Tiểu luận đại số đại cương nâng cao tích Ten xơ

Tích Tenxơ

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Tích tenxơ là phép toán quan trọng của toán học. Các kết quả của phép tính
tenxơ có ứng dụng sâu sắc trong nhiều ngành tốn học khác như giải tích, đại số và
hình học. Đặc biệt phép tính tenxơ có nhiều ứng dụng quan trọng trong một số ngành
khoa học tự nhiên khác như: vật lý lý thuyết, hóa học, sinh học,…Phép tính tenxơ vừa
là công cụ, vừa là đối tượng nghiên cứu của một số chuyên ngành toán học
Thấy được tầm quan trọng và ứng dụng thực tiễn của tích tenxơ, mong muốn
được mở rộng kiến thức và học hỏi, bản thân trong việc tìm hiểu, nghiên cứu về tích
tenxơ. Cùng với sự giúp đỡ của giảng viên bộ môn Đại số đại cương nâng cao, tơi xin
chọn đề tài “Tích tenxơ ” làm đề bài tiểu luận cho mình.
2. Mục đích nghiên cứu.
Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, đề tài có mục đích tìm hiểu sâu
hơn về tích tenxơ và từ đó giải một số bài tập vận dụng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống lí thuyết, các định nghĩa, Định lí, mệnh đề về
tích tenxơ.
4. Đối tượng nghiên cứu.
- Tích tenxơ của hai mơđun.
- Tích tenxơ của hai đồng cấu.
- Tích tenxơ và dãy khớp.
- Tích tenxơ của các tích trực tiếp và các tổng trực tiếp.
- Quan hệ giữa Hom và tích tenxơ.
5. Phạm vi nghiên cứu.
- Hệ thống lí thuyết về tích tenxơ.
- Các kiến thức liên quan.
6. Phương pháp nghiên cứu.
- Tổng hợp lại các kiến thức đã học.
- Phân tích các nội dung kiến thức cần nghiên cứu.

- Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, mạng internet
- Hỏi ý kiến chuyên gia.

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 1


Tích Tenxơ

NỘI DUNG
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Định nghĩa mơđun
1.1. Định nghĩa
Cho A là một vành có đơn vị 1 ≠ 0 và M là một nhóm cộng aben, cùng với một
ánh xạ µ từ A �M vào M, tạo nên một phép tốn nhân ngồi được xác định bởi:
ax     µ  a.x  với mọi a �A và mọi x �M . Với phép cộng vốn có trong M và phép nhân

ngồi đã được xác định thì M được gọi là một A-môđun trái nếu các tiên đề sau được
thỏa mãn:
( M 1 ) : a  x  y   ax  ay,
( M 2 ) :  a  b  x  ax  bx,
( M 3 ) :  ab  x  a  bx  ,
( M 4 ) : 1x  x

với mọi a, b �A và mọi x, y  M .
1.2. Chú ý
Nếu Tiên đề  M 3  được thay bởi,  ab  x   b  ax  thì M được gọi là một A-mơđun
phải. Và ta thấy ngay, nếu vành A giao hốn thì hai khái niệm mơđun trái và mơđun
phải là như nhau. Cũng cần lưu ý rằng, nếu trình bày mơđun phải theo kiểu phần tử vô

hướng đặt ở bên phải thì khi đó Tiên đề  M 3  sẽ được viết là x  ab      xa  b bởi ta có
x  ab      ab  x    b  ax      ax  b     xa  b

Trong toàn bộ giáo trình này, ta chỉ xét các lớp mơđun trái, và để thuận tiện, ta
sẽ dùng từ ‘môđun’ thay cho ‘mơđun trái’.
1.3. Ví dụ
(i) Mỗi ideal trái của vành A là một A-môđun. Đặc biệt, mỗi ideal của A là một
A-môđun và bản thân A cũng là một A-môđun.
(ii) K là một trường thì các K-mơđun chính là các khơng gian vectơ trên K.
(iii) Mỗi nhóm aben cộng M đều được coi là �-mơđun với phép tốn nhân
ngồi được xác định như sau: Với mỗi x �M và n ��thì nx    x   x   x.....  x (tổng gồm
n phần tử x) với n nguyên dương, 0 x   0M ; nx     n    x  nếu n nguyên âm.
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 2


Tích Tenxơ

1.4. Nhận xét
Các ví dụ vừa nêu chứng tỏ khái niệm môđun là một khái niệm tổng quát của
các khái niệm: vành, ideal, khơng gian vectơ và nhóm aben. Ngồi ra, mỗi mơđun tự
nó ln là một �-mơđun.
1.5. Định lí
Với mỗi A mơđun M, ta ln có:
(i) 0 A x    0 M    a0M với mọi x �M và mọi a �A .
(ii)  a  x     ax    a    x  với mọi x �M và mọi a �Ax.v .
Chứng minh.
Ta có 0 A x    (0 A    0 A ) x    0 A x    0 A x nên 0 A x    0 M .
Tương tự ta cũng có: a0 M   a(0M    0M )   a0M    a0M nên a 0M    0 M . Vậy ta có (i).

Do 0M    0 A x    (a   a  x    ax     a  x nên  a  x    ax .
Để ý rằng: 0 M  a0M   a  x    x     ax    a    x  nên – ax    a   x  . (đpcm)
2. Đồng cấu các môđun
2.1. Định nghĩa
Một ánh xạ f từ A-môđun M vào A-môđun M’ được gọi là một đồng cấu Amơđun hay ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn hai tính chất sau:
(i) f  x  y   f ( x)  f ( y ) với mọi x, y �M .
(ii) f (ax )  fa ( x ) với mọi a �A và mọi x �M
Nếu một đồng cấu f là một đơn ánh, tồn ánh, song ánh, thì nó tương ứng được
gọi là một đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. Nếu f  M    0 M '  thì f được gọi là đồng cấu
1
khơng và thường được viết là 0. Ta kí hiệu Kerf  f  0  và gọi nó là hạt nhân hay

hạch của f, còn Im f  f  M  được gọi là ảnh của f. Cokerf  M ' Im f được gọi là đối
hạch của f, còn Coim f  M Kerf được gọi là đối ảnh của f. Một đồng cấu từ M vào M
được gọi là một tự đồng cấu của M. Hai A-môđun M và M’ được gọi là đẳng cấu và
viết là M  M ' nếu tồn tại một đẳng cấu A-môđun từ M đến M’.

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 3


Tích Tenxơ

2.2. Nhận xét
Cho một A-đồng cấu mơđun f : M � M' . Khi đó f là đồng cấu không khi và chỉ
khi Kerf  M và f là một toàn cấu khi và chỉ khi Im f  M , nên f   x    f  x  với
x �M

2.3. Ví dụ

(i) Cho N là một mơđun con của A-mơđun M thì ta có mơđun thương M N . Khi
đó quy tắc p : M �

M
cho bởi p  x   x là một đồng cấu A-mơđun. Hơn thế nữa, p cịn
N

là một tồn cấu được gọi là tồn cấu chiếu chính tắc. Tồn cấu này có  Kerp    N .
(ii) Với mỗi môđun con N của một A-môđun M, ánh xạ nhúng
i:N �M

biến mỗi phần tử của N thành chính nó là một đơn cấu, gọi là đơn cấu chính tắc
hay phép nhúng chính tắc từ N vào M.
Mệnh đề đơn giản dưới đây sẽ giúp cho việc kiểm tra đồng cấu có phần nhanh
chóng hơn kiểm tra qua định nghĩa.
2.4.Mệnh đề
Xét ánh xạ f : M � M ' là một đồng cấu các A-môđun khi và chỉ khi
f (ax  by )  af ( x)  bf ( y )
với mọi a, b �A và mọi x, y �M

Chứng minh.
Giả sử f là một đồng cấu. Khi đó với mọi a, b �A và mọi x, y �M ta có:

f ( ax  by )  f (ax)  f (by )  af ( x)  bf ( y )
Ngược lại nếu f (ax  by )  af ( x)  bf ( y ) với mọi a, b �A và mọi x, y �M thì:
f ( x  y )  f (1x  1y )  1 f ( x)  1 f ( y )  f ( x )  f ( y )
và f (ax)  f ( ax  0 y)  af ( x)  0 f ( y)  af ( x) . Do đó f là một đồng cấu

2.5. Mệnh đề
Nếu các ánh xạ f : M � M ' và g : M ' � M '' là hai đồng cấu các A-mơđun thì

ánh xạ tích gf cũng là một đồng cấu A-môđun từ M vào M '' .
Cho A và N là các A-mơđun kí hiệu HomA ( M , N ) là tập tất cả các A-đồng cấu từ
M vào N.
Trong trường hợp A là một vành giao hốn thì với mọi f , g �HomA  M , N  và
mọi a, b �A ta xác định đối tượng af  bg như sau: (af  bg )( x)  af ( x)  bg ( x) với mọi
x �M . Khi đó,bởi A là một vành giao hoán, nên
(af  bg )  cx  dy   c  af  bg   x   d  af  bg   y 
với mọi c, d �A và mọi x, y �M
Do đó af  bg �HomA  M , N 

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 4


Tích Tenxơ

Tập HomA  M , N  với các phép tốn xác định như vậy trở thành một A-mơđun,
được gọi là môđun các đồng cấu từ M đến N. Chú ý rằng khi vành A khơng giao hốn,
Hom A  M , N  chỉ là một nhóm aben với phép cộng đồng cấu.

3. Tích và tổng trực tiếp các môđun
  I  là một họ các A-môđun chỉ số hóa
Cho I là một tập khác rỗng. Giả sử ( M  ) �
bởi I. Kí hiệu M  ��I M  là tích Descartes của họ ( M  ) �I . Khi đó có thể xây dựng
phép cộng trong M và phép nhân ngoài các phần tử của A với các phần tử của M như sau:

 x  �I   y  �I   x  y   �I
a  x   �I  (ax )
và mọi  x   �I . Chúng ta thấy ngay rằng hai phép toán vừa xác định làm

�I

với mọi a �A

cho M trở thành một A-môđun.
3.1. Định nghĩa
A-môđun M xây dựng như trên được gọi là tích trực tiếp của các họ các Amơđun  M   �I . Nếu M   N với mọi  �I thì ta kí hiệu П �I  M   bởi N I
Bây giờ trong M  � �I M  ta lấy ra tập con �M  bao gồm tất cả các phần tử
�I

của M với các thành phần bằng 0 hầu hết, chỉ trừ một số hữu hạn thành phần có thể
khác 0. Khi đó với mọi x   x   �I . y   y   �I ��M  và với mọi a, b �A bởi các thành
�I

phần của x   x   �I và y   y  �I bằng 0 hầu hết, trừ một số hữu hạn thành phần có
M
thể khác 0, nên ax  by  (ax  by ) �I cũng như vậy. Do đó ax  by ��
 �I
M  là một A-môđun con của M.
Vậy �
�I

3.2. Định nghĩa
M  được gọi là tổng trực tiếp của họ các A-môđun � M  .
A-môđun �
�I
 �I
M  bởi N
Nếu M   N với mọi  �I thì ta kí hiệu �
�I

3.3. Nhận xét
Nếu họ các A-môđun  M   �I chỉ gồm một số hữu hạn các mơđun thì tích trực

tiếp và tổng trực tiếp của nó là như nhau. Nếu coi vành A là A-mơđun thì tích trực tiếp
của n A-mơđun A kí hiệu là An . Đặc biệt �-mơđun �n được gọi là lưới nguyên trong
An

không gian n-chiều thực
4. Dãy khớp môđun
4.1 Định nghĩa
Cho dãy các môđun và đồng cấu R- mơđun:


... � M

n 1

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng

n  1� M ���
n �M
����
� ...
n
n 1

(1)
Trang 5

Tích Tenxơ

Dãy (1) được gọi là khớp tại M n nếu Im n 1  Kern ;
f
g
Dãy khớp với 5 môđun: 0 � M ��
� M ' ��� M '' � 0

(*) được gọi là dãy

khớp ngắn.  Imf    Kerg  . (*) là dãy khớp ngắn khi và chỉ khi f là đơn cấu, g là toàn
cầu và Imf    Kerg . Khi đó, do f là đơn cấu nên ta đồng nhất M ' �Im f   Kerg  và do
g là toàn cấu nên Im g  M '' . Do vậy theo định lý đồng cấu mơđun, ta có
M

Kerg

 Im g hay M
 M ''
M'

4.2 Mệnh đề: (Tiêu chuẩn chẻ ra của dãy khớp ngắn)
f
g
Giả sử 0 � M ��
� M ' ��� M '' � 0 là dãy khớp ngắn các môđun. Khi đó các
điều kiện sau là tương đương:
(i) f có nghịch đảo trái, tức  : M � M ' là đồng cấu, sao cho  f  id M .
(ii) g có nghịch đảo phải, tức  : M '' � M là đồng cấu, sao cho g  id M '' .
Khi những điều kiện đó được thỏa mãn thì:

M    Imf �Ker    Kerg �Im    M ’ �M ''

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 6


Tích Tenxơ

Chương 2. TÍCH TENXƠ
1. Tích tenxơ của hai mơđun.
1.1. Ánh xạ song tuyến tính.
Giả sử V là một vành, E là một V-môđun phải, F là một V-môđun trái, G là một
�-mơđun. Một ánh xạ f từ tích Descartes E �F của hai tập hợp E và F tới G được

gọi là song tuyến tính, nếu và chỉ nếu,  x1 , x2  E,  y1 , y2  F,    V, ta có:
f ( x1  x 2 , y )  f ( x1, y )  f ( x2 , y )
f ( x, y1   y2 )  f ( x, y1 )  f ( x, y2 )
f ( x , y )  f  x,  y 

1.2. Định nghĩa tích tenxơ của mơđun.
Giả sử E là một V-mơđun phải và F là một V-môđun trái. Ta gọi là tích tenxơ
của E và F, một cặp (T, f) gồm một �-mơđun T và một ánh xạ song tuyến tính f :
E �F � T thỏa mãn tính chất độc xạ sau: đối với mọi �-môđun G và mọi ánh xạ song

tuyến tính g : E �F � G , tồn tại duy nhất một �-đồng cấu h : T � G để cho g  hf , tức
là biểu đồ sau giao hoán:
f
E �F ���T
g

