Bài giảng BDHSG TOAN 9: CAN THUC

Căn thức và biến đổi căn thức- Phần I
1. Rút gọn biểu thức chứa căn không có điều kiện
Bài 1. Tính
1.
4 8. 2 2 2 . 2 2 2P = + + + − +
2.
( ) ( )
(
)
4 15 10 6 4 15P = + − −
3.
4 5 3 5 48 10 7 4 3P = + + − +
4.
4 8. 2 2 2 . 2 2 2P = + + + − +
5.
5 3 29 12 5P = − − −
6.
P = 8 + 2 10 + 2 5 - 8 - 2 10 + 2 5
7.
P
2 + 3 2 - 3
= +
2 + 4 + 2 3 2 - 4 - 2 3
8.
2 3 3 13 48
6 2
P
− + +
=
−
9.

2007 2007 2008 2008
2009 2009
P
+
=
10.
3 5 3 5
10 3 5 10 3 5
P
+ −
= −
+ + + −
11.
3 5 3 5
2 3 5 2 3 5
R
+ −
= +
+ + − −
12.
5 17 5 17 10 4 2 4
3 5 3 5 2 2
P
+ − − − − +
=
+ − − + −
13.
1 1
1 1
2 3 2 3

2 3
6 2 4 3
2 6 3 6
12 12
P
− −
− −
   
+ +
+
 ÷  ÷
   
=
   
+ +
+
 ÷  ÷
   
14.
3 3
1 1
2 2
3 3
1 1 1 1
2 2
P
+ −
= +
+ + − −
15.

2 2 2 5 1
.
3 12
3 3 6
P = + + −
16.
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 3 1 3 5 4
:
3 1 5 1
P
+ − + −
=
+ +
17.
10 24 40 60P = + + +
18.
6 2 2. 3 2 12 18 128P = + − + + −
19.
3 10 20 3 6 12
5 3
P
+ − −
=
−

20.
2 3 6 8 4
2 3 4
P
+ + + +
=
+ +
21.
(5 2 6) 5 2 6
3 2
P =
+ −
+
22.
3 3 3 3
2 3 2 2 2 3 2 2
P
- +
= +
- + + -
23.
5 3
2
3 5
5 3
3 5
P
+ −
=
−

24.
( ) ( )
3 2 3 2
3 2
3 2 3 2
P
− +
=
+
+ −
25.
2 3
2
2 3 2 2 3
2
6 2 3
P
+
=
+ +
− +
26.
3 3
20 14 2 20 14 2P = + + −
27.
3 3
26 15 3 26 15 3P = + + −
28.
5 3
2

3 2 4
3
2 5
. .5
5 8
3 5 5
. .
4 24 3
P
   
− −
 ÷  ÷
   
=
     
− − −
 ÷  ÷  ÷
     
29.
4
3 3
3 3
3
4
7 54 15 128
32 9 162
P
+
=
+

30.
(
)
4 4 4
7 48 28 16 3 . 7 48P = + − − +
31.
5
10
1
(19 6 10). 3 2 2 5
2
P = + −
32.
( 3 1) 6 2 2. 3 2 12 18 128P = − + − + + −
33.
2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3P = + + + + + + − + +
34.
( ) ( )
6 2 6 3 2 6 2 6 3 2
P =
2
+ + + − + − +
35.
P = 2+ 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3+ + + + + − + +
36.
1 1 1 1
...
2 1 1 2 3 2 2 3 1999 1998 1998 1999 2000 1999 1999 2000
P = + + + +
+ + + +

37.
3
(12 6 3) 3 2(1 2 3 4) 2 4 2 3
14 8 3
P = − − − − + + +
−
38.
1 1 1 1
...
1 5 5 9 9 13 2001 2005
P = + + + +
+ + + +

39.
( )
P
    
 ÷ ÷  ÷
 ÷ ÷  ÷
    
2 3 2 + 3 3 2 3
= + + 2 - 24 + 8 6 +
3 2
4 2 2 + 3 2 + 3 2 - 3
40.
1 1 1
...
2 1 1 2 3 2 2 3 2005 2004 2004 2005
P = + + +
+ + +

41.
( )
3
12 6 3 3. 2(1 4 2 3 2 4 2 3 )
14 8 3
P = − − − − + +
−
42.P =
2112
1
+
+
3223
1
+
+....+
2006200520052006
1
+
+
2007200620062007
1
+
43.
3 3 3
26 15 3.(2 3) 9 80 9 80P = + − + + + −
44.
4
4 4
4

4
4
1
7
2 6 7
7
7
7 1 343
1
7
7 7
7
7
P
−
= − − + +
 
−
+
 ÷
 
Bài 2:
1. Nêu một cách tính nhẩm 997
2
.
2. Tính tổng các chữ số của A, biết rằng
99...96A =
(có 100 chữ số 9).
Bài 3.
1. Rút gọn biểu thức:

7 3 7 3
7 2
M
− − +
=
−

2. Cho
{
{
10 10
99...9400...09
so so
N =
. Tính
N
3. Tính giá trị của biểu thức:
3
3 3
10 1 2 3 1
. :
9 6 4 2 1
4 2 3
M
 
+ +
=
 
− + −
 

−
 
Bài 4: Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
( )a b a b a b a b
+ + = + −
+ +
Áp dụng tính
2
2
2
999 999
1 999
1000 1000
M = + + +
Bài 5. So sánh hai số
3 5 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5
R
+ −
= +
+ + − −
và
4 7 4 7
3 2 4 7 3 2 4 7
S
+ −
= +
+ + − −

Bài 6. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau:
64 6 4= +
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới
dạng như trên
Bài 7: Rút gọn biểu thức:
1.
( )
2
3
2
3 3
, 0, 0,
x
x y y y
xy y
x
P x y x y
x y
x x y y
− + +
−
= + > > ≠
−
+
2.
4
3
4
2 1. 3 2 2 ( 12) 6 8
2 1. 3 2 2

