Các dạng lượng giác

<span class='text_page_counter'>(1)</span>I.Phương trình lượng giác: 1.Các công thức lượng giác: Hệ thức cơ bản. Công thức cộng. Công thức hạ bậc. sin( a  b)  sin a cos b  sin b cos a. sin 2 a  cos 2 a  1 sin a tan a  cos a cos a cot a  sin a tan a. cot a  1 1  1  cot 2 a sin 2 a 1  1  tan 2 a 2 cos a. cos( a  b)  cos a cos b  sin sin b tan a  tan b tan( a  b)  1  tan a tan b. 1  cos 2 a 2 1  cos 2 a tan 2 a  1  cos 2 a sin 2 a . Công thức nhân đôi. cos 2 a . 1  cos 2 a 2. Công thức biến đổi tổng thành tích. Sin2a=2sinacosa Cos2a=cos2a– sin2a= 2cos2a–1 2 tan a tan 2 a  1  tan 2 a. 2cosacosb=cos(a+b)+cos(a-b) 2sinasinb=coa(a-b)-cos(a+b) 2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b) 2sinbcosa=sin(a+b)-sin(a-b). Công thức biến đổi tổng thành tích sin( p  q) cos p cos q sin( p  q) tan p  tan q  cos p cos q. p q p q cos 2 2 p q p q cos p  cos q  2 sin sin 2 2 p q p q sin p  sin q  2 sin cos 2 2 p q p q sin p  sin q  2 cos sin 2 2. 2t 1  t2 cos a  1  t2 1  t2 2t  a tan a   t  tan  2 2 1 t . tan p  tan q . cos p  cos q  2 cos. sin a .   sin a  cos a  2 sin a   4 .   sin a  cos a  2 sin a   4 . Công thức nhân 3 Sin3x = 3sinx - 4sin3x Cos3x = 4cos3x – 3cosx. sin 3 x . 3 sin x  sin 3x 4. cos 3 x . cos 3x  3 cos x 4. Các bất đẳng thức lượng giác cần nhớ:. x  R : 1  sin x  cos x.  1  cos x  1. x  R :  a 2  b 2  a sin x  b cos x . II.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.Phương trình cơ bản:  f ( x)  g ( x)  2k sin f ( x)  sin g ( x)   kZ  f ( x)    g ( x)  2k  f ( x)  g( x)  k  tanf(x) =tang(x)   kZ   f ( x)  2  k. 2/ Phương trình đặt biệt: sinx = 0  x = k , sinx = 1  x = cosx = 0  x =.  2.  2. a 2  b2. cosf(x) = cosg(x)  f(x) = ±g(x)+2k với k Z.  f ( x)  g( x)  k kZ  f ( x)  k. cotf(x) = cotg(x)  . + k2 ,sinx = -1  x = -.  2. + k2. + k  , cosx = 1  x = k2 , cosx = -1  x =  + k2 . Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 3/ Phương trình bậc bậc 2 chỉ chứa một hàm số lượng giác : Định nghĩa: Là phương trình có dạng at 2  bt  c  0 a  0  trong đó t là một trong bốn hàm số lượng giác: sin x, cos x, tan x, cot x Cách giải:. Bước 1: Đặt t bằng hàm số lượng giác có trong phương trình; Bước 2: Đặt điều kiện với ẩn phụ t ( t = sinx, t = cosx t  1) Bước 3: Giải phương trình tìm t (thoả mãn điều kiện); Bước 4: Với mỗi t thoả mãn ta có phương trình lượng giác cơ bản  nghiệm x 4/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .. Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2  0 Điều kiện phương trình có nghiệm : a 2  b 2  c 2  0 Cách giải Bước 1: Chia 2 vế cho a 2  b 2 Bước 2: Ñaët sin . a. pt . a b. 2. cos x . b. a b 2. 