Chuyên đề Khảo sát hàm số - Trường THPT Vĩnh Chân

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HAØM SỐ C©u 1. Cho haøm soá y . x 1 (1) ,có đồ thị là (C) x 1. 1. Khaûo saùt haøm soá (1). 2. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C),bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm P(3;1). 3. M ( x0 , y0 ) la ømoät ñieåm baát kyø thuoäc (C) .Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M caét tieäm cận đứng và đường tiệm cận ngang của(C) theo thứ tự tại A và B .Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) .Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vaøo vò trí cuûa ñieåm M. C©u 2: (2 ñieåm). Cho haøm soá: y . x2 x 1. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Cho điểm A(0;a). Xác định a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox. C©u 3: (2 ñieåm) 2 x2  x  1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y  x 1 2) Gọi M  (C ) có hoành độ xM  m . Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M. đến hai đường tiệm cận của (C ) không phụ thuộc vào m C©u 4: (2 ñieåm). 2 x 2  mx  2 Cho haøm soá: y  với m là tham số. x 1. 1) Xác định m để tam giác tạo bởi 2 trục toạ độ và đường tiệm cận xiên của hàm số treân coù dieän tích baèng 4. 2) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m= -3. C©u 5: (2 ñieåm) Cho haøm soá: y  x 4  (m2  10) x 2  9 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m=0 2.Chứng minh rằng với mọi m  0 ,đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt .Chứng minh rằng trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3,3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3,3) C©u 6: (2 ñieåm) Cho haøm soá y  f ( x)  x3  (m  3) x 2  3x  4 (m laø tham soá) 1.Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu.Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị này 2.Tìm m để f ( x )  3x với mọi x  1 C©u i 7: (2 ñieåm). 2 Cho haøm soá y  x  6 x  9. x  2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.. b) Tìm tất cả các điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được tiếp tuyến với đồ thị,song song với đường thẳng y   3 x 4. . Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. C©u 8: (2 ñieåm) Cho haøm soá y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 (1) a) Khaûo saùt haøm soá (1) khi m=1 b) Chứng minh rằng, m hàm số(1) luôn đạt cực trị tại x1 , x2 với x1  x2 không phụ thuộc m C©u 9: (2 ñieåm) a) Khaûo saùt haøm soá: y  x2  5x  4 b) Cho 2 parabol: y  x 2  5x  6 vaø y   x 2  5x  11 Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa 2 parabol treân Bµi 10: (2 ñieåm) a. Khảo sát,vẽ đồ thị (C) của hàm số y  x3  3x2 b. Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng ba tiếp tuyến của đồ thị (C) ,trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau. C©u 11: (2 điểm) Cho hàm số y  3x4  4(1  m) x3  6mx 2  1  m có đồ thị (Cm ) . 1. Khaûo saùt haøm soá treân khi m= -1 2. Tìm giá trị âm của tham số m để đồ thị và đường thẳng () : y  1 có ba giao ñieåm phaân bieät. C©u 12: (2 ñieåm). Cho haøm soá: y  x3  3x 2  (m  2) x  2m (Cm ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C1) của hàm số khi m=1 Cho haøm soá y  x3  mx2  7 x  3 (1) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) với m= 5 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu. Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu đó. C©u 14: (2 ñieåm) Cho haøm soá y  x 4  2 x2 1a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1b. Dựa vào đồ thị (C) ,hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình :. C©u 13: (2 ñieåm). x 4  2 x2  m  0. C©u 15: (2 ñieåm) x2  4 x  8 x2 x2  4 x  8 b. Từ đồ thị hàm số (C) suy ra đồ thị của hàm số : y  x2. a. Khaûo saùt haøm soá (C) coù phöông trình: y . c. xét đồ thị họ (Cm) cho bởi phương trình y . x2  4 x  m2  8 . Xaùc ñònh taäp x2. hợp những điểm mà không có đồ thị nào trong họ (Cm) đi qua. C©u 16: 1. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C) hàm số: y = -(x + 1)2(x+4). 2. Dùng đồ thị (C) để biện luận theo số nghiệm của phương trình : (x + 1)2(x+4) = (m+1)2(m+4) . Lop12.net. 3.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. C©u 17: ( 3 điểm) Cho hàmsố y  ( x  1)( x 2  mx  m) (1), với m là tham số thực 1.Khảo sát hàm số (1) ứng với m= -2 2.Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành .Xác định tọa độ của tiếp điểm tương ứng trong mỗi trường hợp của m. C©u 18: ( 3 ñieåm). Cho haøm soá y . x 1 (1) ,có đồ thị là (C) x 1. 1. Khaûo saùt haøm soá (1). 2. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C),bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm P(3;1). 3. M ( x0 , y0 ) la ømột điểm bất kỳ thuộc (C) .Tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của(C) theo thứ tự tại A và B .Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) .Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí cuûa ñieåm M. C©u 19: ( 2 ñieåm) Cho haøn soá y= f(x) =. m 3 x  2( m  1) x ( m laø tham soá ) 3. a. Khaûo saùt haøm soá khi m= 1 b. Tìm tất cả giá trị m sao cho hàm số có cực đại ,cực tiểu và tung độ điểm cực đại yCD , 2. 2 9. 3. tung độ điểm cực tiểu yCT thỏa: ( yCD  yCT )  (4m  4) C©u 20: ( 2 ñieåm) 1. Khaûo saùt haøm soá y  x . 1 .Gọi (C) là đồ thị của hàm số. x 1. 2. Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) kẻ từ điểm A=(0;3) CAÂU 21: ( 4 ñieåm) Cho haøm soá y  f ( x)  x3  2 x2  x  2 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C) của hàm số trên. b. Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (D1) : y=kx+2 c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) ,trục hoành và đường thẳng(D2) : y = - x +1 CAÂU 22:( 2 ñieåm). Cho haøm soá y . x 2  3x  2 x. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C) của hàm số. 2. Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. CAÂU 23:( 2 ñieåm). Cho haøm soá y . x 2  3x  2 x. 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị( C) của hàm số. 2.Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. CA U 24:(3 ñieåm) Cho hàm số y  x 4  2 x 2  2  m (có đồ thị là (Cm ) ), m là tham số 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m= 0 2. Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị (Cm ) chỉ có hai điểm chung với trục Ox . Lop12.net. 4.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. 3. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m tam giác có 3 đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị (Cm ) là một tam giác vuông cân. CA U 25 1. Khaûo saùt haøm soá : y  x 4  5x 2  4 2. Hãy tìm tất cả các giá trị a sao cho đồ thị hàm số y  x 4  5x 2  4 tiếp xúc với đồ thị hàm số y  x 2  a Khi đó hãy tìm tọa độ của tất cả các tiếp điểm CAÂU 26: Cho haøm soá y  x3  (2m  1) x 2  (m2  3m  2) x  4 1.Khaûo saùt haøm soá khi m=1 2. Trong trường hợp tổng quát ,hãy xác định tất cả các tham số m để đồ thị của hàm số đã cho có điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía của trục tung CAÂU 27: 1. Khaûo saùt haøm soá: y . x 2  3x  6 (1). x 1. 2. Từ đồ thị của hàm số (1) , hãy nêu cách vẽ và vẽ đồ thị của hàm số: y . x2  3x  6 3.Từ x 1. góc toạ độ có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến của hàm số (1) ? Tìm toạ độ các tiếp ñieåm (neáu coù). CAÂU 28:. 1 3. Cho haøm soá : y  x3  x  m (1) , m laø tham soá. 1. Khaûo saùt haøm soá (1) khi m . 2 3. 2. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân bieät. CAÂU 29:. Cho haøm soá : y . x2  x (C) x2. 1. Khaûo saùt haøm soá (C) 2. Đường thẳng ( ) đi qua điểm B(0,b) và song song với tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0,0) .Xác định b để đường thẳng ( ) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N. Chứng minh trung điểm I của MN nằm trên một đường thẳng cố định khi b thay đổi. CAÂU 30: Cho haøm soá : y . x 2  2mx  2 , (m laø tham soá ) x 1. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=1 2. Tìm giá trị của m để đường thẳng hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x+y+2=0 bằng nhau Caâu 31: Cho haøm soá : y  x3  6 x2  9 x 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2.a) Từ đồ thị của hàm số đã cho hãy suy ra đồ thị của hàm số : 3. y  x  6x2  9 x. b) Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: 3. x  6x2  9 x  3  m  0. . Lop12.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Cï §øc Hoµ Caâu 32 :( 2,5 ñieåm). Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý 1. Cho haøm soá y . x2  x 1 x 1. a. Khảo sát hàm số đã cho. b. Xác định điểm A( x1 ; y1 ) ( với x1  1 ) thuộc đồ thị của hàm số trên sao cho khoảng cách từ A đến giao điểm của 2 tiệm cận của đồ thị là nhỏ nhất. 2. Tìm taäp giaù trò cuûa haøm soá y . x3 x2  1. và các tiệm cận của đồ thị của hàm số đó. Caâu 33: 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y . x2  2x  2 x 1. 2. Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Caâu 34:. Cho haøm soá : y . x 2  mx  1 x 1. Tìm các giá trị của m để tiệm cận xiên của đồ thị của hàm số đã cho cắt trục toạ độ tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18. Caâu 35 : Cho haøm soá y   x3  3(m  1) x 2  3(2m  1) x  4 ( m laø tham soá ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=1 2. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và hai điểm đó đối xứng qua điểm I(0,4) Caâu 36:. Cho haøm soá y . 2 x 2  (6  m) x mx  2. 1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. 2. Khaûo saùt haøm soá khi m=1 (C). 3. Chứng minh rằng tại mọi điểm của đồ thị (C) tiếp tuyến luôn luôn cắt hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. Caâu 37: 1. Cho hàm số y  x3  3(a  1) x 2  3a(a  2) x  1 trong đó a là tham số . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a= 0 b. Với các giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho: 1  x  2 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  x 2  3 x . m  3 coù ba ñieåm x. cực trị .Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trị này đều nằm trên đường cong: y  3( x  1)2 Caâu 38: 1. Hãy vẽ đồ thị hàm số : y   x 2  x  ( x 2  1)2  4 x 2 2.Tìm toạ độ các giao điểm của các đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số y . x 1 với x 3. trục hoành ,biết rằng các tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y=x+2001. . Lop12.net. 6.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Cï §øc Hoµ Caâu 39:. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. Cho haøm soá : y . (m  1) x 2  2mx  (m3  m2  2) (Cm ) trong đó m là tham số. xm. 1. Khảo sát hàm số đã cho với m= 0 2. Xaùc ñònh taát caû caùc giaù trò cuûa m sao cho haøm soá (Cm ) luoân luoân nghòch bieán treân các khoảng xác định của nó. Caâu 40: 1. Khaûo saùt haøm soá : y . x2  x  5 (C) x2. 2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị (C) đến caùc tieäm caän laø moät haèng soá khoâng phuï thuoäc vò trí ñieåm M. 3. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhaát. Caâu 41: Cho haøm soá y  x3  3x 2  m2 x  m 1. Khảo sát ( xét sự biến thiên . vẽ đồ thị ) hàm số ứng với m= 0. 2. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số có cực đại , cực tiểu và các điểm cực 1 2. đại , cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua đường thẳng y  x . 5 2. CAÂU 42 : Cho haøm soá : y  x3  3x (1) 1. Khaûo saùt haøm soá (1) 2. Chứng minh rằng khi m thay đổi ,đường thẳng cho bởi phương trình y=m(x+1)+2 luôn cắt đồ thị (1) tại một điểm A cố định. Hãy xác định các gía trị của m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A,B,C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B vàC vuông góc với nhau. Caâu 43: Cho haøm soá : y . x 2  2 x  m2 x2. 1. Tìm giá trị của m sao cho y  2 với mọi x  2 2. Khảo sát hàm số với m=1 Caâu 44 : x 2  8x Cho haøm soá : y  (1) ,trong đó m là tham số . 8( x  m). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) với m=1. 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số (1) đồng biến trên [1, ) Caâu 45: 1. Khaûo saùt haøm soá : y  ( x  1) 2 ( x  2) 2. Cho ñöông thaúng  ñi qua ñieåm M(2,0) vaø coù heä soá goùc laø k . Haõy xaùc ñònh taát caû caùc giá trị của k để đường thẳng  cắt đồ thị hàm số sau tại bốn điểm phân biệt : 3. y  x 3 x 2. Caâu 46: . Lop12.net. 7.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y . 3x  1 x 3. (1). 2. Tìm một hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị hàm số (1) qua đường thẳng x+y–3=0. 3. C là điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số (1) .tiếp tuyến với đố thị hàm số (1) tại C cắt tiệm cận đứng và ngang tại A và B .Chứng minh rằng C là trung điểm của AB và tam giác tạo bởi tiếp tuyến đó với hai tiệm cận có diện tích không đổi. Cho haøm soá : y  x 4  4 x2  m (C). CAÂU 47 : 1. Khảo sát hàm số với m = 3 2. Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt .Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (c) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau . Caâu 48:. 1 3. Cho haøm soá : y  x 3  mx 2  x  m  1. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m= 0 . 2. Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát , hãy tìm tiếp tuyến coù heä soá goùc nhoû nhaát . 3. Chứng minh rằng với mọi m , hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu .Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất Caâu 49: Cho haøm soá : y  x3  6 x2  9 x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 3 2. a. Từ đồ thị của hàm số đã cho hãy suy ra đồ thị của hàm số y  x  6 x 2  9 x 3. b. Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình : x  6 x 2  9 x  3  m  0 Caâu 50 : Cho haøm soá : y  (m  2) x3  3x 2  mx  5 (m laø tham soá ) 1. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu. 2. Khảo sát hàm số (C) ứng với m= 0 . 3. Chứng minh rằng từ điểm A(1;-4) có 3 tiếp tuyến với đồ thị (C). Caâu 51: 1. Cho hàm số : y  x3  3(a  1) x 2  3a(a  2) x  1 trong đó a là tham số . a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a= 0. b.Với các giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho :1  x  2 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số : y  x 2  3 x . m  3 coù ba x. điểm cực trị .Khi đó chứng minh rằng cả ba điểm cực trị này đều nằm trên đường cong: y  3( x  1)2 Caâu 52 :. Cho haøm soá : y . x2  x 1 x 1. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .Gọi đồ thị đó là (C) 2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) tới hai tiệm cận của nó là một số không đổi . . Lop12.net. 8.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. Caâu 53: Cho haøm soá : y  2 x3  3x 2 12 x  1 (1) 1. Khaûo saùt haøm soá (1) . 2. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số (1 ) sao cho tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đi qua gốc toạ độ . Caâu 54:. Cho haøm soá : y . x 2  (m  2) x  m  1 x 1. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2 . 2. Tìm m để trên đồ thị có hai điểm phân biệt A,B sao cho : 5xA  y A  3  0, ; 5xB  yB  3  0 Tìm m để hai điểm A,B đó đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) có phương trình: x + 5y + 9 = 0. Caâu 55: Cho haøm soá : y  x3  2 x2  x 1. Khảo sát hàm số đã cho . 2. Tìm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị vừa vẽ và đường thẳng y= 4x Caâu 56:. 2 x 2  3 x  m Cho haøm soá: y  2x 1. 1. Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số nghịch biến trong khoảng  1    ;   ?  2 . 