Chủ đề: Nguyên hàm - Tích phân - ứng dụng của tích phân

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM: 1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K 2. Tính chất: + Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số +  f '( x)dx  f ( x)  C +  kf ( x)dx  k  f ( x)dx với k  R * +  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx 3. Bảng các nguyên hàm.  0dx  C. ax  C a  0; a  1 ln a 1  cos axdx  a sin ax  C a  0 1  sin axdx   a cos ax  C a  0 1  cos2 x dx  t anx  C 1  sin 2 xdx   cot x  C x  a dx .  dx  x  C . x. dx . 1  1 x C  1.   -1. 1.  x dx  ln x  C.  e dx  e x. x. C. 4.Các phương pháp tính nguyên hàm A. Tính nguyên hàm dựa theo định nghĩa và tính chất của nguyên hàm Bài 1: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số a). f(x)=1+ sin3x bieát F(.  6. )= 0.. 1  cos3x + C. Do F( ) = 0  3 6 1 Vaäy nguyeân haøm caàn tìm laø: F(x)= x – cos3x 3 Ta coù F(x)= x –. . Giaûi. . 6 -. 1   cos + C = 0  C = - . 3 2 6. -.  6. .. 1 2. b) f ( x)  sin 2 x biết F ( )  0. ĐS: F ( x)   cos2 x . 6. 1 4. c) f(x) = 4x3 - ex + cosx biết F(0) = 5 ĐS: F ( x)  x 4  e x  sin x  6 Bài 2: Tính các nguyên hàm sau :. 1 4 3 2 x  x  5x  C 4 2. a)  ( x3  3 x  5)dx. ĐS:. b)  (sin x  2cos x)dx. ĐS: -cosx + 2sinx + C. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2 )dx cos 2 x d)  sin x cos3 xdx c)  (3sinx . HD: sin x cos3 x . ĐS: -3cosx - 2tanx + C. 1 (sin 4 x  sin 2 x) 2. ĐS:. 1 dx ( x  2)( x  3) 1 1 1 HD:   ( x  2)( x  3) x  2 x  3. 1 1 cos2x- cos4x +C 4 8. e) . ĐS: ln. x2 C x3. B. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến NHẬN XÉT: Khi gặp nguyên hàm có dạng:  U n ( x)U '( x)dx n  N thì ta đặt t = U(x).  n U ( x). U '( x)dx U '( x).  U ( x) dx e. n  N, n  2 ta đặt t  n U ( x) => t n  U ( x) => n.t n1dt  U '( x)dx. Đặt U(x) = t. U ( x). U '( x)dx ta đặt U(x) = t. Bài 1: Tính các nguyên hàm sau : a)  ( x  1)5 dx b)  2 x( x 2  1) 4 dx c) d). x . 3. . x 4  2dx. 1 dx 3x  1. ĐS:. 1 6  x  1  C 6. HD: đặt x 2  1  t HD: đặt. HD:. x4  2  t 3x  1  t. e)  sin 3 x.cos xdx. e f) . x3  4 2. x dx. HD: x 3  4  t. x7 dx g)  x 4  1 x7 x 4 .x 3 HD :  4 dx   4 dx x 1 x 1. x4 1  t. đặt C. Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần Công thức:. 5 1 2 x 1  C 5 3 1 x4  3  c ĐS: 6 2 DS : 3 x  1 +C 3 1 ĐS: sin 4 x  C 4 1 x3  4 e c 3. ĐS:. . . . ĐS. . 1 4 1 ( x  1)  ln( x 4  1)  C 4 4.  u.dv  u.v   v.du. NHẬN XÉT: Khi gặp nguyên hàm có dạng:.  P( x)sin axdx;  P( x) cos axdx;  P( x)e. P(x) là đa thức ta đặt P(x) = u phần còn lại là dv  P( x) ln xdx trong đó P(x) là đa thức ta đặt lnx = u , P(x)dx = dv Lop12.net. ax. dx trong đó.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài tập:. a )  2 x.cos xdx. c)  (2 x  1)e x dx. b)  ( x  1)sin 2 xdx. d ). ln x dx x2. e)  x ln( x  1)dx. dx  du   u  ln( x  1)  x 1 HD: đặt   2 dv  xdx v  x  1  2 2 x 1 1 1 ĐS: ln( x  1)  x 2  x  c 2 4 2 II.TÍCH PHÂN 1)Định nghĩa tích phân :. . . Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn   giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn  a; b .    