Tài liệu ôn luyện thi Đại học - Chuyên đề Hàm số (phần 1)

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học. Chuyên đề I M・T S・ BÀI TOÁN TH・・NG G・P VỀ Đ・ TH・  Ch・ đề 1: -. Tiếp tuyến c・a đ・ th・. hàm s・.. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M  x0 ;y 0  , hoặc hoành độ x0 , hoặc tung độ y0 .. -. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A  x A ;y A  cho. trước. - Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó.  Phương pháp: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  và M  x0 ;y 0  là điểm trên  C  . Tiếp tuyến với đồ thị  C  tại M  x0 ;y 0  có: -. Hệ số góc: k  f ' x0 . -. Phương trình: y  y 0  k  x  x0  , hay y  y 0  f ' x0  x  x0  Vậy, để viết được phương trình tiếp tuyến tại M  x0 ;y 0  chúng ta cần đủ ba yếu. -. tố sau: Hoành độ tiếp điểm: x0. -. Tung độ tiếp điểm: y0 (Nếu đề chưa cho, ta phải tính bằng cách thay x0 vào hàm số y 0  f  x0  ). -. Hệ số góc k  f ' x0  Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M  x0 ;y 0  , hoặc hoành độ x0 , hoặc tung độ y0 . Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M  x0 ;f  x0   .. Giải. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại M  x0 ;y 0  là: y  f ' x0  x  x0   y 0. Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  biết hoành độ tiếp điểm x  x0 . Giải: Tính y 0  f  x0  , y' x0   phương trình tiếp tuyến: y  f ' x0  x  x0   y 0. 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  biết tung độ tiếp điểm bằng y0 . Giải. Gọi M  x0 ;y 0  là tiếp điểm Giải phương trình f  x   y 0 ta tìm được các nghiệm x0 . Tính y' x0   phương trình tiếp tuyến: y  f ' x0  x  x0   y 0 Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y  x3  3x2  2 1. Tại điểm  2; 2. 2. Tại điểm có hoành độ x  1. 3. Tại điểm có tung độ y  2. 4. Tại giao điểm của đồ thị với y  x  1. Lời giải Hàm số đã cho xác định với x   . Gọi M0  x0 ;y 0  là tọa độ tiếp điểm và y 0  y  x0   x03  3x02  2 y'  3x2  6x , tiếp tuyến tại điểm M0 có hệ số góc: y' x0   3x02  6x0. 1. Ta có : x0  2  y'  2  0 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M  2; 2 : y  0  x  2  2  2 2. Ta có: x0  1  y 0  2,y'  1   9 Phương trình tiếp tuyến: y  9 x  1  2  9x  7 3. Ta có: y 0  2  x30  3x02  2  2  x03  3x02  4  0 2.   x0  1  x0  2  0  x0  1 hoặc x0  2 Phương trình tiếp tuyến tại điểm  1; 2 : y  9x  7 Phương trình tiếp tuyến tại điểm  2; 2 : y  2 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y  2, y  9x  7 . 4. Phương trình hoành độ giao điểm : x3  3x2  2  x  1. . .  x3  3x2  x  3  0   x  3 x2  1  0  x  3 hoặc x  1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm  1; 2 : y  9x  7 Phương trình tiếp tuyến tại điểm  1;0 : y  3x  3 Phương trình tiếp tuyến tại điểm  3;2 : y  9x  25 Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y  9x  7, y  3x  3, y  9x  25 . Ví dụ 2. Cho hàm số: y  x3   m  1  x2  3m  1  x  m  2 . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm A  2; 1 . Lời giải Hàm số đã cho xác định với x   . 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học. Ta có: y'  3x2  2 m  1  x  3m  1 Với x  1  y 1  3m  1  y' 1   m  6 Phương trình tiếp tuyến tại điểm có x  1 : y   m  6  x  1   3m  1 Tiếp tuyến này đi qua A  2; 1 nên có: 1  m  6  3m  1  m  2 Vậy, m  2 là giá trị cần tìm. Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm cho trước Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A  x A ;y A  cho trước Giải: Gọi M  x0 ;y 0  là tọa độ tiếp điểm. Khi đó tiếp tuyến có dạng: y  f ' x0  x  x0   y 0. Vì tiếp tuyến đi qua A nên có: y A  f ' x0  x A  x0   y 0 , giải phương trình này ta tìm được x0 , suy ra phương trình tiếp tuyến. Ví dụ 1. 