Bài tập Tích phân ôn thi đại học

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM *  dx  x  C *  cos xdx  sin x  C =>  cos udu  sin u  C. x 1  C ,(  1)  1 1 1 *  dx  ln x  C =>  du  ln u  C x u. *  sin xdx   cos x  C. *  x dx . *  e x dx  e x  C. * *. 1 cos2 x 1. dx  tan x  C dx . 2. 1 tan(ax+b)+C a. cos (ax+b) 1 * dx   cot x  C sin2 x. =>  e u du  e u  C. ax  C (0  a  1) ln a 1 (ax+b)  *  (ax+b) dx  .  C, a  0 a   u  *  u du  C   1 *  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C a 1 1 * dx  ln ax  b  C ax  b a *  a x dx . 1 *  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C a 1 *  e ax  b dx  e ax  b  C a *  tan xdx   ln cos x  C. *  cot xdx  ln sin x  C *. 1 1 xa dx  ln C 2 2a x  a x a 2. Dạng 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b.  f ( x )dx  F(b)  F (a) a. b. Chuù yù: -Nếu. . b. f ( x )dx = F ( x ) ba thì. a. b.  f (u)du  F (u) a. với u = u(x). a. -Nắm vững bảng các nguyên hàm;Nắm vững phép tính vi phân.chú ý: dx  - Chú ý đến phép chia đa thức, phân tích. 1. Tích phân hàm số hữu tỷ 1 1 x 1.  dx 8 ( x  1)3 0. 2. dx 3)  x  x3 1 4. 5)  1. 1 dx x (x  1) 2. 1 8 ln 2 5 ln. 5 3  8 4. du ( x ) u , ( x). 1 1 1 1  (  ) ....,phép nhân liên hợp.. ( x  a )( x  b) a  b x  a x  b 1. 2)  0. 2. 4)  1. x2  2x  3 dx 2 x. 1   3ln 2 2. dx x x3  1. 1 16 ln 3 9. . . x x 1 6)  2  dx x 4 1. 0. 3 1  ln 2  ln 3 2. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 3 2 2 5 x 1 x  x 1 5   dx 7)  dx ln 2  8)  2 4ln2-3ln3 3 4 2  x  1 1 x x6 1. x dx 2 0 1 x. 9) I   3. 11). dx.  x x 2. 2. 1. . 1. 4. 4x  3 dx x  3x  2 3. 1 ln 2 2. 10) I  . 3  1  3 12. 2. Tính các tích phân vô tỷ: 2 52 1)  x 2 1  x 3 dx. 9 0 7 231 x2 3)  3 dx 10 x1.  4. 5). . x 1. 0. 1. 0. 3. 4). 3. 3x  1. 0. 1. 7)  0. 2. 2. x  x 1.  6. 3.  2. 5)  sin x sin 2xdx. . . 2 1. 1 1   ln 2 6 3.  4. 2 7)  1  2sin x dx 0 1  s in2 x.  /2. (cos3 x  sin 3 x) dx. 0.  /4. 11).  0. dx cos 4 x.  /4. 13).  tan. 4. x dx. 0.  2. 14 3 5. 1. dx x  3  x 1. 3- 3-. 5cos x  4sin x 15.  dx 3 ( c osx+sinx) 0. 2. 1.  2. 2). 4sin3 x 0 1  cos x dx. 2.  4. 4). 2 3.   cos x  sin x dx 4. 4.  2. 2 2 3. 32 2 3  15 5. 8)  x x  2 dx. 0. 0. . x 2  1dx. 6) . 15. sin3x  sin 3x 0 1 cos3x dx. 9). 3. 1. 3. Tính các tích phân lượng giác sau:  1 4 ln 3 cos 2x 4 1) I   dx 0 1  2 sin 2x 3). x 0. x 3dx.   2 2  ln(  ) 4 8 2 2 2 1 3. 2) I   x x 2  1dx. 46 15. dx. x sin x  ( x  1) cos x dx x sin x  cos x. 12) . 0. 7 3. 18ln 2  7 ln 3. 2. 3. . . 6)  sin 2x 1  sin 2 x dx. 1 2 15 4. 0.  /2. 1 ln 2 2. 8). 4 3. 10). 4 3.  2  4 3.  cos 2 x(sin . x  cos 4 x)dx. /6.  /4.  0. sin 4 x dx sin x  cos 6 x 6.  /3. 12). 4. 14.  0. 16). 2 ln 4 3. sin x  2 cos x dx 3 sin x  cos x. 1  (ln4  ) 2 4.  2  3. 7 3 32. 3  ln 2 2. 3. 0 . . x dx.  tan. . ½. 4. dx 3 s inx-cosx. 1 4 3. 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.  /4. 17).  0. dx cos 6 x.  2. 28 15. 18).  0. 4. Tích phân hàm số mũ – logarits 1 x 2  e x  2x 2e x 1 1  1  2e  1).  dx  ln   x 1  2e 3 2  3  0 e. 3).  1. ln 2. 2). 0. . 1 6. ex dx (e x  1) 2. . 5.   esin x  cos x  cos xdx e. 8.   tgx  e. 3 cos x . e 1   4. 0.  4. sin x.  sin x . 3.  2. 2 2 2 1 . 3. 1  ln x dx x. . 3 6. sin xdx. 1. . ) cos x dx. ln 2  e. 2. 9). 1. 2  ln x dx 2x.  1. 0. 1 (3 3  2 2). 3. Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số b. Giả sử ta cần tính I=  g( x )dx .Nếu viết được g(x) dưới dạng: g( x )  f  u( x ) .u '( x ) thì đặt a. b. t  u( x )  dt  u '( x )dx .Khi đó. u(b ). I =  g( x )dx  a. . f (u)du. u(a ). Một số dạng thường gặp: *Nếu tích phân chứa n u ( x) thì có thể đặt t = n u ( x) hoặc t = u(x) *Nếu tích phân chứa mẫu số có thể đặt t = mẫu số * Dạng f (s inx).cosx dxcó thể đặt t = biểu thức chứa sinx... *Dạng f (cosx).sinx dx có thể đặt t = biểu thức chứa cosx.... * Dạng f(tanx).. 1 dx, có thể đặt t = biểu thức chứa tanx.... cos2 x. *Dạng f(sinx+cosx).(cosx-sinx)dx, đặt t = sinx+cosx.... 1 *Dạng f (ln x ) dx , đặt t = biểu thức chứa lnx x x x *Dạng f (e ).e dx , đặt t =biểu thức chứa e x ... 2.1. Tính các tích phân hữu tỷ: 2. 1).  1 3. 3).  1. 19  6 2 17. x 2 1 .dx x 4 1. 2 2. x 2 1 .dx x 4 1. 1 t  x x. 1. ln. 2). 2. (x2 1)dx   x2  5x 1x2 3x 1 1 2. 4).  1. (x 3  x)dx x 6  4x 4  4x 2  1. 1 7 ln 8 15. tx. 1 x. 2.2. Tích các tích phân vô tỷ: 1. 1). 3 2  x 1  x dx 0. 2 ( 2  1) 15. 2. 2). . x 5  2x 3. 0 3. 3). dx 0 x  2 x  1  2. 3 1 2 ln  2 3. 2. 4).  1 1. x2 1 x x 1. .dx. dx. 26 5 11  4 ln 2 3. 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. 1 2 62 2(1 – ln2) dx x x 1  30 ln 2 5)  6) dx 3 x 0 1 x  10.  1. 4. 8). I  . 5 2 3 3. 10). 2. x. x  9. 7 2. x2 1 dx 1  x  2 x  2. 9). . 2 3. dx. 11) . x x2  4. 5. 64. dx. 13). . x3 x. 1. 2 2. 3. 15) . x  x 3  2011x x4. 1 5. 17). 1 ln 7 6 4. dx. 7). . ln( x  1  1).  x 1  2. x 1. dx. 10. dx x  2 x 1. 5. 4. 4x  1 dx 2x  1  2.  0. 1. 1 ln 5 4 3. 12) . 2 11  6 ln 3. 14). 213 7 14077  + 128 16. 16). 2 ln 3. x 3  3x  2 dx x2. e. ln 2. 5. x 1. 18). 2. ln 3  ln 2. 34 3  10 ln 3 5 2 ln 3 . 8 3. e 2 x dx x. 1  ex  2. 2ln3 – 1. dx. 100 9  ln . 27 5. 1  x2. 1. x2 1 3x  1. 1 2. dx. 2ln21. dx.  1 x . 1. 2.3. Tích các tích phân lượng giác: b. a). b.  f  sin x  .cos xdx hoặc  f  cos x  .sin xdx a. 1.  