a; b  . Hiệu số F(a) - F(b) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x). ký hiệu là:   b. b.  f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) a. 2). Tính chất: Tính chất 1:. Tính chất 2:. b. a. a. b.  f ( x)dx    f ( x)dx b. b. a. a.  kf ( x)dx  k  f ( x)dx với k thuộc R b. b. b. a. a. a.   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx. Tính chất 3:. b. c. b. a f ( x)dx a f ( x)dx  c f ( x)dx. Tính chất 4:. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: 1/ Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản: Bài tập 1: Tính các tích phân sau 2. a) I =.  (x 1. 3.  2 x  1)dx. b) I . 1. e 1 3. Lop12.net. 3 x 1. dx. b.  f ( x)dx a.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 3. c) I   x  2 dx 0. Giải:.  x4  1  3  x 2  x  1 2  1  2  2    1  1   2 a) I =  4  4  4 . . . 1 1 3 x 1 1 4 e 1 b) I = (e ) 1 = 3 3  3. . 2. 3. 0. 2. . c) I   ( x  2)dx   ( x  2)dx =. 5 2. 2/ Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1: b. Khi gặp tích phân có dạng:. U. n. b. ( x)U '( x)dx n  N ; n  2. a. b.  n U ( x) U '( x)dx. U '( x).  U ( x) dx. ;. ta đặt U(x) = t. a. n  N n  2 ta đặt n U ( x)  t  U ( x)  t n. a. Bài 1: Tính các tích phân 1. a)  (2 x  1)8 dx. HD: đặt 2x+1 = t. 9841 9. ĐS:. 0. 2. b). (2 x  1).  x 2  x  1dx. Nhận xét : (x 2 +x+1)’= 2x+1 nên ta đặt: x 2  x  1  t. 1. ĐS: 2. c).  1. 2 xdx x 1 2. Nhận xét ( x 2  1) '  2 x nên ta đặt. ln. 7 3. x2  1  t  t 2  x2  1 ;. => tdt= xdx ĐS:. 2. . 5 2. .  2. d).  sin. 4. x.cos xdx. Nhận xét: (sinx)’ = cosx nên ta đặt sinx = t. 0. 1. e).  x. 1. 5. . 7.  1 x 4 dx. (x 5 +1)'=5x 4. đặt x 5  1  t. Lop12.net. ĐS:. 32 5. ĐS:. 1 5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> e. 1  ln x dx x. f) I   1. (1+lnx)'=. 1 dx nên ta đặt 1  ln x  t  t 2  1  ln x 2tdt  x x. . 1. g). 1 dx 1  x 0. I . HD :. x  t  x=t 2 ; dx  2tdt. . 2 2 2 1. ĐS:. 3. ĐS: 2( 1 – ln2 ).  2. h). (1  cos 2 x)'=-sin2x. sin 2 x  1  cos 2 x dx 0. ta đặt 1+cos 2 x  t  dt=-sin2xdx ĐS: ln2. 3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 2: *QUY TẮC: b. Tính.  f ( x)dx a. 1. đặt x =u(t) , u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  ;   f(u(t)) xác định trên đoạn.  ;   và u()= a ; u() =b 2. Biến đổi f(x)dx theo t và dt. giả sử f(x)dx = g(t)dt b. 3..  a. . f ( x)dx   g (t )dt . 1. * Bài 1: Tính I =. . 1  x 2 dx. Nhận xét (1  x 2 ) '  2 x ta thấy x không có ở ngoài dấu căn,nên. 0. không thể áp dụng phương pháp đổi biến dạng 1. vì sin 2 +cos 2  =1. Nhận xét:. <=> sin 2  = 1- cos 2  nên nếu ta đặt x = sint hoặc x = cost thì 1- x 2 = 1 - sin 2 t. ( hoặc 1 - x 2 = 1 - cos 2 t ).    ;  2 2 . đặt x= sint với t   . Giải :. đổi cận : khi x=0 t = 0 ; khi x = 1 ; t = dx = cost dt 1. I=.  0. 1  x 2 dx. 1  x 2  1  sin 2 t  cos 2t  cos t  cos t. =. . . . 2. 2. 0. 0. 1  cos2t  dt  2 4 0 2. 2  cos t.cos tdt   cos tdt  . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1. CHÚ Ý: Với. x. n. 1  x 2 dx. n  N ta đặt x = sint khi n chẵn, đặt. 0. 