dx

dt =
∞
Z
a

Zd
c

f(x, t)dt

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Chứng minh. Theo Định lý7, I(t)là hàm liên tục trên [c, d], do đó khả tích. Xét
dãy hàm

In(t) =
a+n
Z

f(x, t)dx, t∈[c, d].

Với mỗi n cố định, theo Định lý 1, hàm In(t) liên tục trên [c, d]. Theo mệnh đề

1, dãy hàm (In(t)) hội tụ đều tới I(t) trên [c, d]. Theo định lý về tính khả tích
của dãy hàm hội tụ đều, ta có

d
R
c

I(t)dt =
d
R
c

lim
n→∞In(t)

dt= lim
n→∞

d
R
c

In(t)dt
= lim

n→∞
d
R
c

aR+n
a

f(x, t)dx

dt
= lim

n
aR+n

a
Rd

f(x, t)dx

dt=

R
a

Rd
c

f(x, t)dt

3

Các tích phân Euler

3.1

Tích phân Euler loại 1

3.1.1 Định nghĩa

Tích phân Euler loại 1 hay hàm Beta là tích phân phụ thuộc 2 tham số dạng

B(p, q) =

xp1(1x)q1dx, p >0, q > 0.

3.1.2 Các tính chất cuả hàm Beta

1) Sự hội tụ. Ta phân tích B(p, q) thành hai tích phân

B(p, q) =

1/2

xp1(1x)q1dx+

1/2

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Tích phân B1 hội tụ nếu p >0 và phân kỳ nếu p0. Điều này suy ra từ

xp1(1x)q1 Mqxp1, Mq= max
0x1/2(1

x)q1

xp1(1x)q1 mqxp1, mq = min

0x1/2(1

x)q1.

T-ơng tự, tích phân B2 hội tụ nếu q > 0 và phân kỳ nếu q ≤ 0. Nh- vËy hµm

B(p, q) xác định với mọi p >0, q >0.

2) Sự hội tụ đều. Tích phân B(p, q) hội tụ đều trên chữ nhật [p0, p1]ì[q0, q1],

trong đó, 0< p0 < p1, 0< q0 < q1. Điều này suy ra từ đánh giá

xp−1(1−x)q−1 ≤xp0−1(1−x)q0−1, ∀x∈(0,1), p≥p

0, q ≥q0,

và sau đó sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass.

3) Tính liên tục. Hàm B(p, q) liên tục trên miền xác định của nó. Thật vậy, với
mọi(p, q), p >0, q >0, tích phân B(p, q)hội đều trên[p−, p+]ì[q−, q+],
do đó liên tục trên miền này.

4) Tính đối xứng. Bằng cách đồi biến x= 1−t, ta đ-ợc B(p, q) =B(q, p).

5) Công thức truy hồi. Bằng cách lấy tích phân từng phần từ tích phânB(p, q)ta
đ-ợc

B(p+ 1, q+ 1) = q

p+q+ 1B(p+ 1, q) =
q

p+q+ 1B(p, q+ 1).

Đặc biệt, nếu m, n là các số tự nhiên, thì áp dụng liên tiếp công thức trên, ta có
B(1,1) = 1

B(p+ 1,1) = 1
p+ 1

B(p+ 1, n) = n!

(p+n)(p+n−1)· · ·(p+ 1)
B(m, n) = (n1)!(m1)!

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

3.2

Tích phân Euler loại 2

3.2.1 Định nghĩa

Tích phân Euler loại 2 hay hàm Gamma là tích phân phụ thuộc tham số dạng

(p) =

Z

xp1exdx, p > 0.

3.2.2 Các tính chất cuả hàm Gamma

1) Sự hội tụ. Ta phân tích B(p, q) thành hai tích phân

(p) =

xp1exdx+

Z

xp1exdx= Γ1(p) + Γ2(p).

TÝch ph©n Γ1(p) héi tơ khi p >0. Điều này suy ra từ

xp1ex xp1, x(0,1].
Tích phân 2(p) hội tụ khi p >0. Điều này suy ra từ

lim
x

xp1ex
1
xp+1

= lim
x=

x2p

ex = 0, và

Z

xp+1 <.

Suy ra, tích phân (p) =

R

xp1exdx hội tơ khi p >0.

2) Sự hội tụ đều. Tích phânΓ1(p)hội t u trờn mi on[p0.p1], vip1 > p0 >0.

Điều này suy ra tõ

xp−1e−x ≤xp0−1 (0< x≤1)

xp0−1 <∞,
xp−1e−x ≤xp1−1e−x, (1≤x < ∞),

∞
R

xp0−1e−x <∞.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

4) C«ng thøc truy håi. B»ng cách tích phân từng phần, ta có

(p+ 1) =

Z

xpexdx= lim
b

xpex

b
0
+p
b
Z
0

xp1exdx

=p(p).

