Bài giảng Toán tài chính - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Đ</b>

<b>Ạ</b>

<b>O HÀM VÀ </b>

<b>Ứ</b>

<b>NG D</b>

<b>Ụ</b>

<b>NG</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG</b>

2.1 Hệ số góc của đường cong và đạo hàm

2.2 Ứng dụng của đạo hàm, hàm cận biên, hàm bình quân
2.3 Tối ưu hàm một biến, các điểm cực trị

2.4 Ứng dụng kinh tế

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>HỆ SỐ GĨC ĐƯỜNG THẲNG</b>

Phương trình tổng qt:
Dạng đặc biệt:

Với a, b là???

<i>Ax</i>



<i>By</i>



<i>C</i>

<i>y</i>



<i>ax</i>



<i>b</i>

2 1

2 1

tan

<i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>a</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 

 

  

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>NHẬN XÉT</b>

• Ý nghĩa của hệ số góc: khi x thay đổi một đơn vị thì y
thay đổi a đơn vị.

• Đường thẳng D như thế nào nếu:

• a>0

• a<0

• a=0

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG</b>

Tiếp tuyến và cát tuyến của đường trịn

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>HỆ SỐ GĨC ĐƯỜNG CONG</b>

Hệ số góc cát tuyến





 





 

2 1

2 1

<i>f a</i> <i>h</i> <i>f a</i>

<i>y</i> <i>y</i>

<i>k</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>a</i> <i>h</i> <i>a</i>

<i>f a</i> <i>h</i> <i>f a</i>

<i>k</i>

<i>h</i>

 


 

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>VÍ DỤ 1</b>

Cho hàm số y=x2

a) Tìm hệ số góc của cát tuyến với a=1 và h=2 và 1. Vẽ đồ
thị f(x) và hai cát tuyến trên.

b) Tìm và biểu diễn hệ số góc của cát tuyến với a=1 và h
khác 0 bất kỳ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG CONG</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG</b>

<b>Định nghĩa.</b> Cho hàm số y=f(x), hệ số góc của đồ thị hàm
số tại điểm (a, f(a)) được xác định bởi:

(nếu giới hạn này tồn tại)

<i>Khi đó, đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số chỉnh là</i>

<i>đường thẳng đi qua điểm (a, f(a)) với hệ số góc cho bởi</i>
<i>cơng thức trên.</i>





 

0

lim

<i>h</i>

<i>f a</i> <i>h</i> <i>f a</i>
<i>h</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM</b>

Định nghĩa:

Cho hàm số y=f(x), đạo hàm của hàm số

tại x định nghĩa như sau:

(nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).

Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a,b) thì

ta nói hàm số khả vi trên (a,b)

Nếu giới hạn không tồn tại thì hàm số khơng có đạo

hàm hay khơng khả vi.

( )

(

)

( )

0

'

lim

<i>h</i>

<i>f x</i>

<i>h</i>

<i>f x</i>

<i>f</i>

<i>x</i>

<i>h</i>

®

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>VÍ DỤ 2</b>

Tìm đạo hàm của hàm:

tại x=2 theo định nghĩa.

Ta xét giới hạn sau:

Vậy:

( )

2

8

9

<i>f x</i>

=

<i>x</i>

-

<i>x</i>

+

(

)

2

(

)

2

0 0

2

8 2

9

3

₄

lim

lim

4

<i>h</i> <i>h</i>

<i>h</i>

<i>h</i>

<i>_h</i>

<i>_h</i>

<i>h</i>

<i>h</i>

® ®

+

-

+

+

+



-=

=

-( )

' 2

4

<i>f</i>

=

-(

)

( )

0

2

2

lim

<i>h</i>

<i>f</i>

<i>h</i>

<i>f</i>

<i>h</i>

®

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>-VÍ DỤ 3.</b>

Tổng doanh thu của một công ty (đơn vị triệu $) trong t
tháng được cho bởi công thức sau:

a) Cho biết ý nghĩa của S(25) và S’(25)

b) Sử dụng kết quả câu a để ước lượng tổng doanh thu
sau 26 tháng; sau 27 tháng.

 

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>VÍ DỤ 4.</b>

Một hãng sản xuất vải với chiều rộng mỗi cây vải là cố
định. Chi phí sản xuất x (mét) vải là:

A) Cho biết ý nghĩa và đơn vị của f’(x)

B) Trong thực tế, khi nói f’(1000)=9 ta biết điều gì?

