Bài giảng Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (178.08 KB, 20 trang )

(1)´ -A D . I HO . C HUÊ. - a.i ho.c Su. pha.m Tru.ò.ng D. ’ NG BÀI GIA ´T PHU.O.NG TRÌNH D -A LÝ THUYÊ . O HÀM RIÊNG ´N CÂ ´P 1 PHI TUYÊ (Dành cho ho.c viên Cao ho.c chuyên ngành Toán Gia’ i tı́ch). Biên soa.n:. ˜n Hoàng PGS.TS Nguyê - a.i ho.c Huê´ - ào ta.o, D Ban D. HUÊ´ - 2006. Typeset by AMS-TEX Lop12.net 1.

(2) 2. . -` ÂU LÒ I NÓI D Các nghiên cú.u d̄i.a phu.o.ng cu’a phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi xuâ´t hiê. n ` u mút d̄ô.ng. Nhiê `u tù. lâu, có lẽ tù. viê.c kha’o sát các bài toán biê´n phân vó.i d̄â phu.o.ng pháp cô’ d̄iê’n d̄u.o..c dùng d̄ê’ nghiên cú.u, chă’ ng ha.n phu.o.ng pháp tách ` n, lý thuyê´t d̄ă.c tru.ng Cauchy, biê´n, biê´n d̄ô’i Legendre, tı́ch phân toàn phâ ` ng da.ng v.v . . . d̄ã mang la.i nhiê ` u kê´t qua’ trong viê.c nghiên biê´n phân, d̄ô cú.u phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n câ´p 1, d̄ă.c biê. t là phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi. ` u bài toán vâ.t lý và ú.ng du.ng, nghiê. m cô’ d̄iê’n d̄i.a Tuy nhiên trong nhiê ` u thı́ch phu.o.ng cu’a phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi chu.a d̄áp ú.ng d̄u.o..c yêu câ ` y d̄u’ ho.n. ú.ng vı̀ ngu.ò.i ta muô´n nhâ.n d̄u.o..c thông tin tô’ng thê’, d̄â ` nghiê. m toàn cu.c cu’a phu.o.ng trı̀nh HamiltonCác nghiên cú.u hiê.n d̄a.i vê ` u vào nhũ.ng năm 1950-51 tù. các bài báo cu’a E. Hopf và Cole Jacobi bă´t d̄â ` phu.o.ng trı̀nh Burger. Tiê´p d̄ó, hàng loa.t công trı̀nh nghiên cú.u khác nhu. vê ` n d̄ây vó.i Crandall và cu’a Lax, Hop, Oleinik, Kruzhkov, Fleming . . . và gâ ` u nhà Lions, Subbotin, Ishii, . . . ra d̄ò.i, d̄ã thu hút su.. quan tâm cu’a nhiê . . . . . toán ho.c trên thê´ gió i. Các nghiên cú u càng tro’ nên thò i su. và bú.c thiê´t ` u ú.ng du.ng lý thuyê´t phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi trong các lı̃nh do nhu câ ` u khiê’n tô´i u.u, lý thuyê´t trò vu..c khác nhau cu’a toán ho.c nhu. lý thuyê´t d̄iê cho.i vi phân, lý thuyê´t sóng, . . . ` y d̄u’ các kê´t qua’ nghiên cú.u, song có thê’ nói Tuy chu.a có mô.t tô’ng kê´t d̄â ` m phu.o.ng trı̀nh Hamiltonlý thuyê´t phu.o.ng trı̀nh phi tuyê´n câ´p mô.t (bao gô Jacobi) cho d̄ê´n nay chu.a d̄u.o..c d̄e.p và hoàn thiê.n nhu. lý thuyê´t phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng tuyê´n tı́nh, có lẽ do ba’n châ´t phú.c ta.p và d̄a da.ng cu’a các bài toán phi tuyê´n. Cũng vı̀ ba’n châ´t phi tuyê´n cu’a các toán tu’. và dũ. kiê.n ` n ta.i d̄i.a phu.o.ng. Do tham gia trong phu.o.ng trı̀nh, nghiê. m cô’ d̄iê’n C 1 chı’ tô d̄ó, khi d̄u.a ra khái niê. m nghiê. m toàn cu.c cho phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi, ` n gia’m nhe. d̄ô. tro.n cu’a nghiê. m. Mô.t sô´ tác gia’ tiên viê.c tru.ó.c tiên là câ phong trong lı̃nh vu..c này d̄ã cho.n các hàm Lipschitz d̄i.a phu.o.ng làm ú.ng cu’. viên d̄ê’ d̄i.nh nghı̃a nghiê. m suy rô.ng. Theo d̄i.nh lý Rademacher, các hàm u ` u khă´p no.i trên miê ` n xác d̄i.nh, nhu. vâ.y chı’ câ ` n yêu câ `u nhu. vâ.y thı̀ kha’ vi hâ chúng tho’a mãn phu.o.ng trı̀nh ta.i nhũ.ng d̄iê’m chúng kha’ vi. Trong quãng ` u thành tu..u nô’i thò.i gian dài tù. năm 1950 d̄ê´n 1980, vó.i d̄i.nh nghı̃a này, nhiê. Lop12.net.