1. Cho hàm số y  x3  3x2  9x  11 có đồ thị là  C  . Lập phương trình tiếp  29  tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm I  ;184  .  3  x 2 2. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị  C  : y  , biết d đi qua điểm x 2 A  6;5 .. Lời giải. 1. Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị  C  tại điểm có hoành độ x0 khi đó phương trình tiếp tuyến.    có dạng:. 3  2  y  y' x0  x  x0   y  x0    3x 0  6x0  9   x  x 0   x 0  3x02  9x0  11   29   Vì    đi qua điểm I  ;184  nên:  3   3  2   29 184   3x0  6x0  9   x0   x0  3x02  9x0  11   3 .  2x30  32x20  58x0  260  0  x 0  13 hoặc x0  5 hoặc x0  2.. - Với x0  13 thì phương trình tiếp tuyến là y  420x  3876 - Với x0  5 thì phương trình tiếp tuyến là y  36x  164 - Với x0  2 thì phương trình tiếp tuyến là y  15x  39 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  420x  3876; y  36x  164; y  15x  39 2. Cách 1: Gọi  x0 ;y  x0   là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và  C  , với y  x0  . x0  2 4 , tiếp tuyến d có hệ số góc y' x0   , x0  2 và d có x0  2  x0  22. phương trình: y . 4 2.  x0  2.  x  x0  . x0  2 x0  2. d đi qua điểm A  6;5 nên có 5 . 4 2.  x0  2.  6  x0  . x0  2 phương trình x0  2. này tương đương với x20  6x0  0  x0  0 hoặc x0  6.  Với x0  0 , ta có phương trình: y  x  1 x 7  Với x0  6 , ta có phương trình: y    4 2 x 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y  x  1 , y    . 4 2 Cách 2: Phương trình d đi qua A  6; 5 có hệ số góc k , khi đó d có phương. trình là : y  k  x  6   5 d tiếp xúc  C  tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hệ:. x0  2  4x20  24x0  0 k  x 0  6   5  x  2  0  có nghiệm x0 hay  có nghiệm x0 4  4 k   k   2  x0  2    x0  22 . x0  0, k  1  d : y  x  1  x  6, k   1  d : y   x  7  0 4 4 2. x 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y  x  1 , y    . 4 2 * Nhận xét 1: Qua cách 1 ta thấy đường thẳng d : y  x  1 luôn tiếp xúc với. C . tại tiếp điểm M  0; 1  và đường thẳng d luôn vuông góc với đường thẳng. IM với I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Qua đó ta có bài toán sau: x 2 Tìm trên đồ thị y  những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với x 2 đường thẳng IM , với I  2;1 .. Gợi ý. 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học. 4 và tiếp tuyến x0  2. Gọi  x0 ;y  x0   là tọa độ tiếp điểm cần tìm với y  x0   1  tại M có hệ số góc y' x0  . 4.  x0  22. , x0  2 .. Đường thẳng IM có hệ số góc k và k . y  x0   y  xI  x0  xI. . 4.  x0  22. Tiếp tuyến tại M vuông góc IM khi và chỉ khi y' x0  .k  1 tức là 4 2. 4. .. 4. 2.  1 hay  x0  2  16  x0  0 hoặc x0  4.  x0  2  x0  2 Vậy, M1  0; 1  , M2  4;3. là tọa độ cần tìm.. * Nhận xét 2: Dễ thấy, tiếp tuyến tại M1 , M2 song song với nhau, hơn nữa đường thẳng qua 2 điểm M1 , M2 song song với đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ tức là tiếp tuyến tại M1 , M2 có hệ số góc là y' 0  y' 4   1 * Qua đó, ta có bài toán sau: x 2 tại 2 điểm phân biệt M1, M2. x 2 k2 lần lượt là hệ số góc của d1 , d2 là tiếp tuyến của đồ thị tại M1 , M2 .. Giả sử đường thẳng : x  y  m  0 cắt đồ thị y  1. Gọi k1,. Tìm tọa độ M1 , M2 sao cho k1  k2  2 . 2. Tìm giá trị m  để tiếp tuyến tại M1 , M2 song song với nhau. Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị  C  : y . 2x  1 biết d cách x 1. đều 2 điểm A  2;4  và B  4; 2 . Lời giải Gọi M  x0 ;y  x0   , x0  1 là tọa độ tiếp điểm của d và  C  Khi đó d có hệ số góc y' x0   y. 1 2.  x0  1. 1.  x0  12.  x  x0   2 . và có phương trình là :. 1 x0  1. Vì d cách đều A, B nên d đi qua trung điểm I  1;1 của AB hoặc cùng phương với AB . TH1: d đi qua trung điểm I  1;1 , thì ta luôn có: 1. 1 2.  x0  1.  1  x0   2 . 1 , phương trình này có nghiệm x0  1 x0  1. 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1 5 Với x0  1 ta có phương trình tiếp tuyến d : y  x  . 4 4 TH2: d cùng phương với AB , tức là d và AB có cùng hệ số góc, khi đó y  yA 1 y' x0   k AB  B  1 hay  1  x0  2 hoặc x0  0 xB  xA  x  1 2 0. Với x0  2 ta có phương trình tiếp tuyến d : y  x  5 . Với x0  0 ta có phương trình tiếp tuyến d : y  x  1 . 1 5 Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y  x  , y  x  5 , y  x  1 4 4 Ví dụ 3.. 1. Cho hàm số y  x 4  4x2  3 , có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của. C . đi qua điểm A  0;4  có hệ số góc m , biết tiếp tuyến tiếp xúc với  C  tại. bốn điểm phân biệt. 2. Cho hàm số y   x3  3x  2, có đồ thị là  C  . Tìm tọa độ các điểm trên đường thẳng y  4 mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị  C  đúng hai tiếp tuyến. Lời giải 1. Phương trình đường thẳng d đi qua A có hệ số góc m có dạng: y  mx  4 . d tiếp xúc đồ thị  C  tại điểm có hoành độ x0 khi hệ :. x04  4x20  3  mx0  4 3x04  4x20  1  0 có nghiệm x  có nghiệm x0  3  0 3 4x0  8x0  m m  4x0  8x0 m  4 m  4   x2  1 0     2 1 hay   x0   m   20 3  3 9   m  4x3  8x  20 3  0 0 m  9 . Với m  4 , tiếp tuyến y  4x  4 , tiếp điểm M1 1;0  Với m  4 , tiếp tuyến y  4x  4 , tiếp điểm M2  1;0 Với m  .  3 16  20 3 20 3 , tiếp tuyến y   x  4 , tiếp điểm M3  ;  3 9  9 9  .  3 16  20 3 20 3 , tiếp tuyến y  x  4 , tiếp điểm M4   ;  3 9  9 9   Vậy, qua A kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị  C  :. Với m . 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học. 20 3 20 3 x4 , y  x4 9 9  Mở rộng: Dạng toán qua 1 điểm kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị là dạng toán ít gặp. Để hiểu kĩ hơn dạng toán này, ta giải bài toán sau:. y  4x  4 , y  4x  4 , y  . “Biện luận theo m số tiếp tuyến của  C  : y  x 4  6x2 vẽ từ điểm M 3;m  ”. Gợi ý: Phương trình tiếp tuyến  d  của  C  vẽ từ M 3;m  có dạng: y k x3 m.  d  và C  tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 , từ đó suy ra: m  x04  6x20   4x30  12x0   x0  3   g  x0  Ta có: g' x0   0  x0  1 hoặc x0  1 hoặc x0  3 Từ bảng biến thiên suy ra:  m  21 hoặc m  27 : có 2 tiếp tuyến.  m  21 : có 3 tiếp tuyến.  21  m  27 : có 4 tiếp tuyến..  m  27 : không có tiếp tuyến nào. 2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên . Gọi A là điểm nằm trên đường thẳng y  4 nên A  a; 4  . Đường thẳng  qua A với hệ số góc k có phương trình y  k  x  a   4 Đường thẳng  tiếp xúc với đồ thị  C  khi và chỉ khi hệ phương trình sau có. . .  x3  3x  2  k  x  a   4  x3  3x  2  3 x2  1  x  a  nghiệm:   3x2  3  k  3x2  3  k.  x  1 2x2   3a  2 x  3a  2  0 1      2  3x  3  k  2 x  1 Phương trình  1 tương đương với:  2 g  x   2x  3a  2 x  3a  2  0 Qua A kẻ được hai tiếp tuyến đến  C  khi và chỉ khi  2 có 2 giá trị k khác. nhau , khi đó  1 có đúng 2 nghiệm phân biệt x1 ,x2 , đồng thời thỏa k1  3x12  3, k 2  3x22  3 có 2 giá trị k khác nhau. Trường hợp 1: g  x  phải thỏa mãn có một nghiệm bằng 1 và nghiệm khác 1 hay g  1  0 6a  6  0    a  1 kiểm tra  2 thấy thỏa.  3a  2  1 a  0   2 Trường hợp 2:. 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> g  x  phải thỏa mãn có một nghiệm kép khác 1 hay  3a  22  8 3a  2  0  3 3a  2 a  2  0   3a  2  1  3a  2  2  2. a. 2 hoặc a  2, kiểm tra  2 thấy thỏa. 3.  2  Vậy, các điểm cần tìm là A  1; 4  , A 2; 4  hoặc A   ; 4  .  3 . Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc cho trước -. Tiếp tuyến song song với đường thẳng  d  :ax  by  c  0. -. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d  :ax  by  c  0. -. Tiếp tuyến cùng với đường thẳng  d  :ax  by  c  0 tạo thành góc  . 