Dạy học mô hình hóa toán học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng trong hình học lớp 10

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM HỒI THỦY

DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
TRONG HÌNH HỌC LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2021


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM HỒI THỦY

DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
TRONG HÌNH HỌC LỚP 10
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
BỘ MƠN TỐN
Mã số: 8.14.02.09.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS VŨ ĐỖ LONG

HÀ NỘI – 2021

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu, cố gắng học tập và làm việc, tác giả đã
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các giảng viên trường Đại học Giáo dục - Đại
học Quốc gia Hà Nội đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, gợi ý và cho tơi những lời
khun bổ ích trong suốt q trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Bằng tình cảm trân trọng và lịng biết ơn sâu sắc, tơi xin được gửi lời
cảm ơn tới PGS.TS.Vũ Đỗ Long – Giảng viên Khoa Toán – Cơ – Tin học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã trực tiếp
hướng dẫn, nhiệt tình chỉ bảo, giúp đỡ tơi trong q trình nghiên cứu và hồn
thành luận văn.
Xin cảm ơn gia đình, nhà trường, các thầy cơ, bạn bè, đồng nghiệp, các
em học sinh trường THPT Nguyễn Tất Thành (thành phố Việt Trì – tỉnh Phú
Thọ) đã ln ủng hộ, động viên, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn chắc chắn khơng tránh khỏi
những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp của q thầy cơ và đồng nghiệp.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 12 năm 2020
Tác giả
Phạm Hoài Thủy

i


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

GV

Giáo viên

HĐ

Hoạt động

HS

Học sinh

KN

Kỹ năng

MHH

Mơ hình hóa

MHHTH

Mơ hình hóa tốn học

NXB

Nhà xuất bản

PPDH

Phương pháp dạy học

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

Tr

Trang

ii


DANH MỤC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH VẼ

Biểu đồ 1.1. Quy trình MHH theo Swetz và Hartzler ....................................... 9
Biểu đồ 1.2. Quy trình MHH 7 giai đoạn của Blum ...................................... 10
Biểu đồ 1.3. Quy trình MHH theo PISA ........................................................ 11
Biểu đồ1.4. Phân loại các tình huống tốn học .............................................. 12
Biểu đồ 1.5. Cách để giải quyết vấn đề ........................................................... 22
Hình 1.1. Quy trình MHH trong dạy học Tốn.............................................. 13
Hình 1.2. Cơ chế điều chỉnh quá trình MHH .................................................. 14
Hình 1.3. Các bước tổ chức hoạt động MHH ................................................. 15
Hình 1.4. Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình (Nguồn Internet)....................... 16

Bảng 3.1. Kết quả học tập mơn Tốn học kì I năm học 2019 – 2020............. 75
Bảng 3.2. Kết quả bài kiểm tra 1..................................................................... 77
Bảng 3.3. Kết quả bài kiểm tra 2..................................................................... 78

iii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... i
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT ........................................................................ ii
DANH MỤC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH VẼ ................................................... iii
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu. ............................................................. 2
4. Giả thuyết nghiên cứu ................................................................................... 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 3
6. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu ................................................................... 3
7. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 3
8. Những đóng góp của đề tài ........................................................................... 4
9. Cấu trúc luận văn .......................................................................................... 4
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN ............................ 5
1.1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu .................................................................... 5
1.2. Mơ hình hóa trong dạy học toán ................................................................ 6
1.2.1. Các khái niệm cơ bản ............................................................................. 6
1.2.2. Quy trình mơ hình hóa ............................................................................ 8
1.2.3. Một số tiếp cận mơ hình hóa trong dạy học tốn .................................. 18
1.2.4. Vai trị của phương pháp mơ hình hóa trong dạy học Toán ................. 19
1.2.5. Một số phương pháp dạy học thường sử dụng trong dạy học mơ
hình hóa ........................................................................................................... 21

1.3. Năng lực mơ hình hóa tốn học ............................................................... 27
1.3.1. Năng lực mơ hình hóa tốn học ............................................................ 27
1.3.2. Các thành tố đặc trưng của năng lực mơ hình hóa ................................ 28
1.4. Cơ sở thực tiễn ......................................................................................... 30

iv


1.4.1. Nội dung phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ................................... 30
1.4.2. Một phần thực trạng dạy học mơ hình hóa chủ đề phương pháp tọa
độ trong mặt phẳng trong hình học lớp 10 ...................................................... 31
Kết luận chương 1 ........................................................................................... 40
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC MƠ HÌNH HÓA CHO
HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC LỚP 10 ................................. 41
2.1. Định hướng biện pháp .............................................................................. 41
2.2. Một số biện pháp dạy học mơ hình hóa tốn học cho học sinh trung
học phổ thông .................................................................................................. 42
2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện và phát triển cho HS một số kỹ năng thành
phần của năng lực mơ hình hóa tốn học ........................................................ 42
2.2.2. Biện pháp 2: Lựa chọn các tình huống dạy học phương trình
đường thẳng, đường trịn, đường elip để xây dựng bài tốn thực tiễn sử
dụng mơ hình hóa. ........................................................................................... 46
2.2.3. Biện pháp 3: Kết hợp với các phương pháp dạy học tích cực trong
quy trình dạy học mơ hình hóa........................................................................ 50
2.3. Thiết kế giáo án dạy học mơ hình hóa chủ đề “Phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng” trong hình học lớp 10 ......................................................... 55
2.3.1. Phương trình đường trịn ....................................................................... 55
2.3.2. Giáo án phương trình Elip ..................................................................... 63
Kết luận chương 2 ........................................................................................... 73

CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................... 74
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ............................................................... 74
3.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm .............................................................. 74
3.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ......................................................... 74
3.4. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm ......................................................... 75
3.4.1. Kế hoạch lớp thực nghiệm .................................................................... 75

v


3.4.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................... 75
3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm ................................................... 76
3.5.1. Cơ sở đánh giá kết quả thực nghiệm ..................................................... 76
3.5.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm .............................................................. 76
Kết luận chương 3 ........................................................................................... 81
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ................................................................. 82
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 84
PHỤ LỤC

vi


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong công cuộc đổi mới giáo dục ở nước ta hiện nay, việc đổi mới
i

phương pháp dạy học đóng vai trị hết sức quan trọng: “Quan điểm chung của
đổi mới phương pháp dạy học đã được khẳng định là tổ chức cho học sinh
được học trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực, chủ động và

sáng tạo mà cốt lõi là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, hay nói
một cách khác giáo viên phải lấy người học làm trung tâm nhằm chống lại
i

i

thói quen học tập thụ động.”
Để đào tạo những con người phát triển toàn diện, có tư duy, có khả
năng đáp ứng địi hỏi ngày càng cao trước u cầu đẩy mạnh cơng nghiệp hóa
– hiện đại hóa gắn với phát triển nền kinh tế tri thức và xu hướng tồn cầu hóa
là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay [12]. Đểi thực

i

hiện được nhiệm vụi đó, sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới. Cùng với
i

i

i

i

những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về tư duy giáo dục
và phương pháp dạy học, trong đó phương pháp dạy học mơn Tốn là một
yếu tố quan trọng.
Tăng cường tính thực tiễn trong dạy học Tốn là xu hướng tất yếu,
đóng vai trị rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực cho
HS và mơ hình hóa là một trong những phương pháp dạy học tích nằm trong
xu hướng đó. MHH trong dạy học tốn là q trình giúp HS tìm hiểu, khám

phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng cơng cụ và ngơn ngữ Tốn học
i

i

với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin. Cách tiếp cận này giúp việc học Tốn
i

HS trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học Tốn.
Q trình MHH các tình huống thực tiễn cho thấy mối quan hệ giữa
thực tiễn với các vấn đề trong nội dung chương trình giáo dục phổ thơng mơn
i

