Phương trình vi phân - Bài 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phương trình vi phân Bài 10B PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO § 8.6 Dây rung và Phương trình truyền sóng một chiều • Dây rung và Phương trình truyền sóng một chiều • Phương pháp tách biến 1. Đặt vấn đề • Phương pháp chuỗi lượng giác của phương trình đạo hàm riêng xuất hiện vào thế kỷ 18 khi Euler và Bernouli nghiên cứu bài toán dây rung. • Cần có mô hình toán mô tả hiện tượng này. 2. Dây rung và phương trình truyền sóng • Để nghiên cứu sự dao động của sóng trên dây mềm đồng chất với mật độ vật liệu là ρ được căng ra bởi lực T giữa 2 điểm cố định x = 0 và x = L.. Hình 8.6.1. Các lực trên một đoạn ngắn của một dây rung • Sử dụng định luật II Newton F = ma, và tính toán ta nhận được. ρ. ∂2 y 2. =T. ∂2 y 2. + F (x). (2.1). ∂t ∂x là phương trình mô tả rung động theo phương thẳng đứng của dây với hằng số mật độ tuyến tính ρ và lực căng T dưới ảnh hưởng của ngoại lực F(x). 2. T. , F ( x ) ≡ 0 thì (2.1) có dạng. ∂2 y. 2. ∂2 y. =a ∂t 2 ∂x 2 mô tả nên một rung động tự do của dây mềm đồng chất với 2 đầu mút cố định tại x = 0 và x = L.. • Đặt a =. ρ. • Ta sẽ xác định được chuyển động của sợi dây nếu biết ∗ Vị trí ban đầu: y ( x,0 ) = f ( x ). (0 < x < L ) 1. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ∗ Tốc độ ban đầu y t ( x,0 ) = g ( x ). (0 < x < L ).. • Từ đó ta có bài toán giá trị biên ∂2 y ∂t. 2. = a2. ∂2 y ∂x. 2. ( 0 < x < L,. t > 0);. (2.2). y ( 0, t ) = y ( L, t ) = 0. (2.3). y ( x,0 ) = f ( x ) (0 < x < L ). (2.4). y t ( x,0 ) = g ( x ) (0 < x < L ). (2.5). 3. Tìm nghiệm bằng phương pháp tách biến • Phương trình (2.2) có hai điều kiện không thuần nhất (2.4) và (2.5) cần xử lý. • Ta tách bài toán (2.2) − (2.4) thành hai bài toán riêng biệt.. Bài toán A. Bài toán B. y tt = a 2 y xx ;. y tt = a 2 y xx ;. y ( 0, t ) = y ( L, t ) = 0. y ( 0, t ) = y ( L, t ) = 0. y ( x,0 ) = f ( x ) ,. y ( x,0 ) = 0,. y t ( x,0 ) = 0.. y t ( x,0 ) = g ( x ) .. • Nếu tìm được nghiệm của Bài toán A là là y A , còn bài toán B là y B thì bài toán gốc ban đầu có nghiệm y ( x, t ) = y A ( x, t ) + y B ( x, t ) Thật vậy, rõ ràng luôn thoả mãn (2.2) và (2.3), ta kiểm tra (2.4) và (2.5) có y ( x,0 ) = y A ( x,0 ) + y B ( x,0 ) = f ( x ) + 0 = f ( x ) y t ( x,0 ) =. d d ( y A ) ( x,0 ) + ( y B ) ( x,0 ) = 0 + g ( x ) = g ( x ) dt dt. ♦ Ta giải bài toán A bằng phương pháp tách biến, tức là tìm nghiệm dạng y ( x, t ) = X ( x ) T ( t ). • Thay vào (2.2) có. X" T" X" T" = 2 , ∀t , do đó có = 2 = −λ X X aT aT.  X "+ λ X = 0 • Hệ  2 T "+ λ a T = 0  X ( 0 )T ( t ) = 0 • Từ điều kiện y ( 0, t ) = 0 = y ( L, t ) ⇔   X ( L )T ( t ) = 0. 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Để có T ( t ) không tầm thường ⇒ X ( 0 ) = Y ( L ) = 0 . • Phương trình X "+ λ X = 0,. X ( 0 ) = X ( L ) = 0 có giá trị riêng λn =. n 2π 2 L2. ,. nπ x , n = 1, 2, 3, ... L • Tương tự, từ điều kiện: y t ( x, 0 ) = 0 = X ( x )T ′ ( 0 ) , ∀ x ⇒ T ′ ( 0 ) = 0 . nên có hàm riêng X n ( x ) = sin. Khi đó Tn ( t ) ứng với λn ở trên thỏa mãn phương trình. Tn′′ +. n 2π 2a 2 2. L. Tn = 0 , Tn′′ ( 0 ) = 0 .. nπ at nπ at + Bn sin . L L nπ a  nπ at nπ at  Vì vậy Tn′ ( t ) = − An sin + Bn cos  L  L L  Do đó có nghiệm tổng quát Tn ( t ) = An cos. nπ at . L nπ at nπ x • Từ đó có y n ( x, t ) = X n ( x )Tn ( t ) = cos sin , n = 1, 2, 3,... L L • Dùng nguyên lí chồng nghiệm, ta có nghiệm chuỗi hình thức của bài toán A là Do Tn′ ( 0 ) = 0 nên có Tn ( t ) = cos. L. ∞. nπ at nπ x 2 nπ x y n ( x, t ) = An cos sin , ở đó An = f ( x )sin dx L L L L n =1. ∑. ∫ 0. ∞. (Do khai triển Fourier sine của f(x) ta có f ( x ) =. ∑ An sin n =0. nπ x ) L. Nhận xét. Nghiệm chuỗi được suy ra từ chuỗi Fourier sine của hàm f ( x ) bằng cách thêm thừa số cos ( nπ at / L ) vào phần tử thứ n.. Ví dụ 1. Ta nhận thấy một cách trực tiếp rằng nghiệm của bài toán giá trị biên ∂2y. ∂2y. = 4 2 (0 < x < π , t > 0) ∂t 2 ∂x y ( 0, t ) = y (π , t ) = 0, 1 sin3 x 10 y t ( x,0 ) = 0, y ( x,0 ) =. 3. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 3 1 3 1 sin x − sin3 x nên có f ( x, 0 ) = sin x − sin3 x 4 4 40 40 • Từ trên ta có biểu diễn chuỗi Fourier sine của hàm f ( x ) là. • Ta có sin3 x =. f (x) = tức có A1 =. 3 1 sin x − sin3 x 40 40. 3 −1 , A3 = , An = 0 . 40 40. • Vận dụng công thức nghiệm ở trên với L = π và a = 2 , có nghiệm là 3 1 y ( x, t ) = cos 2t sin x − cos 6t sin 3 x. 40 40 Ví dụ 2.. Hình 8.6.2. Vị trí ban đầu của lò xo bị kéo dãn trong Ví dụ 2 • Một lò xo dài là L được làm cho chuyển động bằng cách di chuyển điểm giữa L 1 x = một khoảng là bL sau đó thả ra tại thời điểm t = 0. Hãy tìm y ( x, t ) 2 2 • Bài toán giá trị biên tương ứng có dạng. y tt = a 2 y xx. ( 0 < x < L, t > 0 ) ; y ( 0, t ) = y ( L, t ) = 0, y ( x,0 ) = f ( x ) , y t ( x,0 ) = 0. L  bx , 0 ≤ x ≤  2 ở đó f ( x ) =  b ( L − x ) , L ≤ x ≤ L  2 • Ta có L. L 2. L. 2 nπ x 2 nπ x 2 nπ x An = f ( x )sin dx = bx sin dx + b(L − x )sin dx L L L L L L. ∫. ∫. 0. 0. ∫L 2. 4. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> L 2. 2 2 L nπ x  L  nπ x  = b − x cos +   sin L  nπ L L 0  nπ . L. 2 2  ( L nπ x  L  nπ x  ) + b − L − x cos −   sin L  nπ L L L  nπ . 2. 2 2 2 L L nπ  L  nπ  2  L L nπ  L  nπ  = − + + . cos cos  + b .   sin  sin L  nπ 2 2  nπ  2  L  2 nπ 2  nπ  2  2. 2b  L  nπ 4bL nπ = = 2 2 sin . .2   sin L  nπ  2 2 n π • Phương trình đã cho có nghiệm hình thức là. y ( x, t ) = =. 4bL. π2. ∞. 1. ∑ n 2 sin n =1. nπ nπ at nπ x cos sin 2 L L. π at πx 1 4bL  3π at 3π x  cos sin − cos sin + ... . 2  2 L L L L π  3 . a) Âm nhạc • Hầu hết các nhạc cụ âm nhạc quen thuộc sử dụng dây rung để sinh ra âm thanh. Khi một dây rung với một tần số nhất định, rung động tại tần số này được truyền vào trong không khí - dưới dạng rung động có chu kỳ vào mật độ không khí và được gọi là sóng âm - đến tai người nghe. ∞. • Chuỗi y ( x, t ) =. ∑ An cos n =1. nπ at nπ x sin thể hiện sự chuyển động của một dây L L. dưới dạng một phép chồng của rất nhiều sự rung động vô hạn với các tần số khác nhau. 1 T (Hz) 2L ρ. − Tần số cơ bản (thấp nhất) v1 =. − Tần số hoà âm v n = nv1 (do đó khi dây rung nghe có cảm giác du dương). • Cường độ âm thanh sinh ra bởi sợi dây được xác định như sau: E=. π 2T 4L. ∞. ∑ n2 An2 . n =1. 5. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> b) Nghiệm d’Alembert • Ngược lại với nghiệm chuỗi của phương trình truyền nhiệt, nghiệm chuỗi hình thức của phương trình sóng không thể vi phân từng phần tử để xác định nghiệm (vì có thể làm cho chuỗi phân kì) • Để khắc phục điều này, ta có cách tiếp cận khác nhờ sử dụng công thức 2 sin A cos B = sin ( A + B ) + sin ( A − B ) Khi đó ta có ∞. y ( x, t ) =. ∑ An sin n =1. nπ x nπ at cos L L. ∞. ∞. 1 nπ 1 nπ = An sin An sin ( x + at ) + ( x − at ) 2 n =1 L 2 n =1 L. ∑. =. ∑. 1 F ( x + at ) + F ( x − at )  . 2 ∞. ở đó. ∑ An sin n =1. nπ x = F ( x ) là mở rộng lẻ với chu kỳ 2L của hàm f ( x ) L. • Nhắc lại F khả vi cấp 2 thì có hàm y ( x, t ) chính là nghiệm (dạng d'Alembert) của bài toán dây rung y tt = a2 y xx , y ( 0, t ) = y ( L, t ) = 0 , y ( x,0 ) = f ( x ) , • Các hàm F ( x + at ) , F ( x − at ) biểu diễn chuyển động sóng tương ứng về phía trái và về phía phải dọc theo trục x với tốc độ a. Do đó nghiệm dạng d’Alembert y ( x, t ) là tổng hợp hai dao động sóng chuyển động theo hai hướng ngược chiều nhau với tốc độ a.. 6. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Hình 8.6.3. Xung F ( x ) tạo nên hai sóng - một chuyển động về phía trái, một chuyển động về phía phải. c) Dây với tốc độ ban đầu • Lập luận như đối với bài toán A, ta nhận được nghiệm của bài toán B là ∞. y ( x, t ) =. ∑. Bn sin. n =1. nπ at nπ x sin , L L L. ∞. nπ a nπ x 2 nπ x ở đó y t ( x,0 ) = Bn sin = g ( x ) , do dó Bn = g ( x ) sin dx . π n a L L L n =1. ∑. ∫ 0. Ví dụ 3. Xét một dây đàn ghita nằm chéo chữ thập với mặt sau của quân bài, tại thời điểm t = 0 bật quân bài vào một bức tường gạch với vận tốc ban đầu v 0 . Tìm dao động của dây đàn. • Ta có g ( x ) ≡ v 0 , do đó Bn =. 2 nπ a. L. ∫ 0. ν 0 sin. 2v L nπ x n dx = 2 02 1 − ( −1)  .  L n π a. • Nghiệm cần tìm có dạng y ( x, t ) =. 4v 0L. 1. ∑ n2 sin π 2a n lÎ. 7. Lop12.net. nπ at nπ x sin . L L.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ∞. • Lấy đạo hàm theo t ta có của biểu thức y ( x, t ) =. ∑. Bn sin. n =1 ∞. y t ( x, t ) =. ∑ bn sin n =1. nπ at nπ x sin ta có L L. nπ x nπ at 1 cos = G ( x + at ) + G ( x − at )  L L 2. ở đó G là mở rộng lẻ với chu kỳ 2L của hàm vận tốc ban đầu g ( x ) • Ngoài ra ta cũng có y ( x, t ) =. 1 H ( x + at ) + H ( x − at )  2a . x. ∫. ở đó H ( x ) = G(s )ds 0. 1 ( [F x + at ) + F ( x − at )] ta có 2 dao động của sợi dây với điều kiện ban đầu tổng quát được cho bởi 1 1 H ( x + at ) + H ( x − at )  y ( x, t ) = F ( x + at ) + F ( x − at )  + 2 2a  là tổng hợp bốn chuyển động dọc theo trục x với tốc độ a, hai chuyển động sang trái và hai chuyển động sang phải. • Kết hợp với nghiệm dạng d’Alembert y ( x, t ) =. Chú ý. Dạng toán cơ bản của mục này là giải bài toán giá trị biên 1, 10 trang 378.. 8. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> § 8.7 Trạng thái nhiệt độ ổn định và phương trình Laplace • Bài toán Dirichlet • Bài toán Dirichlet cho hình chữ nhật • Bài toán Dirichlet cho đĩa tròn 1. Đặt vấn đề • Ta nghiên cứu nhiệt độ trong tấm kim loại phẳng mỏng, có diện tích R trong mặt phẳng xy giới hạn bởi đường cong C trơn từng khúc trong hình 8.7.1.. Hình 8.7.1. Vùng mặt phẳng R và đường cong C bao quanh • Giả sử rằng 2 mặt đĩa được cách nhiệt, khi đó có phương trình truyền nhiệt là.  ∂ 2u ∂ 2u  ∂u = k 2 + 2  (1.1)  ∂x  ∂t ∂ y   K với hằng số khuyếch tán nhiệt k = , k _ hằng số dẫn nhiệt, mật độ δ của tấm cδ kim loại, nhiệt độ C. • Có thể viết lại phương trình trên dưới dạng: ∂u ∂ 2u ∂ 2u 2 2 = k ∇ u , ở đó ∇ u = 2 + 2 ∂t ∂x ∂y ta thấy phương trình này có dạng giống phương trình đẳng nhiệt ut = ku xx. • Với cùng lập luận như trên, từ phương trình truyền sóng một chiều ztt = a 2zx x ta nhận được phương trình truyền sóng hai chiều: ∂2z ∂t 2.  ∂2z ∂2z  = a 2  2 + 2  = a2∇ 2 z.  ∂x ∂y  . 9. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> • Ta giới hạn sự chú ý vào trạng thái ổn định, trong đó nhiệt độ u không thay đổi theo thời gian, do đó ut = 0 , vì vậy phương trình (1.1) trở thành phương trình Laplace hai chiều ∇ 2u = 0 hay. ∂ 2u ∂x. 2. +. ∂ 2u ∂y. 2. = 0.. Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng khá quan trọng và nó được gọi là phương trình điện thế. 2. Bài toán Direchlet Tìm được nhiệt độ trạng thái ổn định trong đĩa với các giá trị biên cho trước được cho bởi ∂ 2u ∂x 2. +. ∂ 2u ∂y 2. = 0,. ( x, y ) ∈ R. trong trong mặt phẳng. u ( x, y ) = f ( x, y ) , (x, y) trên biên C của R.. 3. Bài toán Dirichlet đối với hình chữ nhật u xx + uyy = 0 • Bài toán Dirichlet. ( x, y ) ∈R. u ( x,0 ) = f1 ( x ) ,. u ( x, b ) = f2 ( x ). u ( 0, y ) = g1 ( y ) ,. u ( a, y ) = g 2 ( y ). (0 < x < a ), (0 < y < b ).. (3.1). • Đây là bài toán có bốn điều kiện không thuần nhất • Ta giải bài toán (3.1) bằng cách tách nó ra thành 4 bài toán, mà mỗi bài toán chỉ có một điều kiện không thuần nhất duy nhất, và bằng không dọc theo 3 cạnh còn lại (xem hình 8.7.3). Hình 8.7.3. Bài toán giá trị biên của Ví dụ 1. Ví dụ 1. Hãy giải bài toán giá trị biên sau u xx + u yy = 0 u ( 0, y ) = u ( a, y ) = u ( x, b ) = 0 u ( x,0 ) = f ( x ). đối với hình chữ nhật trong Hình 8.7.3.. 10. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> • Sử dụng phương pháp tách biến, tìm u ( x, y ) = X ( x ) Y ( y ) , thay vào phương trình u xx + u yy = 0 ta có X" Y" =− = −λ X Y. (3.2). • X "+ λ X = 0, X ( 0 ) = X ( a ) = 0. Có giá trị riêng và hàm riêng tương ứng là λn = • Từ đó và từ (3.2) có Yn" −. n 2π 2 a. 2. ,. X n ( x ) = sin. nπ x a. (3.3). n 2π 2. Yn = 0, Yn ( b ) = 0 a2 nπ y nπ y có nghiệm Yn ( y ) = An cosh + Bn sinh , a a • Từ điều kiện u ( x, b ) = 0 ⇒ y n ( b ) = 0 , do đó có Yn ( y ) = cn sinh. nπ ( b − y ) a. (3.4). An nπ b sinh a • Từ (3.3) và (3.4) có nghiệm chuỗi hình thức của bài toán Dirichlet. ở đó cn =. ∞. u ( x, y ) =. ∑. ∞. X n ( x ) Yn ( y ) =. n =1. ∑ n =1. cn sin. nπ ( b − y ) nπ x sinh . a a. ở đó a. 2 nπ x cn = f ( x ) sin dx (nhận được từ điều kiện u ( x, 0 ) = f ( x ) ) a sinh(nπ b / a ) a. ∫ 0. Ví dụ 2. Cho R là một dải bán vô hạn như trong Hình 8.7.5.. Hình 8.7.5. Dải bán vô hạn của Ví dụ 2. 11. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Hãy giải bài toán giá trị biên u xx + u yy = 0. (trong R );. u ( x,0 ) = u ( x, b ) = 0. (0 < x < + ∞ ),. u ( x, y ) lµ giíi néi khi x → +∞, u ( 0, y ) = g ( y ) . • Là dạng bài toán điển hình Dirichlet cho miền giới nội, thực hiện tách biến như Y" X" trên ta có =− = −λ , Y X • Y "+ λY = 0,. Y (0) = Y (b ) = 0. có các giá trị riêng và hàm riêng tương ứng λn = • Thay vào trên có phương trình X n" − có nghiệm X n ( x ) = An. nπ x e b. + Bn. n 2π 2 b. 2. n 2π 2 b2. ,. Yn ( y ) = sin. nπ y , b. Xn = 0. − nπ x e b.  nπ x  • Do điều kiện u ( x, y ) giới nội khi x → +∞ nên có X n ( x ) = exp  − . b   • Từ đó nhận được nghiệm chuỗi hình thức: u ( x, y ) =. ∞. ∞. n =1. n =1. ∑ bn X n ( x )Yn ( y ) = ∑ bn exp  − ∞. • Từ điều kiện biên u ( 0, y ) =. ∑ n =1. bn sin. nπ x  nπ y sin  b  b. nπ y = g (y ) b. b. 2 nπ y nên có bn = g ( y ) sin dy là chuỗi Fourier sine b b. ∫ 0. 4. Bài toán Dirichlet cho đĩa tròn. Hình 8.7.7. Bài toán Dirichlet cho một đĩa tròn. 12. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> • Xét nhiệt độ ở trạng thái ổn định trong đĩa tròn bán kính a với hai mặt được cách nhiệt và nhiệt độ biên cho trước. • Sử dụng tọa độ cực nhận được mô hình toán của bài toán nói trên là. 1 ∂u 1 ∂ 2u ∇ u≡ 2+ + = 0. r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂r 2. ∂ 2u. (4.1). với điều kiện: u ( a,θ ) = f (θ ) , f (θ ) tuần hoàn với chu kỳ 2π. • Sử dụng phương pháp tách biến tìm u ( r ,θ ) = R ( r ) Θ (θ ) , thay vào (4.1) có. 1 1 r 2R "+ rR ' Θ" ′′ ′′ R Θ + R ' Θ + 2 RΘ = 0 ⇔ =− =λ r R Θ r ⇔ r 2R "+ rR '− λ R = 0 và Θ "+ λΘ = 0.. (4.2) (4.3). • Phương trình (4.3) có nghiệm tổng quát là Θ (θ ) = A cos αΘ + B sin αθ nếu λ = α 2 > 0 Θ (θ ) = A + BΘ. nếu λ = 0 nếu λ = −α 2 < 0. Θ (θ ) = Aeαθ + Be −αθ. Từ điều kiện đầu có • Khi λ = λn = n 2 , do đó. λ0 = 0 , Θ0 (θ ) = 1, λn = n 2 , Θn (θ ) = An cos nθ + Bn sin nθ • λ0 = 0 có R0 ( r ) = C0 + D0 ln r và λ = n 2 có r 2Rn" + rRn' − n 2Rn = 0.. Phương trình này có nghiệm tổng quát là Rn ( r ) = Cn r n +. Dn r2. , do đó. Rn ( r ) = Cn r n (do liên tục tại r = 0) • Từ đó có nghiệm chuỗi hình thức dạng ∞. ∞. a u ( r ,θ ) = Rn ( r ) Θn (θ ) = 0 + ana n cos nθ + bnan sin nθ 2 n =1 n =0. ∑. ∑(. ). • Từ điều kiện u ( a,θ ) = f (θ ) , ta có chuỗi đã cho là chuỗi Fourier của hàm f (θ ) ,. nên có an =. 1. π an. 2π. 1. 2π. ∫ f (θ )cos nθdθ , bn = π an ∫ f (θ )sin nθdθ , (n = 1, 2, 3,...) 0. 0. 13. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Ví dụ 3. Giải bài toán Dirichlet trong nửa hình tròn r = a , 0 ≤ θ ≤ π biết u ( r , 0 ) = u ( r , π ) = 0 , u ( a, θ ) = cos2 θ ∞. a • Nghiệm u ( r , θ ) = 0 + r n ( an cos nθ + bn sin nθ ) 2 n =1. ∑. ∞. • Do u ( r , 0 ) = 0 = u ( r , π ) nên có an = 0, ∀ n , vì vậy u ( r , θ ) =. ∑ r ncn sin nθ n =1. ở đó cn =. π. 2. πa. n. 2. π. ∫ f (θ ) sin nθ dθ = π an ∫ (1 + cos 2θ ) sin nθ dθ 0. 0. π 2  1 1 cos = − n θ +  2 π an  n 0. π. ∫0. . ( sin ( n + 2 )θ + sin ( n − 2 )θ ) dθ  . π 2  1 ( ( ) n ) 1  −1 1  − cos ( n + 2 ) θ − cos ( n − 2 ) θ   = −1 − 1 +  2n + 2  0  n−2 π an  n. = =. 2  1 ( ( ) n ) 1  −1 ( ( ) n ) 1 ( ( )n )   1 − − 1 + − 1 − 1 − −1 − 1     2n + 2 n−2  π an  n 2. πa. ( ( −1)n )  1 + 1 −  n n. 1 1  + 2 ( n + 2 ) 2 ( n − 2 ) . 0,  = 4  1 1 1   2k +1  2k + 1 + 2 ( 2k + 3 ) + 2 ( 2k − 1)  , π a ∞. • u (r, θ ) =. 4. 1. n = 2k n = 2k + 1. 1. 1. ∑ r 2k +1. π a2k +1  2k + 1 + 2 ( 2k + 3 ) + 2 ( 2k − 1)  sin ( 2k + 1)θ. k =0. Chú ý. Dạng toán cơ bản của mục này là: Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật và hình tròn. Các bài 1 – 9, 13, 14, 15 (trang 393).. Ghi nhớ • Tuần này vào tiết sau giờ bài tập có bài kiểm tra số 2 (Chương 4, chương 5, và mục 6.1, 6.2) đối với các lớp có giờ bài tập vào thứ 4, 5, 6. • Buổi sau giờ lí thuyết học các mục: 9.1 và 9.3. • Tuần sau giờ bài tập làm bài tập lẻ các mục: 6.4, 7.1 và 7.2.. 14. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>