2x  2 có đồ thị  C  . x 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) . 1. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 . 2. Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  4x  1 .. Ví dụ 1. Cho hàm số: y . 3. Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân. 4. Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2 . Lời giải Hàm số đã cho xác định với x  1 . Ta có: y' . 4.  x  1 2. Gọi M  x0 ;y 0  là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C  : y. 4 2.  x0  1.  x  x0  . 2x  2 2x0  2 4 với y' x0   và y0  0 2 x0  1 x0  1  x0  1 . 1. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 4 Nên có:  1  x0  3, x0  1  x  12.  Với x0  1  y 0  0   : y  x  1  Với x0  2  y 0  4   : y   x  7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y   x  1, y  x  7 . 2. Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  4x  1 .. 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học. Nên có: y' x0   4 . 4.  x0  12.  4  x0  0 hoặc x0  2.  Với x0  0  y 0  2   : y  4x  2  Với x0  2  y 0  6   : y  4x  14 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y  4x  2, y  4x  14 . 3. Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 . Mặt khác: y' x0   0 , nên có: y' x0   1 Tức. 4.  x0  12.  1  x0  1 hoặc x0  3 ..  Với x0  1  y 0  0   : y  x  1  Với x0  3  y 0  4   : y  x  7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y   x  1, y  x  7 . 2  4. Khoảng cách từ M  x0 ;y 0  đến trục Oy bằng 2 suy ra x0  2 , hay M  2;  , 3  M  2;6  . 2 4 2  Phương trình tiếp tuyến tại M  2;  là: y   x  3 9 9  Phương trình tiếp tuyến tại M  2;6  là: y  4x  14. 4 2 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y   x  , y  4x  14 . 9 9 Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của k để tồn tại 2 tiếp tuyến với. C  :. y  x3  6x2  9x  3 phân biệt và có cùng hệ số góc k , đồng thời đường. thẳng đi qua các tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đó với  C  cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A, B sao cho OB  2012.OA . Lời giải Hoành độ tiếp điểm x0 của tiếp tuyến dạng y  kx  m với  C  là nghiệm của phương trình f ' x0   k  3x02  12x0  9  k  0 1  Để tồn tại 2 tiếp tuyến với  C  phân biệt nhau thì phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt, khi đó  '  9  3k  0 hay k  3  2 . Khi đó, tọa độ tiếp điểm.  x0 ;y 0 . của 2 tiếp tuyến với  C  là nghiệm hệ. 1  2 y 0  x03  6x02  9x0  3 y0   x0  2 3x0  12x0  9  2x0  3 3 phương trình:   2 3x0  12x0  9  k 3x2  12x  9  k 0  0. . . 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1 k 6 2k  9  x0   y 0   x0  2 k  2x0  3  3 3 3  3x2  12x  9  k 0  0. k 6 2k  9 x . 3 3 Do  d  cắt trục Ox,Oy tương ứng tại A và B sao cho OB  2012.OA nên có thể. Vậy phương trình đường thẳng đi qua các tiếp điểm là  d  : y . -. -. xảy ra: Nếu A  O thì B  O , trường hợp này chỉ thỏa nếu  d  cũng qua O . 9 Khi đó k  . 2 Nếu A  O , khi đó trong tam giác AOB vuông tại O sao cho   OB  2012  k  6  2012  k  6042 tanOAB OA 3 hoặc k  6030 (không thỏa  2 ).. 9 Vậy k  , k  6042 thỏa bài toán. 2 Chú ý:  Cho hai đường thẳng  d1  : y  k1 x  b và  d2  : y  k 2x  m ..  k  k2 1.  d1    d2    1 b  m 3.  d1    d2   k1 .k2  1. 2.  d1  ,  d2  cùng phương  k1  k2 4.  d1  ,  d2     cos  . . . k 2k 1  1 k12  1. k22  1.  Giả sử A  x1 ;y 1  , B  x2 ;y2  , đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A, B có hệ số góc k . y 2  y1 , x2  x 1 . x2  x1. Bài tập tự luyện: 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y . 2x , biết: x 1. a. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2 b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng  d  : x  2y  0 c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng    :9x  2y  1  0 d. Tạo với đường thẳng  d' : 4x  3y  2012  0 góc 450 e. Tạo với chiều dương của trục hoành một góc  sao cho cos   . 