Nếu n là số tự nhiên, thì áp dụng liên tiếp công thức trên, ta có

(p+n) = (n+p1)(n+p2)Ã Ã Ãp(p).
Nói riêng, Γ(1) = 1, Γ(n+ 1) =n!, Γ(1/2) =

∞
R

e−x

√

xdx = 2
∞
R

e−x2dx=√π.

5) Liên hệ với hàm Beta. Bằng phép đổi biếnx=ty, t >0, ta có

Γ(p)
tp =

∞
Z

yp−1e−tydy.

Thay p bëi p+q vµt bëi t+ 1 ta đ-ợc

(p+q)
(1 +t)p+q =

yp+q1e(1+t)ydy.

Nhõn hai v ca ng thc trên với tp−1 rồi lấy tích phân theo t từ 0 n ta

đ-ợc

(p+q)

Z

tp1

(1 +t)p+qdy=

Z

Z

tp1etyyp+q1eydy

dt.

Đổi biến x= t

1 +t, ta ®-ỵcB(p, q) =
∞
R

tp−1

(1 +t)p+q. Mặt khác, có thể đổi thứ tự
tích phân ở vế phải (hãy kiểm chứng điều này nh- bài tập). Từ đó

Γ(p+q)B(p, q) =
∞
R

R∞

tp−1e−tyyp+q−1e−tydt

dy
=
∞
R
0

yp+q−1e−yΓ(p)
yp

dy
= Γ(a)

∞
R

yq−1e−ydy= Γ(p)Γ(q).

VËy. ta cã c«ng thøc

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18></div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

II. Tích phân hàm số trên đa tạp khả vi

1. ĐA TẠP KHAÛ VI TRONG

Rn

1.1 Đường cong.

Tập con

C ⊂Rn

được gọi là

đường cong trơn lớp

Cp(p≥1)

nếuu

mọi

x ∈ C

, tồn tại lân cận mở

V ⊂Rn

của

x

, khoảng mở

I ⊂R

, và

ϕ :I → Rn

thuộc lớp

Cp

,

ϕ(t) = (x

1(t),· · · , xn(t))

, sao cho:

(1)

ϕ:I →C∩V

laø 1-1.

(2)

ϕ(t) = (x

1(t),· · ·, xn(t))= 0

, với mọi

t∈I

.

Khi đó

(ϕ, I)

được gọi là một

tham số hoá của

C

tại

x

.

t0 ϕ- xs0

"!
#

Vector

ϕ(t)

gọi là

vector tiếp xúc của

C

tại

x

. Ta có phương trình tham số của đường

thẳng tiếp xúc với

C

tại

ϕ(t0)

:

x=ϕ(t0) +sϕ(t0), s∈R

Ví dụ.

Trong

R2

.

a) Đường trịn có thể cho bởi tham số hoá:

x=acost, y=asint, t∈[0,2π)

.

b) Tham số hoá:

x=acost, y=asint, z=bt, t∈(0, H)

, mơ tả đường xoắn.

Bài tập: Viết cụ thể phương trình tiếp tuyến khi

n= 2

hay

n= 3

.

Nhận xét.

Điều kiện

ϕ(t) = 0

bảo đảm cho đường cong khơng có góc hay điểm

lùi. Chẳng hạn, nếu

ϕ(t) = (t3, t2)

thì đường cong có điểm lùi tại

(0,0)

, cịn

ϕ(t) =
(t3,|t|3)

, thì đường cong có điểm góc tại

(0,0)

.

1.2 Mặt cong.

Tập con

S ⊂Rn

được gọi là

mặt cong trơn lớp

Cp (p≥1)

nếuu mọi

x∈S

, tồn tại lân cận mở

V ⊂Rn

của

x

, tập mở

U ⊂R2

, và

ϕ:U →Rn

thuộc lớp

Cp

,

ϕ(u, v) = (x

1(u, v),· · · , xn(u, v))

, sao cho:

(1)

ϕ:U →S∩V

laø 1-1.

(2)

rankϕ(u, v) = 2

, i.e.

D1ϕ(u, v), D2ϕ(u, v)

độc lập tuyến tính,

∀(u, v)∈U

.

Khi đó

(ϕ, U)

được gọi là một

tham số hố của

S

tại

x

.

Khi cố định một biến

u

hay

v

,

ϕ

cho các

đường cong tọa độ

. Các vector

D1ϕ(u, v)

,

D2ϕ(u, v)

gọi là

các vector tiếp xúc của

S

tại

ϕ(u, v)

. Ta có phương trình tham số của

mặt phẳng tiếp xúc với

S

tại

ϕ(u0, v0)

:

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

II.1. Đa tạp khả vi trong

Rn

.