2. Khaûo saùt haøm soá khi m = 1. Caâu 57 : Cho hàm số : y  mx3  3mx2  2(m  1) x  2 ,trong đó m là tham số thực. 1. Tìm những điểm cố định mà mọi đường cong của họ trên đều đi qua . 2. Chứng tỏ rằng những điểm cố định đó thẳng hàng và từ đó suy ra họ đường cong có chung một tâm đối xứng. 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị m=1 4. Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn và chứng tỏ rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị thì tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất. 5. Tìm diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số ( ứng với m = 1) ; tiếp tuyến taïi ñieåm uoán vaø truïc Oy. Cho haøm soá : y  x3  3mx 2  3(m2 1) x  2 Caâu 58: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m= 1. 2. Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số đã cho các điểm cực đại ,cực tiểu ,đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung . CAÂU 59: Cho haøm soá y . x2  3 (1) x 1. 1. Khaûo saùt haøm soá (1) . 2. 2. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M  2,  sao cho d cắt đồ thị hàm  5 số (1) tại hai điểm phân biệt A ,B và M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Cho haøm soá : y  x3  3x 2  m2 x  m CAÂU 60: 1. Khảo sát (xét sự biến thiên, vẽ đồ thị ) hàm số ứng với m= 0 . Lop12.net. 9.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m đề hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm 1 2. cực đại ,cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y  x . 5 2. CAÂU 61:  x2  x  1 1. Khảo sát (xét sự biến thiên ,vẽ đồ thị) hàm số : y  . x 1. Gọi đồ thị là (C) 2. Chứng minh rằng với mọi gía trị của m ,đường thẳng y=m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A ,B .Xác định giá trị của m để độ dài đoạn AB ngắn nhất. CAÂU 62: 1.Khảo sát (xét sự biến thiên ,vẽ đồ thị) hàm số : y . x2 .Gọi đồ thị là (C) x 1. 2.Tìm trên đường thẳng y=4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 45 CAÂU 63: Cho haøm soá y  2 x3  3(m - 3) x 2  11- 3m ( Cm ) 1) Cho m=2 . Tìm phương trình các đường thẳng qua A(. 19 , 4) vaø tieáp xuùc 12. với đồ thị ( C2 ) của hàm số . 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị. Gọi M 1 và M 2 là các điểm cực trị ,tìm m để các điểm M 1 , M 2 và B(0,-1) thẳng hàng. Caâu 64:. 1 3. Cho haøm soá : y  x 3  x . 2 (1) 3. a. Khảo sát sự biến thiên và cẽ đồ thị (C) của hàm số (1) b. Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường 1 3. thaúng : y   x . 2 3 1. c. Tính tích phaân :  (1  x  x 2 )2 dx 0. . Lop12.net. 10.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. Chuyên đề khảo sát hàm số: Hớng dẫn và đáp án Baøi 1: x 1 x 1. 1) Khaûo saùt haøm soá: y  y' . 2 0 ( x  1)2. (C). TXÑ: D = R \ (1).  Hàm số giảm trên từng khoảng xác định.. TCÑ: x = 1 vì lim y   x 1. TCN: y = 1 vì lim y  1 x . BBT: Đồ thị: y. 2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm P(3, 1): Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k:y = k( x-3) + 1  x+1  x-1 = k(x-3) + 1 (d) tieáp xuùc (C)    -2 = k  (x-1)2. A M. (1). B. coù nghieäm. O. x. (2). Thay (2) vaøo (1) : x  1 -2(x-3)   1  x 2  1  2( x  3)  ( x  1)2  4 x  8  x  2 x  1 (x-1)2 Thay vaøo (2)  k  2 Vaäy phöông trình tieáp tuyeán ñi qua P laø: y= -2x + 7 3) M0 ( x0 , y0 )  (C ) . Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác coù dieän tích khoâng phuï thuoäc M. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M: y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 x0  1 x0 2  3 x 0  1 3 -3 y ( x  )    x x 0 (x0 -1)2 ( x0  1)2 x 0  1 ( x0  1)2 Giao điểm với tiệm cận đứng x =1.. x 1 y . Giao điểm với tiệm cận ngang y = 1. y  1  x .  x 4 x0  4  A  1, 0  x0  1  x0  1 . 5 x0  2  5x  2   B 0 ,1 3  3 . Giao điểm hai đường tiệm cận: I(1, 1) 1 2. Ta coù : SIAB  IA.IB  . 1 1 x0  4 5x  2 y A  yI . x B  x I  1 . 0 1 2 2 x0  1 3. 1 5 5x  2 25 1   haèng soá . 