Lời giải một số bài toán về bất đẳng thức và cực trị

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN. LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ. 1/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTNN của BT: 𝒙𝟐 (𝒚 + 𝒛) 𝒚𝟐 (𝒙 + 𝒛) 𝒛𝟐 (𝒚 + 𝒙) 𝑷= + + 𝒚𝒛 𝒙𝒛 𝒚𝒙 Giải: Theo BĐT Cô-si ta có: 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒚𝟐 + + ≥ 𝟑𝒙 → 𝟑𝑷 ≥ 𝟑 𝒙 + 𝒚 + 𝒙 + 𝒛 + 𝒛 + 𝒚 = 𝟔 → 𝑷 ≥ 𝟐 𝒚 𝒚 𝒙. 2/ Cho 3 số thực dương x, y, z. Tìm GTLN của BT: 𝑺=. 𝒙 𝒙+. 𝒙 + 𝒚 (𝒙 + 𝒛). +. 𝒚 𝒚+. 𝒙 + 𝒚 (𝒚 + 𝒛). +. 𝒛 𝒛+. 𝒛 + 𝒚 (𝒙 + 𝒛). Giải: Ta có: 𝒙 𝒙+. 𝒙 + 𝒚 (𝒙 + 𝒛). =. 𝒙. 𝒙 + 𝒚 (𝒙 + 𝒛) − 𝑥 𝒙 𝒙 + (𝒚 + 𝒛) 𝟐 − 𝒙 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 ≤ = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑧 − 𝒙𝟐 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧). Tương tự cho các số hạng khác; từ đó suy ra: 𝑆≤. 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 𝑧𝑦 + 𝑥𝑧 + + =1 2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) 2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) 2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧). 3/ Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn đk: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟑. Tìm GTLN của BT: 𝑨 = 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒛𝒙 + 𝟓 (𝒙 + 𝒚 + 𝒛) Giải: Ta có: 𝟑 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 ≥ 𝒙 + 𝒚 + 𝒛. 𝟐. ≥ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 ≥ 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒛𝒙 ≥ 𝟎. →𝟑 ≥𝒕 =𝒙+𝒚+𝒛≥ 𝟑→𝑨≤ 𝒙+𝒚+𝒛. 𝟐. 𝟑 + 𝟓 (𝒙 + 𝒚 + 𝒛) = 𝒕𝟐 𝟑 + 𝟓 𝒕 = 𝒇(𝒕). → 𝒇 𝒕 ≤ 𝒇 𝟑 = 𝟏𝟒 𝟑 4/ Cho tg ABC có độ dài các cạnh là a, b, c. CMR: 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 + 𝟑𝒂𝒃𝒄 ≥ 𝒂 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝒃 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝒄(𝒃𝟐 + 𝒂𝟐 ). Giải: BĐT cần chứng minh tương đương với: Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN. 