1  x 2 khi n lẻ. t=. 2 2. . *Bài 2: Tính tích phaân sau : I . x2 1  x2. 0. dx. Nhận xét: Vì đạo hàm của biểu thức trong dấu căn không có trên tử số nên ta không áp dụng được phương pháp đổi biến dạng 1.    ;  2 2 . GIẢI: đặt x = sin t với t    =>dx = cos t dt Khi x = 0 thì t = 0.  2 thì t = 4 2  /4 2 sin x.cos tdt. Khi x = Vậy I . . . 1  sin t 2. 0.  /4.  sin. 2. tdt. (Do cos t > 0). 0. 1  /4  2   (1  cos 2t )dt  2 0 8 *Bài 3:. H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 2. 1. a)  4  x dx 2. b). 0. dx.  1  x2 0.     ;  . Khi x = 0 th× t = 0. Khi x  2 th× t  . 2  2 2. Gi¶i: a) §Æt x  2sin t , t   . Tõ x  2sin t  dx  2cos tdt 2.  0. . . 2. 2. 0. 0. 4  x 2 dx   4  4sin 2 t .2cos tdt  4  cos 2 tdt   ..     ;  . Khi x  0 th× t  0 , khi x  1 th× t  . 4  2 2. b) §Æt x = tant với t    Ta cã : dx . 1 dt  1  tan 2 t dt 2 cos t. .  1. =>. dx  1  x2 = 0. . . 4 1  tan t  dt   1  tan 2 t  dt  4 0 0 4. 2. Chó ý: Trong thùc tÕ chóng ta cã thÓ gÆp d¹ng tÝch ph©n trªn d¹ng tæng qu¸t h¬n nh­: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng. Lop12.net. a 2  x 2 , a 2  x 2 vµ. x2  a2.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> x(a 2  x) (trong trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm mất căn thức, cụ thể là: . Víi.    a 2  x 2 , đặt x  a sin t , t    ;   2 2 hoÆc x  a cos t , t   0;   .. . Víi. a 2  x 2 , đặt x = atant. . Víi. x 2  a 2 đặt x . . Víi. . CHÚ Ý:.     ;   2 2. t . a , t   0;   cos t.   x(a 2  x) đặt x  a sin 2 t , t  0;   2 Khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cần phân biệt cho học sinh nắm. được khi nào thì áp dụng cách đổi biến dạng 1, khi nào thì áp dụng cách đổi biến dạng 2.Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng: f (u ( x))u '( x)dx ;. u '( x)dx u '( x)dx ; n u ( x) u ( x). Thì nên áp dụng đổi biến số dạng 1 . Nếu không áp dụng được cách đổi biến dạng 1 thì áp dụng cách đổi biến dạng 2. Trường hợp không dùng được phương pháp đổi biến số thì ta sẽ áp dụng phương pháp tích phân từng phần IV PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN; Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  a; b  thì: b. b b  u ( x)v '( x)dx   u ( x)v( x)  a   v( x)u '( x)dx a a b. b b hay  udv  (uv)   vdu . a a a Chú ý : Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau : 1. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng. b. 2. Tích phân.  vdu a. b. được xác định một cách dễ dàng hơn so với tích phân ban đầu  udv a. 3. Chúng ta cần nhớ các dạng cơ bản sau : Dạng 1 :. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> b. b. b. a. a. a.  P( x)sin(cx)dx ( hoặc  P( x)cos(cx)dx )  P( x)e. cx  d. dx với P(x) là một đa thức. Khi đó ta đặt. u= P(x) phần còn lại là dv b. b.  e cosxdx. Dạng 2 :. x. e. hoặc :. a. x. sin xdx. a. Ta đặt u= e x ; dv = cosxdx ( hoặc dv=sinxdx ) Cũng có thể đặt : u =cosx. ( hoặc u =sinx ) dv = e x dx. Dạng3 : b.  