(3) 3. ` nghiên cú.u su.. tô ` n ta.i và duy nhâ´t cu’a nghiê. m suy rô.ng Lipschitz d̄ã bâ.t vê . . . d̄u o. c d̄óng góp bo’ i Oleinik, Hopf, Fleming, Kruzhkov, Lax, Benton, . . . Tù. năm 1983 tro’. d̄i, su.. xuâ´t hiê. n loa.t bài báo cu’a Crandall, Lions, Evans, ` y hiê. u qua’ trong viê.c nghiên Ishii . . . , d̄ã mo’. ra mô.t hu.ó.ng nghiên cú.u d̄â cú.u phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n. Thay vı̀ buô.c nghiê. m u tho’a ` u khă´p no.i, các tác gia’ này chı’ d̄òi ho’i nghiê. m là mô.t mãn phu.o.ng trı̀nh hâ hàm liên tu.c, tho’a mãn că.p bâ´t d̄ă’ ng thú.c vi phân thông qua các “hàm thu’.” - ó là khái niê. m d̄u’ tro.n hoă.c qua các khái niê. m vi phân du.ó.i, vi phân trên. D nghiê. m viscosity. Trong thò.i gian này, d̄ô.c lâ.p vó.i Crandall và Lions, xuâ´t ` u khiê’n tô´i u.u và trò cho.i vi phân, A.I. Subbotin d̄u.a phát tù. lý thuyê´t d̄iê ra khái niê.m nghiê. m minimax và chú.ng minh ră` ng, d̄ô´i vó.i mô.t sô´ ló.p bài ` n ta.i và trùng vó.i nghiê. m viscosity. toán nghiê. m minimax tô ` Trong chu.o.ng trı̀nh Cao ho.c chuyên ngành Toán Gia’i tı´ch, chuyên d̄ê này là mô.t nô.i dung quan tro.ng, giúp ho.c viên tiê´p câ.n vó.i lý thuyê´t hiê.n d̄a.i cu’a lý thuyê´t phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n. Nhũ.ng phu.o.ng pháp ` i, Gia’i tı´ch phi tuyê´n d̄u.o..c su’. du.ng thu.ò.ng xuyên giúp cho cu’a Gia’i tı´ch lô ngu.ò.i ho.c còn có thê’ tı̀m hiê’u các chuyên ngành khác tu.o.ng d̄ô´i thuâ. n tiê. n. ` u tài liê.u, sách Tâ.p bài gia’ng này d̄u.o..c soa.n trên co. so’. tô’ng ho..p nhiê ` chu’ d̄ê ` lý thuyê´t toàn cu.c cu’a phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi. Ngu.ò.i báo vê ` co. ba’n, tinh gia’n nhu.ng thiê´t thu..c d̄ê’ cho ai biên soa.n cho.n nhũ.ng vâ´n d̄ê quan tâm có thê’ tiê´p câ.n ngay các bài toán mo’. và nă´m d̄u.o..c phu.o.ng pháp, ` u có thê’ tı̀m ra kê´t qua’ mó.i. Dù soa.n công cu. d̄ê’ bă´t tay vào nghiên cú.u hâ ` khó nên ngu.ò.i ho.c pha’i dày ` u cô´ gă´ng nhu.ng d̄ây là nhũ.ng vâ´n d̄ê gia’ có nhiê ` gia’i tı´ch công suy nghı̃, ôn tâ.p, vâ.n du.ng thành tha.o các nhũ.ng kiê´n thú.c vê . . . ` y d̄u’ nô.i dung cu’a chuyên d̄ê ` này. d̄u o. c ho.c o’ bâ.c d̄a.i ho.c d̄ê’ lı̃nh hô.i d̄â ` m 4 chu.o.ng. Chu.o.ng I trı̀nh bày Nô.i dung tâ.p bài gia’ng này bao gô ` phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi, chu’ tóm tă´t mô.t sô´ kiê´n thú.c cô’ d̄iê’n vê ` viê.c kha’o sát nghiê. m d̄i.a phu.o.ng. yê´u là phu.o.ng pháp d̄ă.c tru.ng Cauchy vê Các chu.o.ng sau nghiên cú.u các loa.i nghiê. m suy rô.ng, theo thú. tu.. là nghiê. m Lipschitz, nghiê.m viscosity và nghiê.m minimax. ` thò.i su.. cu’a lý thuyê´t phu.o.ng ` nêu trên hiê.n là nhũ.ng vâ´n d̄ê Các vâ´n d̄ê ` u nhà toán ho.c trong và ngoài trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n, d̄ang d̄u.o..c nhiê nu.ó.c quan tâm nghiên cú.u. Cũng nói thêm ră` ng, trong các tài liê.u, sách báo chı´nh thô´ng hiê.n nay ngu.ò.i ta có xu hu.ó.ng go.i phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n câ´p 1 tô’ng. Lop12.net.

(4) 4. ` truyê ` n thô´ng, phu.o.ng trı̀nh quát là phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi mă.c dù vê Hamilton-Jacobi chı’ là mô.t da.ng d̄ă.c biê.t trong d̄ó biê´n thò.i gian d̄u.o..c tách riêng d̄ê’ d̄u.o..c xem là mô.t phu.o.ng trı̀nh tiê´n hóa. Vı̀ vâ.y khi d̄o.c tâ.p bài ` n chú ý d̄ê´n gia’ng này cũng nhu. các tài liê. u, bài báo liên quan ho.c viên câ các da.ng phu.o.ng trı̀nh trong nhũ.ng tru.ò.ng ho..p cu. thê’. Khi biên soa.n tâ.p bài gia’ng này, chúng tôi d̄ã dành thò.i gian thı´ch d̄áng d̄ê’ hoàn chı’ nh nhu.ng chă´c khó tránh kho’i nhũ.ng thiê´u sót. Râ´t mong nhâ.n d̄u.o..c nhũ.ng su.. phê bı̀nh, góp ý d̄ê’ tâ.p bài gia’ng này ngày càng tô´t ho.n.. Lop12.net.

(5) 5. `u Mo’. d̄â Phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng là mô.t phu.o.ng trı̀nh vi phân (phu.o.ng trı̀nh có chú.a các d̄a.o hàm hoă.c vi phân) trong d̄ó â’n hàm là hàm sô´ theo 2 biê´n tro’. lên. ` n chú.a trong Rn , n ≥ 2, x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D, α = Gia’ su’. D là mô.t miê (i1 , . . . , in ) ∈ Nn là d̄a chı’ sô´ không âm, |α| = i1 + · · · + in go.i là câ´p cu’a d̄a chı’ sô´ α. Cho F là mô.t hàm thu..c xác d̄i.nh trên D × Rk1 × . . . × Rkn có da.ng F = F (x1 , . . . , xn , pki1 ,...,in , . . . ), trong d̄ó x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D, |α| = i1 + · · · + in = k, k = 0, . . . , m, và gia’ ` n ta.i mô.t d̄a.o hàm riêng câ´p m cu’a F khác không: su’. tô ∂F ∂pki1 ,...,in. 6= 0, |α| = i1 + . . . in = m.. Phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng có da.ng F = F (x1 , . . . , xn ,. ∂k u ,...) = 0 ∂xi11 . . . ∂xinn. (0.1). x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D, i1 + · · · + in = k, k = 0, . . . , m, d̄u.o..c go.i là phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng câ´p m ú.ng vó.i â’n hàm u = u(x) = u(x1 , . . . , xn ). Ta còn viê´t (0.1) du.ó.i da.ng F (x, u(x), Du(x), . . . , D α u(x)) = 0, |α| ≤ m. (0.1’). ` n D là mô.t hàm u = u(x) Nghiê. m cô’ d̄iê’n cu’a phu.o.ng trı̀nh (0.1) trên miê xác d̄i.nh, kha’ vi liên tu.c trên D và nghiê. m d̄úng phu.o.ng trı̀nh (0.1) vó.i mo.i x ∈ D. Nê´u F là mô.t hàm tuyê´n tı´nh d̄ô´i vó.i â’n hàm và tâ´t ca’ các d̄a.o hàm có mă.t thı̀ phu.o.ng trı̀nh (0.1) d̄u.o..c go.i là phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng tuyê´n tı´nh. Trái la.i, ta go.i nó là phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n. Da.ng tô’ng quát cu’a phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng tuyê´n tı´nh câ´p m là X aα (x)D α u(x) = f (x), (0.2) |α|≤m. Lop12.net.