sin 2 x cos x dx 1  cos x. 0.  /2. 3)..  0  4. 5).  0.  /2. 7).  0. cos x.dx 13  10 sin x  cos 2 x. a.  2.  2. 2ln2  1. 34 27. 2).  sin 2 x  sin x dx 1  3cos x. 0.  /2. 1 4 ln 2 3. 4),. dx cos x. ln(1 2). 6). cos x  sin x cos x dx 2  sin x. 2 1  ln 3.  0. sin 2 x dx 3  4 sin x  cos 2 x.  /2.  2. 9)  (cos3 x  1) cos2 xdx 0. 8   15 4. dx sin x /3. 1 2. 1 ln 3 2.    2. 8). ln2 -. 3sin x  4cos x 0 3sin 2 x  4cos2 x dx  2. 10)  1  cos 3 x sin x cos5 xdx.   ln 3 2 3 12 91. 0.  /2.  sin. 11). 2. x.cos3 x.dx. 0 . 2. 13.  0. sin x cos3 x dx 1  cos 2 x. 2 15 1  ln 2 2.  2. 12.  0. sin 2 x cos 2 x  4sin 2 x. dx. 2 3.  2. 14.  4 cos 0. 3. x dx 1  sin x. 2. 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. . . 1 b.  f  tgx  . dx hoặc cos2 x  0. 1) .  3. dx   /4 cos x.cos  x   4 .  . dx 3).     sin x.sin  x   6 3 . 2 3.  2 1 5)  dx   sin x  cos x  sin x 3 7). . 4.  4. 2. sin xdx 4 cos x (tan 2 x  2 tan x  5).  .  4.  4. 12). 4. sin 3 x.cos5 x. . 0. 3 1 3. 8. . . 3 1. 6).   cos x. tan x. 3 7. dx. 2. 2 3 2  ln  3 8. 3. 1  cos x. ln 3  1. tan 4 x dx . cos 2 x.  2. 1 10 3 ln(2  3)  2 27. dx. 1/6.  1  s inx+cosx 0.  /4.  4. 8). dx   9)  2  2 .sin  x  .dx sin x  2cos x   3 0   cos x 4.  0.  4. 10. ln 2. ln. dx. 4). . 1 dx sin 2 x. dx sin x.cos 3 x.  4  /6.  3.  3. 2). . 2 ln 2.  f  cotgx  ..  3. cotx 11)  dx    s inx.sin  x   6 4   4. 13). tan x.   4  tan x  cos 0. 2. x. dx.  2  2  ln 3   3 . 4 4 ln  1 3. 6 b. c). . b. f  sinx  cosx  .  cosx  sinx  dx hoặc. a.  /2. 1)..  0.  f  sinx  cosx  .  cosx  sinx  dx a. cos 2 x dx (sin x  cos x  3)3.  4. sin x  cos x 3.  dx 3  sin 2 x 0. 1 32.   sin  x   dx 4  2)  sin 2 x  2 1  sin x  cos x   0.  6.  4 sin x  cos x 4)  .dx 3  sin 2 x 0.  4. 4 3 2 4. 1 4 ln 4 3.  2. . s inx-cosx+1 5)  dx s inx+2cosx+3 0.   ln 5. 1 2. sin xdx 3 0 (sin x  cos x ). 6). .  4. cos 2 x. 7.  0. 1  sin 2 x  2 sin( x . . dx. ln(4  2 2). ). 4. d) Các dạng khác. /4. 1.  0. (sin2x  2x)dx cos 2 x(1  x.tan x)2.  /2. Đặt. t  1  x.tan x. 2). sin2x  1  sin 4 x .dx 0.  4 5. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.  /2   /2 s in2x  2x dx sin x  x.cos x 4 5) s in2x  2x  3) .dx (t  1  x.sin x) 4)  2 2 2 .dx  /4 sin x(1  x.cot x) 2 1  x.sin x   0 0 x.cos x  sin x. . 2.4. Tích phân mũ – logaris ln 3 ex 2.  dx 2  ln(e2  e 1) 3 x 0  e  1. 3. dx 1 e 1. 1. . x. ln 8. 3). 11- 24ln2. e 2 x dx. . x 1. 4) . ex  3 ex 1  3. ln 3. 0 ln 5. 5).  x dx x 3 ln 3 e  2 e e. 1  3 ln x ln x dx x. 7.  1. e. log 32 x. 9. . x 1  3ln 2 x. 1. e. ln x dx x (2  ln x )2. 