Tốn dưới góc nhìn của tốn học. Do vậy, nó địi hỏi HS cần vận dụng thành
i

i

i

i

i

1


thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, so sánh, tổng hợp, khái qt
i

hóa, trừu tượng hóa. Ở trường THPT, cách tiếp cận này giúp việc học tốn
i

i

của HS trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học
i

i

i

i

tập môn Toán. Những ứng dụng của toán học vào thực tiễn trong chương
i

i

i

i

i

trình và SGK cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một
i

i

cách đúng mực. Trong các SGK và sách tham khảo về mơn Tốn thường chỉ
tập trung những bài toán trong nội bộ toán học, số lượng ví dụ và bài tập Tốn
có nội dung liên môn và thực tế trong chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng trong chương trình hình học 10 để HS rèn luyện cịn rất ít. Một vấn đề
quan trọng nữa là trong thực tế dạy học Toán ở trường phổ thông, GV không
thường xuyên rèn luyện cho HS thực hiện những ứng dụng của toán học vào
thực tiễn.
Từ những lí do trên, tơi chọn đề tài “Dạy học mơ hình hóa tốn học
chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng trong hình học lớp 10”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận về MHHTH để tổ chức vận dụng phương
pháp MHHTH trong dạy học nội dung phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
trong hình học 10 nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của HS,
hướng tới phát triển kỹ năng tư duy, rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề
thực tiễn cho HS trung học phổ thông.
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu.
3.1. Khách thể nghiên cứu
Q trình dạy học mơn Tốn ở trường THPT và q trình sử dụng các kiến
thức tốn học mơ tả các tình huống thực tiễn.
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp mơ hình hóa trong dạy học mơn Tốn, quy trình mơ hình
hóa, hệ thống bài tập mơ hình hóa.

2


4. Giả thuyết nghiên cứu
Trong dạy học mơn Tốn nói chung, dạy học chủ đề phương pháp tọa
độ trong mặt phẳng nói riêng, nếu GV quan tâm sử dụng phương pháp
MHHTH trong quá trình tổ chức dạy học thì sẽ góp phần đổi mới phương

pháp dạy học và nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn ở trường THPT.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về MHHTH.
- Tìm hiểu thực trạng sử dụng phương pháp MHHTH ở trường THPT.
- Thiết kế một số tình huống dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong
mặt phẳng có sử dụng phương pháp MHHTH.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của
tình huống dạy học xây dựng trong luận văn.
6. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
- Giới hạn nghiên cứu: Chương trình Tốn học trung học phổ thông.
- Địa bàn thực nghiệm: 10A1, 10A2, Trường THPT Nguyễn Tất Thành,
Thành phố Việt Trì, Tỉnh Phú Thọ.
7. Phương pháp nghiên cứu
* Phương pháp nghiên cứu lí luận:
- Nghiên cứu các tài liệu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các
vấn đề liên quan đến luận văn.
- Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng
cao có liên quan đến nội dung dạy học phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
* Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
- Điều tra, quan sát thông qua tiến hành dự giờ, trao đổi, tham khảo ý
kiến một số đồng nghiệp dạy giỏi tốn, có kinh nghiệm; tìm hiểu thực tiễn
giảng dạy chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Sử dụng phiếu hỏi, trò chuyện với học sinh nhằm đánh giá thực trạng
và hiệu quả của việc sử dụng phương pháp dạy học tích cực với việc phát
triển tư duy sáng tạo của học sinh trung học phổ thông.

3


 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm giảng dạy một

số giáo án soạn theo hướng của đề tài nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả
của đề tài.
 Phương pháp thống kê tốn học: Xử lí số liệu, kết quả thu được nhằm
đảm bảo sự chính xác, khách quan, khoa học và độ tin cậy cao.
8. Những đóng góp của đề tài
8.1. Những đóng góp về mặt lí luận
- Đưa ra một số nguyên tắc thiết kế MHHTH.
- Hệ thống hóa các lí luận về MHHTH.
- Thiết kế một số tình huống dạy học MHHTH.
8.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn
- Đánh giá thực trạng việc vận dụng phương pháp MHHTH trong quá
trình dạy và học mơn Tốn ở trường THPT.
- Đề xuất biện pháp tổ chức hoạt động học tập sử dụng phương pháp
MHHTH hiệu quả.
- Kết quả của luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV
và HS trong quá trình giảng dạy và học tập.
9. Cấu trúc luận văn
Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn
dự kiến được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn
Chương 2: Một số biện pháp dạy học mơ hình hóa cho học sinh trong
dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng trong hình học lớp 10.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