2. 5 f. Tại điểm M thuộc đồ thị và vuông góc với IM ( I là giao điểm 2 tiệm cận ) Hướng dẫn giải. 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học. Ta có: y' . 2 x  1   2x 2.  x  1. . 2.  x  12. . Gọi  x0 ;y 0  là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc. tiếp tuyến tại  x0 ;y 0  bằng y' x0   a. Theo giải thiết, ta có: y' x0   2 . 2.  x0  1 2 2.  x0  12.  2.  x0  1  1  x0  2  y 0  4 2   x0  1  1    x0  1  1  x0  0  y0  0 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y  2x  8,y  2x. b. Theo giải thiết, ta có:. 2 2.  x0  1. 1 2 1     x0  1  2 4. 1 27 1 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y   x  ,y   x  2 4 2 4 2 2 2 1 c. Theo giải thiết, ta có:     x0  1   9  x  12 9 0. 2 32 2 8 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y   x  ,y   x  9 9 9 9. d. Tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y  k  x  x0   y  x0  với k  y' x0   0 , có   vectơ pháp tuyến là n   k; 1  ,  d' có vectơ pháp tuyến là m   4;3   n.m 4k  3 1 1 cos450       k   thỏa đề bài. 7 2 n m k2  1.5 e. Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành ,khi đó tồn tại  0;  để tan   0 và tan   2 2.  x0  1 f. k IM . 2 2.  x0  1. . Ta có: tan2  . 1 2. cos . 1 . 1 1  tan    , nên có: 4 2. 1 2     x0  1  4 2 2. 2. 2.  x0  1. , theo bài toán nên có: k IM .y' x0   1   x0  1  4. 2. Cho hàm số: y  x3  3mx2  x  3m có đồ thị  Cm  . Định m để  Cm  tiếp xúc với trục hoành. Hướng dẫn giải (Cm) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hệ phương trình: 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> . . . . x x2  1  3m x2  1  0  x30  3mx20  x  3m  0 0  0 0 có nghiệm x0 tức hệ   2 3x0  6mx0  1  0 3x20  6mx0  1  0. . .  x2  1  x  3m   0 0 1  0 có nghiệm x0   có nghiệm x0  m   3 3x20  6mx0  1  0. 3. Cho hàm số: y  x 4  x3   m  1  x2  x  m có đồ thị  Cm  . Định m để  Cm  tiếp xúc với trục hoành..  Cm . Hướng dẫn giải tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hệ phương. x04  x30   m  1 x02  x0  m  0 trình:  có nghiệm x0 3 2 4x0  3x0   m  1  x0  1  0. . . .  . .  x2 x2  1  x x2  1  m x2  1  0 0 0 0  0 0  có nghiệm x0 4x30  3x02   m  1 x0  1  0. . . .  x2  1 x2  x  m  0 0 0 1  0  có nghiệm x0  m  5, m  1, m  4 4x30  3x02   m  1 x0  1  0 2. 4. Cho hàm số y   2  x  x2 , có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  : a. Tại giao điểm của  C  với Parabol y  x2 . b. Tiếp tuyến đi qua điểm A  2;0 . Hướng dẫn giải 4. 3. 2. y  x  4x  4x  y'  4x3  12x2  8x. a. Phương trình hoành độ giao điểm:. . . x4  4x3  4x2  x2  x2 x2  4x  3  0  x  0,x  1,x  3  Với x  0  phương trình tiếp tuyến: y  0  Với x  1  phương trình tiếp tuyến: y  1  Với x  3  phương trình tiếp tuyến: y  24x  63 b. M  x0 ;y 0    C  . Tiếp tuyến  t  của  C  tại M  x0 ;y 0  :. . 2. . y  4x30  12x20  8x0  x  x0   x02  x0  2 . . . A  2;0    t    2  x0  3x30  10x02  8x0  0  x0  0,x0  2,x0 .  Với x0  0  y' 0   0,y 0  0  phương trình tiếp tuyến y  0  Với x0  2  y' 2  0,y0  0  phương trình tiếp tuyến y  0 14 Lop12.net. 4 3.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học. 5. a. b. c.. 4 32 64 32 64 4  Với x   y'    ,y0   phương trình tiếp tuyến y   x  3 27 81 27 27 3 2x  1 Cho hàm số y  , có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  . x 1 1 Tiếp tuyến có hệ số góc bằng  . 4 Tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Khoảng cách từ I  1;2 đến tiếp tuyến lớn nhất.. d. Tiếp tuyến của  C  tại M vuông góc với IM. Gọi M  x0 ;y 0 . Hướng dẫn giải là tọa độ tiếp điểm của  C  và tiếp tuyến  d  .. Tiếp tuyến  d  tại M  x0 ;y 0  : y  a. . 