2. sin x . b.  cox sin   sin x sin   a  b2   c Bước 3: Giải phương trình sin(x  )  sin arcsin 2 2  a b   a b 2. 2. ; cos  . a. 2. 2. c a  b2 c 2. a 2  b2. 5)Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx : Dạng :asin2x +b sinx cosx + c cos2x = d . (1) Cách giải 1: Bước 1:.   k ( k  Z) => sin2x = 1 (1)=>a=d 2  Nếu đẳng thức đúng =>x =  k ( k  Z) là một nghiệm của pt 2 Bước 2: Xét cosx ≠ 0 : Chia 2 vế cho cosx ,đặt t= tanx (1)=>at2 + bt +c= d(1+t2) (a– d)t2+bt +c – d = 0 Giải phương trình tìm t từ đó suy ra x.. Xét cosx = 0 => x=. Cách giải 2:. 1  cos 2x 1  cos x 1 ; cos 2 x  ; sin x cos x  sin x 2 2 2 a a cos 2x b c c cos 2x (1)    sin 2x    d  (c  a) cos 2x  b sin 2x  2d  a  c 2 2 2 2 2. Thay sin 2 x . Giải pt tìm được suy ra x . .6)Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx : Dạng a(sinx+cosx) + bsinxcosx + c= 0 Cách giải : Đặt t = sinx +cosx => sinxcosx = Pt=> at  b. t2 1 vaø  2  t  2 2. t2 1  c  0  bt 2  2at  2c  b  0 Giải phương trình tìm t 2. Giải phương trình sinx+cosx=t tìm x Chú ý : Pt a(sinx–cosx) +bsinxcosx + c = 0 (Đặt t = sinx – cosx ) 7)Phương trình lượng giác không mẫu mực Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Phương pháp –Dùng các phép biến đổi lượng giác thích hợp đưa pt về các dạng phương trình quen biết –Dùng các phép biến đổi lượng giác và đại số để đưa pt về phương tích có vế phải bằng 0 và các thừa số là những phương trình lượng giác quen biết. –Đặt ẩn số phụ : Đạt ẩn số phụ thích hợp chuyển về pt đại số : Một vài nguyên tắc đặt ẩn số phụ: Nếu phương trình không thay đổi khi ta thay: a) x bởi – x đặt ẩn phụ là cosx b) x bởi  – x đặt ẩn phụ là sinx b) x bởi  + x đặt ẩn phụ là tanx d) Nếu cả a , b , c đều thõa đặt ẩn phụ là cos2x x e) Nếu cả a , ,c đều không thõa chọn ẩn phụ là t = tan 2 2 cos 4x Bài 1: Giải phương trình sau: cot x  tan x  (1) sin 2x  ĐK: x  k 2 (1)  cot x sin 2x  tan x sin 2x  2 cos 4x  2 cos 2 x  2 sin 2 x  2 cos 4x  2 cos 2 2x  cos 2x  1  0 t  1 (loại) 2  Ñaëtt  cos 2x   1  t  1 pt  2t  t  1  0    cos 2x  cos  x    k 1 t  3 3 2   2  1   Bài 2:Giải phương trình : cos 2  x    cos 2  x    sin x  1 (1) 3 3  2   2. 2   2        (1)  1  cos 2x    1  cos 2x      sin x  1  cos 2x    cos 2x    sin  1 3  3 3  3      sin x  0    2  2 sin 2x   sin  sin x  1  2co2x  sin x  1  0  2 sin x  sin x  0   sin x  1 2 2  2    x   2 k  1 6 sin x  0  x  k sin x    2 x  5  2 k  6 Bài 3:Giải phương trình cosx+cos2x+cos3x+cos4x+cos5x +cos6x = 0 (1)  (sin x  sin 6x)  (sin 2x  sin 5x)  (sin 3x  sin 4x)  0.  2 sin. 7x 5x 7x 3x 7x x 7x  5x 3x x cos  2 sin cos  2 sin cos  0  2 sin  cos  cos  cos   0 2 2 2 2 2 2 2  2 2 2.  2 sin. 7x  3x 3x  7x 3x  1  2 cos cos x  cos   0  4 sin cos  cos x    0 2  2 2  2 2  2. 