(6) 6. ` u kiê.n là tô ` n ta.i d̄a chı’ sô´ α0 sao cho |α0 | = m và aα0 (x) 6≡ 0 trên D, vó.i d̄iê trong d̄ó aα (x), f (x) là các hàm cho tru.ó.c, D α u(x) là ký hiê.u tâ.p các d̄a.o ` n nhâ´t nê´u hàm riêng câ´p α cu’a hàm u. Phu.o.ng trı̀nh (0.2) d̄u..oc go.i là thuâ f ≡ 0 trên D. Nê´u F là mô.t hàm tuyê´n tı´nh theo biê´n là d̄a.o hàm câ´p cao nhâ´t cu’a â’n hàm có mă.t trong (0.1) thı̀ phu.o.ng trı̀nh này d̄u.o..c go.i là phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng tu..a tuyê´n tı´nh. ` n D vó.i biên là ∂D. Bài Cho phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng (0.1) trong miê toán tı̀m nghiê. m u = u(x) cu’a phu.o.ng trı̀nh (0.1) sao cho u|∂D = f vó.i f là mô.t hàm cho tru.ó.c, d̄u.o..c go.i là mô.t bài toán biên. Nê´u D = (a, b)×Rn−1 thı̀ ` u kiê.n u|{0}×Rn−1 = f bài toán tı̀m nghiê. m u = u(x) cu’a (0.1) tho’a mãn d̄iê ` u cu’a phu.o.ng d̄u.o..c go.i là bài toán Cauchy hay là bài toán vó.i dũ. kiê.n ban d̄â trı̀nh (0.1). ` n chuyên d̄ê ` này, ta sẽ nghiên cú.u lý thuyê´t toàn cu.c cu’a Trong phâ phu.o.ng trı̀nh phi tuyê´n câ´p 1, cu. thê’ là phu.o.ng trı̀nh da.ng F (x, u, ∇u) = 0, x ∈ D ⊂ Rn hay bài toán Cauchy cho phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi da.ng ∂u + H(t, x, ∇x u) = 0 , (t, x) ∈ Ω = (0, T ) × Rn , ∂t u(0, x) = σ(x) , x ∈ Rn .. Lop12.net.

(7) 7 . . CHU O NG I. Nghiê.m d̄i.a phu.o.ng và lý thuyê´t d̄ă.c tru.ng Cauchy. ` vê ` lý thuyê´t cô’ d̄iê’n §1. Mô.t sô´ vâ´n d̄ê 1.1 Các phu.o.ng trı̀nh hoàn chı’ nh và tı́ch phân tru..c tiê´p Trong thu..c tê´ khi gă.p mô.t phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng, ta nên quan sát xem thu’. có thê’ gia’i bă` ng nhũ.ng phu.o.ng pháp d̄o.n gia’n hay không tru.ó.c khi nghiên cú.u da.ng tô’ng quát cu’a nó. Trong mô.t sô´ tru.ò.ng ho..p riêng, khi ` viê.c tı´nh phu.o.ng trı̀nh thuô.c da.ng suy biê´n, viê.c gia’i chúng có thê’ quy vê - iê ` u nhâ.n xét này giúp ta tiê´t kiê.m sú.c lao d̄ô.ng khi nghiên các tı´ch phân. D cú.u nhũ.ng bài toán cu. thê’. Ta xét phu.o.ng trı̀nh sau: ut + H(t, x) = 0, (t, x) ∈ R2. (1.1). ` u kiê.n ban d̄â `u cùng vó.i d̄iê u(0, x) = f (x), x ∈ R. (1.2). Rõ ràng lúc này bài toán Cauchy có nghiê. m duy nhâ´t là Z t H(τ, x)dτ. u(t, x) = f (x) − 0. Mô.t tru.ò.ng ho..p khác có thê’ gia’i d̄u.o..c bă` ng tı´ch phân tru..c tiê´p d̄ó là phu.o.ng trı̀nh hoàn chı’ nh mă.c dù d̄ó là khái niê.m thu.ò.ng d̄u.o..c dùng cho phu.o.ng trı̀nh vi phân thu.ò.ng. Ta xét phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng câ´p 1 tu..a tuyê´n tı´nh nhu. sau M (x, y, u)ux = N (x, y, u)uy ,. Lop12.net. (x, y) ∈ R2. (1.3).

(8) 8. `u trong d̄ó M, N là các hàm kha’ vi liên tu.c theo các biê´n và tho’a mãn d̄iê . kiê.n khó p: (1.4) Mx = Ny Trong tru.ò.ng ho..p này, nghiê. m u = u(x, y) cu’a phu.o.ng trı̀nh có thê’ tı̀m d̄u.o..c - ê’ xác d̄i.nh tı´ch du.ó.i da.ng â’n Φ(x, y, u) = 0, trong d̄ó M = Φy , N = Φx . D phân tô’ng quát Φ, ta lâ´y tı´ch phân theo y cu’a hàm M (x, y, u) : Z Φ(x, y, u) = M (x, y, u)dy + g(x, u). Vı̀ Φx = N nên lâ´y d̄a.o hàm 2 vê´ d̄ă’ ng thú.c trên, ta có Z Mx (x, y, u)dy + gx (x, u) = N. R Gia’i ra d̄u.o..c gx (x, u) và tù. d̄ó g(x, u) = gx (x, u)dx + h(u). Nhu. thê´ Z Z (1.5) Φ(x, y, u) = M (x, y, u)dy + gx (x, u)dx + h(u) trong d̄ó h là mô.t hàm tùy ý. Khi Φu 6= 0, ta tı̀m d̄u.o..c hàm u = u(x, y) tu.ò.ng minh theo d̄i.nh lý hàm â’n. Vı́ du.. Xét phu.o.ng trı̀nh xut = tux ,. (t, x) ∈ R2 .. - ă.t M (t, x, u) = x, N (t, x, u) = tu, khi d̄ó ta có Mt = Nx = 0. Hàm D Φ(t, x, u) pha’i tı̀m cho bo’.i công thú.c sau: Z 1 Φ = xdx + g(t, u) = x2 + g(t, u). 2 - ê’ tı̀m hàm g ta dùng hê. thú.c gt (t, u) = tu nên tù. d̄ó g(t, u) = D t2 u) + h(u), trong d̄ó h là mô.t hàm kha’ vi tùy ý theo biê´n u. Chă’ ng cho.n hàm 1 h(u) = (a2 u + b2 ), trong d̄ó a, b là hă` ng sô´ 2. Lop12.net. 1 2 (x + 2 ha.n, ta.

(9) 9. thı̀ u(t, x) = −. x2 + b2 . t2 + a2. ` Tu.o.ng tu.. tru.ò.ng ho..p phu.o.ng trı̀nh vi phân thu.ò.ng, d̄ôi lúc d̄ê’ d̄u.a vê mô.t phu.o.ng trı̀nh hoàn chı’ nh, ta pha’i tı̀m mô.t thù.a sô´ tı´ch phân tú.c là tı̀m mô.t hàm µ(x, y) sao cho (µM )x = (µN )y , chă’ ng ha.n nê´u (Ny − Mx )/M không phu. thuô. c y thı̀ Z µ(x) = exp ((Ny − Mx )/M )dx là mô.t thù.a sô´ tı´ch phân. 1.2 Phu.o.ng pháp tách biê´n ` u phu.o.ng Phu.o.ng pháp này khá d̄o.n gia’n và có thê’ áp du.ng cho nhiê trı̀nh d̄a.o hàm riêng thu.ò.ng gă.p trong các bài toán vâ.t lý. Tuy nhiên kha’ năng su’. du.ng trong tru.ò.ng ho..p tô’ng quát la.i ha.n chê´. Ý tu.o’.ng chı´nh cu’a phu.o.ng pháp tách biê´n là chuyê’n phu.o.ng trı̀nh d̄a.o ` nhũ.ng phu.o.ng trı̀nh vó.i các â’n hàm theo sô´ biê´n ´t ı ho.n. hàm riêng d̄ã cho vê Nói cách khác, ta cô´ gă´ng tı̀m nghiê. m cu’a phu.o.ng trı̀nh d̄ã cho du.ó.i da.ng ı ho.n và rò.i nhau. Sau khi tô’ng hoă.c tı´ch mô.t sô´ các hàm sô´ có sô´ biê´n ´t thay nghiê. m này vào phu.o.ng trı̀nh d̄ã cho ta thu d̄u.o..c các phu.o.ng trı̀nh có â’n là các hàm có sô´ biê´n ´t ı ho.n nên có thê’ dê˜ gia’i ho.n. Ta xét mô.t tru.ò.ng ho..p sau d̄ây: Xét phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng da.ng F (t, x, u, ut , ux ) = 0, (t, x) ∈ D ⊂ R2 . Ta mong ră` ng nghiê. m u = u(t, x) có thê’ biê’u diê˜n du.ó.i da.ng u(t, x) = g(t)h(x). hay u(t, x) = g(t) + h(x),. ` u kiê.n biên) ta xác d̄i.nh Khi d̄ó thay vào phu.o.ng trı̀nh (có thê’ thêm các d̄iê . . . . . d̄u o. c các hàm g, h nhò các phu o ng trı̀nh vi phân thu.ò.ng, tù. d̄ó tı̀m d̄u.o..c hàm u = u(t, x).. Lop12.net.

(10) 10. Vı́ du. 1. Gia’i bài toán Cauchy cho phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi sau: ut + u2x = 0, (t, x) ∈ R2 u(0, x) = x2 , x ∈ R. Ta hãy tı̀m nghiê. m cu’a bài toán trên du.ó.i da.ng u(t, x) = g(t)h(x). Thay hàm sô´ này vào phu.o.ng trı̀nh ta có g 0 h + (gh0 )2 = 0. Suy ra g0 h0 2 =− = c = const. g2 h Các phu.o.ng trı̀nh này cho ta a , 1 − act vó.i a, b, c là các hă` ng sô´. Nhu. vâ.y g(t) =. u(t, x) = −. 1 h(x) = − c(x − b)2 4. ca(x − b)2 α (x − b)2 =− . 4(1 − act) 4 1 − αt. α - ê’ ý d̄ê´n d̄iê ` u kiê.n d̄â ` u u(0, x) = x2 ta có x2 = − (x − b)2 , ta cho.n b = 0 và D 4 α = −4, khi â´y 1 x2 , t 6= − u(t, x) = 1 + 4t 4 là nghiê. m cu’a bài toán trên. Vı́ du. 2. Xét phu.o.ng trı̀nh dao d̄ô.ng cu’a dây utt = uxx ,. (t, x) ∈ (a, b) × R,. u(a, t) = u(b, t) = 0. Ta tı̀m nghiê. m du.ó.i da.ng u(t, x) = v(t)w(x). Khi d̄ó utt = v 00 (t)w(x), uxx = v(t)w00 (x).. Lop12.net.

(11) 11. Tù. d̄ó v 00 (t)w(x) = v(t)w00 (x) hay ww00 (x) v 00 (t) = = a = const. v(t) w(x) Nhu. thê´ v và w là các nghiê. m cu’a phu.o.ng trı̀nh y 00 = λy. ` u kiê.n biên, ta nhâ.n d̄u.o..c Gia’i các phu.o.ng trı̀nh này, kê´t ho..p vó.i các d̄iê nghiê. m cu’a bài toán. §2. Khái niê.m d̄ă.c tru.ng và mă.t tı́ch phân. 2.1 Các tı́nh châ´t hı̀nh ho.c cu’a nghiê.m. ` n trong không gian Rn và B là mô.t d̄a ta.p n − 1 Ký hiê.u D là mô.t miê ` u chú.a trong D, u = u(x1 , . . . , xn ) là mô.t hàm n biê´n và ux = ∇u = chiê (ux1 , . . . , uxn ) là gradient cu’a u, còn F là mô.t hàm xác d̄i.nh trên không gian R2n+1 . Ta xét bài toán biên cu’a phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n câ´p 1 sau d̄ây: F (x, u, ∇u) = 0, x ∈ D (2.1) u|B = f. (2.2). f là mô.t hàm xác d̄i.nh trên d̄a ta.p B. Lý thuyê´t d̄ă.c tru.ng cô’ d̄iê’n Cauchy cu’a bài toán d̄a.o hàm riêng phi ` viê.c gia’i mô.t hê. phu.o.ng trı̀nh vi tuyê´n câ´p 1 là quy viê.c gia’i bài toán này vê phân thu.ò.ng. Ta hãy thô´ng nhâ´t mô.t sô´ khái niê. m và kha’o sát vài tı́nh châ´t hı̀nh ho.c cu’a nghiê. m cu’a bài toán (2.1) - (2.2). Gia’ su’. u là mô.t nghiê. m cu’a bài toán (2.1)-(2.2). Ta ký hiê.u S = {(x, z, p) ∈ R2n+1 | x ∈ D, z = u(x), p = ux (x)} và go.i nó là mô.t d̄a ta.p da’i (strip manifold). Nói cách khác, S không nhũ.ng ` ng thò.i còn xác d̄i.nh ca’ các siêu xác d̄i.nh mô.t mă.t cong J : z = u(x) mà d̄ô phă’ ng tiê´p xúc vó.i J ta.i mô˜i d̄iê’m cu’a nó nũ.a.. Lop12.net.