1 2.  x0  1. 1 2.  x0  1.  x  x0  . 2x0  1 x0  1. 1    x0  3,x0  1 4. 1 13 1 5 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y   x  và y   x  . 4 4 4 4  2x0  b. Tiếp tuyến  d  cắt tiệm cận đứng tại A  1;  , cắt đường tiệm cận ngang  x0  1 . tại B 2x0  1;2  IA . 2 ,IB  2 x0  1  IA.IB  4 . x0  1. Chu vi tam giác IAB : p  AB  IA  IB  IA2  IB2  IA  IB Mặt khác: IA2  IB2  2IA.IB  8, IA  IB  2 IA.IB  4 . Nên p  2 2  4 2. Đẳng thức xảy ra khi: IA  IB   x0  1  4  x0  3,x0  1 1 13 1 5 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y   x  và y   x  4 4 4 4 c. Gọi H là hình chiếu của I lên  d  , ta có: d  I,    IH. Trong tam giác vuông IAB, có :. 1 2. IH. . 1 2. IA. . 1 2. IB. . 2 1  . Suy ra: IH  2 . IA.IB 2. Đẳng thức xảy ra  IA  IB 1 13 1 5 Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: y   x  và y   x  4 4 4 4    1  d. Đường thẳng  d  có vectơ chỉ phương u   1;   x  1 2  0     1 1  IM   x0  1;  0  x0  0,x0  2  , IM   d   x0  1  x0  1    x  1 3 0. 15 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Từ đó ta tìm được tiếp tuyến: y   x  1,y   x  5 6. Viết phương trình tiếp tuyến. d. của. C . tại. điểm M thuộc. C  :.  17  y  x 4  2x2  1 sao cho  d  vuông góc với AM, biết A  0;   8  Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ;y 0  là tọa độ tiếp điểm của  C    25  AM   x0 ;x04  2x02   , đường thẳng  d  tiếp tuyến tại M có vectơ pháp 8      tuyến là n  4x30  4x0 ; 1 . Theo bài toán, ta có AM và n cùng phương, từ. . . đây tìm được M  0; 1 , M  1;2 , M  1;2 . 1 5 7. Viết phương trình tiếp tuyến d của  C  : y   x 4  x2  , biết d cắt trục 4 4 hoành , trục tung lần lượt tại A và B sao cho OA  OB , sao cho diện tích tam 3 3 10 và khoảng cách từ O đến d bằng . 2 10 Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d thì OH  d  O;d . giác OAB bằng. 3 1  2 OA.OB  2 OA  1 OA.OB  3 Ta có:   2  2 OA  OB  10 OB  3  1  1  1  10  OA2 OB2 OH2 9 OB Hệ số góc của đường thẳng d là k    3 OA Tiếp tuyến d : y  3x  3, y  3x  3 .. 8. Viết phương trình tiếp tuyến d của  C  : y . x 3 tại điểm M sao cho tiếp x 1. 16 cũng là tiếp tuyến của  C  . 5 Hướng dẫn giải   4 2   C Đường tròn  C' có tâm I  1;1  , bán kính R  , M  1;   x  12  5 0   2. 2. tuyến tại M của  C' :  x  1   y  1 . Tiếp tuyến  d  tại M thuộc  C  có dạng:. d. là tiếp tuyến chung của  C  và 4. 2 2.  x  x0   y  1 . 2 0 x0  1.  x0  1  C' nên dI,d   R , từ đây ta tìm được. 2. phương trình :  x0  1  5 x0  1  4  0 16 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học. 2x  3 và I là giao điểm 2 x 2 đường tiệm cận. Tiếp tuyến  d  của  C  tại M cắt 2 đường tiệm cận tại A và. 9. Gọi M là điểm bất kì trên  C  của hàm số y . B . Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích bằng 2. Hướng dẫn giải   2x  3 Gọi M  x0 ; 0  ,x0  2 là điểm thuộc  C  . x0  2   1 Tiếp tuyến  d  tại M có hệ số góc là: y' x0     x0  22. Phương trình có dạng:  d  : y . 1 2.  x0  2.  x  x0  . 2x0  3 ,  d  cắt 2 tiệm cận x0  2.  2x  2  lần lượt tại: A  2; 0  , B 2x0  2;2  x0  2  x0  1  M 1;1 2   x0  3  M 3;3  x0  2 2x  3 10. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y  tại những điểm thuộc x 1 đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng  d  : 3x  4y  2  0 bằng 2. 2. IAB vuông tại I và SIAB  2   x0  2 . 1. 2. Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ;y 0  là điểm thuộc đồ thị  C  , khi đó: y 0  y  x0   Ta có: d M, d  2 . 3x0  4y0  2 32  42. 2x0  3 x0  1.  2  3x0  4y0  12  0 hoặc 3x0  4y0  8  0.  2x  3  2 TH1: 3x0  4y 0  12  0  3x0  4  0   12  0  3x0  x0  0  x0  0 x  1  0  1 hoặc x0  3  2x  3  2 TH2: 3x0  4y0  8  0  3x0  4  0   8  0  3x0  19x0  20  0 x  1  0  4  x0  5 hoặc x0   3 Phương trình tiếp tuyến  d  tại M thuộc đồ thị  C  có dạng: y  y' x0  x  x0   y  x0  trong đó và y' x0  . 