4


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN

1.1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Hơn ba thập kỷ qua, các nhà nghiên cứu đã nhấn mạnh tầm quan trọng
và thảo luận về vai trị của mơ hình tốn học và các ứng dụng trong toán học
giảng dạy và học tập (Pollak, 1970; Blum Niss năm 1991; Lesh & Doerr,
2003). Henry Pollak (1970) ghi nhận rằng truyền thống toán học giảng dạy
nên chuyển từ việc hiểu “Đây là một bài toán, giải quyết bài toán” hoặc “Đây
là một định lý, chứng minh điều đó”, sang việc hiểu “Ở đây là một tình huống,
suy nghĩ về nó”. Ơng cũng chỉ ra rằng có một nhu cầu mạnh mẽ cho phép sinh
viên khám phá một tình huống có vấn đề, đặt ra các giả thuyết và tìm hiểu các
cơng cụ thích hợp hoặc định lý họ cần sử dụng để giải quyết tình hình trong
thế giới thực dựa trên tình huống đó.
Qua các nghiên cứu thực nghiệm, các nhà giáo dục toán học đã nhận ra
được tầm quan trọng của phương pháp MHH trong q trình dạy học tốn ở
trường phổ thông (Smith & Wood, 2001; Vasco, 1999; Martinez-Luacles,
2005; Carrejo & Marshall, 2007). Phương pháp này giúp HS làm quen với
việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực
tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các cơng cụ, phương pháp tốn học phù
hợp. Qua đó, giúp HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. Lesh &
Zawojewski (2007) khẳng định rằng MHH tốn học giúp HS phát triển sự
thơng hiểu các khái niệm, ý tưởng toán học; nắm được cách thức xây dựng
mối quan hệ giữa các ý tưởng đó. Những mơ hình này được thể hiện rõ ràng
hơn với sự trợ giúp của công nghệ thông tin như: biểu diễn đồ thị, biểu đồ;
tìm mối quan hệ; dự đốn; tốn học hóa; mơ phỏng,….(Lesh,Yoon &
Zawojewski, 2007). Hơn nữa, thơng qua MHH, HS được khuyến khích tham
gia các hoạt động “hệ thống các khái niệm toán học” giúp các em có được cái
nhìn hệ thống hơn về lập luận và chứng minh tốn học dưới các dạng ngơn
ngữ nói, kí hiệu, đồ thị, sơ đồ, cơng thức, phương trình (Lesh & Doerr,2003)
5


Một số kết quả nghiên cứu về dạy học mô hình hóa trong nước:

 Lê Hồi Châu, Vũ Như Thư Hương (2013), Mơ hình hóa với phương
pháp tích cực trong dạy học Toán (Tài liệu bồi dưỡng giáo viên), Kiên Giang.
 Phạm Thị Diệu Thùy, Dương Thị Hà (2018), Phát triển năng lực mơ
hình hóa tốn học cho học sinh trung học cơ sở trong dạy học giải toán bằng
cách lập phương trình, Tạp chí giáo dục.
 Nguyễn Danh Nam (2015), Nghiên cứu Quy trình mơ hình hóa trong
dạy học Tốn ở trường phổ thơng, Tạp chí Khoa học ĐHQGHN.
 Nguyễn Thị Hồng Cúc (2010), Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa hàm
số thơng qua bài tốn tính diện tích trong mơi trường tích hợp phần mềm
Cabri II plus, ĐH sư phạm TP Hồ Chí Minh.
Nhìn chung các cơng trình nghiên cứu này tập trung làm rõ một số vấn
đề về lý luận và thực tiễn của MHHTH và vận dụng phương pháp MHHTH
vào mơn tốn phổ thơng. Tuy nhiên chưa có cơng trình nào nghiên cứu về
MHHTH trong dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng trong
chương trình hình học lớp 10.
1.2. Mơ hình hóa trong dạy học toán
1.2.1. Các khái niệm cơ bản
1.2.1.1. Khái niệm mơ hình
Trong các nghiên cứu của Mason & Davis (1991) thì mơ hình được mơ
tả như một vật dùng thay thế cho vật thể thực tế nhưng vẫn giữ các đặc điểm
đặc trưng của vật đó. Vì vậy khơng cần đến vật thực tế mà ta vẫn có thể
nghiên cứu, khám phá các thuộc tính của đối tượng qua mơ hình. Tuy nhiên
điều này cịn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mơ hình và bối cảnh áp
dụng của mơ hình đó.
Theo tác giả Nguyễn Danh Nam trong nghiên cứu “Quy trình mơ hình
hóa trong dạy học Tốn ở trường phổ thông” đã đưa ra khái niệm: Mô hình
được mơ tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc

6

điểm đặc trưng của vật thực tế. Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và
khám phá các thuộc tính của đối tượng mà khơng cần đến vật thật.[8]
Mơ hình trong dạy học tốn là mơ hình trừu tượng sử dụng ngơn ngữ
tốn học để mơ tả về một hệ thống nào đó. Nó có thể hiểu là các hình vẽ, bảng
biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu
tượng hay thậm chí cả các mơ hình ảo trên máy vi tính.
Mơ hình được dùng để mơ tả một tình huống thực tiễn nào đó, mơ hình
tốn học được hiểu là sử dụng cơng cụ tốn học để thể hiện nó dưới dạng của
ngơn ngữ tốn học, trong đó MHH là q trình tạo ra các mơ hình để giải
quyết các vấn đề tốn học liên quan đến các tình huống thực tiễn.
Trong phạm vi đề tài này, tôi thống nhất với những quan điểm ở trên,
và hiểu “mơ hình” ở đây theo cách tiếp cận “mơ hình trừu tượng” – bao gồm
tất cả các cách biểu đạt trong mơn tốn để mơ tả tình huống thực tiễn.
1.2.1.2. Khái niệm mơ hình hóa tốn học
MHH tốn học trong giáo dục chính thức xuất hiện đầu tiên tại hội nghị
của Freudental năm 1968. Hiện này, có rất nhiều định nghĩa và mơ tả về khái
niệm MHH toán học được chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán tùy thuộc vào
quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giả lựa chọn.
Mơ hình hố tốn học có vai trò hết sức quan trọng, ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và cuộc sống. Những tình huống được
mơ hình hố có tình huống trong tốn học và cả tình huống ngồi tốn học.
Tác giả Lê Thị Hồi Châu đã đưa ra khái niệm MHH tốn học như sau:
MHH tốn học là q trình thiết lập một mơ hình tốn học cho vấn đề ngồi tốn
học, giải quyết vấn đề trong mơ hình đó, rồi thể hiện và đánh giá lời giải trong
ngữ cảnh thực tế, cải tiến mơ hình nếu cách giải quyết khơng thể chấp nhận.[4]
Tác giả Nguyễn Danh Nam và Trần Trung đã làm rõ quan niệm về
MHH trong dạy học toán, xem đó là q trình giúp HS tìm hiểu, khám phá
các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng cơng cụ và ngơn ngữ tốn học với
sự hỗ trợ của cơng nghệ thông tin. [10]

7


Q trình này địi hỏi HS cần có kỹ năng và thao tác tư duy tốn học
như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ
thông, MHH diễn tả mối quan hệ giữa các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội
với nội dung kiến thức tốn học trong SGK thơng qua ngơn ngữ tốn học như
kí hiệu, sơ đồ, đồ thị, cơng thức, phương trình.
Để xây dựng các biện pháp dạy học MHH cho HS phù hợp với chủ đề
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng trong chương trình hình học lớp 10, tác
giả sử dụng định nghĩa MHH toán học của Edwards và Hamson (2001) như
sau: “ MHH toán học là quy trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn
đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mơ hình tốn học, thể hiện
và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mơ hình nếu cách giải
quyết không thể chấp nhận”.
Để nêu lại một cách cụ thể hơn thì MHH tốn học bao gồm tồn bộ q
trình chuyển đổi từ một vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán và ngược lại từ giai
đoạn xây dựng lại tình huống thực tế, lựa chọn một mơ hình tốn phù hợp,
giải quyết trong mơi trường tốn, giải tích, đánh giá kết quả liên quan đến tình
huống ban đầu và đôi khi đến giai đoạn điều chỉnh các mơ hình, lặp lại quy
trình nhiều lần cho tới khi nhận được một kết quả hợp lý. Vậy việc sử dụng
cơng cụ tốn học để giải quyết những vấn đề thực tế gọi là MHH toán học.
Dựa vào định nghĩa trên, tác giả thấy rằng MHH toán học là một hoạt
động phức tạp, bao gồm sự chuyển đổi giữa tốn học thực tế theo cả hai
chiều, vì vậy địi hỏi HS phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực
tốn học khác nhau cũng như có kiến thức liên quan đến các tình huống thực
tế được xem xét.
1.2.2. Quy trình mơ hình hóa
Mối quan hệ giữa các vấn đề trong SGK tốn phổ thơng và các tình