11.  1. e2. 12). dx ..  e. 1  ln x .dx x 2 .ln 2 x. 2. e 1 1  14.   2  dx ln x ln x  e. . . 2 1. 22. 2. x. ln 2. e2 x. ln 3 2. 6.. 116 135. 8. . 4 27 ln 3 2. 10. .  e. dx. dx. ex  2. 0. 1.  9 3  2. 1 x. 3  2ln x x 1  2 ln x. 1 9 ln 5 ln 2 14. 2 3. 8 3. 10 11 2 3 3. dx. e. ln x. 3 1  ln 2 x dx x 1. 3 3 ( 16  1) 8. e. 3 1 ln    2 3. ln x sin(ln x)  ln x  1 dx x 1. 12. .  /4.  t  x.ln x . 13).  log (1  tan x)dx 2. 0 4. e  2  e. 15). 2. ln(5  x)  x 3 . 5  x dx 1 x2. cos1+sin1 +. 4 2 2  3 3.      x   t  8 4 3 164 ln 4  5 15. Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần b. 3.1.Dạng  P( x ).l n xdx a. 3. 1.. 2. 3. I   x. 3. 2. ln x dx. 1. 3. 3  ln x.  (x  1). 2. dx. 1.  3. 7.   6. 2.. 3ln3 – 2. ln x 1 x 3 dx e. e. 5.. 3  2 ln 2 16. 2. 2  ln( x  x)dx. ln(s inx)dx cos 2 x. x  ln x. 5e 4  1 32. 4. . 3 (1  ln 3)  ln 2 4. 6.  s inx.ln(1+cosx)dx. 1. e  2.  x  1. 2. dx. 2 1 e. 2ln2-1. 0. 1. 3 3 3  ln  3 2 6. 8.  x ln 1 x 2  dx 0. ln 2 . 1 2. 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. e. 3 9)   2 x   ln xdx x 1 1.  4  x2  dx 2  4  x  . 11.  x 3 ln  0. 3 2  1 2. 13.. x 1  x2. ln.  3. e 1 2. ln tgx 10.    dx sin 2 x. 1 2 ln 3 16. 3 ln    2 5. 12.  ln x dx. 4 2 e. 2. x 1  x2. dx. .  4 e. 3 3 ln 3  ln 2  3 4. . e. 14.  . ln x  ln 2 x 1  ln x  1. . b. 3.2. Dạng. 1..  ( x  sin. 2. x) cos xdx.  x  dx . 2 2 2 e  3 3. b.  P( x ).cos xdx ,  P( x ).sin xdx a.  2. x. 0. a.  2  2 3.  /4. 2. G . . 2. x tan xdx. 0.  2 1   ln 2 4 32 2. 0. 2. 3.. x sin x dx. .      2. 2 2  8. 4.. 0. 2. . cos x dx. –2. 0.  4. 5.. . x sin x 0 cos 3 x dx  3. 1  x sin x 7.  dx 2 cos x 0.  1  4 2 2 1 2  3 3  ln 3 2 2 3. 4. 6.  0. x dx 1  cos 2 x. . 8.  x.sin x.cos 2 x dx 0.  1  ln 2 8 4  3. b. 3.3 Dạng  P( x ).e x dx a. 1. 1.  ( x 2  2 x).e x dx. e. 1. 2. . 0 1. 3.  0. x2 e2 x.  x  1. 2. dx. 1 2. 5.  cos 3x.e dx. 7  3e. 7)..  0. e x cos 2 xdx.  x  2. 1. . 0. . 2. dx x3.   dx 4  x2 .  2. 6.  e.  1  2  2e  3  5 . 3e 3. e2 61 3 3 4 12 3. 3x. sin 5 xdx. 0. 0.  /2. 0. 4.   xe2 x .  2 sin x. x2e x. 3.e 2  5 34.  2. 1  sin x x e dx 1  cos x 0. 8. . e.  2. 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. Dạng 4: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số lượng giác .  f ( x )dx .Đặt x = x(t) (t  K) và a, b  K thoả mãn  = x(a),  =. Giả sử ta cần tính . x(b)thì.  b. b. a. a.  f ( x )dx   f  x(t) x '(t)dt   g(t)dt .  g(t )  f  x(t ) .x '(t). 4.1. Dạng f(x) có chứa a 2  x 2 thì đặt x  a sin t, 2 /2. 1.. x2. . 1  x2. 0. 1. x2. 3. . 4 x. 0. 2/ 3. 5.. dx. đ. dx. dx.  2. 4  x2 dx . x2. 7.  1. e. x 1.  