1.  x0  1 2. , x0  1 .. 17 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Phương trình tiếp tuyến.  d1 . tại M1  0;3 là y  x  3 .. Phương trình tiếp tuyến.  d2 . Phương trình tiếp tuyến.  d3 . Phương trình tiếp tuyến.  d4  tại M4  . 9 47  1 11  tại M2  ;  là y   x  . 3 4 16 16   7 1 23  tại M3  5;  là y   x  . 4 16 16   4  ; 1  là y  9x  13 . 3  . Vậy, có 4 tiếp tuyến thỏa đề bài: 9 47 1 23 y   x  3, y   x  , y   x  , y  9x  13 . 16 16 16 16 11. Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng 30x  24y  61  0 để từ đó kẻ đến đồ thị x3 x2 7   2x  3 tiếp tuyến tương ứng với 3 tiếp điểm có hoành 3 2 3 độ x1 ,x2 ,x3 thỏa x1  x2  0  x3 .. C . : y . Hướng dẫn giải  5m 61  M   d  : 30x  24y  61  0  M  m;   4 24   Phương trình tiếp tuyến của  C  tại N  x0 ;y 0  :  x3 x2 7 y    0  0  2x0    x02  x0  2  x  x0   3 2 3   Tiếp tuyến đi qua M 3 2 5m 61  x0 x0 7      2x0     x02  x0  2  m  x0  4 24  3 2 3  2 3m 5 1   x30    m  x20  mx0    0   3 4 24 2 . . . . . Để thỏa yêu cầu bài toán thì phương trình   có hai nghiệm âm phân biệt 5 1  2 7m 5  m  3  12  0 m   2 hay m  6   5 5    m0  m  18  18  3 5  5 2 m  4  0 m  6   Vậy, những điểm M nằm trên đường thẳng d có hoành độ m thỏa 5 1 5 m   hoặc m 2 6 18. 18 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học. 12. Tìm tham số m để parapol  P  : y  x2  x  1 và đồ thị  Cm  của hàm số y  x3  4mx2  7mx  3m tiếp xúc nhau.. P. và  Cm . Hướng dẫn giải tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hệ phương.  x20  x0  1  x30  4mx02  7mx0  3m trình:  có nghiệm x0 2 2x0  1  3x0  8mx0  7m  x  1  x2  4mx  1  3m  0 0 0  0  có nghiệm x0 2x0  1  3x02  8mx0  7m  . . .  Với x0  1 thay vào phương trình   , ta được m  2  Với x20  4mx0  1  3m  0 kết hợp phương trình   ta được hệ: m 1 1   x0  2m  1 ,m  2 2x0  1  3x02  8mx0  7m     2 2  x0  4mx0  1  3m .3  0.3  0  m  1   4m  m  1   1  3m  0      2m  1   2m  1   1    4m  1  m  2 m  1   0 hay m    ;1;2  4 . . . 13. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y  x3  6x2  9x  1 , để tiếp tuyến đó cách đều 2 điểm A  2;7  và B 2;7  . Hướng dẫn giải Tiếp tuyến d của đồ thị  C  cách đều A,B khi và chỉ khi hoặc d đi qua trung điểm I của AB hoặc là d  AB . Vậy, có 4 tiếp tuyến thỏa đề bài: y  1  0, y  3  0, y  3x  7, y  24x  7 x 1 14. Gọi  d  là tiếp tuyến của đồ thị  C  : y  , giả sử  d  cắt 2 tiệm cận tại x 3 A,B . I là giao điểm 2 tiệm cận. Viết phương trình  d  để : a. IA  4IB b. IA  IB  8 Hướng dẫn giải Do giả thiết không nói rõ là  d  cắt tiệ, cận theo thứ tự nào để có tọa độ A,B . Vì thế cần phải chia ra từng trường hợp để giải. Tác giả hướng dẫn 1 trường hợp, trường hợp còn lại giành cho bạn đọc.  x2  2x0  15   cắt tiệm cận ngang tại Giả sử  d  cắt tiệm cận đứng tại A  3; 0 2   x  3  0    B  2x0  3;1  . a. Tiếp tuyến  d  có hệ số góc là k  . IA  4 , suy ra có 2 tiếp tuyến. IB. 19 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> b. IA . 8 2 , IB  x0  3 , theo bài toán ta suy ra  x0  3  4 x0  3. 15. Cho hàm số y  x3  3x2  (m  4)x  m, tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục 1 1 hoành tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho k A    0, trong đó k B kC k A ,k B ,k C lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại A, B, C .. Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm x3  3x2  (m  4)x  m  0. . .   