2 k   7x x  7 sin 2  0   3x  2 k   cos  0  x     2 3 3    x   2   2 k cos x   1   2 3 Bài 4:Giải phương trình sinxcosx+ sin-cosx=. 1 2 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Giải : Đặt t = sinx-cosx =>0  t . 2. 1 t2 1 t2 1 (1)   t   1  t 2  2t  1  t 2  2t  0 =1 –2sinxcosx=>sinxcosx= 2 2 2 t  0    t  2 (loại)  sin x  cos x  0  2 sin x  4   0  x  4  k   . =>t2. Bài 5: Giải phương trình 6sinx– 2cos3x = 5sin2xcosx Giải : Nếu cosx = 0 =>sinx = 1 (1)=>6=0 (vô lý )=>cosx ≠ 0 Chia 2 vế của phương trình (1) cho cos3x 6 sin x 10 sin x cos 2 x  2   6 tan x 1  tan 2 x  2  10 tan x  6 tan 3 x  4 tan x  2  0 cos x. cos 2 x cos 3 x   tan x  1  x   k 4 Bài 6:Giải phương trình sin8x + cos8x = sin6x+cos6x (1) Giải. . (1) . . . . 2.  2. Sin8x +cos8x = (sin4x+cos4x)2–2sin4xcos4x = sin 2 x  cos 2 x  2 sin 2 x cos 2 x  2 sin 4 x cos 4 x 1 =1- 4 sin2xcos2x +2 sin4xcos4x=1-sin22x+ sin 4 2x 8 3 Sin6x +cos6x =1 – 3sin2xcos2x =1 – sin 2 2x 4. sin 2x  0 1 3 1 1 (1)  1  sin 2 2x  sin 4 2x  1  sin 2 2x  sin 4 2x  sin 2 2x  0   2 8 4 8 4 sin 2x  2 (loại) sin 2x  0  x . k 2. Bài 7: Giải phương trình cos3x +. 3 2 sin 2x  2 cos x  0 (1) 4. GIẢI :. (1)  4 cos 3 x .   3 2 3 2 sin x cos x  5 cos x  0  cos x 4 cos 2 x  sin x  5   0 2 2  . cos x  0 cos x  0     .  x   k 3 2   4 sin 2 x  2 sin x  1  0 VN 2  Bài 8:Giải phương trình 3 sin 3x  3 cos 9x  1  4 sin 3 x GIẢI: 1 3 1 sin 9x  cos 9x  2 2 2    2 k   9 x    2 k x          3 6 18 9  sin 9x cos  sin cos 9x  sin  sin 9x    sin     3 3 6 3 6  9x    5  2 k  x  7   2 k 3 6 54 9  . (1)  3 sin 3x  4 sin 3 x  3 cos 9x  1  sin 9x  3 cos 9x  1 . Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  21  Bài 9:Giải phương trình sin24x–cos26x=sin    10x  (1)  2  GIẢI :   21    sin   10x   sin10x   10   cos10x 2  2    1  cos 8x 1  cos12x (1)    cos10x   cos 8x  cos12x  2 cos10x  2 cos10x cos 2x  2 cos10x 2 2  k  x  20  10 cos10x  0  2 cos10x1  cos 2x   0     cos 2x  1  x    k  2  3 5 7 9   Do x   0;  Pt coù 5 nghieäm thoõa : x  ;x ;x ;x ;x 20 20 20 20 20  2. Bài 10: Cho phương trình cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 . Tìm tất cả nghiệm x  (0; 14 ) của phương trình GIẢI : t  0 Đặt t = cosx  t   1 (1)=>4t3 – 3t – 4(2t2 –1 ) + 3t –4 = 0  4t3 –8t2 =0   t  2 (loại) t= 0 \=>cosx= 0=> x=.   k 2.  14   1 2 k  Z  k  0;1;2;3 Do x (0;14)=> 0 <  k  14    k  2 2   3 5 7 k  0  x  k  1  x  ; k  2  x  ; k  3  x  2 2 2 2 BÀI TẬP 1.Giải các phương trình sau:   x   k  1 3  a) tan  x    tan x  1 ÑS : b) 3 sin x  cos x  4  4 cos x  x  k' .  x  k ÑS :   x    k 3 . 