3  3 2. dx 1  ln 2 x. 3.   1 2.    ln 2 x  dx 2 1  x 4  ln x  1. 4.  x 2 4  3 x 2 dx 0. 6.. x2. . 2x  x. 1/ 2.  3. 1. 8..  e. 10. . x 1  ln x. 1. 1. . 2. 1  x dx. 0. 0. 3.. dx 1 x 2  2 x  4 6  10 2. 5..  1. 2. x 1 dx x4  1. 1. 5 x2  4 7.  3 dx x 1 0  2. 9..  0. 1. 2 1  ln( 2  1) 2 2. 2.. 3 18. 4. .  2 6 4 3  3ln 2 9. . 0. x4 1 dx x6  1. . 0. dx x  4 x2  3 4. e. s inx 1  cos 2 x. ln(1  ln 2 x ) dx 1 x. 10.. dx. 1.  4.  ln( 2  1). cos3 x  cos x  sin x 6. x ( )dx 1  cos2 x 0. 8. . 1 12. 2. . 1. 9 3. +.   t 2 2. 1 x. 0 1. dx. dx. . 2π.  3 3  4 2 2. 2. ln x 1  ln x.  e2 6.  7 3  2 4 8. dx. 3  2x  x. 4.2. Dạng f(x) có chứa a 2  x 2 thì đặt x  a tan t, 1.. 2. x 2 dx. 0.  6.   t 2 2. e. 1.   12. x x2  1. 2. 9.. 2.  1  8 4. .  3. 2 2 4   3  8 36. ln2 – 2 +.  2. Các dạng khác 2. 1.. x 0 ( x  2) 4  x dx 1. 3. C   0. 1 x dx 3 x.  4. 2 /2. 2..  0.   32 3. 1 x dx 1 x.  1 x   2 x ln 1  x   dx x  0  1 1. 4.  .  2 1 4 2 3   2 2. 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. Dạng 5: Tích phân một số hàm đặc biệt Daïng 1. Tích phaân cuûa haøm soá chaün, haøm soá leû a.  Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá leû treân [-a; a] thì. f ( x )dx  0. . a a.  Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá chaün treân [-a; a] thì. . a a. Bước 1: Phân tích I . . a. 0. f ( x )dx . a. . a. a. f ( x )dx  2  f ( x )dx 0. 0 a    J   f ( x )dx; K   f ( x )dx     a 0 . f ( x )dx   f ( x )dx 0. 0. Bước 2: Tính tích phân J . . f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.. a. Daïng 2. Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm chaün treân R thì: . . f ( x).  x dx   a  1 . I.  . (với   R+ và a > 0).  f ( x )dx 0. 0. 0   f (x) f ( x)  J   dx; K   dx  x x   a  1 a  1   0 .  f (x) f (x) dx   dx   dx x x x a 1 a  1 a  1  0. f ( x). Để tính J ta cũng đặt:. t = –x..   Daïng 3. Neáu f(x) lieân tuïc treân  0;  thì  2.  2. .  2. f (sin x )dx . 0. . Đặt t . f (cos x )dx. 0.  x 2. Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f (a  b  x )  f ( x ) hoặc f (a  b  x )   f ( x ) thì đặt: t = a + b – x Ñaëc bieät, neáu a + b =  thì ñaët t =  – x neáu a + b = 2 thì ñaët t = 2 – x Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau (daïng 1):  4. a). 7.  4 1. cos4 x. . .  2. 3. x  x  x  x 1.  . d). 5. dx. b).   2 1. cos x ln( x  1  x 2 )dx c). . . ln x  1  x 2 dx. e). . x dx. 1.  x dx 1 2  1 . d). x4.  . sin2 x. dx 3x  1. 1. b).  1. 1  x2 1 2x. 2. 1. f).  1. x 4  sin x x2 1. 1. dx. c). 3. e). 1 x  cos x.ln  dx 1 x  1.  . 4 2 1 1 x  x  1 Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau (daïng 2):. a). 