0 2 x0  1 3 6. . Vaäy: SIAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M.. Lop12.net. 11.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. C©u 2: (2 ñieåm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y  y, . 3.  x  12. x2 x 1. TXÑ: D=R\{1}.  0  Hàm số giảm trên từng khoảng xác định. TCD: x=1 vì lim y   x  1 TCN: y=1 vì lim y  1 x. BBT: Đồ thị: 2) Xác định a để từ A(0,a) kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp điểm đến nằm về 2 phía của 0x. x 2. Goïi M ( x ; y )  (C )  y  0 0 0. 0. x 1 0. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M: y  f ' ( x )( x  x )  y 0 0 0 x 2 x 2  4x  2 3 0 0 x 0  y (x  x )   y 0 2 2 x  1 ( x  1) ( x  1) ( x  1)2 0 0 0 0 x 2  4x  2 0 Tieáp tuyeán qua A(0,a)  a  0  (a  1) x 2  2(a  2) x  a  2  0 (1) 0 0 2 ( x  1) 0 (vì x =1 khoâng laø nghieäm) 0 a  1  0 a  1  Điều kiện để có 2 tiếp tuyến kẻ từ A là:  , Khi đó (1) có 2 nghiệm là  a  2   0 3. x , x 0 1. x 2 vaø y   Tung độ tiếp điểm y  0 0 x 1 1 0. x 2 1 Ñieàu kieän 2 tieáp ñieåm naèm veà 2 phía x 1 1. Ox.. . Lop12.net. 12.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. x 2 x 2 x x  2( x  x )  4 0 1  y y 0 0  0 0 1 0 . 1 0 1 x 1 x 1    x x x x 1 0 1 0 1 0 1 a  2 4(a  2)  4 9a  6 2 a 1  a 1  0  0  3a  2  0  a  a  2 2(a  2) 3 3  1 a 1 a 1 a  2, a  1 2 2  a Toùm laïi:  2 vaø a  1 ÑS: a  , a  1 3 3 a  3. . . C©u 3: (2 ñieåm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:. 2 x2  x  1 y x 1. TXÑ: D = R\{-1} y'. 2 x2  4 x ( x  1)2. x  0 y' 0    x  2. Tiệm cận đứng: x= -1 vì lim y   x  1 2 2 Tieäm caän xieân: y = 2x - 1 vì lim Ta coù: y  2 x  1  0 x 1 x   x 1. BBT Đồ thị: Cho x = 1 suy ra y = 2.. 2) Gọi M  (C) có XM = m. Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) không phụ thuộc m. Ta coù: XM = m  y. M.  2m  1 . 2 m 1. Tiệm cận đứng : x + 1 = 0 Suy ra d1(M, D1) . m 1 1. (D1).  m 1 2m  2m  1 . Tieäm caän xieân: 2x – y – 1 = 0 (D2) Suy ra d1.d2 = m  1 . d2(M,D2) =. 5. 2 1 m 1. . 2 5 m 1. 2 2 (khoâng phuï thuoäc m)  5 m 1 5 Lop12.net. 13.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. C©u 4: (2 ñieåm). Cho haøm soá: y . 2 x 2  mx  2 x 1. 1) Tìm m để diện tích tam giác tạo bởi TCX và 2 trục tọa độ bằng 4. Ta coù: y  2 x  m  2 . m x 1. m 0 x   x 1. Với m  0 thì TCX: y = 2x + m + 2 vì lim. m2  m2   A  ,0  2 2   x  0  y  m  2  B (0, m  2) Giao ñieåm TXC vaø oy: m  2 1 1 m2  SOAB  OA.OB   m2  4 ( thoûa ñieàu kieän  (m  2)2  16   2 2 2  m  6 m0) 2 x 2  3x  2 2) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = -3: y (C) x 1. Giao ñieåm TCX vaø Ox:. y=0 x. TXÑ: D = R\ {1} y' . 2 x2  4x  5 ( x  1) 2. x  1. 0.  Suy ra hàm số tăng trên từng khoảng xác định.. TCÑ: x = 1 vì. lim y   x 1. TCX: y = 2x - 1. (theo caâu 1). BBT:. Đồ thị: x  0  y  2, x  2  y  0. C©u 5: (2 ñieåm) Cho: y = x4 – (m2 + 10)x2 + 9 (Cm). 4 2 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 0. y = x – 10x + 9 TXD: D = R y '  4 x3  20 x  4 x( x 2  5). y ''  12 x 2  20 y ''  0  x  . x  0 y' 0   x   5. 5 44 y 3 9.  5 44   5 44   ñieåm uoán  ;     ;   9  3 9   3. BBT:. . Lop12.net. 14.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. Đồ thị:  x2  1  x  1   2  x  3 x  9. Cho y  0  . 2) Chứng minh rằng với  m  0 , (Cm) luôn luôn cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó có hai điểm nằm  (-3,3) và 2 điểm nằm ngoài (-3,3). Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox. x 4  (m 2  10) x 2  9  0 (1). Ñaët t  x 2 (t  0). Phương trình trở thành: t 2  (m 2  10)t  9  0 (2)   (m 2  10) 2  36  0, m  Ta coù: P  9  0  S  m 2  10  0, m.  0 < t1 < t2.  (1) coù 4 nghieäm phaân bieät. Ñaët f(t) = t 2  (m2  10)t  9. x  x  x  x 2 1 1 2 Ta coù: af(9)= 81  9m 2  90  9  9m 2  0, m  0. 0t 9t 1 2 x 2  9  x1  (3;3)  1     x  3   x  x  3  x 2 1 1 2   2 x ( 3;3) x  9  2   2. Vậy (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó 2 điểm (3,3) và 2 điểm  (3,3) . C©u 6: (2 ñieåm) Cho haøm soá y  f ( x)  x3  (m  3) x 2  3x  4 (m laø tham soá) 1) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu. Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị này. y '  3 x 2  2( m  3) x  3; y '  0  3 x 2  2( m  3) x  3  0 (1) Ta coù: Haøm soá coù CÑ, CT  (1) coù 2 nghieäm phaân bieät.   '  0  (m  3)2  9  0  m 2  6m  0  m  6  m  0 1 1 1  2 Chia f(x) cho f’(x) ta được : y  f '( x)  x  (m  3)   (m 2  6m) x  m  5 9 3 3  9 2 1 Vậy phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là: y   (m 2  6m) x  m  5 . 9 3 2) Tìm m để f ( x )  3x với mọi x  1 Ta có: 4 f ( x )  3 x, x  1  x3  (m  3) x 2  4  0 , x  1  m  x  3  , x  1 x2. . Lop12.net. 15.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. 4  m  min g ( x) với g ( x )  x  3  x 1 x2 8 x3  8 , x  1 ; g '( x)  0  x  2 Ta coù: g '( x)  1   3 3 x x +) BBT:  min g ( x )  0 Vaäy: m  0 x 1. C©u 7: (2 ñieåm) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị y . x2  6 x  9 x  2. (C ).  TXÑ: D = R\ {2} x2  4x  3 y' ( x  2) 2. x  1 y' 0  x  3. TCÑ: x = 2 vì lim   ;. Ta coù: y   x  4 . x2. TCX: y = - x + 4 vì lim  x. 1 x  2. 1 0 x  2. BBT: Đồ thị: Cho x = 0  y . 9 2. b) Tìm M  Oy sao cho tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) 3 song song với đường thẳng y=  x có dạng. 4 Goïi M(0, b)  Oy , tieáp tieáp qua M song song 3 4. 3 4. đường thẳng y   x có dạng: (D): y   x  b. (D) tieáp xuùc (C).  x2  6 x  9 3    xb 4  x  2    2  x  4x  3   3  (  x  2) 2 4 . (2)  x 2  4 x  0  x  0  x  4 9 2. (1) co ù nghieäm (2). 9 2. Thay vaøo (1): x  0  b  ; x  4  b . 5 2. 5 2. Vaäy : M (0; ), M (0; ) 1. 2. C©u 8: (2 ñieåm) a) Khaûo saùt (1). y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1. m  1: y  2 x3  9 x 2  12 x  1. . (1) khi m= 1:. TXÑ: D= R. Lop12.net. 16.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý.  y6 x  1 y '  6 x 2  18 x  12 ; y '  0    y5 x  2 3 11  y  y ''  12 x  18 ; y ''  0  x  2 2.  3 11  ñieåm uoán I  ,  2 2 . BBT: Đồ thị:. b) Chứng minh rằng  m hàm số (1) luôn đạt cực trị tại x1, x2 với x1 - x2 không phụ thuộc m. Ta coù: y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 y '  6 x 2  6(2m  1) x  6m(m  1); y '  0    (2m  1)2  4m(m  1)  1  0  (*) luoân coù 2 nghieäm phaân bieät x1 , x2 .. x 2  (2m  1) x  m(m  1)  0. (*).  Hàm số luôn đạt cực trị tại x1 , x2 .. Ta coù: x  2m  1  1  2m ; x  2m  1  1  2m  2  x  x  2m  2  2m  2 1 2 2 1 Vaäy: x  x khoâng phuï thuoäc m. 2 1. (haèng soá). Bµi 9: (2 ñieåm) a) Khaûo saùt haøm soá: y  x2  5x  4 . Taäp xaùc ñònh: D = R y’= 2x – 5 BBT: Đồ thị:. b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai parapol: ( P ) : y  x 2  5 x  6 vaø ( P ) : y   x 2  5 x  11 1 2. . Lop12.net. 17.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. - Goïi    : y= ax + b laø tieáp tuyeán chung cuûa (P1) vaø (P2). -    tiếp xúc với (P1) và (P2).  x 2  5 x  6  ax  b coùnghieäm keù p    x 2  5 x  11  ax  b coù nghieäm keùp  x 2  (5  a) x  6  b  0 coù nghieäm keùp    x 2  (5  a ) x  11  b  0 coùnghieäm keùp a 2  10a  4b  1  0   a  3  1 0      0 2 b  10  2 a  10a  4b  19  0. Vaäy phöông trình tieáp tuyeán chung laø:. a  3  b  5. . y = 3x – 10. hay y = - 3x + 5. C©u 10: (2 ñieåm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y  x3  3 x 2 TXÑ: D = R y '  3 x 2  6 x  3x ( x  2). x  0  x  2  x  1  y  2 . y' 0. y ''  0. y ''  6 x  6. . (C ). . Ñieåm uoán I(-1, 2). +) BBT: Đồ thị: Cho x = -3, y = 0 x = 1, y = 4. b) Tìm điểm M trên Ox sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau. Gọi M(a, 0)  Ox , đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc K là: y = k( x - a)  x3  3x 2  k ( x  a)  2 3 x  6 x  k. (d) tieáp xuùc (C)  . (1). coùnghieäm. (2). Thay (2) vaøo (1): x3  3 x 2  3 x 2  6 x( x  a)  2 x3  3(a  1) x2  6ax  0 x  0  x  2 x2  3(a  1) x  6a   0     2  2 x  3(a  1) x  6a  0. (3). Với x = 0  k = 0  1 tiếp tuyến là y = 0. . Lop12.net. 18.