Bài tập tổng hợp về Vecto

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phạm Viết Sĩ Đại cương về vectơ AB + AC , AB – BC 1.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD 7.Cho hai vectơ a và b  0.Tìm điều kiện của a và b để: . Chứng minh rằng CDGH là hình bình hành a) a + b = a + b b) a + b = a – b 2.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác 8.Cho 3 điểm O,A,B không thẳng hàng.Với điều kiện nào thì vectơ OA+ OB a)Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O. Chứng minh rằng BD = HC nằm trên đường phân giác của góc AOB b)Gọi K là trung điểm của AH và I là trung điểm của BC,chứng minh 9. Chứng minh rằng : AB = CD  trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC OK = IH trùng nhau 3.Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB 10.Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm O.Qua O kẻ các và CD. Đường chéo BD lần lượt cắt AF và CE tại M và N. chứng minh rằng : đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành cắt AB và DC tại M và DM = MN = NB N, cắt AD và BC tại E và F. Chứng minh rằng : 4.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Dựng AD = GC và DE = GB a) OA + OC = OB + OD Chứng minh rằng GE = 0 b) BD = ME + FN 5.Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O). 11.Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H là giao điểm của AO và BC.Trên đường trung trực của đoạn AH lấy 1 a)Hãy xác định các điểm M ,N ,P sao cho: điểm M.Từ M kẻ tiếp tuyến MD với (O). Chứng minh rằng : |MA| = | MF | ; ON = OB + OC ; OP = OC + OA OM = OA + OB Các phép toán vectơ b)Chứng minh rằng OA + OB + OC = 0 1.Rút gọn các biểu thức sau: 12.Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A ;B’ là điểm đối a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD xứng với C qua B ;C’ là điểm đối xứng với A qua C . Chứng minh rằng với một b)AB+ MN – CB+ PQ+ CA+ NM điểm O bất kỳ ta có : OA+ OB+ OC = OA'+ OB'+ OC' c) KM+ DF+ AC– KF+ CD– AP+ MP 13.Cho n điểm trên mặt phẳng .Bạn An ký hiệu chúng là A1, A2, …, An. Bạn 2. Chứng minh rằng Bình ký hiệu chúng là B1, B2, …, Bn. a) AB+ CD= AD+ CB Chứng minh rằng : A1B1+A2B2+...+AnBn=0 b) AC+ BD= AD+ BC 14.Cho tứ giác ABCD, gọi I và J là trung điểm AC và BD c) AB+ CD+ EA= ED+ CB a)Chứng minh rằng AB + CD = 2IJ d) AD+ BE+ CF= AE+ BF+ CD = AF+ BD+ CE b)Xác định điểm M sao cho MA+ MB+ 2MC= 0 e) AB+ CD+ EF+ GA= CB+ ED+ GF c)Xác định điểm N sao cho NA+NB+NC+ND= 0 3.Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý . Chứng minh rằng : 15.Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là MA + MC = MB + MD trung điểm của AA’,BB’ ,CC’ ,DD’. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành 4.Cho tam giác ABC, Bên ngoài của tam giác ta vẽ các hình bình hành ABIJ 16.Cho hai điểm phân biệt A và B.Tìm quĩ tích các điểm M thỏa mãn: ,BCPQ ,CARS. Chứng minh rằng : RJ + IQ + PS = 0 MA + MB = MA – MB 5.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM.Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao 17.Cho tam giác ABC cho AE = EF = FC. Gọi N là giao điểm của AM và BE.Tính tổng a)Xác định điểm I sao cho : IA + 2IB = 0 AE+ AF + AN +MN b)Xác định điểm K sao cho : KA + 2KB = CB 6.Cho tam giác đều ABC cạnh a.Tính độ dài của các vectơ AB+ BC , 18.Cho tam giác ABC -1Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Phạm Viết Sĩ a)Tìm điểm M thoả mãn :AM – MB+ MC = 0 29.Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng b)Tìm điểm N thoả mãn :BN = AN+NC + BD trọng tâm c)Tìm điểm K thoả mãn :BK+ BA+ KA + CK = 0 30.Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A. Chứng minh d)Tìm điểm M thoả mãn :MA+ MB– 2MC = 0 rằng : e)Tìm điểm N thoả mãn :NA+ NB+ 2NC = 0 a) BB'+ C'C+ DD'= 0 f)Tìm điểm P thoả mãn :PA – PB + 2PC = 0 b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm 19.Cho hình bình hành ABCD. Tìm điểm M thoả mãn: 31.Cho tam giác ABC. Gọi M ,N ,P là các điểm được xác định như sau: 4AM= AB+ AC+ AD MB = 3MC ;NC = 3NA ;PA = 3PB 20.Cho lục giác ABCDEF .Tìm điểm O thoả mãn : a)Chứng minh rằng : 2OM = 3OC – OB O OA+OB+OC+ OD+OE+OF = 0 b)Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm 21.Cho tam giác ABC 32.Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC a)Xác định các điểm D,E thoả mãn: 4DA – DB = 0 ; EA+ 2EC= 0 1 2 b)Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn: |4MA – MB| = |MA+ 2MC| Chứng minh rằng : AM = AB + AC 3 3 22.Cho hai điểm phân biệt A,B 33.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AG và K a)Hãy xác định các điểm P,Q,R thoả: là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AB = 5AK 2PA + 3PB = 0 ; – 2QA + QB = 0 ;RA – 3RB = 0 a)Tính các vectơ AI,AK,CI,CKtheo hai vectơ CAvà CB b)Với điểm O bất kỳ,chứng minh rằng : b)Chứng minh rằng 3 điểm C,I ,K thẳng hàng 2 3 1 3 OP= OA + OB ;OQ = 2OA– OB ;OR= – OA+ OB 34.Cho 3 điểm phân biệt A, B, C. 5 5 2 2 a)Chứng minh rằng nếu có một điểm I và một số t sao cho 23.Cho tam giác ABC,xác định các điểm G,P,Q,R,S sao cho IA= tIB+ (1 – t)IC thì  điểm M ta đều có : MA= tMB+ (1 – t)MC GA+ GB+ GC= 0 ;2PA+ PB+ PC= 0;QA+ 3QB+ 2QC = 0 b)Chứng minh rằng : IA= tIB+ (1 – t)IC  A, B, C thẳng hàng RA– RB+ RC = 0 ; 5SA– 2SB– SC= 0 35.Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điểm A B cố định. Chứng 24.Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng MA + MC = MB + MD minh rằng điểm M d  có số  sao cho: OM= OA+ (1 – )OB 25.Cho lục giác đều ABCDEF , M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng Với điều kiện nào của  thì M  đoạn thẳng AB MA+ MC+ ME= MB+ MD+ MF 36.Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, 26.Cho tam giác ABC, Gọi M ,N ,P lần lượt là trung điểm BC, CA ,AB CA theo các tỉ số m, n, p  1. Chứng minh rằng : Chứng minh rằng : AM + BN + CP = 0 a)M, N, P thẳng hàng  m.n.p = 1 (định lý Mênêlauýt) 27.Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, b)AN, CM, BP đồng qui hoặc song song  m.n.p = – 1(định lý Xêva) BC, CD, DE. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của MP và NQ 37.Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm trên cạnh AC sao 1 Chứng minh rằng : IJ // AE và IJ = AE cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN 4 1 1 28.Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’ a)Chứng minh rằng : AK = AB + AC 4 6 a)Chứng minh rằng : AA' + BB' + CC' = 3GG' b)Từ đó suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm -2Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Phạm Viết Sĩ 1 1 N = AA’  CC’; P = BB’  CC’ b)Gọi D là trung điểm BC,chứng minh rằng : KD = AB + AC a)So sánh các đoạn thẳng AM, MN, NA’ 4 3 b)So sánh diện tích hai tam giác ABC và MNP 38.Cho tam giác ABC ,M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng vectơ 47*.Cho tam giác đều ABC tâm O và M là điểm tuỳ ý bên trong của tam giác. v= MA– 3MB+ 2MC không phụ thuộc vào vị trí điểm M Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của M xuống 3 cạnh . Chứng minh rằng : 39.Cho tam giác ABC.Trên các cạnh BC ,CA ,AB lấy các điểm M,N,P sao cho 3 1 1 1 MD + ME + MF = MO BM = MC , CN = NA , AP = BP 2 2 2 2 48*.