1 2. x2 1  1  2 x dx 3. f). . 1 (e 1. . 1 (4. dx. dx x.  1)( x 2  1) dx. x.  1)( x 2  1). 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau (daïng 3):  2. a)  0. n. cos x cosn x  sin n x.  2. d). dx (n  N*) b). sin2009 x. .  2. sin x. . 7 7 0 sin x  cos x  2. dx. e).  2. 7. 2009 4 4 x  cos2009 x 0 sin 0 cos x  sin x Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau (daïng 4):. . a). d). . x .sin x. 0 4  cos  4. 2. x. dx. b). x  cos x 4  sin2 x. 2. e). . x.  1  sin x dx. h).  sin 4 x ln(1  tan x )dx. l). a). dx. .  2. sin x.  sin x  cos x dx. b). cos x  sin x  cos x dx 0. e). . dx.  1  sin x .  ln  1  cos x dx . f) i).  x.sin. 3. xdx. x sin x. . 2 0 1  cos x. dx. . dx. 4. xdx. 0.  2. cos x. sin 4 x.  x sin x cos. m).  sin x  cos x dx. 0  2. dx. 0. x sin x. 2. sin x  cos x. 4 4 0 cos x  sin x. 0 . x sin x. sin x. sin4 x. . c). 0. 0  2. d). f).  2. 0 0 9  4 cos x Baøi 5. Tính caùc tích phaân sau (daïng 5):.  2. dx.  2  cos x dx .  0. x .cos3 xdx. 0 . 0  4. k).  0.  ln(1  tan x )dx 0 . g). . c).  2. cos4 x. . dx. c). 0  2. dx. f). sin x.  sin x  cos x dx. . cos4 x. 4 4 4 4 0 sin x  cos x 0 sin x  cos x Dạng 6: Ứng dụng của tích phân. dx. 1. Dieän tích hình phaúng  Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:. {Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b];Trục hoành;Hai đường thẳng x = a, x = b.} b. laø:. S   f ( x ) dx. (1). a.  Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: {Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b];Hai đường thẳng x = a, x = b.} b. laø:. S   f ( x )  g( x ) dx. (2). a. Chuù yù:. 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. b.  Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:. . b. f ( x ) dx . a.  f ( x )dx. a.  Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phaân. Ta coù theå laøm nhö sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b. . a. c. d. b. c. f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx a. c. =. . d. d. f ( x )dx . a. . b. f ( x )dx . c.  f ( x )dx. d. * Trường hợp giới hạn bởi nhiều hơn hai đường đường có thể vẽ đồ thị để thiết lập công thức tính`  Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) d. – Hai đường thẳng x = c, x = d. S   g( y )  h( y ) dy c. 2. Theå tích vaät theå  Theå tích cuûa khoái troøn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: b. (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox: V    f 2 ( x )dx a. * Nếu hình phẳng giới hạn bởi đoà thò cuûa caùc haøm soá y = f(x), y = g(x) ;x = a, x = b quay quanh Ox thì b. V .  