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 − 𝒂𝒃 𝒂 + 𝒃 + 𝒄𝟑 + 𝒃𝟑 − 𝒄𝒃 𝒄 + 𝒃 + 𝒂𝟑 + 𝒄𝟑 − 𝒂𝒄 𝒂 + 𝒄 ≥ 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 − 𝟑𝒂𝒃𝒄 ↔ 𝒂+𝒃 𝒂−𝒃. 𝟐. + 𝒄+𝒃 𝒄−𝒃. 𝟐. + (𝒂 + 𝒄)(𝒂 − 𝒄)𝟐 ≥. × (𝒂 + 𝒃 + 𝒄) 𝟐 ↔ (𝒂 + 𝒃 − 𝒄) 𝒂 − 𝒃. 𝟐. 𝒂−𝒃. + 𝒄+𝒃−𝒂 𝒄−𝒃. 𝟐. 𝟐. + 𝒄−𝒃. 𝟐. + (𝒂 − 𝒄)𝟐. + (𝒂 + 𝒄 − 𝒃)(𝒂 − 𝒄)𝟐 ≥ 𝟎. 5/ Cho 𝒂, 𝒃, 𝒄 > 0&𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝟑 𝟒. Tìm GTNN của BT: 𝑷=𝟏. Giải: Ta có 𝑷 = 𝟏. 𝟑. 𝟑. 𝒂 + 𝟑𝒃 + 𝟏. 𝒂 + 𝟑𝒃 . 𝟏. 𝟏 + 𝟏. 𝟑. 𝟑. 𝒃 + 𝟑𝒄 + 𝟏. 𝒃 + 𝟑𝒄 . 𝟏. 𝟏 + 𝟏. 𝟑. 𝒄 + 𝟑𝒂. 𝟑. 𝒄 + 𝟑𝒂 . 𝟏. 𝟏 ≥. 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑×𝟗 𝟐𝟕 + + ≥ = =𝟑 𝒂 + 𝟑𝒃 + 𝟐 𝒃 + 𝟑𝒄 + 𝟐 𝒄 + 𝟑𝒂 + 𝟐 𝟒 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝟔 𝟗. 6/ Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn đk: 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 ≤ 3. Chứng minh BĐT: 3𝑥𝑦 625𝒛𝟒 + 4 + 15𝑦𝑧 𝒙𝟒 + 4 + 5𝑧𝑥 81𝒙𝟐 + 4 ≥ 45 5𝑥𝑦𝑧. Giải: Đặt 𝑥 = 𝒂𝟓 ; 3𝑦 = 𝒃𝟓 ; 5𝑧 = 𝒄𝟓 𝑡𝑕ì 𝑡ừ 𝐺𝑇 𝑡𝑎 𝑐ó: 𝒂𝟓 + 𝒃𝟓 + 𝒄𝟓 ≤ 3 . Theo BĐT Cô-si ta có: 3𝒂𝟓 + 2 ≥ 5𝒂𝟑 → 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 ≤ 3. Cũng theo BĐT Cô-si ta có: 3𝑥𝑦 625𝒛𝟒 + 4 = 𝒂𝟓 𝒃𝟓 𝒄𝟐𝟎 + 4 ≥ 𝒂𝟓 𝒃𝟓 5𝒄𝟒 = 5𝒂𝟓 𝒃𝟓 𝒄𝟐 → 𝑉𝑇 ≥ 5𝒂𝟓 𝒃𝟓 𝒄𝟓 × 𝒂−𝟑 + 𝒃−𝟑 + 𝒄−𝟑 ≥. 5𝒂𝟓 𝒃𝟓 𝒄𝟓 × 9 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 ≥ 3 5 𝒂𝟓 𝒃𝟓 𝒄𝟓 → đ𝑝𝑐𝑚.. 7/ Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn đk a + b + c = 1. Tìm GTNN của BT: 𝒂𝟑 𝒃𝟑 𝒄𝟑 𝑆= + + (𝟏 − 𝒂)2 (𝟏 − 𝒃)2 (𝟏 − 𝒄)2. Giải: Theo BĐT Cô-si ta có: 𝒂𝟑 1 − 𝑎 1 − 𝑎 3𝑎 + + ≥ . 𝑇ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑡𝑎 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑐á𝑐 𝐵Đ𝑇 𝑘𝑕á𝑐; 𝑡ừ đó 𝑠𝑢𝑦 𝑟𝑎: (𝟏 − 𝒂)2 8 8 4 𝑆+. 