huống thực tế, đời sống sẽ được thể hiện qua quy trình MHH mà ở đó HS cần
vận dụng các thao tác tư duy tốn học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái

8


quát hóa, trừu tượng hóa. Theo cách tiếp cận này thì HS sẽ thấy được việc học
Tốn trở nên cấp thiết, có ý nghĩa hơn, hứng thú hơn.
a) Sơ đồ theo Swetz và Hartzler (1991)
MHH các tình huống thực tiễn trong dạy học tốn có thể sử dụng các
cơng cụ và ngơn ngữ tốn học phổ biến kí hiệu, sơ đồ, đồ thị, cơng thức,
phương trình, biểu tượng,...Vì thế nó cần quy trình gồm 4 giai đoạn chính sau
đây (trình bày theo Swetz và Hartzler, 1991):
1. Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và
phát hiện các yếu tố có tác động đến vấn đề đó.
2. Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng
ngơn ngữ tốn học, từ đó phác họa mơ hình tốn học tương ứng.
3. Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp
để MHH bài toán và phân tích mơ hình.
4. Giai đoạn 4: Thơng báo kết quả, đối chiếu mơ hình với thực tiễn và
đưa ra kết luận.
Vậy theo quy trình này thì MHH tốn học được xây dựng để mơ tả các
tình huống nảy sinh từ thực tiễn và kết quả khi làm việc với mô hình tốn học
lại được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề thực tiễn. Quy trình trên
được minh họa bằng sơ đồ dưới đây:
Biểu đồ 1.1. Quy trình MHH theo Swetz và Hartzler

9

b) Sơ đồ của Blum (2005)
Sơ đồ này được xem như là cơ sở cho tất cả các hoạt động MHH và
những thay đổi của các quy trình MHH ngày nay.
Biểu đồ 1.2. Quy trình MHH 7 giai đoạn của Blum [1]

Giai đoạn 1: Hiểu tình huống thực tế đặt ra và xây dựng mơ hình cho
tình huống này.
Giai đoạn 2: Đơn giản hóa tình huống ban đầu và đưa các biến thích
hợp vào để được mơ hình thực của tình huống.
Giai đoạn 3: Chuyển từ mơ hình thực tế sang mơ hình tốn học.
Giai đoạn 4: Làm việc trong mơi trường tốn học để từ mơ hình tốn ra
được kết quả toán.
Giai đoạn 5: Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực theo ngữ cảnh
thực tế.
Giai đoạn 6: Xem xét, đối chiếu tính phù hợp của kết quả hay phải thực
hiện chu trình lần 2.
Giai đoạn 7: Trình bày cách giải quyết vấn đề thực tiễn đưa ra từ ban đầu.
c) Sơ đồ theo PISA (2006)
Giai đoạn 1: Bắt đầu từ một vấn đề thực tế.

10


Giai đoạn 2: Nhận ra các kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại
vấn đề theo các khái niệm toán học
Giai đoạn 3: Cắt tỉa các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thực tế thành
một bài tốn mà thể hiện trung thực cho tình huống ban đầu.
Giai đoạn 4: Đưa ra lời giải toán học cho bài toán.
Giai đoạn 5: Đối chiếu lời giải của bài tốn với tình huống thực tế, xác
định những hạn chế của lời giải. [1]

Biểu đồ 1.3. Quy trình MHH theo PISA [1]

Quá trình giải quyết vấn đề và MHH có những đặc điểm tương tự nhau
giúp rèn luyện cho HS những kĩ năng tốn học cần thiết. Do đó, chúng hỗ trợ và
bổ sung cho nhau. Quy trình MHH được xem là khép kín vì nó được dùng để mơ
tả các tình huống nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó lại được dùng để giải
thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn (theo Juergen Maasz, 2008).
Tình huống mơ hình tốn là tình huống bao gồm các đối tượng toán học
và mối quan hệ giữa chúng.
Các tình huống tốn học được phân loại theo sơ đồ sau:

11


Biểu đồ1.4. Phân loại các tình huống tốn học

Trong chương trình giáo dục phổ thơng hiện hành khơng nói đến dạy
học MHH và phát triển năng lực MHH cho HS nên trong luận văn này tác giả
sẽ sử dụng quy trình MHH theo 4 giai đoạn là: tốn học hóa, giải bài tốn,
thơng hiểu và đối chiếu.
Giai đoạn 1: Tốn học hóa
Hiểu vấn đề thực tế, thành lập các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mơ
tả và diễn đạt vấn đề bằng ngơn ngữ tốn học: Đây là q trình chuyển các vấn
đề từ thực tiễn sang tốn học bằng cách tạo ra các mơ hình tốn học tương ứng
của chúng. Trong quá trình này ta cần phân tích rõ vấn đề đặt ra để từ đó lựa
chọn được các giả thuyết, đơn giản hóa các vấn đề thực tế để có thể giải được bài
tốn. Ngồi ra cịn cần xác định các khái niệm tốn học có liên quan đến tình
huống, các biến số, biểu diễn vấn đề bằng ngơn ngữ tốn học và lập các mơ hình
tốn học như phương trình, đồ thị hàm số, cơng thức toán học hay bảng biểu.
Giai đoạn 2: Giải bài tốn

Sử dụng các cơng cụ và phương pháp tốn học thích hợp để giải bài
tốn, bao gồm cả sự hỗ trợ của công nghệ thông tin: Yêu cầu HS lựa chọn, sử
dụng các phương pháp và cơng cụ tốn học thích hợp để thành lập và giải
quyết vấn đề sử dụng ngơn ngữ tốn học. Ở giai đoạn này, HS có thể sử dụng
cơng nghệ thơng tin để phân tích dữ liệu, thực hiện tính tốn phức tạp và đưa
ra đáp án của bài toán.

12


Giai đoạn 3: Thơng hiểu
Hiểu lời giải của bài tốn đối với tình huống trong thực tiễn (bài tốn
ban đầu); hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán trong thực tiễn, trong đó cần
nhận ra được những hạn chế và khó khăn có thể khi áp dụng kết quả này vào
tình huống thực tiễn.
Giai đoạn 4: Đối chiếu
Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mơ hình tốn học cũng
như lời giải của bài tốn, xem lại các cơng cụ và phương pháp tốn học đã sử
dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng. Đây là giai đoạn địi
hỏi HS có hiểu biết rõ về các cơng cụ tốn học cũng như việc sử dụng nó để giải
quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Từ đó, xem lại các cơng cụ, phương
pháp tốn học đã sử dụng; các giả thuyết đưa vào, hạn chế của mơ hình được xây
dựng và tiến tới cải tiến mơ hình cũng như lời giải của bài toán.
Sử dụng MHH ở trường phổ thông nhằm giúp HS giải quyết vấn đề
bằng cách: (i) thu thập, hiểu và phân tích các thơng tin tốn học; (ii) áp dụng
tốn học để mơ hình hóa các tình huống thực tiễn. Do vậy, quá trình MHH
được cụ thể hóa theo sơ đồ dưới đây:
Hình 1.1. Quy trình MHH trong dạy học Toán

13

Tuy nhiên trong thực tế dạy học, quy trình MHH ở trên luôn tuân theo
một cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trở
nên dễ hiểu hơn đối với HS ở trường phổ thông.
Cơ chế điều chỉnh này thể hiện mối liên hệ mật thiết giữa toán học với
vấn đề trong thực tiễn:
Hình 1.2. Cơ chế điều chỉnh quá trình MHH

Từ cơ chế điều chỉnh MHH, tơi cụ thể hóa các bước tổ chức hoạt động
MHH trong dạy học mơn Tốn như sau:
- Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn
giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn
đề thực tế.
- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra.
- Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngơn ngữ
tốn học mơ tả tình huống thực tế cũng như tính tốn đến độ phức tạp của nó.
- Bước 4: Sử dụng các cơng cụ tốn học thích hợp để giải bài tốn.
- Bước 5: Hiểu được lời giải của bài tốn, ý nghĩa của MHHTH trong
hồn cảnh thực tế.