a. b. f 2 ( x)dx   g 2 ( x )dx a. Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh d. V    g2 ( y )dy. truïc Oy:(C): x = g(y), truïc tung, y = c, y = d laø:. c. Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:. a) y  x 2  4 x  6, y  0, x  2, x  4 c) y . 1  ln x , y  0, x  1, x  e x. b) y  d) y . x ln( x  2) 4  x2 ln x 2 x. và trục hoành. , y  0, x  e, x  1. 1 e) y  ln x, y  0, x  , x  e f) y  x 3 , y  0, x  2, x  1 e Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 3 x  1 a) y  , y  0, x  0 b) y  x , y  2  x, y  0 x 1 x2 x2 c) y  e x , y  2, x  1 d) y  4  , y 4 4 2. 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. e) y  2 x 2 , y  x 2  2 x  1, y  2. f) y   e  1 x , y  1  e x  x .A07. Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:. a) y  4  x 2 , y  x 2  2 x. b) y  x 2  4 x  3 , y  x  3. c) y  x 2 và y  2  x 2. d) y . 1 1 x2. ,y . x2 2. e) y  x , y  2  x 2 f) y  1  2 x  x 2 và y = 1 Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y  x 2 , x   y 2. b) y 2  x  5  0, x  y  3  0. c) y 2  2 y  x  0, x  y  0. d) y 2  2 x  1, y  x  1. e) y . 1   , y  0 và hai đt x  , x  3 4 3 s inx.cos x. f) x  y3  1  0, x  y  1  0. Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:. a) y  0 và y  b) (C ) : y . x 1  x  x2 1. x2  2 x  1 , y  0 , tieäm caän xieân cuûa (C), x = –1 vaø x = 2 x2. c) (C ) : y  x 3  2 x 2  4 x  3, y  0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2. d) (C ) : y  x 3  3x  2, x  1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2. e) (C ) : y  x 2  2 x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C). VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường quay quanh trục Ox:. x.e x b) y  x , trục hoành và đường thẳng x  1 e 1. 2. a) y  1  2 x  x (C ); y  1( D) c) y  sin6 x  cos6 x , y  0, x  0, x .  2. d) y  x , x  4. e) y  x 3  1, y  0, x  1, x  1. f) y  x 2 , y  x. g) / y  x ln x , y  0 , y  e. h) y   x 2  4 x, y  x  2.   2x ,x k) y  và hai trục tọa độ. x 1 4 2 l) y  x 2  4 x  6, y   x 2  2 x  6 m) y  ln x, y  0, x  2 Bài 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường quay quanh trục Oy: 2 a) x  , y  1, y  4 b) y  x 2 , y  4 y i) y  sin x, y  cos x , x . c) y  e x , x  0, y  e d) y  x 2 , y  1, y  2 Bài 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh: i) truïc Ox ii) truïc Oy a) y  ( x  2)2 , y  4. b) y  x.ln x , y  0, x  1, x  e. 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013. c) y  x 2 , y  x. d) y  2 x  x 2 , y  0. 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>