2 (cos x  sin x)  HD : Ñöa veà sin cos ÑS : x    k cot x  1 4  7  d )3  4 cos 2 x  sin x(2 sin x  1) ÑS : x    2 k ; x   2 k ; x   2 k 6 6 2 4x cos  cos 2 x  1  21  1 3   k e)  0 ÑS : x  3k f )3 cos 4x  2 cos 2 3x  1 ÑS : x  k ; x   arccos  2 2 4 1  tan x    g) cos 2x  3 sin 2x  3 sin x  cos x  4  0 HD : Nhoùm caùc soá haïng ÑS : x   2 k 3 c). 1  tan x  2 cot 2x. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> h) sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  cos x  cos 2 x  cos3 x  cos 4 x HD : Đặt thành nhân tử chung (cosx - sinx)   ÑS : x   k ; x    2 k x    2 k 4 2  5 i) sin 3x  cos 2x  1  2 sin x. cos 2x x  ( ; ) HD : Dùng công thức biến đổi tích thành tổng ĐS : x  ; x  6 6 3 2   3 j) cos3 x  sin 2x  2 cos x  0 ÑS : x   k ; x   2 k ; x   2 k 4 2 4 4. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I,CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ: Định lý hàm số cosin –2bc cosA b2 = c2+a2 –2cacosB c2= a2+c2 –2abcosC Định lý hàm số sin a b c    2R sin A sin B sin C Định lý về đường trung tuyến A 2 bc cos 2 2 2 2 b  2 c  a 2 2 ma  la  4 bc. a2=b2. +c2. Các công thức tính diện tích tam giác 1 1 1 S  ah a  bh b  ch c 2 2 2 1 1 1 S  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 2 2 abc a b c  S S  pr  p   4R 2   S  p( p  a)( p  b)( p  c). Bài 1:Cho tam giác ABC có diện tích S và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh : 2S Sin2A+sin2B+sin2C= 2 R Giải : VT= sin2A+sin2B+sin2C= 2sin(A+B)cos(A-B)+2sinCcosC=2sinC[cos(A–B)–cos(A+B)]=4sinAsinBsinC a b c abc S   =4 2 2R 2R 2R 4R.2R 2R 2 Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc A ; B ; C theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân công bội 2 . 1 1 1 a)Chứng minh   a b c 2 b)Tính A=cos A +cos2B +cos2C = 5/4 với a ; b ; c là độ dài 3 cạnh BC ;CA ; và AB của tam giác ABC Giải A  B  C   A  B  C    2 4  a)    A  ; B  ;C  B 7 7 7 A ; B; C laø caáp soá nhaân coâng boäi 2 A  2 ; C  2B  2 4 Theo định lý hàm số sin a = 2Rsin b = 2Rsin c = 2Rsin 7 7 7. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 4 2  3       sin  sin sin cos  1  1  1 1  1  7 7   7 7      2 4 2R  2 4  2R  4 2  R  4   2R sin 2R sin sin  sin   sin sin   2 sin sin cos  7 7 7 7  7 7  7 7 7    1 1    a 2R sin 7 1  cos 2A 1  cos 2B 1 b) cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C    cos 2 C  1  (cos 2A  cos 2B)  cos 2 C 2 2 2 2  1  cos(A  B). cos(A  B)  cos C  1  cos Ccos C  cos(A  B)  1  2 cos A cos B cos C  2 4    2 4 2 2 4 X  cos A cos B cos C  cos cos cos  2 sin X  2 sin cos cos cos  sin cos cos 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 4 4 8 sin         sin sin cos sin  7  7 7  7  7  X   1  A  1  1  5 2 sin X   7 2 4 4 4 8 4 4 Bài 3:Xác định hình dang của tam giác ABC biết các cạnh và các góc của nó thõa:  A  B a tan B  b tan A  (a  b) tan   2  GIẢI:  A;B ≠  ABC khoâng theå vuoâng taïi A vaø B 2 A  B AB  A  B  A  B    a tan B  b tan A  a tan  b tan  tan A    b tan   atan B  tan  2  2  2   2        AB A  B  B A B A sin A sin sin B. sin  sin B  2    sin 2  A      b     2 2 .  