(12) 12. - `ô thi. J = {(x, z) ∈ Rn+1 | z = u(x)} cu’a hàm u(x) chı́nh là hı̀nh D chiê´u cu’a S lên Rn+1 , còn go.i là mă.t tı́ch phân (integral surface). Ta ký hiê. u J0 = {(x, z) ∈ Rn+1 | x ∈ B, z = f (x)}, S0 = {(x, z, p) ∈ R2n+1 | (x, z) ∈ J0 , p = ux (x)} ` u và da’i ban d̄â ` u. ` n lu.o..t go.i là mă.t ban d̄â và lâ ` n tham gia: miê ` n xác d̄i.nh, Ta thâ´y trong d̄a ta.p da’i có ba thành phâ ` thi. cu’a nghiê. m u(x) cu’a bài toán ` thi. và các siêu phă’ ng tiê´p xúc vó.i d̄ô d̄ô (2.1) - (2.2). Mô.t ánh xa. liên tu.c [a, b] 3 s → (X(s), U (s), P (s)) ∈ S d̄u.o..c go.i là mô.t da’i d̄ă.c tru.ng (characteristic strip). Chiê´u cu’a da’i d̄ă.c tru.ng lên J go.i là d̄u.ò.ng cong d̄ă.c tru.ng, còn s → X(s) sẽ go.i là d̄ă.c tru.ng co. so’.. Ta ` u ho.n vó.i d̄ă.c tru.ng co. so’. và nhiê ` u tài liê. u cũng go.i nó thu.ò.ng làm viê.c nhiê . . . là d̄u ò ng d̄ă.c tru ng. `u Gia’ su’. u = u(x) là mô.t nghiê. m cu’a bài toán (2.1)-(2.2). Tù. mă.t ban d̄â - ê’ ý ră` ng, mă.t tı´ch phân J là mô.t d̄a ` u nhu. sau. D ta sẽ xác d̄i.nh da’i ban d̄â ` u trong không gian Rn+1 , bây giò. ta tham sô´ hoá mă.t tı́ch phân ta.p n−chiê J bă` ng ánh xa. D 3 x → (x, u(x)) ∈ J ⊂ Rn+1 . Nhu. vâ.y mô.t co. so’. cu’a không gian tiê´p xúc vó.i J ta.i (x, u(x)) là các vecto. cô.t cu’a ma trâ.n (n + 1) × n.     . 1 0 .. .. 0 1 .. .. ... ... .. .. 0 0 .. .. ux1. ux2. .... uxn.     . và mô.t pháp vecto. ta.i (x, u(x)) ∈ J là (ux (x), −1). Do d̄ó nê´u (x, z, p) ∈ S0 thı̀ siêu phă’ ng xác d̄i.nh bo’.i phu.o.ng trı̀nh (theo biê´n (ξ, ζ)) (p, −1)(ξ − x, ζ − z) = 0 ` u J0 ta.i d̄iê’m (x, f (x)). tiê´p xúc vó.i mă.t ban d̄â. Lop12.net. (2.3).

(13) 13. Tiê´p theo, gia’ su’. g là hê. toa. d̄ô. d̄i.a phu.o.ng cu’a B (g : B → O là mô.t phép vi phôi d̄i.a phu.o.ng), khi d̄ó ánh xa. h = g −1 : Rn−1 ⊃ O → D kha’ vi và ma trâ.n . Dh(r) =. ∂h1 ∂r1. ... .. . .... ∂h  =  ... ∂r. ∂hn ∂r1. ∂h1 ∂rn−1. .. . ∂hn ∂rn−1.   . có ha.ng là n − 1. Các vecto. cô.t lâ.p nên co. so’. cu’a không gian tiê´p xúc vó.i B ta.i x = h(r) nên (p, −1)(. ∂h ∂f , ) = 0, i = 1, . . . , n − 1. ∂ri ∂ri. Nhu. vâ.y nê´u ϕ = f ◦ h thı̀ theo công thú.c d̄a.o hàm cu’a hàm ho..p ta có ϕr = phr ,. (2.4). F (h(r), ϕ(r), p) = 0.. (2.5). Các phu.o.ng trı̀nh (2.4), (2.5) (vó.i â’n sô´ p) cho ta xác d̄i.nh S0 tù. J0 . ` u tu.o.ng ú.ng Nê´u ký hiê.u ρ(r) là mô.t nghiê. m cu’a hê. trên thı̀ ta có da’i ban d̄â là S0 = (h(r), ϕ(r), ρ(r)). Nê´u ta.i x0 = h(r0 ) ta có . ∂h1 ∂r1.  det J = det  .... ∂hn ∂r1. ... .. . .... ∂h1 ∂rn−1. .. . ∂hn ∂rn−1. ∂F ∂p1. . ..  = 0 . . (2.6). ∂F ∂pn. thı̀ B d̄u.o..c go.i là d̄ă.c tru.ng ta.i x0 . - iê ` u này tu.o.ng d̄u.o.ng vó.i vecto. Fp (h(r), ϕ(r), ρ(r)) thuô.c siêu phă’ ng D tiê´p xúc vó.i B ta.i x0 . Nê´u B không pha’i d̄ă.c tru.ng ta.i x = h(r) thı̀ B d̄u.o..c go.i là tu.. do hay không d̄ă.c tru.ng ta.i d̄iê’m d̄ó. Nê´u B tu.. do ta.i mo.i d̄iê’m thı̀ bài toán go.i là bài toán giá tri. biên không d̄ă.c tru.ng.. Lop12.net.