!h

G
1.3. Các hệ quả của định nghĩa.
Từ định nghĩa trên, hoàn toàn như trong trường hợp V-môđun tự do, ta suy ra
được các hệ quả sau:
(i) Nếu (T, f ) là một tích tenxơ của E và F thì f ( E �F ) sinh ra T. Tuy nhiên,
f ở đây là một ánh xạ song tuyến tính. Vì vậy nói chung nó khơng thể là đơn ánh

được, trừ khi E và F đều bằng 0. Thật vậy vì

       f  x, 0   f  x, 0  0   f  x, 0   f  x, 0 
       f  0, y   f  0  0, y   f  0, y   f  0, y 

nên f  x, 0   0  f  0, y  . Nhưng  x, 0  � 0, y  , trừ khi x  0 , y  0 .
(ii) Nếu (T, f ) và (T’, f ' ) là những tích tenxơ của E và F thì tồn tại một đẳng
của duy nhất  : T  T ' sao cho f ’   f .
1.4. Sự tồn tại của tích tenxơ.
Cho V-môđun phải E và V-môđun trái F. Ta sẽ chứng minh rằng tích tenxơ của
chúng bao giờ cũng tồn tại.
Ta xét tích Descartes E �F của các tập hợp E và F và dựng �-môđun tự do
sinh ra bởi E �F . Đó là một cặp gồm một �-mơđun, mà ta kí hiệu là C  � E �F  ,
và một đơn ánh j : E �F � C , thỏa mãn tính chất độc xạ sau: đối với mọi �-mơđun

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng

Trang 7


Tích Tenxơ

G và mọi ánh xạ g : E �F � G tồn tại duy nhát một � -đồng cấu k : C � G để cho
g  kj , tức là biểu đồ sau giao hoán:
j
E �F ��
� C  � E �F

=

g



!k

G
Gọi D là �-môđun con của C sinh ra bởi các phần tử có dạng:
( x  1  x2 , y )  ( x1, y )  ( x2 , y )
( x, y1  y2 )  ( x, y1 )  ( x, y2 )

 x , y    x,  y 
Xét �-môđun thương C/D và đồng cấu tự nhiên p : C � C / D
Đặt T  C / D và f  pj , ta sẽ chứng minh rằng cặp (T, f ) là một tích tenxơ
của các môđun E và F
f
E �F ��� C / D  T
p

j

C
Trước hết ánh xạ f là song tuyến tính. Thật vậy ta có
f ( x1   x2 , y )  f ( x1, y )  f ( x2 , y )  pj ( x1  x2 , y )  pj ( x1 , y )  pj ( x2 , y )
 p ( x1  x2 , y)  p( x1 , y )  p ( x2 , y )
 p[( x1  x2 , y)  ( x1 , y )  ( x2 , y )]  0

và tương tự

f ( x, y1  y2 )  f ( x, y1 )  f ( x, y2 )  0
f  x , y   f  x,  y   0

Giả sử bây giờ G là một �-môđun tùy ý và g : E �F � G là một ánh xạ song
tuyến tính bất kì. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một �-đồng cấu h : T � G sao cho ta
có g  hf .

f=pj
j
p
E �F ��
� C  �( E �F ) ��� C / D  T



g

h
G

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 8


Tích Tenxơ

Muốn vậy ta lấy ảnh bởi k của các phần tử sinh của D. Nếu tất cả các ảnh này
đều bằng 0 thì ta sẽ có D �Kerk . Khi đó, theo tính chất độc xạ của mơđun thương, sẽ
tồn tại một �-đồng cấu duy nhất h : C / D � G sao cho ta có k  hp .
Vì ta có:
k[( x1  x2 , y ) – ( x1 , y )  ( x2 , y )]  k[ j ( x1  x2 , y ) – j ( x1, y ) – j ( x2 , y )]
 kj ( x1  x2 , y ) – kj ( x1, y ) – kj ( x2 , y )
 g ( x1  x2 , y ) – g ( x1 , y ) – g ( x2 , y )  0

và tương tự: k[( x, y1  y2 ) – ( x, y1 ) – ( x, y2 )]  0
k[( x , y ) – ( x,  y )]  0

nên tồn tại một �-đồng cấu duy nhất h sao cho ta có: k  hp .
Ta sẽ chứng minh rằng h cũng thỏa mãn: g  hf
Thật vậy, ta có hf  hpj  kj  g .
Cuối cùng h’ là duy nhất với tính chất ấy, nghĩa là nếu h : T � G cũng thỏa
mãn h’ f thì h’  h .
Thật vậy, mọi phần tử t  T đều viết được dưới dạng:
t  �ni ( xi , yi )  D  �ni (( xi , yi )  D )  �ni p ( xi , yi )  �ni pj ( xi , yi )  �ni f ( xi , yi )
i

i

i

i

i

trong đó (ni )i là một họ số nguyên với giá hữu hạn.
Khi đó, ta có,  t  T :
h’  t   h '(�ni f ( xi , yi ))  �ni h’ f ( xi , yi )  �ni hf ( xi , yi )  h(�ni f( xi , yi ))  h  t  .
i

i

i

i

Do đó h’  h .
2. Tính tenxơ của hai đồng cấu
2.1. Định nghĩa
Giả sử f : EV � EV ’ là một đồng cấu của V -môđun phải, g :

V

F � V F ' là một

đồng cấu của V -mơđun trái.
Ta xét các tích tenxơ E �V F và E '�V F ' cùng với các ánh xạ tenxơ

:

E �F � E �V F và

 ':

E '�F ' � E '�V F ' .

f �g
'
Hợp thành:  '( f �g ) : E �F ���
�
� E '�F ' ��� E '�V F '

 x, y  a  f  x  , f  y   a

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

f  x �f  y 

Trang 9


Tích Tenxơ

rõ ràng là song tuyến tính. Vậy theo tính chất độc xạ của tích tenxơ, tồn tại duy nhất
một �-đồng cấu h : E Į�V F

E'

V

F ' sao cho biểu đồ giao hoán:


E �F ��
� E �V F
f �g

=

h

'
E '�F ' ��� E '�V F '
�-đồng cấu h gọi là tích tenxơ của các V-đồng cấu f và g và được kí hiệu là
f �g . Theo định nghĩa ta có:
( f �g )( x �y )  f  x  �g  y  .

Nếu V là giao hốn thì f �g khơng những là �-đồng cấu mà cịn là V-đồng
cấu, vì ta có: ( f �g )( ( x  �y )) = ( f �g )( x �y ) = f   x  �g  y  =   f ( x)  �g ( y )
=  ( f ( x) �g ( y )) =  ( f �g )( x  �y )
2.2. Các tính chất
(i) 1E �1F  1E �F
Thật vậy ta có x �E , y �F : (1E �1F )(x �y)  (x �y) .
(ii) Nếu f : EV � E 'V , f ' : E 'V � E ''V là những đồng cấu V-môđun phải và
g : V F � V F ' , g ' : V F ' � V F '' là những đồng cấu V-mơđun trái thì:
f ’ f �g’g  ( f ’ �g’)( f �g )

Thật vậy, ta có x �E , y �F :
( f ’ f �g’ g )( x �y )  f ’ f  x  �g’g  y   ( f ’ �g’)( f  x  �g  y  )  ( f ’ �g ’)( f �g )( x �y )

Vậy ta có: f ’ f �g’g  ( f ’ �g’)( f �g ) .
Ta có thể minh họa tính chất này bởi biểu đồ giao hốn sau:

Nói riêng, ta có:
f ’ f �1F  ( f ’ �1F )( f �1F )
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 10


Tích Tenxơ
1E �g’g  (1E �g’)(1E �g ) .