x  1  x2  4x  m  0  x  1 hoặc x2  4x  m  0 1. Ta thấy, đồ thị luôn cắt trục Ox tại điểm A  1;0  với mọi m . Để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, thì phương trình 4  m  0  m  4  1 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 , tức là  5  m  0 m  5 x  x  4 Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình  1 , theo định lý Vi et :  1 2  x1 x2  m Khi đó x1 ,x2 là hoành độ của B,C và hệ số góc tại A, B, C là : k A  m  5,k B  3x12  6x1  m  4,kC  3x22  6x2  m  4. Theo giả thiết, ta có : m  5 . 1 3x21.  6x1  m  4. . 1 3x22.  6x2  m  4. 0. 3x  6x  m  4  3x  6x  m  4  0  m 5 3x  6x  m  43x  6x  m  4 2 1. 2 1.  m 5. 1. 1. 4 4  m  4  m  4  m  5. 2 2. 2 2. 2. 2.  0  m 5. m  4 1 2  0  m  5  1   m 5 m  6. Đối chiếu điều kiện, ta thấy m  6 hoặc m  4 thỏa bài toán. 2x  3 16. Cho hàm số y  có đồ thị  C  ,giao điểm hai tiệm cận là I. Lập phương x 2 trình tiếp tuyến của đồ thị  C  sao cho tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị  C  lần lượt tại E, F và chu vi IEF  5  17. Hướng dẫn giải 2x  3 1 1 Ta có y  2  y'   và I  2;2 . x 2 x 2  x  22 Tiếp tuyến.    tại điểm có hoành độ x0 là y  . 20 Lop12.net. 1 2.  x0  2.  x  x0   2 . 1 x0  2.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học.  2  cắt tiệm cận đứng tại E  2;2   và tiệm cận ngang tại F 2x0  2;2 . x0  2      2  2 IE   0; , IF  2x 0  4;0   F  2 x 0  2   IE  x0  2  x0  2 . . PIEF  IE  IF+EF  IE+IF+ IE2 +IF2 . 2 1 2  2 x0  2  2  x0  2 2 x0  2 x0  2. 3 5 hoặc x0  . 2 2 1 3 1 7 Vậy, tiếp tuyến cần tìm là: y   x  , y  4x  6, y  4x  14, y   x  4 2 4 2 17. Cho hàm số y  x 4  x2  1, có đồ thị là  C  . Tìm trên đồ thị  C  những. Hay x0  0 hoặc x0  4 hoặc x0 . điểm A sao cho tiếp tuyến tại A cắt  C  tại hai điểm B, C khác A và B, C nằm về 2 phía đối với A . Hướng dẫn giải. . 4. 2. . Gọi A a;a  a  1 là điểm thỏa mãn đề bài. Ta có: y'  4x3  2x . Phương trình tiếp tuyến  d  của  C  tại A là:. . . y  4a3  2a  x  a   a 4  a2  1. Phương trình hoành độ giao điểm của  d  và  C  là:. . 2. . . . x 4  x2  1  4a3  2a  x  a   a 4  a2  1   x  a  x2  2ax  3a2  a  0.  x  a hoặc g  x   x2  2ax  3a2  a  0. Theo bài toán thì g  x   0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ,x2 sao cho : x1  a  x2   '  2a2  a  0 1  0a 6  x1  a  x2  a   0. 18. Cho hàm số y  x3  ax2  bx  c, c  0 có đồ thị là  C  . Giả sử đồ thị cắt. Oy ở A và có đúng hai điểm chung với trục Ox là M và N . Tiếp tuyển với đồ thị tại M đi qua A . Tìm a,b,c để SAMN  1 . Hướng dẫn giải Giả sử  C  cắt Ox tại M  m;0 và N  n;0  cắt Oy tại A  0;c . . . Tiếp tuyến tại M có phương trình: y  3m2  2am  b  x  m  Tiếp tuyến đi qua A nên có: 3m3  2am2  bm  c  0 a  2m3  am2  0  m   do m3  am2  bm  c  0 2 21 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Mà  C  cắt Ox tại hai điểm nên  C  tiếp xúc Ox tại N nên có: 2. y  x3  ax2  bx  c   x  n   x  m  a a  m   2 ,n   4 m  2n  a   Suy ra: 2mn  n2  b  a3  32c  2  2 mn  c 5a  16b  Hơn nữa: SAMN  1  c n  m  2  c a  8. a3  32c   a  0 ta có hệ ac  8 vô nghiệm.  2 5a  16b a3  32c   a  0 ta có hệ ac  8  a  4,b  5,c  2  2 5a  16b. 1 19. Tìm tất cả những điểm trên đồ thị  C  : y  x3  x2 sao cho hệ số góc 2 của tiếp tuyến với đồ thị  C  tại những điểm đó là giá trị lớn nhất của hàm số y. 4x2  3 x4  1. Hướng dẫn giải 4x2  3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  4 . Đặt t  x2  0, ta có hàm số x 1 2 4t  3 1 4t  6t  4 g t   2 .Ta có : g' t   và g' t   0  t  2, t  2 2 t 1 t2  1. . . Giới hạn : lim g  t   0, lim g  t   0 t . t . Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi x  . 2 2. 1 Gọi M  x0 ;y 0  là điểm thuộc đồ thị  C  : y  x3  x2 2 2 Ta có: y'  3x  x, hệ số góc tiếp tuyến của  C  tại M là y 0 '  3x02  x0. Theo bài toán, ta có: 3x20  x0  4  x0  1  y  1   3   4 40   4  40  y   . Có hai điểm thỏa mãn:  1;   ,  ;  . 2   3 27   3  27 . 22 Lop12.net. 3 4 hoặc x0   2 3.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>