P( x) ln. I=. k. xdx với P(x) là một đa thức Đặt u  ln k x , dv = P(x)dx. a. b. x a cos2 xdx;. Dạng 4:. b. x.  sin a. 2. x. dx .. Đặt u=x phần còn lại là dv. Bài 1: Tính các tích phân e.  x ln xdx. a). e2  1 4. ĐS:. 1. 1. b)  ( x  2)e x dx. ĐS:. 3 – 2e. 0. . 2  2 1 8. 4. c)  ( x  1 ) cos xdx. ĐS:. 0.  2. d).  (2  x)sinxdx. ĐS :. 1. 0. . u  x du  dx x  dx HD:  e) I   dx   2 v  tan x 0 cos x dv  cos 2 x 4. . . . sin x   2 I  ( x tan x) 4   dx   ln cos x 4   ln cos x 4 4 2 0 0 0 4. ĐS:. I. Một số bài tập tổng hợp: 1. . . 1. Tính I   x x  e x dx 0. Lop12.net.  4.  ln. 2 2.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1. 1. x3 1 1 x 1 1 x  xe dx =   xe dx GIẢI: I   x dx   xe dx  3 0 0 3 0 0 0 2. x. u  x. 1. x  xe dx. Với. Ta đặt . x dv  e dx. 0. 1. 1 1 x  e dx  1 0 0.  .   xe x dx  xe x 0. Vậy I . 4 3  2. 2. Tính I   x(1  cos x)dx 0. . . 2. 2. . . 1 2 x 2  GIẢI: I   xdx   x cos xdx  2 0 0 0 .  x cos xdx . .  x cos xdx.  x sin x . . 0. Vậy: I . 2 8. 0. Ta đặt . 0. 2.  x cos xdx. u  x du  dx  dv  cos xdx v  sin x. 2. Với. 2. . e.  2. . . 2  0.  sin xdx  2  1. . 2. 0. 1. 1 x. 3. Tính I   ( x  ) ln xdx 1. e. e. 1 1 x. HD: I   x ln xdx   ln xdx 1. e. Tính I1   x ln xdx bằng phương pháp từng phần 1. e. 1 1 x. Tính I 2   ln xdx bằng phương pháp đổi biến . 4. Tính I  . 5..  (e 0. cosx. . . 4 1 x 1 x dx  dx   cos2 x  cos2 x  cos2 x dx 0 0 0 4. 4. .  x)sinxdx   e 0. cosx. . sinxdx   x sin xdx  e    0. Lop12.net. 1 e.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> . Tính I1   ecosx sinxdx bằng cách đặt cosx = t 0. . Tính I 2   x sin xdx bằng phương pháp từng phần 0. III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A/ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x)liên tục trên đoạn  a; b  , trục hoành và các đường thẳng x=a; x=b được tính theo công thức: b. S=. . f ( x) dx. (1). a. 2. Cho hai hàm số y  f1 ( x); y  f 2 ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f1 ( x); y  f 2 ( x) và các đường thẳng x=a ; x=b là: b. S=. . f1 ( x)  f 2 ( x) dx. (2). a. 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong x = g(y); x = h(y) ( g và h là các hàm số liên. . . tục trên đoạn   và hai đường thẳng y =c; y = d là: c; d  d. S=.  g ( y )  h( y ) dy. (3). c. CHÚ Ý: Khi áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng cần khử dấu giá trị tuyệt đối dưới dấu tích phân.Chẳng hạn đối với công thức (2) ta có thể giải phương trình. . . f 1 (x)- f 2 (x) =0 trên đoạn   , giả sử phương trình có hai nghiệm c;d ( a < c < d < b ), khi a; b  đó: S=. c. d. b. a. c. d.  ( f1 ( x)  f 2 ( x))dx   ( f1 ( x)  f 2 ( x))dx   ( f1 ( x)  f 2 ( x))dx. Hoặc có thể xét dấu của f1 ( x)  f 2 ( x) trên đoạn  a; b  Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường a) y  x3 , y  0, x  1, x  2 b) y = lnx ; y = 0 ; x = e. ĐS : ĐS :. 1. Lop12.net. 15 4.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> c) y = x2 - 3x + 2, y = 0. ĐS :. 1 6. y) y  2 x 2  4 x  6; y=0; x=-2; x= 4 HD : giải phương trình 2 x 2  4 x  6  0 trên đoạn  2;4 có hai nghiệm x = -1 ; x = 3 Diện tích S . 