Để diễn tả các tính chất (i) và (ii) ta nói rằng tích tenxơ là một song hàm tử hiệp
biến đối với cả hai biến.
(iii) Nếu f1 , f 2 là những đồng cấu V-môđun phải EV � E 'V và g là một đồng
cấu V-môđun trái : V F � V F ' , thì ta có : ( f1  f 2 ) �g  f1 �g  f 2 �g .
Tương tự nếu g1 và g 2 : V F � V F ' và f : E ' � E 'V thì ta có
f �( g1  g 2 )  f �g1  f �g 2

Ta chứng minh đẳng thức thứ nhất chẳng hạn. Ta có x �E , y �F
(( f1  f 2 ) �g )( x �y )  ( f1  f 2 )  x  �g  y 
 ( f1  x   f 2  x  ) �g  y   f1  x  �g  y   f 2  x  �g  y 
 ( f1 �g )( x �y)  ( f 2 �g )( x �y)  ( f1 �g  f 2 �g )( x �y ) .

Vậy ta có: ( f1  f 2 ) �g  f1 �g  f 2 �g .
Tương tự, ta chứng minh rằng: f �( g1  g 2 )  f �g1  f �g 2 .
Để diễn tả tính chất này, ta nói rằng tích tenxơ là một song hàm tử cộng tính đối
với hai biến.
3. Tích tenxơ và dãy khớp.
3.1. Định lí
f

g
Nếu dãy đồng cấu V-mơđun phải E ' ��
� E ��� E '' � 0

là khớp thì đối với mọi V-môđun trái F, dãy cảm sinh các đồng cấu nhóm aben
f �1
E 'ľ���ľ���Į
E
V F

V

F

g �1

E ''

V

F

0

là khớp.
Chứng minh.
Ta xét biểu đồ sau, trong đó dịng là khớp
E  v F/Imf  1 = coker(f  1)
f �1
E 'ľ���ľ��Į

E
V F

V

F

p

Co ker( f

1)

0

!h
g �1
E ''�V F

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 11


Tích Tenxơ

Vì ( g �1)( f �1)  gf �1  0 �1  0 , nên tính chất độc xạ của Coker, tồn tại một
�-đồng cấu h : coker ( f �1) � E ” �V F sao cho ta có g �1  hp . Từ đó suy ra:
hp ( x �y )  h( x �y  Imf �1)  ( g �1)( x �y )  g  x  �y. .

Để chứng minh rằng h là một �-đẳng cấu, ta sẽ xác định một �-đồng cấu
h : E ” Į�V F

Coker ( f

1) sao cho kh và hk là những ánh xạ đồng nhất.

Để xác định k, ta hãy tự cho một ánh xạ song tuyến tính từ E ''�F tới
Coker ( f �1)  E �V F / Im( f �1) .

Giả sử x '' �E '' , y �F , Vì g là toàn ánh, nên tồn tại một x �E sao cho
g  x   x '' . Nếu g ( x1 )  g ( x2 ) thì g ( x1  x2 )  0 , do đó x1  x2 �Kerg  Imf . Vậy tồn tại

một x ' �E ' sao cho f  x '  x1  x2 .
Khi đó: ( x1  x2 ) �y  f  x ' �y  ( f �1)( x '�y ) �Im( f �1)
Vậy x1 �y  x2 �y �Im( f �1) .
do đó x1 �y  Im( f �1)  x2 �y  Im( f �1) .
Đặt

j : E ” �F � E �V  F / Im( f �1) .

 x '', y    g  x  , y  a

x �y  Im( f �1) .

Theo chứng minh trên j là một ánh xạ. Nó cũng là song tuyến tính vì ta có:
j ( x ''1  x ''2 , y )  j ( g ( x1 )  g ( x2 ), y )  j ( g ( x1  x2 ), y )  ( x1  x2 ) �y  Im( f �1)
 x1 �y  Im( f �1)  x2 �y  Im ( f �1)  j ( x ''1, y )  j ( x ''2 , y )

Tương tự ta có: j ( x '', y1  y2 )  j ( x '', y1 )  j ( x '', y2 )

j ( x '' , y ) = j ( g ( x ), y ) = j ( g  x   , y ) = ( x ) �y  Im( f �1)

= ( x � y )  Im( f �1) = j ( x '',  y )
Vậy theo tính chất độc xạ của tích tenxơ, tồn tại duy nhất một �-đồng cấu:
k : E ''Į��
V F 

E

F / Im( f

1)

x ''�y a x �y  Im( f �1) (với x ''  g  x  )

Vì

h( x �y )  Im( f �1)  g  x  �y

và

k ( g ( x) �y )  x �y  Im( f �1)

nên hk và kh trùng với các ánh xạ đồng nhất của E ''�V F
và E �V F / Im( f �1) trên các phần tử sinh của chúng, do đó ta phải có:
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 12

Tích Tenxơ
hk  1E "�

VF

và kh  1E � F /Im( f �1)
V

Vậy h và k là những �-đẳng cấu, nghịch đảo lẫn nhau. Do đó dãy
f �1
E 'ľ���ľ���Į
E
V F

V

g �1

F

E ''

V

0 là khớp.

F

3.2. Định lí
f

g
Nếu dãy đồng cấu V-mơđun trái: F ��
� F ��� F '' � 0

là khớp, thì đối với mọi V-môđun phải E, dãy cảm sinh các đồng cấu nhóm aben
(1 � f )
E ľ����ľ����Į
E VF
V F’

(1 �g )

E

0 là khớp.

F ''

V

Chứng minh.
Đặt V F '  F 'V , V F  FV , V F ''  F ''V , EV  V E , trong đó V0 là vành đối của V,
0

0

0

0

ta có dãy khớp các đồng cấu V0- môđun phải
F 'V 0 � FV 0 � F ''V 0 � 0

Vậy đối với V0-mơđun phải
F 'Į

V0

V0

FĮ

E

E , dãy đồng cấu nhóm aben sau là khớp:

V0

E

F ''Į

V0

E

0

Nhưng ta lại có F '�V E  E �V F ' , F �V E  E �V F , F ''�V E   E �V F .
0

0

0

Rõ ràng ta có biểu đồ giao hốn

F 'Į

V0

FĮ

E

=


EĮ

V

F

V0

=


EĮ

F ''Į

E

V

F

V0

E 

0



EĮ

V

F ''

 0

Vậy dãy đồng cấu nhóm aben sau cũng khớp
EĮ

V

F'

EĮ

V

F

EĮ

V

F ''

 0

Nói chung, nếu E’ là môđun con của một V-môđun phải E và j : E '
1: E '
nhúng chính tắc thì ánh xạ cảm sinh: j �Į�

V

F

E

V

E là phép

F khơng nhất thiết là đơn ánh

Ví dụ.
Giả sử, E '  �/ 2�, F  �/ 2�. Khi đó ta có phép nhúng j : 2�

�

Ánh xạ cảm sinh là:
j �1: 2��� �/ 2� � ��� �/ 2�
x  2 x �E '  2�, y �F  �/ 2�, ta có
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng

Trang 13


Tích Tenxơ
( j �1)( x '�y )  ( j �1)(2 x �y )  j  2 x  �y  2 x �y  x �(2 y )  x �0  0

Vậy ( j �1 ) là ánh xạ khơng. Nó khơng thể là đơn ánh, vì 2� Ĺ

 �/ 2�

�

0.

