Một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị chặn

<span class='text_page_counter'>(1)</span>MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI ELLIPTIC TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN A COMPARARISON PRINCIPLE OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER ELLIPTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON UNBOUNDED DOMAINS. NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng NGUYỄN CỬU HUY HV Cao học khoá 2004-2007. TÓM TẮT Các tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục trên miền bị chặn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như các nguyên lý so sánh, các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị chặn. ABSTRACT The properties of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second order on bounded domains have been investigated by many authors providing comparison principles, uniqueness theorems and existence theorems. This paper describes a comparison principle for a viscosity solution of second order elliptic partial differential equations on unbounded domains.. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục có dạng: 2. F( u, Du, D u) = f(x),. (1.1). n. trong đó, F: R × R × S(n) → R với S(n) là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông đối 2 xứng cấp n. Ta xét hàm số F( u, Du, D u) với u là một hàm số giá trị thực xác định trên toàn R n , Du là ký hiệu gradient của u và D 2 u ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai 2 của u, và f là một hàm cho trước. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của bài toán sau đây, Du và D u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đòi hỏi phải khả vi liên tục đến cấp hai. Ta khảo sát tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình F = f, trong đó F phải thỏa mãn điều kiện đơn điệu (monotonicity condition): F(r, p, X) ≤ F(s, p, Y) với r ≤ s và Y ≤ X.. (1.2). n Trong đó r, s ∈ R, p ∈ R , X, Y ∈ S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường của nó.. Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện: F(r, p, X) ≤ F(s, p, X) với r ≤ s. Lop12.net. (1.3).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> F(r, p, X) ≤ F(r, p, Y) với Y ≤ X.. (1.4). 2. GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN 2.1. ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM NHỚT Để mô tả nghiệm nhớt cho phương trình (1.1) ta sử dụng các ký hiệu sau đây : C ( R n ) = { u : R n → R | u liên tục trên R n } UC ( R n ) = { u : R n → R | u liên tục đều trên R n } . J 2, + J 2, − . Ta ký hiệu và của hàm số u như sau: 2 n × ∈ ϕ C2 u −ϕ x x ( Dϕ ( x ), D ϕ ( x )) R u( )={ S(n) | là và đạt cực đại địa phương tại } 2, − 2 n × 2 ∈ ϕ u − ϕ x x J ( Dϕ ( x ), D ϕ ( x )) R C u( )={ S(n) | là và đạt cực tiểu địa phương tại }. Cho J 2, +. u ∈ C(R n ). Ta định nghĩa : J 2, +. J 2, −. u(x) ={(p, X). u(x) ={(p, X). ∈ Rn ×. ∃ xn pn X n ∈ R n × R n × p n X n ∈ J 2, + x n S(n) | ( , , ) S(n), ( , ) u( ) và ( → x n , u( x n ), p n , X n ) ( x, u(x), p, X)}. ∈ Rn ×. ∃ xn pn X n ∈ R n × R n × p n X n ∈ J 2, − x n S(n) | ( , , ) S(n), ( , ) u( ) và ( → x n , u( x n ), p n , X n ) ( x, u(x), p, X)}.. ĐỊNH NGHĨA: n ∈ a. Một nghiệm nhớt dưới của phương trình (1.1) là một hàm u C ( R ) sao cho : ∈ J 2, + ≤ x ∈ Rn F( u(x), p, X) f(x) với mọi và ( p, X) u(x) ; n ∈ b. Một nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1) là một hàm u C ( R ) sao cho : ∈ J 2, − ≥ x ∈ Rn F(u(x), p, X) f(x) với mọi và ( p, X) u(x) ; n ∈ c. Một nghiệm nhớt của phương trình (1.1) là một hàm u C ( R ) sao cho u vừa là nghiệm nhớt dưới vừa là nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1).. 2.2. TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM n n Định lý: Cho f ∈ UC ( R ) . Giả sử F ∈ UC ( R × R × S (n)) thỏa mãn (1.2) và tồn tại một số thực γ > 0 , một hàm liên tục ω : [0, ∞) → [0, ∞) thỏa mãn ω (0+) = 0 sao cho :. (i). γ (r − s) ≤. F(r, p , X) - F(s, p, X) với. (ii) F(r, p, X) - F(r, q, Y). r ≥ s, ( p, X ) ∈ R n × S (n),. ≤ ω (| p − q | + X − Y ). với mọi p, q. Lop12.net. ∈ Rn. ,r. ∈R. , và X, Y. ∈ S (n). . Khi.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> đó, nếu u là nghiệm nhới dưới của (1.1) và v là nghiệm nhớt trên của (1.1) sao cho u và v biến n thiên hầu tuyến tính, thì u ≤ v trên R .. Chứng minh: n Ta chứng minh định lý theo hai bước. Trước hết, ta lưu ý rằng vì f ∈ UC ( R ) nên tồn tại một hằng số K sao cho :. sup ( f ( x) − f ( y ) − K | x − y | ) < ∞. R n ×R n. ,. (2.1). ta sẽ chứng minh rằng sup (u ( x) − v( y ) −. R n ×R n. 2K |x− y| )<∞ γ .. (2.2). Vì u và v biến thiên hầu tuyến tính, nên tồn tại một hằng số L > 0 sao cho: u ( x) − v( y ) ≤ L(1+ | x | + | y |). n n trên R × R .. (2.3). 2 n Chọn một họ β r các hàm C trên R được tham số hóa bởi r ≥ 1 với các tính chất:. (i) β r ≥ 0, lim inf (ii) (iii). | x| → ∞. β r ( x) ≥ 2 L, |x|. | Dβ r ( x) | + D 2 β r ( x) ≤ C lim β r ( x) = 0. với. r ≥ 1, x ∈ R n , x ∈ Rn. r →∞. (iv) với , trong đó C là một hằng số. Từ (2.3) và (ii), ta thấy hàm số : Φ ( x, y ) = u ( x ) − v ( y ) −. 2K (1+ | x − y | 2 ) 1 / 2 − ( β r ( x) + β r ( y )) γ. đạt giá trị lớn nhất tại điểm ( x , y ). Bây giờ hoặc (2.2) đúng hoặc với r lớn ta có Φ ( x , y ) > 0 và điều này cho ta : 2K | x − y |≤ u ( x ) − v( y ). γ Lưu ý rằng. Lop12.net. (2.4).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ( p + Dβ r ( x ), Z + D 2 β r ( x )) ∈ J 2, +. x u( ). ( p − Dβ r ( y ),− Z − D 2 β r ( y )) ∈ J 2, −. y v( ),. trong đó, p=(. 2K D z (1+ | z | 2 )1 / 2 ) | z = x − y γ ,. Z =(. 2K 2 D z (1+ | z | 2 )1 / 2 ) | z = x − y γ .. Theo định nghĩa nghiệm nhớt, ta có : F (u ( x ), p + Dβ r ( x ), Z + D 2 β r ( x )) ≤ f ( x ) F (v( y ), p − Dβ r ( y ),− Z − D 2 β r ( y )) ≥ f ( y ). .. Từ đây ta dùng (2.4) và lưu ý rằng p và Z là bị chặn và độc lập với r ≥ 1 , ta có γ u ( x ) − v( y )) ≤ F (u ( x ), p + Dβ ( x ), Z + D 2 β ( x )) F (v( y ), p + Dβ ( x ), Z + D 2 β ( x )) r r r r ( =. 