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý 1 1 a)Chứng minh rằng : AM= (2AB+ AC) ; BN= (2BC+ BA) a)Chứng minh rằng vectơ v = MA + 2MB – 3MC không phụ thuộc vị trí điểm M 3 3 b)Dựng điểm D sao cho CD = v ,CD cắt AB tại K. Chứng minh rằng 1 KA + 2KB = 0 và CD = 3CK CP= (2CA+ CB) 3 49*.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam b)Chứng minh rằng : AM + BN+ CP = 0 giác , gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O 40*.Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng a) Chứng minh rằng HBDC là hình bình hành OA + OB + OC + OD + OE = 0 b) Chứng minh rằng HA + HB + HC = 2HO 41*.Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC ,CA và OA + OB + OC = OH ,AB .Đặt BN = a ;CP = b .Tính các vectơ AB ;BC ;CA theo các vectơ a và b c)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng OH = 3OG 42* Cho tam giác ABC .Đặt CA= a ;CB= b. Lấy các điểm A’ và B’ sao cho CA' Kết luận gì về ba điểm O, H ,G = ma ; CB'= nb. Gọi I là giao điểm của A’B và B’A. Hãy tính vectơ CI theo hai 50*.Trong đường tròn (O) cho 3 dây cung song song AA1 ,BB1 ,CC1 . Chứng vectơ a và b minh rằng trực tâm của ba tam giác ABC1 ,BCA1 ,và CAB1 thẳng hàng 43*.Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b 51*.Cho hai điểm A và B cố định, M là điểm tuỳ ý và P là điểm xác định bởi : a)Gọi CM là đường phân giác trong của góc C. Hãy tính vectơ CM theo các MP = MA + 3MB vectơ CA và CB Chứng minh rằng đường thẳng MP đi qua một điểm cố định b)Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng : 52*.Cho tam giác ABC .Gọi M ,N ,P là những điểm xác định bởi: aIA + bIB+ cIC= 0 MB = kMC ;NC = kNA ;PA = kPB (k  1) 44*.Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB a)Vẽ các điểm M,N,P khi k = 3 cắt các đoạn thẳng AM, AC, BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên b)Với k tuỳ ý khác 1,chứng minh rằng : (k – 1)OM = kOC – OB với O là một cạnh AB sao cho FG//AC. Chứng minh rằng ED= GB. Suy ra hai tam giác ADE điểm tuỳ ý và BFG có diện tích bằng nhau c)Chứng minh rằng  k  1,hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm 45*.Cho hình thang ABCD có các cạnh đáy là AB và CD. Chứng minh rằng nếu 53*.Gọi I và J là trung điểm các đoạn AB và CD ,M và N là các điểm xác định cho trước một điểm M nằm trên cạnh AD thì sẽ tìm được một điểm N nằm trên bởiMA + kMC = 0 ;NB + kND = 0 (k  – 1).Gọi O là trung điểm MN cạnh BC sao cho AN//MC và DN//MB 1 1 46*.Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A’, a)Chứng minh rằng : OI = (MA + NB) và OJ = (MC + ND) 2 2 B’, C’ sao cho A’B = 2A’C; B’C = 2B’A; C’A = 2C’B. Gọi M = AA’  BB’; b)Từ đó chứng minh : OI + kOJ = 0.Kết luận gì về ba điểm O , I , J ? -3Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Phạm Viết Sĩ c)Gọi P và Q là hai điểm xác định bởi PA + kPD = 0 và QB + kQC =0 65.Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi D và E là các điểm xác định bởi: Chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn PQ AD= 2AB ; 5AE = 2AC 54.Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho vectơ a)Tính DEvàDG theo AB và AC = + + 2 có độ dài nhỏ nhất b)Chứng minh rằng 3 điểm D,E,G thẳng hàng u MA MB MC 55*.Cho tứ giác ABCD. Với số k tuỳ ý,ta lấy các điểm M và N sao cho c)Gọi K là trung điểm DE và M là điểm xác định bởi BM= xBC = k và = k .Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN Tính AK;AM theo AB;AC và x và xác định x để A,K,M thẳng hàng AM AB DN DC 56.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ,chứng minh rằng : 66. Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi H là điểm đối xứng với G qua C và 1 K là các điểm đối xứng với A qua B a) GA+ GB+ GC = 0 b) AG = (AB+ AC) a)Chứng minh rằng: 3AH= 5AC – AB 3 b)Chứng minh rằng: 3HK = 5CB + 2AB 57.Cho ba vectơ OA;OB;OC có độ dài bằng nhau và c)Gọi M là điểm xác định bởi BM= xAC xác định x để H,K,M thẳng hàng OA+ OB+ OC = 0 .Tính các góc AOB ;BOC ;COA 67.Cho tam giác ABC. M là điểm sao cho AM = 3MB ,N là điểm sao cho BN = 58.Gọi G,G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ 3MC, L là điểm sao cho AL = xAC . Xác định x để M,N,L thẳng hàng a)Chứng minh rằng : AA'+ BB'+ CC'= 3GG' 68.Cho tam giác ABC , M là điểm thỏa mãn BM = BC – 2AB và N là điểm thỏa 1 1 1 b)Gọi M,N,P là các điểm thoả: MA= MB , NB= NC , PC= PA CN = xAC – BC 3 3 3 a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng Chứng minh rằng các tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm IM 59.Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là các điểm chia các đoạn thẳng b)Xác định x để MN đi qua trung điểm I của BC.Tính tỉ số IN AB,BC,CA theo cùng một tỉ số k  1 . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và 1 MNP có cùng trọng tâm 69.Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho CI = CA, J là điểm thỏa 60.Cho tam giác ABC và hai điểm M,N thoả: 2MA+ 3MB = 0 4 và NA+ 3NC = 0 . Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của 1 2 BJ = AC – AB tam giác ABC 2 3 61.Cho tam giác ABC và 3 vectơ cố định u;v;w. Với mỗi số t  R,lấy các điểm 3 a)Chứng minh rằng : BI = AC – AB A’, B’ ,C’ sao cho AA'= tu, BB'= tv, CC'= tw.Tìm quĩ tích trọng tâm G của tam 4 giác A’B’C’ khi t thay đổi b)Chứng minh rằng B ,I ,J thẳng hàng 62.Cho tam giác ABC và một điểm O bất kỳ. Chứng minh rằng điểm M ta c) Dựng điểm J thỏa mãn điều kiện bài toán luôn luôn tìm được 3 số , ,  sao cho:  +  +  = 1 và 1 70.Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AB ,F OM= OA+ OB+ OC.Nếu điểm M trùng với trọng tâm của tam giác ABC thì n các số , ,  bằng bao nhiêu? 1 63.Cho các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm G . Gọi G1,G2,G3 lần là điểm trên cạnh AC sao cho AF = AC. Chứng minh rằng E,D,F thẳng n + 1 lượt là trọng tâm của các tam giác BCA’ ; CAB’ ; ABC’ hàng Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác G1G2G3 71.Cho tam giác ABC có trực tâm H,các đường cao là AA’ ,BB’ ,CC’. Chứng 64.Cho tam giác ABC, M là điểm đối xứng của trọng tâm G qua B. Phân tích minh rằng : HA theo HB và HC -4Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Phạm Viết Sĩ a)Tìm toạ độ các điểm C,D sao cho : CA = – 2CB và DA= 2DB b)Gọi I,J là trung điểm của AB và CD ,chứng minh rằng AB2 + CD2 = 4IJ2 ; IA2 = IC.ID ; AC.AD= AB.AJ. a) tanB.A'B + tanC.A'C = 0 b) tanA.HA + tanB.HB + tanC.HC = 0 72.Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M ,N thỏa 3AM = AB , 2DN = DC a) Tính AN theo AB và AC b) Gọi I và J là hai điểm thỏa BI =  BC ,AJ =  Tính AI ,AJ theo AB, AC  ,  1 73.Cho tam giác ABC, M là điểm trên AC sao cho AM= MC ,G là trọng tâm 3 AN tam giác ABC, MG cắt đường thẳng AB tại N.Tính AB 74.Cho tg ABC.Tìm tập hợp các điểm M thỏa a)MA + MB = MB + MC b) MA+ 2MB – 3MC = 0. Tọa độ Oxy 1.Cho a = (1;3),b = (2;– 5),c = (4;1) a)Tìm tọa độ vectơ u = 2a – b + 3c b)Tìm tọa độ vectơ x sao cho x + a = b– c c)Tìm các số k và h sao cho c = ka + hb 2.Cho u = 2i– 3j và v = ki + 4j. Tìm các giá trị của k để hai vectơ uvà v cùng phương 3.Cho các vectơ a = (– 1;4),b= (2;– 3),c= (1;6) Phân tích c theo avà b 4.Cho 3 vectơ a = (m;m) , b= (m – 4;1) , c= (2m + 1;3m – 4). Tìm m để a+ b cùng phương với c 5.Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương không?Nếu cùng phương thì có cùng hướng không? a) a = (2;3) , b = (– 10;– 15) b) a = (2;3) , b = (– 10;– 15) c) a = (0;7) , b = (0;8) d) a = (– 2;1) , b = (– 6;3) e) a = (0;5) , b = (3;0) 6.Cho các vectơ a= (3;1) , b= (2;1) c= (4;1) Tìm các số x,y sao cho x.a+ y.b + 7c = 0 7.Cho các điểm A(– 3;2) ,B(2;4) ,C(3;– 2). a)Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC b)Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD c) Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành 8.Cho 3 điểm A(– 2;– 3) ,B(2;1) ,C(2;– 1) a)Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành b)Gọi E là điểm đối xứng với D qua A. Chứng minh rằng ACBE là hình bình hành 9.Cho tam giác ABC có A(– 1;1), B(5;– 3), đỉnh C nằm trên trục Oy và trọng tâm G nằm trên trục Ox. Tìm toạ độ đỉnh C. Toạ độ trên trục 1.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C lần lượt có toạ độ là 2,– 3,1 a)Tính AB , AB – 2AC ,CB b)Tìm toạ độ trung điểm I của AB c)M là điểm đối xứng với A qua B, N là điểm đối xứng với M qua A .Tìm N 2.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C lần lượt có toạ độ là 1,– 3,5 a)Tìm toạ độ điểm D sao cho DA = 3DB b)Tìm toạ độ điểm M sao cho MA + MB+ MC = 0 c)Tìm toạ độ điểm N sao cho 2NA – NB+ 5MC = 0 3.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C và I là trung điểm BC,chứng minh rằng : a) AB+ AC = 2AI b) AB.AC = AI2 – BI2 c) AB2 + AC2 = 2(AI2 + BI2 ) d) AB2 – AC2 = 2BC.IA 4.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C,D , chứng minh rằng : a) AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0 b) AB2.CD + AC2.DB + AD2.BC + CD.DB.BC = 0 5.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B lần lượt có toạ độ là – 1, 2 -5-. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Phạm Viết Sĩ 3 1 Chứng minh rằng: AK = AB + AC 4 4 3.Cho tam giác đều ABC cá cạnh bằng 1,điểm O trùng với gốc tọa độ, cạnh AB song song với Ox,A là điểm có tọa độ dương.Tính tọa độ hai đỉnh A và B Đề 3 (NC) 1. Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A. Chứng minh rằng : a) BB'+ DD'= CC' b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm 2.Trong mo Oxy cho hai điểm A(1;4) và B(2;2). Đường thẳng đi qua hai điểm A và B cắt trục Ox tại M và cắt trục Oy tại N.Tính diện tích tam giác OMN Đề 4(NC) 1.Cho tam giác OAB.Đặt OA = a ,OB = b.Gọi C ,D ,E là các điểm sao cho AC = 1 1 2AB ,OD = OB ;OE = OA 2 3 a)Hãy biểu thị các vectơ OC,CD,DE qua các vectơ a và b b)Chứng minh rằng: ba điểm C ,D ,E thẳng hàng 2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm G(1;2).Tìm tọa độ điểm A  Ox và điểm B  Oy sao cho G là trọng tâm tam giác OAB. 10Cho tam giác ABC biết trọng tâm G(1;2),trung điểm của BC là D(– 1;– 1), trung điểm cạnh AC là E(3;4).Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C 11.Cho các điểm A(2;3) ,B(9;4) ,M(x;– 2) Tìm x để 3 điểm A,B,M thẳng hàng 12.Cho các điểm A(1;1) ,B(3;2) ,C(m + 4;2m + 1),Tìm m để A ,B ,C thẳng hàng 13.Cho 3 điểm A(– 1;8) ,B(1;6) ,C(3;4). Chứng minh rằng: A ,B ,C thẳng hàng 14.Cho 4 điểm A(0;1) ,B(1;3) ,C(2;7), D(0;3). Chứng minh rằng: hai đường thẳng AB và CD song song 15.Cho 4 điểm A(– 2;– 3) ,B(3;7) ,C(0;3), D(– 4;– 5). Chứng minh rằng: hai đường thẳng AB và CD song song 16.Cho các điểm A(– 4;5) , B(1;2) ,C(2;– 3) a)Chứng minh rằng: ba điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác b)Tìm tọa độ điểm D sao cho AD = – 3BC + AC c)Tìm tọa độ điểm E sao cho O là trọng tâm của tam giác ABE 17.Cho tam giác ABC ,các cạnh BC ,CA ,AB lần lượt có trung điểm là M(– 2;1) ,N(1;– 3) ,P(2;2) a)Tìm tọa độ các đỉnh A ,B ,C b)Chứng minh rằng: các tam giác ABC và MNP có trọng tâm trùng nhau Đề kiểm tra. Tích vô hướng 1.Cho hai vectơ avàb. Chứng minh rằng : 1  2 2 2 1 2 2  2 1  2  2 a.b=  a  b  a  b  =  a  b  a  b  =  a  b  a  b  2  2  4  2.Cho hai vectơ a ,b có a = 5 , b = 12 và a + b = 13.Tính tích vô hướng a.(a + b) và suy ra góc giữa hai vectơ a và a + b 3.Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi H là trung điểm BC,tính a) AH.BC b)AB.AC c) AC.CB 4.Cho hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.Tính: a)AB.AC b)OA.AC c) AC.CB 5. Tam giác ABC có AC = 9 ,BC = 5 ,C = 90o ,tính AB.AC 6. Tam giác ABC có AB = 5 ,AC = 4 ,A = 120o a)tính AB.BC b) Gọi M là trung điểm AC tính AC.MA 7. Tam giác ABC có AB = 5 ,BC = 7 ,CA = 8. Đề 1(CB) 1.Cho hình bình hành ABCD tâm O.Tính các vectơ sau: a) AO+ BO+ CO+ DO b) AB+ AD+ AC c) OC– OD 2.Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB ,BC ,CD ,DA. Chứng minh rằng: a) MN = QP bMP = MN + MQ 3.Cho tg ABC có trọng tâm G.Gọi M ,N ,P lần lượt là trung điểm các cạnh AB ,BC ,CA. Chứng minh rằng: GM + GN + GP = 0 4.Xét ba điểm sau có thẳng hàng không: A(2;– 3) , B(5;1) , C(8;5) Đề 2(CB) 1.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O a) Chứng minh rằng: AB + AD = AB – AD b)Với điểm M tùy ý,chứng minh rằng: MA+ MC = MB + 0MD 2.Cho tam giác ABC.Gọi I là trung điểm của BC ,K là trung điểm của BI -6-. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Phạm Viết Sĩ a)Tính AB.AC rồi suy ra giá trị góc A b)Tính CA.CB. BC.AD + CA.BE + AB.CF= 0 18.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N là hai điểm trên (O) và I = AM∩BN. Chứng minh rằng : a) AI.AM = AI.AB b) BI.BN = BI.BA c) AI.AM + BI.BN= 4R2 19.Cho 4 điểm A,B,C,D tuỳ ý a) Chứng minh rằng : AB.CD+ AC.DB+ AD.BC= 0 b)Từ đó chứng minh rằng trong một tam giác,ba đường cao đồng qui 20.Cho tam giác ABC cân tại A.Gọi H là trung điểm của BC,và D là hình chiếu của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM BD 21.Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm BC và CD. Chứng minh rằng : AN  DM 22.Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC, M và N lần lượt là trung điểm của AK và DC . Chứng minh rằng : BM  MN 23.Cho hình thang ABCD vuông tại A và B. AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm điều kiện giữa a ,b ,h để a) AC  BD b) IA  IB với I là trung điểm CD 24.Cho tam giác ABC có AB = 3 ;AC = 6 và A = 45o . Gọi L là chân đường phân giác trong của góc A a)Tính AB.AC b)Tính AL theo AB và AC  độ dài của AL c)M là điểm trên cạnh AC sao cho AM = x. Tìm x để AL  BM 25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a và A = 120o a) Tính BC và BA.BC b)Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho BN = x. Tính AN theo AB và AC,x c)Tìm x để AN  BM 26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng: AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 2AC.DB 27.Cho tam giác ABC có H là trực tâm và M là trung điểm của BC 1 Chứng minh rằng : MH.MA = BC2 4 28.Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H ,K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABO và CDO; I và J là trung điểm của AD và BC.. 1 c)Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = CA .Tính CD.CB 3 8.Cho hai vectơ a và b thỏa mãn |a| = 3 , |b| = 5 và (a,b) = 120o Với giá trị nào của m thì hai vectơ a + mb và a – mbvuông góc nhau 9. Tam giác ABC có AB = 4 ,AC = 8 và góc A = 60o .Trên tia AC lấy điểm M và đặt AM = kAC.Tìm k để BM vuông góc với trung tuyến AD của tam giác ABC 10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a và hai trung tuyến BM, CN vuông góc nhau . Tính cosA 11. Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11 a)Tính AB.AC b)Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 4.Tính AM.AN 12.Cho O là trung điểm AB,M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng : MA.MB = OM2 – OA2 13.Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm thuộc cạnh BC.Tính MA.AB và MO.AB 14.Cho tứ giác ABCD , I là trung điểm BC, chứng minh rằng : a) AB.AC = IA2 – IB2 1 b) AB.AC = (AB2 + AC2 – BC2) 2 1 c) AB.CD = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2) 2 15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng : MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 16.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c. Gọi G là trọng tâm,hãy tính: a) AB.AC b)GA.GB c) GA.GB + GB.GC + GC.GA 1 d) Chứng minh rằng : BC.CA + CA.AB + AB.BC = – (a2 + b2 + c2) 2 e)Tính AG theo a ,b ,c 17.Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng : -7-. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Phạm Viết Sĩ a) MA +MC = MB +MD Chứng minh rằng HK  IJ b) MA.MC = MB.MD 28.Cho đường tròn (O;R) và hai dây cung AA’ ,BB’ vuông góc nhau tại S. Gọi M là trung điểm của AB. chứng minh rằng: SM  A’B’ c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2 d) MA2 + MB.MD = 2MA.MO 29.Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích những điểm M thoả mãn : a) AM.AB = AC.AB 38.Cho tam giác ABC và các hình vuông ABED, ACHI ,BCGH 2 Chứng minh rằng : b) MA + MA.MB + MA.MC = 0 I a) (AD+ BF).AC= 0 c) MA2 = MC.MA b) (AD+ BF+ CH).AC= 0 d) (MA+ MB).(MA+ MC) = 0 D c) AD+ BF+ CH= 0 e) (MA – MB).(2MB – MC) = 0 H d) + + = AE BG CI 0 30.Cho điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng , H là hình chiếu của A trên A 39.Cho tam giác ABC vuông tại A, ABE = c, AC = b. Gọi M là điểm trên cạnh .Với mỗi điểm M trên , ta lấy điểm N trên tia AM sao cho AN.AM = AH2. BC sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN Tìm quĩ tích các điểm N a) Tính vectơ AMvàCNtheo hai vectơ ABvàAC 31.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M,gọi P C b)Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho AMB  CN là trung điểm đoạn thẳng AD. 40.a)Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm (O,R). M là một điểm Chứng minh rằng MP  BC  MA.MC= MB.MD tuỳ ý trên đường tròn . Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 32*. Xác định dạng của tam giác ABC biết rằng: b) Tổng quát bài toán trên cho một đa giác đều n cạnh (AB.BC)CA + (BC.CA)AB +(CA.AB)BC = 0 41*.Cho lục giác đều A1A2…A6 nội tiếp trong đường tròn (O,R) và một điểm M AC 33.Cho hình vuông ABCD,điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM = thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng : 4 G a) cos MÔA 1 + cos MÔA 2 + …+ cos MÔA 6 =F0 N là trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân 2 2 2 2 b) MA1 + MA2 + …+ MA6 là một hằng số ( = 12R ) 34.Cho AA’ là một dây cung của đường tròn (O) và M là một điểm nằm trên dây 42*.Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O,R) ,M là một điểm bất cung đó. Chứng minh rằng 2MA.MO= MA(MA – MA’) kỳ trên đường tròn 35.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M sao cho các o a)Chứng minh rằng : MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 góc AMB ,BMC ,CMA đều bằng 120 .Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt b)Chứng minh rằng : MA2 + 2MB.MC = 3R2 đường tròn (O) lần lượt tại A’ ,B’ ,C’. Chứng minh rằng: c)Suy ra nếu M ở trên cung nhỏ BC thì MA = MB + MC MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’ 43.Cho tam giác ABC có A = 60o ,AB = 6 ,AC = 8 , gọi M là trung điểm BC 36*.Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C qua a)Tính độ dài đoạn AM và độ dài đường phân giác trong của góc A đường thẳng AB , M là trung điểm cạnh CB 44*. Tam giác ABC có tính chất gì,biết rằng: a)Xác định trên đường thẳng AC một điểm N sao cho tam giác MDN vuông tại (AB.BC)CA+ (BC.CA)AB+ (CA.AB)BC = 0 D.Tính diện tích tam giác đó. 45.Cho tam giác ABC có AB = AC = 5 , góc BAC = 120o nội tiếp trong đường b)Xác định trên đường thẳng AC một điểm P sao cho tam giác MPD vuông tại tròn tâm I. Gọi D là trung điểm AB và E là trọng tâm của tam giác ADC M.Tính diện tích tam giác đó. a)Tính AB.AC c) Tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD 37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý,chứng minh rằng : b)AH là đường cao của tam giác ABC.Tính AH theo AB và AC -8Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Phạm Viết Sĩ c)Chứng minh rằng IE  CD 46.Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AC, BD, BC và AD. Đặt u = AB ,v = AC ,w = AD 1 1 a)Chứng minh rằng : MN = (u + w – v) ; PQ = (u + v – w) 2 2 b)Chứng minh rằng :nếu MN = PQ thì AB  CD.Điều ngược lại có đúng không? 47.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a ,b ,c. Gọi D là trung điểm AB và I là điểm thỏa IA + 3IB – 2IC = 0 a)Chứng minh rằng BCDI là hình bình hành b)Tính CI.AB theo a ,b ,c c)M là một điểm tùy ý, chứng minh rằng : MA2 + 3MB2 – 2MC2 = 2MI2 + IA2 + 3IB2 – 2IC2 d)Khi M chạy trên đường thẳng (d) cố định,hãy tìm vị trí của M để biểu thức MA2 + 3MB2 – 2MC2 nhỏ nhất 48.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý a)Chứng minh rằng vectơ v = MA + 2MB – 3MC không phụ thuộc vị trí điểm M b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, chứng minh rằng : 2MA2 + MB2 – 3MC2 = 2MO.v c)Tìm quĩ tích điểm M sao cho 2MA2 + MB2 = 3MC2 49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1) Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông cân tại A 50 .Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1) a)Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành b)Kẻ đường cao AH .Tìm tọa độ chân đường cao H 51.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) và D(0;– 2). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD là hình thang cân 52.Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0) a)Chứng minh rằng: 3 điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác b)Tính góc B của tam giác ABC 53.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trên trục hoành.Tìm giá trị nhỏ nhất của MA + MB 54.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn 55.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn -9Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>