Thật vậy ta có: 2� �
Từ đó 2���(�/ 2�)  ��� �/ 2�  �/ 2�
Như vậy ta cần phân biệt phần tử x �y , xem như một phần tử của
2��� �/ 2� , và cũng phần tử ấy tức là j  x ' �y , xem như một phần tử của

�� �/ 2� .
f
g
Nói chung nếu: 0 � E ' ��
� E ��� E '' � 0

(1)

là một dãy khớp ngắn những đồng cấu V-môđun phải và nếu F là một V-mơđun trái thì
khơng thể kết luận rằng dãy cảm sinh những đồng cấu nhóm Aben
f �1
0 �ľ���ľ���Į
E' V F
E

V

F

g �1

E ''

V

F

0

(2)

là khớp.
Các V-môđun trái F sao cho dãy cảm sinh (2) bao giờ cũng khớp, gọi là Vmôđun trái dẹt.
Ta định nghĩa một cách tương tự các V-mơđun phải dẹt.
3.3. Định lí
f
g
Nếu 0 � E ' ��
� E ��� E '' � 0

là một dãy khớp ngắn chẻ ra những đồng cấu của V-môđun phải, thì đối với mọi Vmơđun phải thì đối với mọi V-mơđun trái F dãy cảm sinh những đồng cấu nhóm aben
f �1
0 �ľ���ľ���Į
E' V F
E

V

F

g �1

E ''

V

F

0

cũng là khớp chẻ ra.
Chứng minh.
Thật vậy theo giả thiết tồn tại một V-đồng cấu  : E � E ' sao cho  f  1E ' . Từ
đó ta suy ra:
( �1F )( f �1F )   f �1F  1E ' �1F  1E '�

VF

Vậy dãy cảm sinh cũng là khớp chẻ ra.
3.4. Định lí
Giả sử dãy đồng cấu V-mơđun phải

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

f
g
A ��� B ��� C � 0

Trang 14


Tích Tenxơ
f'
g'
A ' ��� B ' ���C ' � 0

và dãy đồng cấu V-mơđun trái
là khớp. Khi đó trong biểu đồ chín sau đây:

f �1 B �V A ' g �1 C �V A '  0

A �V A ' ����
����
 1�f '

 1� f '

 1� f '

f �1 B �V B '  �1 C �V B '  0
A �V B ' ����
����
 1 � '

 1 � '

 1 � '

f �1 B �V C '  �1 C �V C '  0
A �V C ' ����
����






0

0

0

các dòng và các cột là khớp và mỗi hình vng là giao hốn. Ngồi ra dãy
( f �1)�(1 � f ')
g �g '
( A �V B )( B �V A ') ���������ľ�����
B V B'

C

C ' � 0 (1)

trong đó ( f �1)�(1 � f ') là đồng cấu cảm sinh bởi f �1 và 1 � f ' theo tính chất độc
xạ của tổng trực tiếp là khớp.
Chứng minh.
Thật vậy, theo Định lí 3.1 các dịng và theo Định lí 3.2 các cột của biểu đồ chín
là khớp. Các hình vng đều giao hốn vì ta có, chẳng hạn, trong trường hợp hình
vng ở các góc trên bên trái:
( f �1)(1 � f ')  f � f '  (1 � f ')( f �1)

Ta còn phải chứng minh rằng dãy (1) là khớp. Muốn vậy,ta xét biểu đồ phụ sau:
m A3  0
A 2 ��
�
 i

=  j

q B2 n B3  0
B 1 ��

�
��
�
 k

= �l

p
C 2 ��
� C3


0
trong đó các dịng và các cột là khớp và hai hình vng là giao hốn. Ta sẽ chứng minh
rằng dãy
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 15


Tích Tenxơ
q �i
ln
B1 ž�������
A2
B2

C3

(1’)

0

là khớp. Vì n và l là toàn ánh nên ln là toàn ánh. Ngoài ra ln(q �i )(b1 , a2 ) = ln(qb1  ia2 )
= lnqb1  lnia2 = 0  lnia2 = ljma2 = 0. Vậy Im( q�i ) �Ker(ln) . Đảo lại giả sử
b2 �Ker(ln) . Khi đó ta có l (n(b2 ))  0 . Vậy n(b2 ) �Kerl  Imj . Vậy tồn tại a3 �A3 sao

cho j (a3 )  n(b2 ) . Vì m là tồn ánh nên tồn tại a  2�A2   sao cho m(a2 )  a3 . Do đó
n(b2 )  jm(a2 )  ni (a2 ) . Vậy n(b2  i ( a2 ))  0 , tức là b2  i (a2 )�
  Kern  Imq . Vậy tồn tại
b1 �B1

sao cho b2  i (a2 )  q (b1 ) , tức là b2  i (a2 )  q(b1 )  (q �i )(b1 , a2 ) . Do đó

b2 �Im(q �i ) , và ker  ln  �Im(q �i ) . Vậy Im(q �i )  Ker  ln  , tức là dãy (1’) khớp tại B2 .

Áp dụng kết quả này vào biểu đồ chính ở trên, ta suy ra rằng dãy (1) là khớp.
Ta chú ý rằng, theo định nghĩa của ( f �1) �(1 � f ') ta có
Im[( f �1)�(1 � f ')]  Im( f �1)  Im(1 � f ')

Do đó, vì dãy (1) là khớp ta có:
Ker ( g �g ')  Im( f �1)  Im(1 � f ') .

3.5. Hệ luận của định lí vừa chứng minh.
3.5.1. Hệ luận.
Giả sử A là một môđun con của V-môđun phải B, và A’ là một môđun con của
một V-môđun trái B’. i : A � B và i ' : A ' � B ' là các phép nhúng chính tắc. Khi đó ta
có:  B / A  �V  B '/ A '   ( B �V B’) / ( Im(i �1)  Im(1 �i ')) .
3.5.2. Chứng minh.
Thật vậy, ta có các dãy khớp

A

p
B ��� B / A � 0

A’

p'
B ' ��� B '/ A ' � 0

Áp dụng định lý 3.4 ta được dãy khớp:
(i �1)�(1 �i ')
( A ��ľ�������ľ����Į
(B V A ')
V B ')

B

V

B'

p �p '

(B/ A)

V

( B '/ A ')

0

Vì p �p ' là tồn cấu và: Kerp �p '  Im((i �1)�(1 �i '))  Im(i �1)  Im(1 �i ')
nên ta có  B / A  �V  B '/ A '  B �V B '/ ( Im(i �1)  Im(1 �i ')) .