2 F (u ( x ), p + Dβ r ( x ), Z + D 2 β r ( x )) F (v( y ), p − Dβ r ( y ),− Z − D β r ( y )). -. F (v( y ), p − Dβ r ( y ),− Z − D β r ( y )) F (v( y ), p + Dβ r ( x ), Z + D 2 β r ( x )) 2. +. -. ≤ f ( x ) − f ( y ) + C ≤ K | x − y | +C ≤. γ (u ( x ) − v( y )) + C 2 ,. trong đó C là hằng số độc lập với r ≥ 1 . Do đó u ( x ) − v( y ) là bị chặn độc lập với r ≥ 1 . r→∞ Vì Φ ( x, y ) ≤ Φ ( x , y ) ≤ u ( x ) − v( y ), nên ta cho và thu được 2K u ( x) − v( y ) − (1+ | x − y | 2 )1 / 2 γ là bị chặn và như vậy (2.2) đúng. ~ Bây giờ, ta quay trở lại định lý. Giả sử tồn tại một x sao cho. u(~ x ) − v( ~ x ) = 2δ > 0. Ta đặt Ψ ( x, y ) = u ( x ) − v ( y ) − trong đó ε , α là các tham số dương. Với. ε. α | x − y | 2 −ε (| x | 2 + | y | 2 ), 2. ~ ~ đủ nhỏ, ta thấy Ψ ( x , x ) ≥ δ và theo (2.2) Ψ đạt cực đại tại ( xˆ , yˆ ), và tại đó:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> α 2K α 4K 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ | x − y | +ε (| x | + | y | ) ≤ u ( x) − v( y ) ≤ | x − y | +C ≤ | x − y | + + C, 2 γ 4 αγ 2 (2.5) với một hằng số C nào đó. Hơn nữa, tồn tại X , Y ∈ S(n) sao cho (α ( xˆ − yˆ ) + 2εxˆ , X + 2εI ) ∈ J 2, + u (xˆ ), và. α I  -3  0. (α ( xˆ − yˆ ) − 2εyˆ , Y − 2εI ) ∈ J 2, + v( yˆ ). 0 ≤  X 0 ≤ α    I   0 − Y  3. I  − I. -I  I  .. (2.6). Như trên, ta thu được γ u ( xˆ ) − v( yˆ )) ≤ F (u ( xˆ ),α ( xˆ − yˆ ) + 2εxˆ , X + 2εI ) F (v( yˆ ),α ( xˆ − yˆ ) + 2εxˆ , X + 2εI ) ( = F (u ( xˆ ),α ( xˆ − yˆ ) + 2εxˆ , X + 2εI ) - F (v( yˆ ),α ( xˆ − yˆ ) − 2εyˆ , Y − 2εI ) ˆ ˆ ˆ ˆ + F (v( yˆ ),α ( xˆ − yˆ ) − 2εyˆ , Y − 2εI ) - F (v( y ),α ( x − y ) + 2εx, X + 2εI ) ≤ f ( xˆ ) − f ( yˆ ) + F (v( yˆ ),α ( xˆ − yˆ ) − 2εyˆ , Y − 2εI ). - F (v( yˆ ),α ( xˆ − yˆ ) + 2εxˆ, X + 2εI ) . ~ ~ Vì δ ≤ Ψ ( x , x ) ≤ u ( xˆ ) − v( yˆ ), và vì X ≤ Y theo (2.6), ta có γδ ≤ ω f (| xˆ − yˆ |) + F (v( yˆ ),α ( xˆ − yˆ ) − 2εyˆ , X − 2εI ) F (v( yˆ ),α ( xˆ − yˆ ) + 2εxˆ , X + 2εI ). -. ,. ωf. là modulus liên tục của f . 2 2 2 α ≥1 Ta lưu ý rằng, từ (2.5) ta thấy α | xˆ − yˆ | và ε (| xˆ | + | yˆ | ) là bị chặn độc lập với và 0 < ε ≤ 1. ε → 0. εxˆ , εyˆ → 0 | xˆ − yˆ |→ 0 Vì vậy và α ( xˆ − yˆ ) vẫn bị chặn khi Mặt khác khi α → ∞ đều đối với ε > 0. Do đó, từ giả thiết liên tục đều của f và F ta nhận được khi cho ε → 0 rồi thì α → ∞ : trong đó. γδ ≤ 0, và đưa đến điều vô lý. Như vậy, định lý được chứng minh. 3. KẾT LUẬN. Bài báo đã đưa ra một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến loại elliptic trong miền không bị chặn. Trong trường hợp này, giả thiết nghiệm biến thiên hầu tuyến tính là cần thiết để đánh giá nghiệm khi miền khảo sát không bị chặn. Tất nhiên, chúng ta có thể nghiên cứu bài toán này mà không cần giả thiết ấy, nhưng đó là vấn đề khá phức tạp.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions, User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations, Bull. Amer. Math. Soc 1[27], 1992.. [2]. M. G. Crandall, P. L. Lions, The maximum principle for semicontinuous functions, Diff. Int. Equ. [3], 1990.. [3]. R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal. [101], 1988.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>