14


- Bước 6: Kiểm nghiệm mơ hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính
hợp lí và tối ưu của mơ hình đã xây dựng.
- Bước 7: Thơng báo, giải thích, dự đốn, cải tiến mơ hình hoặc xây
dựng mơ hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn.
Hình 1.3. Các bước tổ chức hoạt động MHH

Ví dụ 1.1. Vào năm 2001, Việt Nam quyết định xây dựng một sân vận
động Quốc gia để tổ chức SEA Games 2003 với sức chứa theo thiết kế là
40.192 chỗ ngồi (450 ghế VIP, 160 ghế dành cho phóng viên báo chí), sân Mỹ
Đình là trung tâm của Khu liên hợp thể thao quốc gia của Việt Nam. Hạng
mục chính là sân thi đấu bóng đá hình chữ nhật theo tiêu chuẩn của Hội đồng
Liên đồn Bóng đá quốc tế (IFAB) với kích thước chuẩn cho chiều dài sân là
105m và chiều rộng là 68m, bao bọc bên ngồi là một đường chạy (đường
Pitch) có hình dạng elip, các đỉnh của hình chữ nhật nằm trên đường elip này.
Biết rằng hai cạnh chiều rộng của hình chữ nhật vng góc với hai trục tiêu
tại hai tiêu điểm của elip. Hãy tính diện tích phần đất hình chữ nhật bao bên
ngồi đường chạy đó?
 Bước 1: Tìm hiểu vấn đề thực tiễn. Giúp HS phát hiện một ứng dụng
quan trọng của elip trong lĩnh vực xây dựng, thiết kế và các tình huống liên
quan. GV tổ chức cho HS suy nghĩ và thảo luận về những số liệu cần thiết,
cần thu thập nhằm đơn giản hóa bài tốn. GV hướng dẫn HS liệt kê các từ

15


khóa, diễn đạt lại vấn đề và xác định đơn vị tính. Các từ khóa có thể là: sân
bóng tiêu chuẩn Quốc tế (IFAB); đường chạy Pitch hình dạng elip…
Hình 1.4. Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình (Nguồn Internet)

 Bước 2: Lập giả thuyết. Liệt kê những yếu tố có liên quan đến vấn đề
trên nhằm thiết lập điều kiện ban đầu của bài tốn. Đường chạy đó là elip, ta
có thể gắn được vào hệ trục tọa độ phẳng để viết phương trình đường chạy
đó. Hình chữ nhật bao bên ngồi đường chạy đó được gọi là gì? Làm sao
tính được chiều dài và chiều rộng của nó mà chỉ biết được các thơng tin như
tình huống đã cho? Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó có liên
quan gì đến các yếu tố của đường elip? Các tham số có thể xuất hiện trong

bài có thể là: tiêu cự, trực lớn, trực nhỏ của elip.

16


 Bước 3: Xây dựng bài toán. Sau khi xác định được các tham số, GV
định hướng cho HS thiết lập các điều kiện ban đầu (chọn kí hiệu), xây dựng
cơng thức tính tốn, thiết lập các quan hệ hàm số.
Bài toán được viết lại như sau: Cho một elip được bao bên ngồi một
hình chữ nhật có kích thước lần lượt là 105m và 68m (các đỉnh của hình chữ
nhật nằm trên elip này). Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở của elip.

 Bước 4: Giải bài toán. Đây là bước HS sử dụng kiến thức và phương
pháp tốn học trong bài elip kết hợp với cơng thức tính diện tích hình chữ
nhật để tìm ra đáp án.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ trên.
x2 y 2
Gọi phương trình elip (E): 2  2  1 a  b  0 
a
b

Ta có chiều dài sân bóng là: 2c  105  c  52,5
Từ giả thiết suy ra A  52,5;34    E  nên ta có:

52,52 342
 2  11
a2
b

Mà: a 2  b 2  52,52  2 

Thay  2  vào 1 ta được:

52,52
342

 1  b 2  2454  b  49,54
b 2  52,52 b 2

Suy ra a 2  5210  a  72, 2

17