(14) 14. Gia’ su’. B d̄u.o..c cho bo’.i phu.o.ng trı̀nh G(x) = 0 vó.i ∇G(x) 6= 0. Dùng d̄i.nh lý hàm â’n, gia’ su’. ta gia’i d̄u..o.c xn = g(x1 , . . . , xn−1 ). Nhu. vâ.y mô.t pháp vecto. cu’a d̄a ta.p B ta.i x là n=(. ∂g ∂g ,..., , −1). ∂x1 ∂xn. Nê´u Fp thuô.c siêu phă’ ng tiê´p xúc vó.i B thı̀ Fp vuông góc vó.i n và ngu.o..c la.i. Nhu. vâ.y B d̄ă.c tru.ng khi và chı’ khi h∇G(h), Fp (h, ϕ, ρ)i = 0. Tù. d̄ó ta thâ´y ră` ng nê´u B tu.. do (tú.c là Fp không nă` m trong mă.t phă’ ng ` n vuông góc vó.i tiê´p xúc vó.i B) nên trong phân tı́ch vecto. Fp sẽ có thành phâ `u ` n này d̄u.o..c dùng d̄ê’ xác d̄i.nh mă.t tı́ch phân tù. mă.t ban d̄â B và thành phâ - iê ` u â´y J0 trong lân câ.n cu’a B vó.i mô.t sô´ gia’ thiê´t thı́ch ho..p vó.i dũ. kiê.n. D . . . . nghı̃a là ta có thê’ tı̀m d̄u o. c nghiê. m d̄i.a phu o ng xác d̄i.nh trong lân câ.n cu’a B. 2.2 Vı́ du.. - ê’ thâ´y d̄u.o..c vai trò cu’a các khái niê.m d̄ă.c tru.ng cũng nhu. minh ho.a D ` n tiê´p theo, ta xét vı́ du. d̄o.n cho lý thuyê´t d̄ă.c tru.ng Cauchy sẽ bàn o’. phâ gia’n sau d̄ây: Cho phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng tuyê´n tı´nh: ∂u ∂u + = 0, ∂t ∂x. (t, x) ∈ R2 .. (2.7). Trong mă.t phă’ ng (t, x) ta thâ´y ră` ng nghiê. m cu’a phu.o.ng trı̀nh vi phân thu.ò.ng dx = 1 dt là các d̄u.ò.ng thă’ ng x − t = const. Gia’ su’. u = u(t, x) là mô.t hàm kha’ vi tùy ý. Do.c theo d̄u.ò.ng thă’ ng x − t = const, ta có du ∂u ∂u dx ∂u ∂u = + = + . dt ∂t ∂x dt ∂t ∂x. Lop12.net.

(15) 15. Nhu. vâ.y, nê´u u(t, x) là nghiê. m cu’a phu.o.ng trı̀nh (2.7) thı̀ u(t, x) = const do.c theo d̄u.ò.ng thă’ ng â´y. Nhũ.ng d̄u.ò.ng thă’ ng khác nhau thı̀ ú.ng vó.i các hàm sô´ khác nhau nên u(t, x) = f (const) = f (x − t). Nê´u f là mô.t hàm kha’ vi tùy ý thı̀ u(t, x) = f (x − t) d̄úng là mô.t nghiê. m cu’a - ây là nghiê. m tô’ng quát (phu. thuô.c vào mô.t hàm sô´) phu.o.ng trı̀nh (2.7). D cu’a phu.o.ng trı̀nh (2.7). Bây giò. cho B là d̄u.ò.ng cong tro.n γ trong mă.t phă’ ng (t, x) sao cho γ chı’ că´t mô˜i d̄u.ò.ng thă’ ng x − t = const ta.i mô.t d̄iê’m duy nhâ´t. Gia’ su’. γ d̄u.o..c cho du.ó.i da.ng tham sô´. x = ξ(s), t = τ (s) và cho hàm sô´ ϕ(t, x) = ϕ(s) do.c theo d̄u.ò.ng cong γ. Tiê´p theo ta hãy tı̀m ` u kiê.n biên u|γ = ϕ. O’ . trên ta thâ´y nghiê. m cu’a phu.o.ng trı̀nh (2.7) thoa’ d̄iê u = f (x − t) là nghiê. m tô’ng quát cu’a phu.o.ng trı̀nh (2.7). Do u(t, x) là hă` ng trên d̄u.ò.ng thă’ ng x − t = const nên hàm này lâ´y giá tri. hă` ng â´y bă` ng ϕ(s) ta.i giao d̄iê’m cu’a γ vó.i x − t = const. Nê´u ξ(s), τ (s), ϕ(s) là các hàm d̄u’ tro.n và ξ 0 (s) − τ 0 (s) 6= 0 thı̀ nghiê. m tro.n cu’a bài toán pha’i tı̀m là u(t, x) = ϕ(s) = ϕ(x − t) . O’ d̄ây ta thâ´y các d̄u.ò.ng thă’ ng x − t = const là các d̄u.ò.ng mú.c cu’a nghiê. m u(t, x). Nói chung trong tru.ò.ng ho..p phu.o.ng trı̀nh phi tuyê´n thı̀ các d̄u.ò.ng da.ng này không là d̄u.ò.ng mú.c. Sau d̄ây ta gia’ su’. B = γ là mô.t d̄oa.n cu’a d̄u.ò.ng thă’ ng x − t = const, chă’ ng ha.n x − t = 0. Khi â´y muô´n bài toán có nghiê. m thı̀ hàm ϕ(s) không thê’ cho giá tri. tùy ý vı̀ mô.t mă.t u =const trên γ, mă.t khác u = ϕ(s) trên - iê ` u này không thê’ d̄u.o..c nê´u ϕ(s) không là hàm hă` ng trên γ. Ta thâ´y γ. D ` u γ không d̄ă.c tru.ng, còn tru.ò.ng ho..p sau thı̀ γ là d̄ă.c tru.ng tru.ò.ng ho..p d̄â cu’a bài toán ∂u ∂u + =0 . ∂t ∂x u|γ = ϕ(s). Lop12.net.

(16) 16. §3. Lý thuyê´t d̄ă.c tru.ng Cauchy ` n tiê´p theo, ta sẽ trı̀nh bày phu.o.ng pháp d̄ă.c tru.ng Cauchy Trong phâ d̄ê’ gia’i bài toán biên cu’a phu.o.ng trı̀nh d̄a.o hàm riêng phi tuyê´n câ´p 1: F (x, u, ∇u) = 0,. x ∈ D ⊂ Rn ,. (3.1). u|B = f (x). (3.2). `u trong d̄ó F = F (x, u, p) là hàm 2n + 1 biê´n, B là mô.t d̄a ta.p (n − 1)-chiê ` n D. chú.a trong miê ` bài Ý tu.o’.ng cu’a phu.o.ng pháp d̄ă.c tru.ng là quy bài toán (3.1)-(3.2) vê toán kha’o sát hê. phu.o.ng trı̀nh vi phân thu.ò.ng. Nhă` m mu.c d̄ı´ch này, ta xét hê. phu.o.ng trı̀nh vi phân thu.ò.ng sau  dX = Fp (X, U, P )    ds   dU (3.3) = P Fp (X, U, P )  ds     dP = −Fx (X, U, P ) − P Fu (X, U, P ) ds Gia’ su’. (X, U, P ) : [0, T ] → D × R × Rn là mô.t nghiê. m cu’a hê. phu.o.ng trı̀nh vi phân (3.3). Khi d̄ó d F (X, U, P ) = Fx (X, U, P )X 0 + Fu (X, U, P )U 0 + Fp (X, U, P )P 0 . ds = Fx Fp + Fu Fp P + Fp (−Fx − P Fu ) = 0. Nhu. vâ.y F (X, U, P ) = c = const do.c theo nghiê. m này. Nói cách khác ` u cu’a hê. phu.o.ng trı̀nh vi phân thu.ò.ng (3.3). F (X, U, P ) là mô.t tı́ch phân d̄â La.m du.ng ngôn ngũ., ta cũng nói ră` ng, F = const do.c theo “da’i d̄ă.c tru.ng” (X, U, P ). Nê´u F = 0 ta.i s = 0 thı̀ F = 0 do.c theo da’i này. Lúc d̄ó nê´u có hàm u(x) sao cho u(x) = U, ux = P thı̀ u(x) thoa’ mãn phu.o.ng trı̀nh (3.1) - ó là d̄iê `u và khi â´y (X, U, P ) d̄úng là da’i d̄ă.c tru.ng theo d̄i.nh nghı̃a o’. §2. D ` câ.p tiê´p theo sau d̄ây. ta sẽ d̄ê Lý thuyê´t d̄ă.c tru.ng chı’ cho phép tı̀m nghiê. m d̄i.a phu.o.ng nên d̄ê’ d̄o.n gia’n ta gia’ thiê´t B = h(O) vó.i O là tâ.p mo’. trong Rn−1 và h là phép vi phôi. Lop12.net.