1 − 𝑎 + 1 − 𝑏 + 1 − 𝑐 3(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 3 2 1 ≥ → 𝑆 ≥ − = → 𝑀𝑖𝑛𝑆 = 0,25 4 4 4 4 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN. 3x 2  4 2  y 3 8/ Cho x, y > 0 TMĐK 𝑥 + 𝑦 ≥ 4. 𝑇ì𝑚 𝐺𝑇𝑁𝑁 𝑐ủ𝑎 𝐵𝑇: P  .  4x y2. Giải: Theo BĐT Cô-si ta có: P . 3x 2  4 2  y 3 x  y x 1 2 y y      2    2  1  1,5  4,5 4x y2 2 4 x y 4 4. 9/ Cho 2 số thực x, y TMĐK 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝒚2 = 1. Tìm GTNN và GTLN của BT: 𝑃 = (𝑥 𝟒 + 𝒚𝟒 + 1) (𝑥 2 + 𝒚2 + 1) . Giải:Từ GT ta suy ra: (𝑥 − 𝒚)2 = 1 − 𝑥𝑦 ≥ 0; (𝑥 + 𝒚)2 = 1 + 3𝑥𝑦 ≥ 0 → 1 ≥ 𝑡 = 𝑥𝑦 ≥ − 1 3 t 2  2t  2  f (t ) . Do PT f’(t) = 0 có nghiệm t  6  2  (1/ 3;1) nên Ta có: P  t2. 𝑀𝑎𝑥𝑃 = 𝑓. 6 − 2 = 6 − 2 6 ; 𝑀𝑖𝑛𝑃 = 𝑓 1 = 1 .. 10/ Cho 2 số thực x, y TMĐK 𝟐(𝑥 2 + 𝒚2 ) = 𝑥𝑦 + 1. Tìm GTNN và GTLN của BT: 𝑃 = (𝑥 𝟒 + 𝒚𝟒 ) (2𝑥𝑦 + 1) . Giải:Từ GT ta suy ra: (𝑥 − 𝒚)2 = 0,5 − 1,5𝑥𝑦 ≥ 0; (𝑥 + 𝒚)2 = 0,5 + 2,5𝑥𝑦 ≥ 0 1 1 −7𝒕2 + 2𝑡 + 1 → − ≤ 𝑡 = 𝑥𝑦 ≤ 𝑣à 𝑃 = = 𝑓 𝑡 𝐷𝑜 𝑓 ′ 5 3 4(2𝑡 + 1). 𝑡. = 0 𝑘𝑕𝑖 𝑡 = 0 𝑛ê𝑛. 𝑀𝑎𝑥𝑃 = 𝑓 0 = 1 4 ; 𝑀𝑖𝑛𝑃 = 𝑓(− 1 5) = 𝑓 1 3 = 2 15. 11/ Cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn đk 𝒂2 + 𝒃2 = 1 𝑣à 𝑐 − 𝑑 = 3. CMR: 𝐹 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 − 𝑐𝑑 ≤ (9 + 6 2) 4 . Giải:Từ GT ta suy ra: c = d + 3 và theo BĐT Bunhiacốpxki ta có: 𝐹≤. 𝒂2 + 𝒃2 . 𝒄2 + 𝒅2 − 𝑑 + 3 𝑑 =. (𝒅 + 𝟑)2 + 𝒅2 − 𝒅2 + 3𝑑 = 𝑡 − 0,5(𝒕2 − 9). = (−𝒕2 + 2𝑡 + 9) 2 = 𝑓 𝑡 . 𝑇𝑎 𝑐ó: 𝒕2 = 2(𝒅 + 𝟏, 𝟓)2 + 4,5 ≥ 4,5 → 𝑡 ≥ 3 𝐷𝑜 𝑓 ′ 𝑡 = 1 − 𝑡 > 0 𝑣ớ𝑖 𝑡 ≤ − 3 𝑡 ≤ −3 𝑣ớ𝑖 𝑡 ≥ 3. 2 → 𝑓 𝑡 ≤ 𝑓 −3. 2 (1) ; 𝑓 ′ 𝑡 = 1 − 𝑡 < 0 𝑣ớ𝑖 𝑡 ≥ 3 2 (2). Từ (1) và (2) ta suy ra đpcm. Lop12.net. 2. 2 = (9 − 6 2) 4 𝑣ớ𝑖. 2→𝑓 𝑡 ≤𝑓 3. 2 = (9 + 6 2) 4.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>