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 16


Tích Tenxơ

4. Tích tenxơ của các tích trực tiếp và các tổng trực tếp.
4.1. Tích trực tiếp.
Giả sử ( Ei ) I là một họ V-môđun phải, ( Fj ) J là một họ V-môđun trái. Đặt:
C   Ei , D  J Fj
I

( Ei �V E j )
Xét ánh xạ:  : C �D � 
i, j
(( xi ) I , ( yj ) J ) a ( xi �y j )i , j

 rõ ràng là song tuyến tính. Vì vậy theo tính chất độc xạ của tích tenxơ, tồn tại

duy nhất một �-đồng cấu:
I : C ĮD
�

i, j

( Ei

Fj )

sao cho biểu đồ sau giao hoán:

C �D ��
� C �D

=

φ

f

 ( E1 �E j )
i, j

Ta có:  f (( xi ) I �( y j ) J )  ( xi �y j )ij .
Nói chung f khơng phải là đơn ánh, cũng khơng phải là tồn ánh.
4.2. Tổng trực tiếp.
Ei , F  �Fj .Các phép nhúng chính tắc E � C và F � D xác định
Đặt E  �
I
J

một �-đồng cấu chính tắc: E Į�V F

C

V

D

Ánh xạ này, hợp thành với ánh xạ f cho một �-đồng cấu g:
g : E ĮV�
F

i, j

( Ei

Fj )

( xi ) I �( y j ) J a ( xi �y j )ij

Vì các họ ( xi ) I và ( y j ) J đều có giá trị hữu hạn, nên họ ( xi �y j )ij cũng có giá trị
(E i �Fj )
hữu hạn, do đó g thật ra là một �-đồng cấu từ E �V F tới �
i, j
g : (�Ei ) �V (�Fj ) � �( Ei �V Fj )
I

J

i, j

g (( xi ) I �( y j ) J )  ( xi �y j )i , j

Ta sẽ chứng minh rằng g là một �-đẳng cấu. Muốn vậy ta sẽ xác định một �-đồng
( Ei
cấu: h : �Į
i, j

V

Fj )

(�Ei ) �V (�Fj ) sao cho hg và gh là những ánh xạ đồng nhất.
I
J

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 17


Tích Tenxơ

Để đạt mục đích ấy, theo tính chất độc xạ của tổng trực tiếp, ta sẽ xác định một
Ei ) �V (�F j )
họ �-đồng cấu chỉ số hóa bởi I �J từ Ei �F j  tới (�
I
J
Ei và  j : F j � �Fj là các phép nhúng vào các tổng trực tiếp, ta
Gọi  i : Ei � �
I
J

  i �Į j : Ei
xét họ ( i � j )i , j với: 

V

(�Ei ) �V (�Fj ) .

Fj

I

J

Khi đó tồn tại duy nhất một Z-đồng cấu h sao cho với mọi cặp i, j, biểu đồ sau
giao hoán:
�( Ei �Fj )

Ei �V F j

i, j

=
 i � j

h

(�Ei ) �V (�F j )
I

J

( i � j )( xi �y j ))  �( i xi ) �(  j y j )
Ta có: hg (( xi ) I �( y j ) J )  h(( xi �y j )i , j )  �
ij
ij
 (� i xi ) �(� j y j )  ( xi ) I �( y j ) J
i

i

Vậy hg trùng với ánh xạ đồng nhất trên các phần tử sinh của �-môđun
(�Ei ) �V (�F j ) , do đó ta phải có: hg  1(�Ei )�V ( �F j ) .
I

J

I

J

Mặt khác: gh(( xi �y j )ij )  g (( xi ) I �( y j ) J )  ( xi �y j )i , j
Từ đó gh  1i�, j ( Ei �F j ) .
4.2.1. Những hệ luận của đẳng cấu chính tắc.
g : (�Ei ) �V (�Fj )  �( Ei �V Fj )
I

J

i, j

(i) Giả sử F là một V-môđun trái tự do với cơ sở (ci )i �I và giả sử E là một Vmơđun phải tùy ý. Khi đó mỗi phần tử của E �V F có một biểu diễn duy nhất dạng:

�( x �c )
i

I

i

trong đó xi �E , và ( xi ) I là một họ với giá hữu hạn.

 i ci , trong đó (  ) là một họ phần tử của V
Giả sử x �E và y �F , ta có y  �
i I
I
(x � i ci )  �(x i �ci )  �xi �ci trong đó x �E và
với giá hữu hạn. Do đó: x �y  �
i
I
I
I

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng

Trang 18


Tích Tenxơ
( xi ) I có giá hữu hạn. Như vậy x �y có một biểu diễn dưới dạng mong muốn và điều

này cũng đúng cho mọi phần tử của E �V F .
Để chứng minh rằng cách biểu diễn là duy nhất, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu

�x �c
i

i

I

 0 thì

�(x  x ' ) �c
i

i

xi  0 ,

i  I,

vì

nếu

�x �c  �x ' �c
i

i

i

I

thì

i

I

ta

sẽ

có:

 0 , từ đó sẽ suy ra x  x '  0  i  I.
i
i

i

I

Vậy giả sử

�x �c
i

i

I

 0 . Vì (c ) là một cơ sở của F nên ta có:
i I

F  �Vci  �Vci .
I

I

Vci )  �( E �VVci )
Từ đó suy ra: E �V F  E �V (�
I
I
( E �VVci ) các phần tử
Trong đẳng cấu: E �V F  �
I

�x �c

tương ứng. Vì

i

I

i

�x �c và

i

I

i

( xi �ci ) I là

 0 theo giả thiết, nếu  i  I, ta có x �c  0 .
i
i

Mặt khác, có một đẳng cấu V Vc i (    c i ) và do đó E �VV  E �VVci .
Nhưng ta cũng có E �VV  E . Vậy E  E �VVci . Trong đẳng cấu này các phần tử xi và
xi �ci là tương ứng. Vì xi �ci  0 nên xi  0 ,  i  I.

(ii) Nếu E và F là những môđun tự do trên một vành giao hoán A, với các cơ sở
theo thứ tự là (b j ) J và (c i ) I thì E � A F cũng là một A-môđun tự do với cơ sở
(b j �ci ) j ,i .

Ta đã biết rằng mỗi phần tử của E �V F đều viết được một cách duy nhất dưới
dạng:

�x �c
i

I

i

trong đó xi �E và ( xi ) I là một họ với giá hữu hạn. Vì E có cơ sở là

(b j ) J nên mỗi phần tử xi �E đều viết được một cách duy nhất dưới dạng: xi  � ijb j
I

trong đó  ij �A và họ ( ij ) j có giá trị hữu hạn. Khi đó mỗi phần tử của E �V F sẽ viết
được một cách duy nhất dưới dạng:

(  b ) �c  � (b
��
ij j

I

J

i

ij

j

�ci )

i, j

Từ đó ta kết luận rằng E � A F là tự do trên A và (b j �ci ) J �I là một cơ sở của nó.
(iii) Giả sử E và F là hai khơng gian vectơ hữu hạn chiều trên cùng một trường
T. E có cơ sở là {e 1 …,e m } và F có cơ sở là {f 1 …,f n }. Khi đó tích tenxơ E �T F cũng
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 19