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. +) Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau  (3) coù 2 nghieäm phaân bieät x , x  0 vaø k k  1 . 1 2.  a  0     0  2 2  (3 x1  6 x1 )(3 x2  6 x2 )   1 1   a   3  a   3 vaø a  0     81a 2  81a ( a  1)  108 a  1  0  . Vaäy chæ coù 1 ñieåm M ( C©u 11: (2 ñieåm). 1 2. . a  0   2  9( a  1)  48 a  0  2  9( x1 x 2 )  18 x1 x 2 ( x1  x 2 )  36 x1 x 2   1.  vì x1x 2 = - 3a    3(a-1)    x1 + x 2 =   2 . 1   a   3  a   vaø a  0   3  -27a + 1 = 0. 1 , 0)  Ox thoả điều kiện bài toán. 27 Cho haøm soá: y  3 x 4  4 1  m  x3  6mx2  1  m.  a. 1 27. (C ) m. y  3x 4  6 x 2  2 TXÑ: D = R x  0 y '  12 x3  12 x  12 x x 2  1 y' 0    x  1 1 1  1 1 1 1 y ''  36 x 2  12  y ''  0  x    y  ñieåm uoán  ,  ,  3 3  3 3  3 3. 1) Khaûo saùt haøm soá khi m= -1:. . . BBT: x + y’ y. -. -1. -. 0. +. 0 +. 1. 0. -. 2 CÑ. 0. +. +. -1. -1. Đồ thị: x  0. Cho y=2  3x 4  6 x 2  0  . x   2 2) Tìm giá trị m < 0 để (Cm) và () : y  1 có ba giao điểm phân biệt. Ta coù: y  3 x 4  4 1  m x3  6mx 2  1  m ;. . . y '  12x3 12 1 m x3  12mx  12x  x2  1 m x  m  y '  0  . . Lop12.net.  x  0  y 1 m   x 1  ym   y  m4  2m3  m  1  x  m. 19.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý. (C ) Và    cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nếu đường thẳng :y=1 đi qua điểm cực trị m cuûa (C ) . m.  1  m 1   m 1  4 3 m  2m  m 1  1.   m  0 ( loại ) m  0(loại)  m  1 ( loại )    m  1(loại)    m  1  5 ( loại )  2 2 m m 1 m  m 1  0  . . . m  . ÑS: m . 1. 5. 2. ( nhaän v ì m < 0 ). 1 5 2. C©u 12: (2 ñieåm). Cho y  x3  3x 2   m  2  x  2m (C ) m. 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) khi m = 1. 1. y  x3  3x 2  3x  2. (C ) 1. TXÑ: D = R. y '  3 x 2  6 x  3  3  x  1 2  0 suy ra haøm soá luoân taêng treân R. y' 0.  x  1 ; y ''  6 x  6. ; y ''  0  x  1  y  1. ñieåm uoán I(-1, 1)..  BBT:  Đồ thị: Cho x = 0, y = 2 x = -2, y = 0 y '  0  tieáp tuyeán taïi I song song Ox. I. 2) Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm.Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm ) và Ox. x3  3x 2   m  2  x  2m  0   x  2 (1)    x 2  x  m  0.  x  2.  x2  x  m   0. (2). (Cm ) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ âm  (2) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2. m  2 m  2  m  2   0 1  4m  0  1 1 1    ÑS: 0  m       m   0m 4 4 4 P  0 m  0   S  0 1  0 m  0. C©u 13: (2 ®iÓm) Cho y  x3  mx2  7 x  3 (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 5. y  x3  5 x2  7 x  3 TXÑ : y’= 3x2 +10x + 7. . Lop12.net. 20.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Cï §øc Hoµ. Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý.  x  1  y  0 y' 0   ;  x   7  y  32 3 27   5 16   ,  .  3 27 . 5 16 y ''  6 x  10 y ''  0  x    y  3 27.  ñieåm uoán. BBT : Đồ thị:. 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu. Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu. Ta coù : y  x3  mx 2  7 x  3; y '  3x2  2mx  7 y '  0  3x 2  2mx  7  0(*) Hàm số có cực đại và cực tiểu  (*) có hai nghiệm phân biệt  m   21 v m  21   '  0  m 2  21  0 Chia y cho y’ ta được :. m  2(21  m2 ) 27  7m 1 y  f '( x )  x     9 9 9 3. Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là: y. 2(21  m 2 ) 27  7 m  9 9. C©u 14: (2 ñieåm) 1a) Khaûo saùt vaø veõ: TXÑ:. y  x4  2x2. y '  4 x3  4 x y '  0  x  0  x  1 ; y ''  12 x 2  4; y "  0  x  . 1 5  y 9 3. 5 5  1  1 ;   , I2    ;  3 9  3 9 . => Ñieåm uoán I1   BBT:. Đồ thị: +) 1b. Bieän luaän soá nghieäm: Ta coù : x 4  2 x 2  m  0  x 4  2 x 2  m Dựa vào đồ thị (C) ta kết luận : m< -1: voâ nghieäm. ; m= -1: 2 nghieäm. -1< m < 0: 4 nghieäm. ; m= 0: 3 nghieäm. ; m> 0: 2 nghieäm.. . Lop12.net. 21.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>