1
x x x
P
x x
x
− + + + − −
=
−
− + −
−
3.
3 2 3 2
3
3
3 3 3
3 2
3
8 2 1
: 2 .
2 2 2
2
x x x x
P x
x x x
x x
   
 
− −
= + + +
 ÷  ÷

 ÷
 ÷
 ÷  ÷
+ + −
+
 
   
, với x > 0 và x
≠
9
4.
3 4 2 3 4 2
3 3
1 1 1 1
27 6 27 6
3 3 3 3
P a a a a a a a a= + + + + + + − + +
Bài 8. Trục căn thức ở mẫu
1.
1
2 5 2 2 10+ + +
2.
15
10 20 40 5 80− + − +
3.
3
3 3
1
16 12 9+ +
4.

4 4
4 4
15
2 4 8 16+ + +
5.
3
3 3 3 3
1
9 3 24 243 375− + − +
6.
3
4
2
4 3 5 5 125− + −
7.
3 3
1
1 3 2 2 4+ −
Bài 9: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:
1.
1
2
A
a b c
=
+ +
trong đó a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện c là trung bình
nhân của hai số a và b.
2.
1

B
a b c d
=
+ + +
trong đó a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện ab = cd
và a + b ≠ c + d.
3.
1
' ' '
M
m n p m n p
=
+ + + + +
biết rằng
' ' '
m n p
m n p
= =
Bài 10: Chứng minh rằng
2
.
mn
m n m n
m n m n
= + − +
+ + +
Áp dụng tính
2 10
2 5 7+ +
.

Bài 11: Chứng minh rằng:
1 1 1
( 1) 1 1n n n n n n
= −
+ + + +
với
*n N
∈
.
Áp dụng tính tổng:
1 1 1
.. .
2 1 1 2 3 2 2 3 400 399 399 400
S = + + +
+ + +
Bài 12:
1. Chứng minh:
( )
 
≠ ≠ ≠
 ÷
 
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
+ + = + - a 0; b 0;a + b 0
a b (a + b) a b a + b

2. Tìm số nguyên dương k thỏa mãn:
2

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2009 -1
1+ + + 1+ + + ...+ 1+ + =
1 2 2 3 k (k +1) 2009
Bài 13. Tìm phần nguyên của
3
3
3
6 6 ... 6 6 6 ... 6A = + + + + + + +
Bài 14. Tìm x biết:
5 13 5 13 ......x = + + + +
. Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi
lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần
Bài 15: Với mỗi
1 n N
≤ ∈
ta đặt:
3 5 3 5
2
2 2
n n
n
a
   
+ −
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
.

1. Chứng minh rằng
n
a Z∈
,
,1n n N∀ ≤ ∈
.
2. Tìm tất cả các số tự nhiên n ≥ 1 sao cho a
n
là số chính phương.
Bài 16. Kí hiệu [a] chỉ phần nguyên của a.
Tìm
2 2 2
4 27 17 7n n n n
 
+ + + +
 
 
Bài 17: Tìm chữ số đứng ngay trước và đứng ngay sau dấu phẩy trong biểu diễn thập phân của
số
( )
1992
2 3+
Bài 18. Tìm phần nguyên của
1.
6
1 1 1
1 ...
2 3
10
A = + + + +

2.
2 2 2
4 36 10 3B x x x x= + + + +
Bài 19: Cho p là số nguyên tố > 2. Chứng minh rằng
( )
1
2 5 2
p
p
p
+
 
+ −
 
 
M
.
Bài 20: Cho
1 n N
≤ ∈
. Tìm lũy thừa của 2 trong dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của số
( )
1 3
n
 
+
 
 
.
2. Rút gọn biểu thức chứa căn có điều kiện

Bài 1: Cho a,b,c là 3 số dương ,hãy rút gọn biểu thức:
2a b c ac bc a b+ + + + − +
Bài 2:
a. Cho x =








+
a
b
b
a
2
1
, trong đó a > 0, b > 0.
Tính giá trị của biểu thức A =
1
12
2
2
−−
−
xx
x
.

b. Rút gọn biểu thức
2
)1(
1
:)
1
1
(
x
x
x
xx
P
−
+
−
−
=
Tính giá trị biểu thức P khi
12
1
−
=
x
Bài 3: Hãy tính giá trị của biểu thức
1.
P
3
= x + 3x + 2
với x =

3
3
1
2 - 1 -
2 - 1
2.
5 2009
( 1)P x x= − +
, biết
( 6 2 5 6 2 5 ) : 20x = + + −
.
3.
( )
(
)
2008
2007
3
4 1P x x= − +
, biết
( )
3
10 6 3 3 1
6 2 5 5
x
+ −
=
+ −
4. P = (3x
3

+ 8x
2
+ 2)
1998
, biết
( )
3
5 2 17 5 38
5 14 6 5
x
+ −
=
+ −
5.
( )
2007
3 2
3 8 2P x x= + +
, biết
( )
25
56145
38517
3
+⋅
−+
−
=
x
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức

1. A = (3x
3
– x
2
– 1)
2004
biết
3
3 3
26 15 3.(2 3)
9 80 9 80
x
+ −
=
+ + −
2. B = (x
3
+12x - 9)
2005
, biết
3 3
4( 5 1) 4( 5 1)x = + − −
3. C = x
3
+ ax + b, biết
2 3 2 3
3
2 4 27 2 4 27
b b a b b a
x = − + + + − − +

Bài 5: Tìm giá trị của biểu thức: P = x
3
+ y
3
– 3(x + y) + 2004. Biết rằng: