Giáo án tự chọn nâng cao Toán 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chủ đề 1. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ. I. Tóm tắt lý thuyết 1. Trên tập xác định của biểu thức f(x,y,..) a. Số A được gọi là giá trị lớn nhất của f(x,y,...) nếu f ( x, y,...)  A và có (x0; y0;....) sao cho f ( x0 , y0 ,...)  A Ký hiệu Max f  A b. Số B được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,...) nếu f ( x, y,...)  B và có (x0; y0;....) sao cho f ( x0 , y0 ,...)  B Ký hiệu Min f  B 2. Cách tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức đại số - Tìm tập xác định của biểu thức - Trên tập xác định của biểu thức, chứng minh rằng f ( x, y,...)  A hoặc f ( x, y,...)  B. - Chỉ ra bộ số (x0; y0......) sao cho f ( x0 , y0 ,...)  A hoặc f ( x0 , y0 ,...)  B - Kết luận: Max f  A khi x = x0 ; y = y0 ...... Min f  B khi x = x0 ; y = y0....... 3. Các kiến thức thường dùng 2k + x 2  0 , x R. Tổng quát  f ( x)  0 với  x Từ đó xuy ra:.  f ( x)  m  m , x R 2k M   f ( x)   M , x R 2k. +. x  0 ,x R.. +. x  x , x R. Dấu bằng khi x ≥ 0. + +. |x| ≥ -x, x R. Dấu bằng khi x ≤ 0 x y  x  y. Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi xy  0 + x y  x  y Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi xy  0 và |x| ≥ |y| II. Các dạng bài tập thường gặp. §1. ĐA THỨC BẬC NHẤT CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a. A  7 x  5 b. B  8  5 x  3 Giải a. Biểu thức A xác định với mọi x thuộc tập số R Ta có 7 x  5  0 Nên A  0. A  0  7 x  5  0 x. Vậy min A = 0 khi. 5 7. x. 5 7. b. Biểu thức B xác định với mọi x thuộc tập số R Ta có: 8  5 x  0  8  5 x  3  3. Nên min B = 3 khi x . 8 5. Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D  5  2x 1. Giải Biểu thức D xác định với mọi x  R Ta có 2 x  1  0 Nên 5  2 x  1  5 Vậy max D = 5, khi x . 1 2. Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C  x  2008  x  2009. Giải Biểu thức C xác định với mọi x  R Áp dụng bất đẳng thức x  y  x  y Dấu bằng xảy ra khi xy  0 ta được C  x  2008  x  2009  x  2008  2009  x  x  2008  2009  x. Nên C  1 Vậy min C = 1 khi (x – 2008)(2009 – x)  0 Tức 2008  x  2009 Bài tập 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a. M  51  4 x  1 b. N  x  1  x  4 c. P  x  7  x  5 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức a. C  12  3x  5 b. D . 1 x2 3. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a. E  x  a  x  b với a  b b. F  x  2  x  3  x  4  x  5 c. M  x 2  x  1  x 2  x  12 §2. ĐA THỨC BẬC HAI Ví dụ 1: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  3x 2  6 x  2. b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B  3 x 2  4 x  3. Giải a. Biểu thức A xác định với mọi x thuộc tập số thực R Ta có: A  3x 2  6 x  2  3( x 2  2 x)  2  3( x  1) 2  5  5 Do ( x  1) 2  0 với mọi x, nên A  5 A  5  x  1  0  x  1 Vậy min A = -5 khi x = 1 b. Biểu thức B xác định với mọi x thuộc tập số thực R Ta có B  3x 2  4 x  3 2 4 4  3( x 2  2 x.    1) 3 9 9 2 13    3( x  ) 2   3 9  13 2   3( x  ) 2 3 3 2 13 13 2 B x Do ( x  ) 2  0 với mọi x nên B  3 5 3 3. Ví dụ 2: Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây: a. C  5 x 2  12 xy  9 y 2  4 x  4 đạt giá trị nhỏ nhất b. D  15  10 x  10 x 2  24 xy  16 y 2 đạt giá trị lớn nhất Giải a. Biểu thức C xác định với mọi x thuộc tập số thực R C  5 x 2  12 xy  9 y 2  4 x  4  ( x 2  4 x  4)  (4 x 2  12 xy  9 y 2 )  ( x  2) 2  (2 x  3 y ) 2  0 C  0  x  2  0 Và 2 x  3 y  0 4 và y   x2 3 4 Vậy min C = 0  x = 2 và y  3 2 b. D  15  10 x  10 x  24 xy  16 y 2  40  ( x 2  10 x  25)  (9 x 2  24 xy  16 y 2 )  40  ( x  5) 2  (3 x  4 y ) 2  40 15 Max D = 40 khi x  5; y   4 3 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ví dụ 3: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E  2 x 2  2 xy  y 2  2 x  2 y  2. b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F   x 2  2 xy  4 y 2  2 x  10 y  5. Giải a. Biểu thức E xác định với mọi x thuộc tập số thực R E  2 x 2  2 xy  y 2  2 x  2 y  2 E  ( x 2  y 2  1  2 x  2 y  2 xy )  ( x 2  4 x  4)  3  ( x  y  1) 2  ( x  2) 2  3  3 E  3  x  y  1  0 và x  2  0 Min E = -3  x  2 và y  3. b. Biểu thức F xác định với mọi x thuộc tập số thực R F  18  ( x 2  y 2  1  2 xy  2 x  2 y )  3( y 2  4 y  4)  18  ( x  y  1) 2  ( y  2) 2  18 F  18  x  y  1  0 và y  2  0 Max F = 18  x  3 v à y  2. Bài tập 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a. A  x 2  x b. B  4 x 2  4 x  11 c. 2 x 2  20 x  53 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a. D  5  8 x  x 2 b. E  5 x 2  4 x  1 c. F  1  x  x 2 3. Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất a. G  10 x 2  12 xy  4 y 2  6 x  7 b. M  x 4  8 xy  x 3 y  x 2 y  xy 3  x 4  2009 c. C  x 2  xy  y 2  3x  3 y 4. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức a. A   x 2  2 y 2  2 xy  2 x  2 y  15 b. B = 1  6 y  5 y 2  12 xy  9 x 2 §3. BIỂU THỨC CÓ DẠNG PHÂN THỨC 1. Phân thức có tử số là hằng số, mẫu số là tam thức bậc hai Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A . 1 2x  x2  5. Giải A. 1 1  2 2x  x  5 ( x  1) 2  4. 4 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ta có ( x  1) 2  0  ( x  1) 2  4  4 1 1  2 ( x  1)  4 4 1 1   2 4 ( x  1)  4. . Vậy min A  . 1 khi x = 1 4. Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của B . 7 4x  4x  9 2. Giải 7 7 B 2  4 x  4 x  9 (2 x  1) 2  8. Ta có (2 x  1) 2  0  (2 x  1) 2  8  8 7 7  2 (2 x  1)  8 8 7 1 Vậy max B  khi x  8 2 . 2. Phân thức có mẫu số là bình phươngcủa một nhị thức x2  x 1 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C  ( x  1) 2. Giải Biểu thức C có giá trị xác định với mọi x  1 C. x 2  x  1 4( x 2  x  1) 4 x 2  4 x  4 3( x  1) 2  ( x  1) 2 3 ( x  1) 2      4 4( x  1) 2 ( x  1) 2 4( x  1) 2 4( x  1) 2 4( x  1) 2. 3 ( x  1) 2 3 vậy min C  khi x = 1 0C  2 4 4 4( x  1) x Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của D  ( x  1) 2. Vì. Giải Biểu thức D có giá trị xác định với mọi x  1. x x 11 1 1    2 2 x  1 ( x  1) 2 ( x  1) ( x  1) 1 y Đặt x 1 1 1 1 1 1 1 D  y  y 2  ( y 2  y )  ( y 2  2 y.   )   ( y  ) 2  2 4 4 4 2 4 1 1 1 1 D  khi y     x 1 4 2 x 1 2 1 Vậy max D  khi x = 1 4 D. 3. Các phân thức khác 5 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M  1 2. x2 1 x2  x 1. 3 4. Ta có x 2  x  1  ( x  )   0 nên biểu thức M có giá trị xác định với x  R  Tìm giá trị lớn nhất của M x2 1 2( x 2  x  1)  ( x 2  2 x  1) ( x  1) 2   2  x2  x 1 x2  x 1 x2  x 1 x2  x  1  0 ( x  1) 2 M  2  2 Vì nên x2  x 1 ( x  1) 2  0 M . Vậy max M = 2 khi x = 1  Tìm giá trị nhỏ nhất của M M . x2 1 3( x 2  1) 2( x 2  x  1)  ( x 2  2 x  1)   x 2  x  1 3( x 2  x  1) 3( x 2  x  1). 2 ( x  1) 2 2   2 3 3( x  x  1) 3 2 Min M  khi x = -1 3 . Bài tập 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 2 6x  5  9x 2 3x 2  8 x  6 b. Q  2 x  2x  1 x2  x 1 c. S  2 x  2x  1 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 3 a. K  2 4x  4x  5 x 2  6 x  14 b. E  2 x  6 x  12 x4 1 c. F  2 ( x  1) 2. a. P . §4. BIỂU THỨC CÓ BIẾN BỊ RÀNG BUỘC BỞI MỘT HỆ THỨC CHO TRƯỚC Ví dụ: Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện: 3x + y = 1 a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  2 x 2  y b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B  xy  1 Giải Do 3x  y  1  y  1  3x ta có 3 2. 1 2.  . 3 4. a. A  2 x 2  (1  3x)  2 x 2  1  3x  2( x 2  x  )  2( x  ) 2 . 17  16 . 6 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 3 17 17  2( x  ) 2  nên A   4 8 8. Vậy min A  . 17 3 13 khi x   ; y  8 4 4 x 3. 1 3. b. B  x(1  3x)  1  x  3x 2  1  3( x 2   ) 1 13  13 1   3( x  ) 2     3( x  ) 2 6 36  12 6 . Nên B . 13 13 1 1 vậy max B  khi x  và y  12 12 6 2. Bài tập 1. Cho x, y là hai số thoả mãn điều kiện: 2 x 2 . 1 y2  4 4 x2. Tìm giá trị nhỏ nhất của x.y 2. Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện x 2  y 2  1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của x + y. 3. Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x 3  y 3. Chủ đề 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. I. Phương trình bậc cao là phương trình có dạng: f(x) = 0 trong đó f(x) là một đa thức bậc n (n  2) đối với x II. Một số phương pháp giải phương trình bậc cao. 1. Phương pháp đưa về phương trình tích. 7 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Ví dụ 1: Giải phương trình: x 4  x 3  5 x 2  x  6  0 Giải x 4  x 3  5x 2  x  6  0  ( x  2)( x 3  3 x 2  x  3)  0. . .  ( x  2) x ( x 2  1)  3( x 2  1)  0  ( x  2)( x 2  1)( x  3)  0. * x20 x  2 * x  3  0  x  3 * x2  0  x2  1  0 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2; x = -3 Ví dụ 2: Giải phương trình: x 4  4 x 3  19 x 2  106 x  120  0 Giải x 4  4 x 3  19 x 2  106 x  120  0  ( x 4  2 x 3 )  (2 x 3  4 x 2 )  (23 x 2  46 x)  (60 x  120)  0  x 3 ( x  2)  2 x 2 ( x  2)  23 x( x  2)  60( x  2)  0  ( x  2)( x 3  2 x 2  23 x  60)  0.   ( x  2)x. .  ( x  2) ( x 3  3 x 2 )  ( x 2  3 x)  (20 x  60)  0 2. . ( x  3)  x( x  3)  20( x  3)  0.  ( x  2)( x  3)( x 2  x  20)  0  ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  0 *x2  0  x  2 *x3 0  x  3 *x4  0  x  4 * x  5  0  x  5. Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x = 2; x = 3; x = 4; x = -5 Ví dụ 3: Giải phương trình: 4 x 4  12 x 3  5 x 2  6 x  15  0 Giải. 8 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 4 x 4  12 x 3  5 x 2  6 x  15  0  4 x 4  4 x 3  16 x 3  16 x 2  21x 2  21x  15 x  15  0  (4 x 3 ( x  1)  16 x 2 ( x  1)  21x( x  1)  15( x  1)  0  ( x  1)(4 x 3  16 x 2  21x  15)  0.   ( x  1)2 x. .  ( x  1) (4 x 3  10 x 2 )  (6 x 2  15 x)  (6 x  15)  0 2. . (2 x  5)  3 x( x  5)  3(2 x  5)  0.  ( x  1)(2 x  5)(2 x 2  3 x  3)  0 3 2. 3 2. Vì 2 x 2  3x  3  2( x 2  x  ) 3 3  2( x  ) 2   0 với mọi x 2 4. Nên: x  1  0  x  1 Hoặc: 2 x  5  0  x  2,5 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = -2,5 Ví dụ 4: Giải phương trình: x 4  2 x 3  2 x 2  4 x  8  0 Giải x 4  2x3  2x 2  4x  8  0  ( x 4  4)  (2 x 3  4 x)  (2 x 2  4)  0  ( x 2  2)( x 2  2)  2 x( x 2  2)  2( x 2  2)  0  ( x 2  2)( x 2  2  2 x  2)  0  ( x  2 )( x  2 )( x 2  2 x  4)  0. *x 2  0  x  2 *x 2  0  x   2. * x 2  2 x  4  0 (vô nghiệm) Vì x 2  2 x  4  ( x  1) 2  3  0 Vậy phương trình có hai nghiệm: x  2 ; x   2 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình: ( x  1)( x  2)( x  4)( x  5)  40 Giải ( x  1)( x  2)( x  4)( x  5)  40   ( x  1)( x  5)  . ( x  2)( x  4)   40  ( x 2  6 x  5)( x 2  6 x  8)  40  0 9 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Đặt: x 2  6 x  5  t ta có t (t  3)  40  0  t 2  3t  40  0  (t  5)(t  8)  0. + Nếu t = 5 thì x 2  6 x  5  5  x 2  6 x  0  x( x  6)  0  x  0 hoặc x = -6. + Nếu t = -8 thì x 2  6 x  5  8  x 2  6 x  13  0 Phương trình này vô nghiệm vì x 2  6 x  13  ( x  3) 2  4  0 với mọi x Vậy: Phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0; x = -6 Ví dụ 2: Giải phương trình: ( x  6) 4  ( x  8) 4  16 Giải ( x  6) 4  ( x  8) 4  16. Đặt: x – 7 = y, phương trình chở thành: ( y  1) 4  ( y  1) 4  16  y4  6y2  7  0. Đặt: y 2  z  0 ta có: z 2  6z  7  0  ( z  1)( z  7)  0.  Nếu z  1  0  z  1 thoả mãn điều kiện z  0 . z  7  0  z  7 (loại). Với z = 1 ta có y  1 * y 1 x  7 1 x  8 * y  1  x  7  1  x  6 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 6, x = 8 Ví dụ 3: Giải phương trình: ( x 2  3x  4) 3  (2 x 2  5 x  3) 3  (3x 2  2 x  1) 3 Giải Đặt u  x 2  3x  4 v  2 x 2  5x  3 u  v  3x 2  2 x  1 10 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Phương trình có dạng: u 3  v 3  (u  v) 3  u 3  v 3  (u  v) 3  0  u 3  v 3  (u 3  3u 2 v  3uv 2  v 3 )  0  3u 2 v  3uv 2  0  3uv(u  v)  0  u  0 hoặc v  0 hoặc u  v  0.  x 2  3 x  4  0 hoặc 2 x 2  5 x  3  0 hoặc 3 x 2  2 x  1  0. + x 2  3x  4  0  ( x  1)( x  4)  0  x  1 hoặc x  4. + 2 x 2  5x  3  0  (2 x  3)( x  1)  0  x . 3 hoặc x = 1 2. + 3x 2  2 x  1  0  (3 x  1)( x  1)  0  x  . 1 3. hoặc x = 1 1 3. 3 2. Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x  1; x   ; x  ; x  4 Ví dụ 4: Giải phương trình: ( x  1) 3  ( x  2) 3  (2 x  1) 3 Giải ( x  1) 3  ( x  2) 3  (2 x  1) 3. Đặt: x + 1 = y; x – 2 = z; 1 – 2x = t Thì y + z + t = 0; z + t = - y Do đó: (y + z + t)3 = 0  y 3  ( z  t ) 3  3 y 2 ( z  t )  3 y( z  t ) 2  0  y 3  ( z  t ) 3  3 y ( z  t )( y  z  t )  0  y 3  z 3  t 3  3 z 2 t  3 zt 2  0  y 3  z 3  t 3  3 zt ( z  t )  0  y 3  z 3  t 3  3 yzt. Vậy yzt = 0  ( x  1)( x  2)(1  2 x)  0 * x  1  0  x  1 * x20 x  2 11 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> * 1  2x  0  x . 1 2. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x  1; x  2; x . 1 3. 3. Các phương pháp khác Ví dụ 1: Giải phương trình:. 1 1 1 1 1  2  2  2  x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 8 2. Giải x 2  5 x  6  ( x  2)( x  3) x 2  7 x  12  ( x  3)( x  4) x 2  9 x  20  ( x  4)( x  5) x 2  11x  30  ( x  5)( x  6). ĐKXĐ: x  6, x  5, x  4, x  3, x  2 Phương trình được biến đổi về dạng: 1 1 1 1 1     ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  4) ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1          x2 x3 x3 x4 x4 x5 x5 x6 8 1 1 1    x2 x6 8.  x 2  8 x  20  0  ( x  10)( x  2)  0. * x  10  0  x  10 (Thoả mãn ĐKXĐ) * x  2  0  x  2 (Thoả mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 2, x = - 10 Ví dụ 2: Giải phương trình x 2  99 x  1 x 2  99 x  2 x 2  99 x  3 x 2  99 x  4 x 2  99 x  5 x 2  99 x  6      99 98 97 96 95 94. Giải Cộng vào hai vế của phương trình (- 3), ta có. 12 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> x 2  99 x  1 x 2  99 x  2 x 2  99 x  3  1)  (  1)  (  1) 99 98 97 x 2  99 x  4 x 2  99 x  5 x 2  99 x  6 (  1)  (  1)   1) 96 95 94 x 2  99 x  100 x 2  99 x  100 x 2  99 x  100    99 98 97 2 2 2 x  99 x  100 x  99 x  100 x  99 x  100    96 95 94 1 1 1 1 1 1  ( x 2  99 x  100)(      )0 99 98 97 96 95 94. (. Vì:. 1 1 1 1 1 1       0 do đó: 99 98 97 96 95 94. x 2  99 x  100  0  ( x  1)( x  100)  0 * x 1  0  x  1 * x  100  0  x  100. Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = - 100 Bài tập Giải các phương trình Bài 1: a) x 4  x 2  6 x  8  0 b) ( x 2  1) 2  4(2 x  1) c) ( x  1) 3  (2 x  3) 3  27 x 3  8 Bài 2: a) ( x 2  5 x) 2  2( x 2  5 x)  24 b) ( x 2  x  2)( x 2  x  3)  12 c) ( x 2  x  1) 2  3( x 4  x 2  1) Bài 3: a) x( x  1)( x  1)( x  2)  24 b) ( x  4)( x  5)( x  6)( x  7)  1680 c) (12 x  7) 2 (3x  2)(2 x  1)  3 d) (2 x  1)( x  1) 2 (2 x  3)  18 Bài 4: a) ( x 2  6 x  9) 2  15( x 2  6 x  10)  1 b) ( x 2  1) 2  3x( x 2  1)  2 x 2  0 c) ( x 2  9) 2  12 x  1 13 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Bài 5: a) ( x  1) 4  ( x  3) 4  82 b) ( x  1) 4  ( x  2) 4  1 c) ( x  2,5) 4  ( x  1,5) 4  1 Bài 6: a) ( x  1) 3  ( x  2) 3  (2 x  1) 3 b) ( x  7) 4  ( x  8) 4  (15  2 x) 4 Bài 7: a) x 4  3x 3  4 x 2  3x  1  0 b) 6 x 4  5 x 3  38 x 2  5 x  6  0 c) x 5  2 x 4  3x 3  3x 2  2 x  1  0 d) 6 x 4  7 x 3  36 x 2  7 x  6  0. Chủ đề 3. BẤT ĐẲNG THỨC. I. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa: a nhỏ hơn b, ký kiệu a  b , nếu a  b  0 a lớn hơn b, ký hiệu a  b, nếu a  b  0 a nhỏ hơn hoặc bằng b, ký hiệu a  b , nếu a  b  0 14 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> a lớn hơn hoặc bằng b, ký hiệu a  b, nếu a  b  0 2. Tính chất 1. a  b  b  a 2. a  b, b  c  a  c 3. a  b  a  c  b  c a  b  ac  bc ac  b  a  bc. 4. a  c, b  d  a  b  c  d a  b, c  d  a  c  b  d. 5. a  b, c  0  ac  bc a  b, c  0  ac  bc. 6. a  b  0, c  d  0  ac  bd 7. a  b  0  a n  b n a  b  a n  bn. với n lẻ. a  b  a n  b n với n chẵn. 3. Một số bất đẳng thức thông dụng a. Bất đẳng thức Cô si Nếu a, b là các số không âm thì. ab  ab . Dấu bằng xảy ra khi a = b 2. b. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối a  b  ab .. Dấu bằng xảy ra khi a.b ≥ 0. II. Một số phương pháp cơ bản -. Sử dụng định nghĩa. -. Sử dụng các phép biến đổi tương đương. -. Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức.. III. Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc Giải a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc (1) 15 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  2(a 2  b 2  c 2 )  2(ab  ac  bc)  2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2ac  2bc  0  (a 2  2ab  b 2 )  (a 2  2ac  c 2 )  (b 2  2bc  c 2 )  0.  (a  b) 2  (a  c) 2  (b  c) 2  0 (2). Bất dẳng thức (2) là bất đẳng thức đúng. Mặt khác các phép biến đổi trên tương đương. Vây bất đẳng thức (1) là bất đẳng thức đúng xảy ra dấu bằng khi a = b = c Ví dụ 2: Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a + b = 2 chứng minh rằng a 4  b 4  a 3  b 3 Giải Từ a 4  b 4  a 3  b 3  2(a 4  b 4 )  (a 3  b 3 )(a  b)  2a 4  2b 4  a 4  a 3 b  ab 3  b 4  a 4  b 4  a 3 b  ab 3  0  a 3 ( a  b)  b 3 ( a  b)  0  (a  b)(a 3  b 3 )  0  (a  b) 2 (a 2  ab  b 2 )  0 b 3    ( a  b ) 2 ( a  ) 2  b 2   0 2 4  . Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1 Ví dụ 3: Chứng minh với mọi số thực a, b khác không ta luôn có bất đẳng thức sau: a2 b2 a b  2  4  3(  ) 2 b a b a. Giải (. a2 b2 a b  2  2)  2  3(  )  0 2 b a b a. a b a b a b  (  ) 2  2  2(  )  (  )  0 b a b a b a a b a b a b  (  )(   1)  2(   1)  0 b a b a b a a b a b  (   1)(   2)  0 b a b a 2 2 (a  b  ab)(a 2  b 2  2ab)  0 a 2b 2. 16 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> b 3    (a  ) 2  b 2  (a  b) 2  0 (*) 2 4  . Bất đẳng thức (*) đúng vậy bất đẳng thức ban đầu là đúng. Ví dụ 4: Cho a  b  c  1 chứng minh rằng a 2  b 2  c 2 . 1 3. Giải 1 3. 1 3. 1 3. Đặt a   x , b   y , c   z Do a  b  c  1 nên x  y  z  0 ta có: 1 1 1 a 2  b 2  c 2  (  x) 2  (  y ) 2  (  z ) 2 3 3 3. 1 2 1 2 1 2  x  x2   y  y2   z  z2 9 3 9 3 9 3 1 2   ( x  y  z)  x 2  y 2  z 2 3 3 1 1   x2  y2  z2  3 3 . Dấu bằng xảy ra  x  y  z  0 abc. 1 3. Ví dụ 5: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 4 Chứng minh rằng: x  y  xyz Giải Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: (. x y 2 )  xy 2.  ( x  y ) 2  4 xy. Ta có: ( x  y )  z 2  4( x  y ) z  4 2  4( x  y ) z. (nhân 2 vế với x+y).  16( x  y )  4( x  y ) 2 z. Mà ( x  y ) 2  4 xy  4( x  y ) 2 z  16 xyz. Nên 16( x  y )  16 xyz 17 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>  x  y  xyz. Bài tập: Bài tập 1: Cho a, b là hai số dương. Chứng minh: a) (a  b)(a 3  b 3 )  2(a 4  b 4 ) b) (a  b)(a 4  b 4 )  (a 2  b 2 )(a 3  b 3 ) Bài tập 2: a) Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1. Chứng minh rằng: (a  1)(b  1)(c  1)  8. b) Cho a, b là các số không âm. Chứng minh rằng: (a  1)(ab  1)  4ab.. Bài tập 3: Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a + b = 1 chứng minh: a) a 2  b 2 . 1 2. b) a 4  b 4 . 1 8. Bài tập 4: Cho a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh:. 1 1 1   9 a b c. Bài tập 5: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1. a b c   2 ab bc ac. Chủ đề 4. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC. I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Trong hình học có nhiều bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một đại lượng hình học nào đó như độ dài đoạn thẳng, chu vi, diện tích của một hình .... Các bài toán này được gọi là bài toán “cực trị hình học” 2. Đường lối chung để giải bài toán cực trị trong hình học. Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lượng cần tìm cực trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn yếu tố tương ứng của mọi hình khác. Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã được nói rõ trong đầu bài. 18 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Cách 2: Thay điều kiện của đại lượng cực trị bằng các điều kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến một điều kiện xác định được vị trí các đại lượng hình học để đạt được cực trị. Người ta thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: “Tìm một hình nào đó thoả mãn các điều kiện cực trị của bài toán”. II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. 19 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Dạng 1: Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc, quan hệ đường xiên và hình chiếu  Kiến thức cần nhớ. Ta có: A. AH  d , A  d , b  d C  d, H  d. a. AB  AH Dấu “=” xảy ra khi  B  H. d. b. AB  AC  BH  HC. B. H. C.  Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. M là điểm chuyển động trên cạnh BC. Vẽ MD  AB, ME  AC ( D  AB; E  AC ) Xác định vị trí của đểm M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất Giải Vẽ AH  BC ( H  BC ) H cố định và AH không đổi.    Tứ giác AEMD có A  E  D  90 o Nên AEMD là hình chữ nhật. A D. E.  DE  AM. Mà AM  AH Vậy DE nhỏ nhất  M  H. B. C. M. H. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Qua đỉnh A của tam giác hãy dựng đường thẳng d cắt BC sao cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến d có giá trị nhỏ nhất Giải: Gọi M là giao điểm của d và BC vẽ BH  d , CK  d ( H , K  d ). A. SMAB + SMAC = SABC H. BH . AM CK . AM   S ABC 2 2 2S BH  CK  ABC AM. B. M. C K. 20 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>