(17) 17. - ă.t ϕ = f ◦ h, xét hê. phu.o.ng trı̀nh vi phân (3.3) vó.i d̄iê `u ló.p C 2 tù. O lên B. D `u kiê.n d̄â (X, U, P )(0) = (h(r), ϕ(r), ρ(r)), r ∈ O (3.4) trong d̄ó ρ(r) là nghiê. m cu’a hê. phu.o.ng trı̀nh (2.4)-(2.5). Theo gia’ thiê´t, F thuô.c ló.p C 2 nên vê´ pha’i cu’a hê. phu.o.ng trı̀nh vi phân (3.3) thuô.c ló.p C 1 . Do vâ.y bài toán Cauchy (3.3)-(3.4) có duy nhâ´t nghiê. m (X, U, P )(s, r) thuô.c ló.p C 1 trong lân câ.n cu’a s = 0. Vó.i mô˜i nghiê. m ρ(r) thuô. c ló.p C 1 cu’a hê. (2.4)-(2.5), nghiê. m (X, U, P ) sẽ thuô.c ló.p C 1 theo các - ê’ ý ră` ng, phu.o.ng trı̀nh (2.4): ϕr = phr là mô.t hê. phu.o.ng trı̀nh biê´n (s, r). D tuyê´n tı´nh n â’n (p1 , . . . , pn ), ma trâ.n cu’a nó là hr có ha.ng là n − 1 do h là ` ng phôi. Nhu. vâ.y, cú. vó.i mô˜i r, tâ.p nghiê. m cu’a nó lâ.p thành mô.t phép d̄ô ∂F ` u. Nê´u F thâ.t su.. phu. thuô. c vào ux nghı̃a là 6= 0 mo.i no.i d̄a ta.p 1-chiê ∂p thı̀ phu.o.ng trı̀nh (2.5): F (h(r), ϕ(r), p) = 0 ` u n − 1. Do d̄ó, hê. phu.o.ng trı̀nh có nghiê. m lâ.p thành không gian có sô´ chiê ` u nghiê. m hoă.c mô.t d̄a (2.4)-(2.5) vó.i mô˜i r có thê’ vô nghiê. m, mô.t hoă.c nhiê ` u. Nê´u hê. có 1 nghiê. m duy nhâ´t thı̀ theo d̄i.nh lý hàm â’n, ta.p nghiê. m 1-chiê ` u nghiê. m mà các nghiê. m nghiê. m ρ = ρ(r) sẽ thuô.c ló.p C 1 . Nê´u hê. có nhiê ρ(r) có thê’ chă´p ghép theo nhũ.ng hàm tro.n khác nhau, bài toán (3.1)-(3.2) ` u nghiê. m và nê´u hê. (2.4)-(2.5) vô nghiê. m thı̀ sẽ dâ˜n d̄ê´n bài có thê’ có nhiê toán (3.1)-(3.2) vô nghiê. m. Bây giò., gia’ su’. ră` ng ρ = ρ(r) là mô.t nghiê. m ló.p C 1 cu’a hê. phu.o.ng trı̀nh (2.4)-(2.5) và (X, U, P )(s, r) là mô.t nghiê. m tro.n duy nhâ´t cu’a bài toán (3.3)-(3.4) tu.o.ng ú.ng vó.i ρ. Gia’ su’. B tu.. do tú.c là d̄i.nh thú.c (2.6) det J 6= 0 thoa’ mãn ta.i mo.i - ê’ ý d̄i.nh thú.c này chı́nh là Jacobian cu’a ánh xa. d̄iê’m x = h(r) ∈ B. D ` n ta.i mô.t (r, s) → X(r, s) ta.i s = 0. Cho x ∈ D, theo d̄i.nh lý hàm ngu.o..c, tô lân câ.n cu’a (0, r) sao cho ánh xa. (s, r) → X(s, r) = x là mô.t phép vi phôi d̄i.a phu.o.ng. Do d̄ó ta d̄ă.t u(x) = U ◦ X −1 (x) = U (s, r) thı̀ khi d̄ó u(x) sẽ là mô.t nghiê. m thuô.c ló.p C 2 pha’i tı̀m.. Lop12.net. (3.5).

(18) 18. ` u nói trên ta có d̄i.nh lý sau: Tô’ng kê´t nhũ.ng d̄iê - .inh lý. Gia’ su’. F, f, và B kha’ vi liên tu.c 2 lâ ` n, B là tu.. do còn 3.1 D ρ là mô.t nghiê.m tro.n cu’ a (2.4)-(2.5). Khi â´y (3.5) là nghiê.m duy nhâ´t cu’ a ` n. (3.1)-(3.2) trong mô.t lân câ.n nào d̄ó cu’ a B. Ngoài ra u kha’ vi liên tu.c 2 lâ Chú.ng minh. Gia’ su’. (X, U, P )(s, r) là mô.t nghiê. m cu’a hê. (3.3)-(3.4). Khi d̄ó F (X(s, r), U (s, r), P (s, r)) = 0,. ∀s d̄u’ nho’ và r ∈ O.. - ă.t u(x) = U ◦ X −1 (x), ta có F (x, u(x), P (s, r)) = 0. Viê.c còn la.i là pha’i D chú.ng minh ux (x) = (P ◦ X −1 )(x) = P (s, r) thuô.c ló.p C 1 . Theo gia’ thiê´t cu’a d̄i.nh lý và các nô.i dung trı̀nh bày o’. trên ta thâ´y X −1 ` n ta.i d̄i.a phu.o.ng và u = U ◦ X −1 thuô.c ló.p C 1 . Vó.i mô˜i r0 cô´ d̄i.nh, F = tô ` u kiê.n (3.4) và (2.5), hă` ng sô´ này const do.c theo da’i (X, U, P )(s, r0 ). Do d̄iê bă` ng 0. Thâ.t vâ.y, theo cách d̄ă.t (3.5), ta có U (s, r) = u ◦ X(s, r) nên Ur = ux · Xr. và Us = ux · Xs .. - ă.t D W (s, r) = Ur − P Xr. `u (n − 1)- chiê. V (s, r) = Us − P Xs. `u 1- chiê. - ê’ ý tù. (3.3) ta có V (s, r) = 0. Ta câ ` n chú.ng minh W (s, r) = 0. Ta có D Ws = Ws − Vr = Urs − Ps Xr − P Xrs − Usr + Pr Xs + P Xsr = Pr Xs − Ps Xr = Fp Pr + (Fx + P FU )Xr Vó.i s d̄u’ nho’, ta có F (X(s, r), U (s, r), P (s, r)) = 0 nên Fr = 0 hay Fx Xr + Fu Ur + Fp Pr = 0. Suy ra Ws = −Fu (Ur − P Xr ) = −Fu W.. Lop12.net.

(19) 19. Ta có W (0, r) = ϕr − ρhr = 0 nên vó.i mô˜i r ∈ O, W (s, r) là mô.t nghiê. m cu’a phu.o.ng trı̀nh vi phân w0 (s) = −Fu w(s) w(0) = 0 - ây là bài toán Cauchy cu’a phu.o.ng trı̀nh vi phân tuyê´n tı´nh vó.i d̄iê ` u kiê.n D ` u bă` ng 0, nên có nghiê. m duy nhâ´t là 0. Do d̄ó W (s, r) = 0. Tóm la.i, ta có d̄â Ur = P Xr ,. Us = P Xs. và theo (3.5), Ur = ux Xr , Suy ra ta có. (. Us = ux Xs .. (P − ux )Xr. =0. (P − ux )Xs. =0. - ây là hê. n phu.o.ng trı̀nh (d̄a.i sô´) tuyê´n tı´nh vó.i n â’n là pi − uxi , ma D trâ.n cu’a hê. phu.o.ng trı̀nh này là (Xr , Xs ) không suy biê´n nên hê. có nghiê. m ` m thu.ò.ng bă` ng 0. Vâ.y P = ux . duy nhâ´t tâ - i.nh lý. Gia’ su’. u là mô.t nghiê.m thuô.c ló.p C 2 cu’ a bài toán (3.1)3.2 D (3.2) trong mô.t lân câ.n cu’ a B vó.i F, f, B cũng thuô.c ló.p C 2 và B là d̄a ta.p ` u tu.. do vó.i da’ i ban d̄â ` u d̄u.o..c xác d̄i.nh bo’.i ρ(r) = ux (h(r)). Khi â´y ban d̄â ` u kiê.n (3.3)-(3.4), nghiêm u này có biê’u diê˜n theo công thú.c (3.5), ı́t vó.i d̄iê nhâ´t là trong mô.t lân câ.n cu’ a B. Chú.ng minh. Gia’ su’. (X1 , U1 , P1 ) là mô.t nghiê. m cu’a bài toán (3.3)- ă.t u1 (x) = U1 ◦ X1−1 (x), ta chú.ng minh ră` ng (3.4) vó.i ρ(r) = ux (h(r)). D u1 (x) = u(x) trong mô.t lân câ.n nào d̄ó cu’a B. Theo gia’ thiê´t, u(x) là mô.t nghiê. m thuô.c ló.p C 2 cu’a bài toán (3.1)(3.2), ta hãy xét mô.t da’i d̄ă.c tru.ng (X(s, r), U (s, r), P (s, r)) xác d̄i.nh bo’.i hê. phu.o.ng trı̀nh sau d (3.6) X(s, r) = Fp (X, U, P ) ds X(0, r) = h(r), (3.7) trong d̄ó U (s, r) = u(X(s, r)), P (s, r) = ux (X(s, r)).. Lop12.net.

(20) 20. ` n ta.i duy nhâ´t nghiê. m trong mô.t lân câ.n Bài toán Cauchy (3.6)-(3.7) tô cu’a s = 0. Ta sẽ kiê’m tra ră` ng bô. ba (X, U, P ) cũng là mô.t nghiê.m cu’a bài toán (3.3)-(3.4). Khi d̄ó nhò. tı´nh duy nhâ´t nghiê. m cu’a bài toán này, ta suy ra X = X1 , U = U1 , P = P1 nên u(x) = u(X(s, r)) = U (s, r) = U1 (s, r) = u1 (x) trong lân câ.n nào d̄ó cu’a B. Viê.c còn la.i, bă` ng tı´nh toán tù. X(0, r) = h(r), Xs (s, r) = Fp (X, U, P ) cùng vó.i (3.5), ta thâ´y Us0 (s, r) = ux (X(s, r)) Xs0 (s, r) = P Fp Ps0 (s, r) = uxx (X(s, r)) Xs0 (s, r) Do F (x, u(x), ux (x)) = 0 nên Fx + Fu P + Fp uxx = 0 hay Xs0 uxx = −Fx − Fu P tú.c là Ps0 (s, r) = −Fx − Fu P. Nhu. vâ.y d̄i.nh lý d̄u.o..c chú.ng minh. 3.3 Hê. qua’. Nê´u F, f, B thuô.c ló.p C 2 , B tu.. do và gia’ su’. ta.i mô˜i d̄iê’m cu’ a B, hê. (2.4)-(2.5) có duy nhâ´t nghiê.m thı̀ công thú.c (3.5) xác d̄i.nh mô.t nghiê.m duy nhâ´t thuô.c ló.p C 2 cu’ a bài toán (3.1)-(3.2). §4. Áp du.ng vào phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi. Bây giò. ta xét tru.ò.ng ho..p thu.ò.ng gă.p nhâ´t là bài toán Cauchy d̄ô´i vó.i phu.o.ng trı̀nh Hamilton - Jacobi sau d̄ây. ut + H(t, x, ux ) = 0,. t > 0, x ∈ Rn ,. u(0, x) = f (x), x ∈ Rn .. (4.1) (4.2). Ta hãy thay n bă` ng n+1 trong lý luâ.n tru.ó.c, d̄ă.t t = xn+1 , B = Rn ×{0}. Ký hiê. u pn+1 = ut và p = (p1 , . . . , pn ), phu.o.ng trı̀nh (4.1) d̄u.o..c viê´t la.i F = pn+1 + H(t, x, p). Lop12.net.

(21)

Bài giảng Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về