 

 

$

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>VÍ DỤ 5.</b>

Gọi D(t) là nợ quốc gia của Mỹ tại thời điểm t. Bảng dưới
đây cho ta con số xấp xỉ giá trị của hàm này vào cuối mỗi

năm theo đơn vị triệu $ kể từ năm 1980 đến năm 2000.
Giải thích và ước lượng giá trị của D’(1990)

<b>T</b> <b>1980</b> <b>1985</b> <b>1990</b> <b>1995</b> <b>2000</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>ĐẠO HÀM PHẢI – TRÁI</b>

Đạo hàm trái của f(x) tại a là:

Đạo hàm phải của f(x) tại a là:

( )

( )

( )

(

)

( )

0

'

lim

lim

<i>x</i> <i>a</i> <i>h</i>

<i>f x</i>

<i>f a</i>

<i>f a</i>

<i>h</i>

<i>f a</i>

<i>f</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>h</i>

-

-® ®

-

+

-=

=

-( )

( )

( )

(

)

( )

0

'

lim

lim

<i>x</i> <i>a</i> <i>h</i>

<i>f x</i>

<i>f a</i>

<i>f a</i>

<i>h</i>

<i>f a</i>

<i>f</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>h</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>-ĐỊNH LÝ</b>

Định lý:

Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và chỉ

khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và hai đạo

hàm này bằng nhau.

Định lý:

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm số

liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể khơng đúng.

( )

( )

( )

'

'

'

<i>f</i>

<i>a</i>

=

<i>L</i>

Û

<i>f</i>

<i>a</i>

-

=

<i>f</i>

<i>a</i>

+

=

<i>L</i>

( )

( )

( )

'

lim

<i>x</i> <i>a</i>

<i>f</i>

<i>a</i>

<i>L</i>

<i>f x</i>

<i>f a</i>

®

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>VÍ DỤ 6</b>

Cho hàm số:

Tìm
Ta có:

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0.

( )

1/

,

0

0

,

0

<i>x</i>

<i>e</i>

<i>x</i>

<i>f x</i>

<i>x</i>

ỡù

_ạ

ùù

= ớ

ù

₌

ùùợ

( ) ( )

' 0

; ' 0

<i>f</i>

-

<i>f</i>

+

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

1/
1/
0 0
0 0

0 0 ₀

' 0 lim lim lim 0

0 0 ₀

' 0 lim lim

<i>h</i>
<i>u</i>

<i>h</i>
<i>u</i>
<i>h</i> <i>h</i>
<i>h</i> <i>h</i>

<i>f</i> <i>h</i> <i>f</i> <i>_e</i> <i>_u</i>

<i>f</i>

<i>h</i> <i>h</i> <i>_e</i>

<i>f</i> <i>h</i> <i>f</i> <i>_e</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>HÀM SỐ ĐẠO HÀM</b>

Với a cố định ta có:

Thay a bằng x ta có:

Với mỗi giá trị khác nhau của x ta tính được f’(x) nếu giới

hạn tồn tại hữu hạn. Như vậy giá trị của f’(x) phụ thuộc

vào biến độc lập x nên có thể xem

f’

là một hàm theo x và

gọi là

đạo hàm của hàm f

.

( )

₀

(

)

( )

'

lim

<i>h</i>

<i>f a</i>

<i>h</i>

<i>f a</i>

<i>f</i>

<i>a</i>

<i>h</i>

®

+

-=

( )

₀

(

)

( )

'

lim

<i>h</i>

<i>f x</i>

<i>h</i>

<i>f x</i>

<i>f</i>

<i>x</i>

<i>h</i>

®

+

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>HÀM SỐ ĐẠO HÀM</b>

Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x).

Ký hiệu:

Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho f’(x)

tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x).

( )

';

';

<i>df</i>

;

<i>dy</i>

;

<i>d</i>

<i>f</i>

<i>y</i>

<i>f x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>VÍ DỤ 7</b>

Tìm hàm số đạo hàm của hàm y=x2_.

Ta có:

Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc TXĐ.
Vậy đạo hàm của hàm số:

(

)

( )

(

)

2 2

0 0

lim lim 2

<i>h</i> <i>h</i>

<i>f x</i> <i>h</i> <i>f x</i> <i>x</i> <i>h</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>h</i> <i>h</i>

® ®

+ - +

-= =

'

2

</div>

<!--links-->