a   A  B A  B A  B A B  cos B cos   cos A cos  cos B. cos cos A cos     2  2  2 2   1 1   b c. 1. 1. B A B A B A sin 2A  sin 2B  0  sin B cos B sin  0  sin 2 2 2   B A A  B (1) sin 0       2  A  B   (2) sin 2A  sin 2B 2  (1)  ABC caân taïi C (2)  ABC vuoâng taïi C  sin A cos A sin. 3  sin B sin C  4 Bài 4:Cho tam giác ABC có các cạnh a;b ;c và các góc A ;B ;C thõa :  Chứng minh tam giác 3 3 3 a 2  a  b  c  abc ABC đều, GIẢI:. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> a3  b 3  c3  a 3  a 2 b  a 2 c  a 3  b 3  c 3  a 2 b  a 2 c  b 3  c 3  a 2 ( b  c)  ( b  c)( b 2  c 2  ab) abc b2  c2  a2 1  a 2  b 2  c 2  bc  cos A    A  60 0 2 bc 2 3  1 3 3 sin B. sin C  4  cos(B  C)  cos(B  C)  cos(B  C)   cos120 0  cos(B  C)  1  2 4 2 B  C  120 0  a2 .  B  C  0  B  C  60 0  ABC đeàeà. Bài 5:Cho tam giác ABC có 3 góc A ; B ; C tạo thành một cấp số công và A  B  C và thõa hệ thức cos A  cos B  cos C . 3 1 , cho biết bán kính đường tròn nội tiếp r = 1.Tính số đo 3 góc và độ dài 3 cạnh của 2. tam giác ABC. GIẢI: A ; B ; C là cấp số cộng =>A+C=2B mà A+B+C=1800 =>B=600 =>A+C=1200. 3 1 3 CA CA 3 3  cos A  cos C   2 cos cos   cos(C  A)  2 2 2 2 2 2 0 0 0 0  C  A  30  A  30 : C  90 : B  60 cos A  cos B  cos C . S. 1 1 a  b  c a  a 3  2a a(3  3 ) 1 a(3  3 ) 3 3 ab  a 2 3 p     a 2 3   a   3 1 2 2 2 2 2 2 2 3. b  3  3 c  2( 3  1) Bài 6:Cho tam cân có cạnh đáy là a cạnh bên b góc ở đỉnh là 200 . chứng minh a3 +b3 =3ab2 Giải: Gọi H là trung điểm của BC=>BAH=100 BH a sin BAH   sin 30 0  3 sin 10 0  4 sin 3 10 0 AB 2 b 1 3a 4a 3     a 3  b 3  3ab 2 2 2 b 8b 3 BÀI TẬP 1)Xác định hình dạng của tam giác ABC biết a)sin4A+sin4B+sin4C = 0 (Tam giác ABC vuông ) c). tan B sin 2 B  (vuông hoặc cân) tan C sin 2 C. A. B. H. C. cos 2 A  cos 2 B cot 2 A  cot 2 B  (Tam giác cân) 2 sin 2 A  sin 2 B sin B  sin C  2 sin A d)  (Tam giác đều) tan B  tan C  2 tan A. b). 2 đường cao AA’. Chứng minh các đẳng thức sau: 3 a)tanB.tanC= 3 b)2tanA=tanB+tanC c)cos(B – C) = 2cosA 3.Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng A = 2B a2 = b2 +bc 4.Chứng minh rằng nếu O là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì OA.OB.OC =4Rr2 5.Cho tam giác ABC có 3 góc A ; B ;C tạo thành cấp số nhân có công bội q = 2.Tính a2+b2+c2 (ĐS:7). 2)Trực tâm H của tam giác ABC cách đỉnh A bằng. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>