20

s

-→u

6

→v

U

-ϕ xs

-SV

Trường hợp

n = 3

,

N(u, v) = D1ϕ(u, v)×D2ϕ(u, v) = (A(u, v), B(u, v), C(u, v))

,

là vector vng góc với

S

tại

ϕ(u, v)

. Khi đó phương trình tổng quát của mặt phẳng

tiếp xúc với

S

tại

ϕ(u0, v0) = (x0, y0, z0)

:

A(u0, v0)(x−x0) + B(u0, v0)(y−y0) + C(u0, v0)(z−z0) = 0

Bài tập: Xác định tọa độ vector pháp qua các đạo hàm riêng của

ϕ

.

Ví dụ.

Trong

R3

.

a) Tham số hố mặt cầu:

x=acosφsinθ, y=asinφsinθ, z =acosθ, (φ, θ)∈(0,2π)×(0, π)

b) Tham số hoá mặt xuyến:

x= (a+bcosφ) sinθ, y = (a+bsinφ) sinθ, z=bsinφ, (φ, θ)∈(0,2π)×(0,2π), (0)

Bài tập: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với các mặt trên.

Bây giờ, ta tổng quát hoá các khái niệm trên.

1.3 Đa tạp.

Tập con

M ⊂Rn

được gọi là

đa tạp

k

chiều lớp

Cp (p≥1)

nếuu mọi

x ∈M

, tồn tại lân cận mở

V ⊂ Rn

của

x

, tập mở

U ⊂Rk

, và

ϕ:U → Rn

thuộc

lớp

Cp

, sao cho:

(M1)

ϕ:U →M∩V

laø 1-1.

(M2)

rankϕ(u) =k

, i.e.

D1ϕ(u),· · ·, Dkϕ(u)

độc lập tuyến tính, với mọi

u∈U

.

Khi đó

(ϕ, U)

được gọi là một

tham số hoá của

M

tại

x

.

Khi cố định

k−1

biến trong các biến,

ϕ

cho các

đường cong tọa độ

. Các vector

D1ϕ(u),· · ·, Dkϕ(u)

gọi là

các vector tiếp xúc của

M

tại

ϕ(u)

. Ta có phương trình

tham số của

k

- phẳng tiếp xúc với

M

tại

ϕ(u0)

:

x=ϕ(u0) +t1D1ϕ(u0+· · ·+tkDkϕ(u0), (t1,· · ·, tk)∈Rk

1.4 Cho đa tạp bởi hệ phương trình.

Cho tập mở

V ⊂ Rn

và các hàm lớp

Cp

F1,· · ·, Fm :V →R

. Xét tập cho bởi hệ phương trình

</div>

Giáo trình Giải tích 3 - Tạ Lê Lợi, Đỗ Nguyên Sơn

<b> TẠ LÊ LỢI - ĐỖ NGUYÊN SƠN</b>

<b>GIAÛI TÍCH 3</b>

<i><b> (Giáo Trình)</b></i>

<b> </b>

--

Giải Tích 3

Chương I. Tích phân phụ thuộc tham số

1. Tích phân phụ thuộc tham số . . . 4

2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số . . . 9

3. Các tích phân Euler . . . 14

Chương II. Tích phân hàm số trên đa tạp

1. Đa tạp khả vi trong

. . . 19

2. Tích phân hàm số trên đa tạp . . . 24

Chương III. Dạng vi phân

1. Dạng

-tuyến tính phản đối xứng . . . 31

2. Dạng vi phân . . . 33

3. Bổ đề Poincaré . . . 37

Chương IV. Tích phân dạng vi phân

1. Định hướng . . . 41

2. Tích phân dạng vi phân . . . 44

3. Cơng thức Stokes . . . 47

<b>I. TÝch ph©n phơ thc tham sè</b>

<b>1</b>

<b>TÝch ph©n phơ thuộc tham số</b>

<b>1.1</b>

<b>Định nghĩa</b>

<b>1.2</b>

<b>Tính liên tục</b>

<b>1.3</b>

<b>Tính khả vi.</b>

<b>2</b>

<b>Tích phân suy réng phô thuéc tham sè</b>

<b>2.1</b>

<b>Các định nghĩa</b>

<b>2.2</b>

<b>Một số tiêu chun hi t u</b>

<b>3</b>

<b>Các tích phân Euler</b>

<b>3.1</b>

<b>Tích phân Euler loại 1</b>

<b>3.2</b>

<b>Tích phân Euler loại 2</b>

II. Tích phân hàm số trên đa tạp khả vi

1. ĐA TẠP KHAÛ VI TRONG

1.1 Đường cong.

Tập con

được gọi là

đường cong trơn lớp

nếuu

mọi

, tồn tại lân cận mở

của

, khoảng mở

, và

thuộc lớp

,

, sao cho:

(1)

laø 1-1.

(2)

, với mọi

.

Khi đó

được gọi là một

tham số hoá của

tại

.

Vector

gọi là

vector tiếp xúc của

tại

. Ta có phương trình tham số của đường

thẳng tiếp xúc với

tại

:

Ví dụ.

Trong