1. . 2 x  4 x  6 dx  2. 2. . 3.  2x. 1. 1. 2  (2 x  4 x  6)dx . 2. 2. 4.  4 x  6 dx   2 x 2  4 x  6 dx 3. 3. 4. 2 2  (2 x  4 x  6)dx   (2 x  4 x  6)dx. 1. ĐS :S=. 3. 92 3. Chú ý: Khi tính diện tích hình phẳng cần cho học sinh xác định các giả thiết của bài toán xem đã đủ các dữ kiện trong công thức chưa? Có thừa hay thiếu gì không. Chẳng hạn như trong câu b) ta mới chỉ có y= lnx ; y =0; x = e còn thiếu một cận của tích phân ( x = a ; x =b ) trong công thức (1). Do đó cần giải phương trình f 1 (x) - f 2 (x) = 0 để tìm thêm một cận của tích phân Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường a, y  x 2  3 x  1 , y = x + 1, x = 0, x = 3. x  0  x  4 (lo¹i). HD : xét phương trình x 2  3 x  1  x  1   3. 3. =>diện tích S   x 2  4 x dx   ( x 2  4 x)dx  9 0. b, y =. x2. ĐS :S = 9:. 0. -2x , y = x. x  0 x  3. HD : xét phương trình x 2  2 x  x   3. 3. => diện tích S   x 2  3 x dx   ( x 2  3 x)dx  0. 0. 9 2. c, y   x  4 x  3 và các tiếp tuyến của (P) tạị các điểm 2. M( 0 ; -3) N( 3 ; 0) HD : y’ = -2x + 4 y’(0) = 4 ; y’(3) = - 2 Tiếp tuyến của (P) tại M( 0 ; -3) có phương trình y = 4x – 3 Tiếp tuyến của (P) tại N( 3 ; 0) có phương trình y = -2x +6 Xét phương trình 4x – 3 = -2x + 6  x = 1,5 3 2. 3. Diện tích S    x  4 x  3  4 x  3 dx    x 2  4 x  3  2 x  6 dx 0. 2. 3 2. Lop12.net. ĐS :S =. 9 2.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 3 2. 3.   x 2 dx   ( x 2  6 x  9)dx  3 2. 0. 9 4. ĐS :S =. 9 4. B/ TÍNH THỂ TÍCH; Công thức tính: 1.Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn  a; b  , trục hoành và các đường thẳng x = a; x = b khi nó quay quanh trục 0x tạo thành khối tròn xoay có thể tích là: b. V     f ( x) dx 2. (1). a. 2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y) liên tục trên đoạn  c; d  , trục tung và các đường thẳng y =c; y = d khi nó quay quanh trục oy tạo thành khối tròn xoay có thể tích là: d. V     g ( y ) dy 2. (2). c. Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay do miền hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Ox: a) y = cosx y = 0 x = 0 ; x =. . ĐS. 4. x  b) y  sin , y  0, x  0, x  2 4. 2 8. .  4. ĐS:. 2. 8 16 ĐS : 15. c) y  x 2 - 2 x, y  0. . 2 4. d) y  x 2  1; y=x+1. x  0 x  1. HD : Xét phương trình : x 2  1  x  1  . Gọi V1 là thể tích khối tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y  x 2  1 ; y = 0 ;x =0 ; x = 1 khi nó quay 1. quanh trục ox. V1    ( x 2  1) 2 dx  0. 28 15. Gọi V2 là thể tích khối tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y  x  1 ; y = 0 ;x =0 ; x = 1 khi nó quay 1. quanh trục ox. V2    ( x  1) 2 dx  0. 7 3. Do đó ta có thể tích khối cần tìm là : V  V1  V2 . 7 15. ĐS : V =. 7 15. Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường: y2 = x3, y = 1, x = 0 khi nó quay xung quanh trục 0y Hướng dẫn giải: Từ y2 = x3 <=> x . 3. y2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Giải PT:. 3. y2  0  y  0 1. V    3 y 4 dy 0. ĐS. 3 V  7. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>