Tích Tenxơ

là một khơng gian vectơ trên T với cơ sở gồm mn vectơ ei � f j , do đó
dim( E �T F )  mn . Nói riêng mọi vectơ u của E �T F đều viết được một cách duy nhất
x ij (ei �e j ) , m 2 thành phần x ij �T gọi là các thành phần của tenxơ u
dưới dạng u  �
i, j

đối với cơ sở (e i ). Khi thay đổi cơ sở trong E, ta có thể tính được sự thay đổi tương
ứng của các thành phần đó. Giải tích tenxơ cổ điển mô tả các phần tử của E �T E , gọi
là các tenxơ hai lần phản biến, chỉ bằng các thành phần đó và bằng sự biến đổi của
chúng khi đổi cơ sở.
Một tenxơ với một chỉ số phản biến và một chỉ số hợp biến, theo định nghĩa:
*
một phần tử của E �T E trong đó E * = Hom T (E,T) là không gian đối ngẫu của E.

trong trường hợp này cơ sở (e i ) xác định cơ sở đối ngẫu (ei) trong E * . Mọi phần tử của

�x (e �e )
i
j

E �T E * đều có một biểu diễn duy nhất dưới dạng

ij

j

i

và do đó được xác

i
định bởi các thành phần x j của nó (i, j = 1,…., n).

f
g
(iv) Giả sử 0 � E ' ��
� E ��� E '' � 0 là một dãy khớp ngắn những đồng cấu

V-môđun phải và F là một V-mơđun trái tự do. Khi đó dãy cảm sinh các đồng cấu
f �1
nhóm aben: 0 �ľ���ľ���Į
E' V F
E

V

g �1

F

E ''

V

F

0 là khớp.

Như vậy mọi V-môđun trái tự do đều là dẹt.
Tương tự ta cũng thấy rằng mọi V-mơđun phải tự do đều dẹt.
Ta cịn phải chứng minh rằng f �1 là một �-đơn cấu. Thật vậy, vì F là tự do,
nên có có một cơ sở (c i ) I . Khi đó, mọi phần tử của E '�V f đều viết được một cách
duy nhất dưới dạng

�x ' �c
i

i

I

trong đó x 'i �E ' và họ ( x 'i ) I có giá hữu hạn.

x 'i �ci )  �f ( x 'i ) �ci  0 . Khi đó ta có f ( x ' )  0 ,  i  I, vì
Giả sử ( f �1)(�
i
I
I

mọi phần tử của E �V F đều có một biểu diễn duy nhất dưới dạng

�x �c . Vì
i

I

i

f là

đơn ánh nên x 'i  0 ,  i  I. Vậy Ker ( f �1)  0 .
(v) Giả sử P là một V-môđun trái xạ ảnh và E, F là hai V-môđun phải. Nếu
1p : E
f : E � F là một đơn cấu thì f �Į�
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

V

P

F

V

P cũng là một đơn cấu.
Trang 20


Tích Tenxơ

Như vậy, đối với mọi dãy khớp ngắn những đồng cấu V-môđun phải:
f
g
0 � E ��� F ���G � 0

và mọi V-môđun trái xạ ảnh P, dãy cảm sinh những đồng cấu nhóm aben:
0 � E �V P � F �V P � G �V P � 0
là khớp.
Do đó mọi V-mơđun trái xạ ảnh đều là dẹt
Tương tự ta cũng thấy rằng mọi V-môđun phải xạ ảnh đều là dẹt
Thật vậy, vì là xạ ảnh nên tồn tại một V-môđun trái Q và một V-môđun trái tự
do T sao cho: T  P �Q
1T : E
Vì T là tự do nên nếu f : E � F là một V-đơn cấu thì: f �Į�

V

T

F

V

T

cũng là đơn cấu (iv).
Nhưng E �V T  E � V (P �Q)  E �V P �E �V Q và

F �V T  F �V (P

�Q)  F �V P �F � V Q

Do các đẳng cấu này ta có thể đồng nhất hóa f �1T với:
( f �1P )( f �1Q ) : ( E �V P) �

( E �V Q)

( F �V P)

( F �V Q)

Vì f �1T là đơn cấu nên ( f �1P )( f �1Q ) cũng là đơn cấu.
Song nếu  : A � B
 �Ů�
 :A C

B

D

là

và  : C � D

đơn

cấu

thì

là những V-đồng cấu sao cho
φ

và

ψ

cũng

là

đơn

cấu

vì

( � )  a, c   0 �    a  ,   c    0 �   a   0 và   c   0 � a  0 và c  0 .

(vi) Nếu A là một vành giao hốn và E và F là những A-mơđun xạ ảnh thì
E � A F cũng là một A -mơđun xạ ảnh.

Thật vậy, vì E là xạ ảnh nên nó đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp P 1 của một
A-môđun tự do T 1 . Tương tự F đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp P 2 của một Amôđun tự do T 2 . Lại có P1 �A P2 đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của T1 �AT2 .
Nhưng vì A là giao hốn nên tích tenxơ của hai A-mơđun tự do lại là tự do (ii). Do đó
E � A F là một A-mơđun xạ ảnh.

5. Quan hệ giữa Hom và Tích tenxơ.
Giả sử V và S là hai vành, A V là một V-môđun phải V B S là một V-S song mơđun
và C S là một S-mơđun phải. Khi đó tồn tại một đẳng cấu nhóm aben:
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 21

Tích Tenxơ

 : Hom S (A  V B, C)  Hom V (A, Hom S (B, C)) xác định bởi công thức:

(( f)(a))(b) = f(a  b),  a  A,  b  B,  f  Hom S (A  V B, C).
Đẳng cấu nghịch đảo φ được xác định bởi công thức φ(g)(a  b) = (g(a))(b),
trong đó g  Hom V (A, Hom S (B, C)).
- Trước hết ta chú ý rằng A  V B có cấu trúc S-mơđun phải, vì vậy ta có thể xác
định nhóm aben Hom S (A  V B, C). Mặt khác Hom S (B, C) có cấu trúc V-mơđun phải,
vì vậy ta có thể xác định nhóm aben Hom V (A, Hom S (B, C)).
- Với mỗi a �A và mỗi f �Hom S (A  V B, C), ánh xạ
( f)(a) : B � C
b a f(a  b)
là một S-đồng cấu, vì nếu s 1 ,s 2 �S và b 1 , b 2 �B thì
( f(a))(b 1 s 1 + b 2 s 2 ) = f(a  ( b 1 s 1 + b 2 s 2 ))
= f(a  ( b 1 s 1 ) + a  (b 2 s 2 )) = f((a  b 1 )s 1 + (a  b 2 )s 2 )
= (f(a  b 1 ))s 1 + (f(a  b 2 ))s 2 = (( f(a))(b 1 )) s 1 + (( f(a))( b 2 )) s 2 .
- Ánh xạ

 f : A � Hom S (B, C)

a a  f(a) sao cho ( f(a))(b) = f(a  b)
là một V-đồng cấu, vì nếu a 1 , a 2 �A, v 1 , v 2 � V và b �B thì ta có :
( f( a1v1 + a2v2 ))(b) = f(( a1v1 + a2v2 ) �b)
= f( a1v1 �b + a2v2 �b) = f( a1 �v1b + a2 �v2b )
= f( a1 �v1b ) + f( a2 �v2b ) = ( f (a1 ))(v1b) + ( f (a2 ))(v2b)
= ( f (a1 )v1 )(b) + ( f (a2 )v2 )(b) = ( f (a1 )v1 +  f (a2 )v2 )(b).
Từ đó suy ra  f( a1v1 + a2v2 ) = (  f (a1 ))v1 + (  f (a2 ))v2 .
-  là một �-đồng cấu, tức là  f 1 , f 2 �Hom S (A  V B, C) ta có
 (f 1 + f 2 ) =  f 1 +  f 2 .

Thật vậy, a �A, b �B, ta có
( (f 1 + f 2 )(a))(b) = (f 1 + f 2 )(a �b) = f 1 (a �b) + f 2 (a �b)
= ( f 1 (a))(b) + ( f 2 (a))(b) = ( f 1 (a) +  f 2 (a))(b).
Từ đó  (f 1 +f 2 )(a) = f 1 (a)+ f 2 (a) =( f 1 + f 2 )(a) và  (f 1 + f 2 ) = f 1 + f 2 .
- Để chứng minh  là một đẳng cấu, ta dựng ánh xạ nghịch đảo φ.
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 22


Tích Tenxơ

Nếu g : A � Hom S (B, C) là một V-đồng cấu và a �A, b �B thì
g(a)� Hom S (B, C), (g(a))(b) �C, và v �V, (g(av))(b) = (g(a)v)(b) = g(a)(vb).
Xét ánh xạ

A �B � C
(a, b) a (g(a))(b)

Ta dễ thấy nó là song tuyến tính trên V. Vì vậy theo tính chất độc xạ của tích
tenxơ, tồn tại một �-đồng cấu duy nhất
φ(g) : A  V B � C
sao cho

φ(g)(a �b) = (g(a))(b)

Nếu s �S thì φ(g)((a �b)s) = φ(g)(a �bs) = (g(a))(ba) = ((g(a))(b))s
= (φg(a �b))s.
Vậy φ(g) �Hom S (A  V B, C), g �Hom V (A, Hom S (B, C)).

Do đó φ : Hom V (A, Hom S (B, C)) � Hom S (A  V B, C)
g a φ(g)
là một ánh xạ.
-

Nếu h �Hom V (A, Hom S (B, C)) thì

φ(g + h)(a �b) = ((g + h)(a))(b) = (g(a))(b) + (h(a))(b)
= φ(g) )(a �b) + φ(h)(a �b)
từ đó φ(g + h) = φ(g) + φ(h)
Vì vậy φ là một �-đồng cấu.
- Ta hãy kiểm tra rằng  và  là những ánh xạ đồng nhất.
Nếu g � Hom V (A, Hom S (B, C)) thì φ(g) : A  V B � C và
( φ(g))(a)(b) = φ(g)(a �b) = (g(a))(b)
Như vậy ta có  φ(g) = g,  g, tức là  φ = 1HomV ( A, HomS ( B,C ))
Mặt khác nếu f �Hom S (A  V B, C) thì  f �Hom V (A, Hom S (B, C)) và
(φ f)(a �b) = ( f(a))(b) = f(a �b)
Vì vậy φ = 1 HomS ( A �V B, C ) .
Chú ý.
Giả sử V B’ S và V B S là hai V-S song môđun. Một đồng cấu song mơđun
 : B’ � B là một đồng cấu nhóm cộng sao cho  v �V,  s �S :  (vb’s) = v(  b’)s

Giả sử đã cho các đồng cấu
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 23


Tích Tenxơ

V-mơđun phải

 : A’ � A

V-S song mơđun

 : B’ � B

S-mơđun phải

 : C � C’

Khi đó ta có biểu đồ giao hốn :
 ( A, B, C )
HomS ( A ľ�����
V B, C )

Homv ( A, Homs (B, C ))
Hom( , Hom(  ,  ))

Hom( � ,  )

 ( A ', B ', C ')
HomS ( A 'ľ������
V B ', C ')

Homv ( A ', Homs (B', C '))

Ta nói rằng đẳng cấu  là tự nhiên đối với các biến A, B và C.
Thật vậy, ta có

f a f

 f ( � ) a  ( f ( � ))
Hom(  ,  )( f )

Ta cần chứng minh Hom(  ,  )( f)  =  (  f(  � )).
 a’ �A’,  b’ �B’, ta có

((Hom(  ,  )( f)  )(a’))(b’) = (Hom(  ,  )( f)(  a’))(b’)
= (  ( f)(  a’)  )(b’) = (  ( f)(  a’))(  b’) =  f(  a’ �  b’).
Mặt khác: ( (  f(  �  ))(a’))(b’) =  f(  �  )(a’ �b’) =  f(  a’ �  b’).
Vậy

Hom(  ,  )( f)  =  (  f(  �  ))

tức là biểu đồ trên giao hốn.
Nếu A là một R-V song mơđun, B là một V-môđun trái và C là một R-môđun
trái thì tương tự như trên, ta chứng minh được rằng tồn tại một đẳng cấu nhóm aben
 : Hom R (A  V B, C) � Hom V (B, Hom R (A, C))

xác định bởi công thức : ( f)(b)(a) = f(a �b),  a �A,  b �B,  f �Hom R (A  V B, C)
và đẳng cấu  là tự nhiên đối với các biến A, B và C.

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 24


Tích Tenxơ

Chương 3. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1.
Cho R là vành giao hoán. Cho F và G là các R-môđun tự do với cơ sở lần lượt
là ( x ) �A và ( y )  �B .
Chứng minh rằng F �R G là R-môđun tự do với cơ sở ( x �y )( ,  )  A B .
Giải.
Ta biết rằng mỗi phần tử của F �R G đều viết được một cách duy nhất dưới
dạng

�

�B



�y trong đó  �F và ( ) là một họ với giá hữu hạn.

 B

Vì F có cơ sở ( x ) �A nên mỗi phần tử   �F đều viết được một cách duy
( n

x ) �y

��
nhất dưới dạng: B A  



 � n ( x �y )
 
 .
B, A

Từ đó ta kết luận rằng: F �R G là R-môđun với cơ sở ( x �y )( ,  )  A B .
Bài tập 2.
Chứng minh rằng nếu cho M R và dãy khớp R-môđun trái
A� B �C �0

thì dãy các nhóm aben sau cũng khớp
MĮ

R

MĮ

A

R

B

MĮ

R

C

0.

Giải.
Xét nhóm aben Co ker(1 � )  M �R B / Im(1 � ) , nhận thấy rằng:
(1 � )(1 � )  1 �  0 nên  đồng cấu nhóm h : Coker(1 Į� )

M

R

C sao

cho sơ đồ sau giao hốn, với dịng là khớp:
1 �
M ľ���ľ����Į
M RB
RA

1 �

M

h
1 �
M ľ���ľ��Į
M
RA

R

B

p

R

C

0

k

Co ker(1  )

0

với mỗi c �C , do  toàn cấu, b �B :  (b)  c
Vì Im   Ker nên mỗi phần tử p ( x �b) chỉ phụ thuộc vào x �M và c �C
mà khơng phụ thuộc vào việc chọn b.
Do đó, tồn tại đồng cấu nhóm:
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hồng

Trang 25