Chủ đề: Khối đa diện – thể tích

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã. Chủ đề 5. Các kiến thức cơ bản cần nhớ 1. Khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện. Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của hai khối đa diện.. Các dạng toán cần ôn tập. KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH Bài tập minh hoạ (Xây dựng bài tập từ nhận biết ® thông hiểu ® vận dụng). 1. Tính thể tích Bài 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a 2 và biết khối lăng trụ, khối A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ. chóp. Lời giải: C' A' Một số chú ý: Ta có - Chú trọng ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a B' rèn cho học sinh kỹ ABC A'B'C' là lăng trụ đứng  AA'  AB năng vẽ hình không 3a AA'B  AA'2  A'B2  AB2  8a2  AA'  2a 2 gian. - Hệ thống Vậy V = B.h = SABC .AA' = a3 2 C A lại cho học sinh các công thức tính diện tích tứ giác và tam a B giác đặc biệt. - Phân loại khối chóp, khối lăng Bài 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và trụ thường gặp để đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này. xác định đường cao, Lời giải: từ đó tính thể tích ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên của chúng. BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2  BD  3a - Nhắc lại 3a ABCD là hình vuông  AB  các khái niệm góc 2 trong không gian, 2 9a khoảng cách giữa Suy ra B = SABCD = các đối tượng trong 4 KG. Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3. 2. Khối đa diện đều, 5 loại khối đa diện đều (tứ diện đều, lập phương, bát diện đều, thập nhị diện đều và nhị thập diện đều). Tính đối xứng qua mặt phẳng của khối tứ Loại 1: Các khối đa diện đều, bát diện đều thường gặp diện đều và hình lập. Bài 3: Lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh. Lop12.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã. phương. Phép vị tự trong không gian. Loại 2: Khối chóp, khối lăng trụ có chiều cao cho trước, tìm hình dạng và diện tích đáy từ đó 3. Thể tính thể tích. tích khối đa diện. Thể tích Loại 3: Khối chóp khối hộp chữ có một mặt bên nhật. Công vuông góc với mặt thức thể tích đáy. khối lăng trụ, khối chóp và Loại 4: Khối chóp khối chóp cụt. có hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy. Loại 5: Khối chóp có 3 cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh, vuông góc với nhau từng đôi một. Loại 6: Hình chóp có các cạnh bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau.. a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Lời giải: Gọi I là trung điểm BC .Ta có  ABC đều nên AB 3 AI   2 3 & AI  BC 2.  A 'I  BC(dl3 ) 2S 1 SA'BC  BC.A 'I  A 'I  A'BC  4 2 BC AA '  (ABC)  AA '  AI . A 'AI  AA '  A 'I2  AI2  2 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3. Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ . Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có: DD'  (ABCD)  DD'  BD và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD . Vậy góc [BD';(ABCD)] =  DBD'  300. BDD'  DD'  BD.tan 300 . a 6 3. a3 6 4a 2 6 Vậy V = SABCD.DD' = S = 4SADD'A' = 3 3. Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.. Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã. Lời giải: Ta có A 'A  (ABC)& BC  AB  BC  A 'B Vậy góc[(A 'BC),(ABC)]   ABA '  60o. CHÚ Ý. Để giải tốt những ABA '  AA '  AB.tan 600  a 3 bài toán về khối 1 a2 chóp, việc đầu SABC = BA.BC  2 2 tiên phải vẽ hình a3 3 trực quan, muốn Vậy V = SABC.AA' = 2 vậy cần cho học sinh khắc sâu cách xác định Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. đường cao trong a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. một số trường b) Tính diện tích của mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp hình trụ hợp thường gặp đó là: Giải - Khối chóp có 1 cạnh bên vuông góc với đáy: Đường cao khối chóp chính là cạnh bên vuông góc ấy. - Khối chóp có một mặt bên a) Ta có V  B.h , trong đó B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều cao lăng trụ . vuông góc với a2 3 B  Vì tam giác ABC đều, có cạnh bằng a nên . h = AA’ = a đáy: Đường cao 4 hình chóp chính a3 3 V   (đvtt) là đường cao của 4 mặt bên vuông b) Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo công thức S xq  2 .r.l góc ấy kẻ từ đỉnh. Lop12.net. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã. hình chóp. - Khối chóp đều: Chân đường cao trùng vào tâm của đáy. - Khối chóp có các cạnh bên tạo với đáy 1 góc bằng nhau ( các cạnh bên nghiêng đều trên đáy): Chân đường cao trùng vào tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. - Khối chóp có các mặt bên tạo với đáy 1 góc bằng nhau ( các mặt bên nghiêng đều trên đáy): Chân đường cao trùng vào tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy. - Khối chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy: Đường cao hình chóp là đoạn. 2 a 3 a 3  r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC  r  . , l =AA’ =a nên diện tích cần tìm là 3 2 3 a 3 a2 3 S xq  2 . .a  2 (đvdt) 3 3. Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o. 1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông . 2)Tính thể tích hình chóp . Lời giải: 1) SA  (ABC)  SA  AB &SA  AC mà BC  AB  BC  SB ( đl 3  ). Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông. 2) Ta có SA  (ABC)  AB là hình chiếu của SB trên (ABC).Vậy   60o . góc[SB,(ABC)] = SBA. ABC vuông cân nên BA = BC = SABC =. 1 a2 BA.BC  2 4. a 2. a 6 2 2 1 1 a a 6 a3 6  Vậy V  SABC .SA  3 34 2 24 SAB  SA  AB.t an60o . Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp .. Lop12.net. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã. Mlà trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên AM  BC  SA  BC (đl3  ) góc[(SBC);(ABC)] =  SMA  60o .. thẳng nằm trên giao tuyến của hai mặt bên vuông góc ấy.. Lời giải:. Ta có V =. 1 1 B.h  SABC .SA 3 3. 3a 2 3 1 1 a 3 Vậy V = B.h  SABC .SA  3 3 8 SAM  SA  AM tan 60o . Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o. 1) Tính thể tích hình chóp SABCD. 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). Lời giải: 1)Ta có SA  (ABC) và CD  AD  CD  SD ( đl 3  ).(1)  = 60o . Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA. SAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 3 1 1 a3 3 Vậy V  SABCD .SA  a2 a 3  3 3 3. 2) Ta dựng AH  SD ,vì CD  (SAD) (do (1) ) nên CD  AH . AH  (SCD). Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).. SAD . 1 1 1 1 1 4 a 3    2  2  2  AH = 2 2 2 2 AH SA AD 3a a 3a. Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh trung điểm I của cạnh BC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.. Lop12.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã. Bài giải. 1 1 a) Áp dụng công thức V  Bh trong đó B = a2, h = SA = a  V  a 3 ( đvtt) 3 3 b) Trong tam giác vuông SAC, có AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên AI = IS = IC.(1). BC  AB và BC  SA  BC  SB   SBC vuông tại B, IB là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên IB = IS = IC (2). Tương tự ta cũng có ID = IS = IC(3). Từ (1), (2), (3) ta có I cách đều tất cả các đỉnh hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp. Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và SA (ABC). Tam giác ABC vuông cân tại B, AB  a 2 a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp c) Gọi I và H lần lượt là trung điểm SC và SB. Tính thể tích khối chóp S.AIH Giải. Lop12.net. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã. a) 1 V  B.h 3 1 2a 3 B  SA  .a 2.a 2  a 2 , h  SA  2a  V  2 3 b) Gọi I là trung điểm SC SA AC nên A thuộc mặt cầu đường kính SC BC  SA và BC  Ab nên BC  SB  B thuộc mặt cầu đường kính SC. Như vậy tâm mặt cầu là trung điểm I SC của SC còn bán kính mặt cầu là R  . Ta có 2. AC  2a 2  2a 2  2a SC  SA2  AC 2  4a 2  4a 2  2a 2  R  a 2 VS . AIH SI SH 1 1 a3 c) Áp dụng công thức  .   VS . AIH  .VS . ACB  VS . ACB SC SB 4 4 6. Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB. 2) Tính thể tích khối chóp SABCD.. Lop12.net. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã. Lời giải: 1) Gọi H là trung điểm của AB. SAB đều  SH  AB mà (SAB)  (ABCD)  SH  (ABCD) Vậy H là chân đường cao của khối chóp. 2) Ta có tam giác SAB đều nên SA = suy ra V . 1 a3 3 SABCD .SH  3 6. a 3 2. Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên (SAC) vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC. b) Tính thể tích khối chóp SABC. Lời giải: a) Kẻ SH  BC vì mp(SAC)  mp(ABC) nên SH  mp(ABC). Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC  SI  AB, SJ    45o BC, theo giả thiết  SIH  SJH Ta có: SHI  SHJ  HI  HJ nên BH là đường phân giác của ABC ừ đó suy ra H là trung điểm của AC.. a 1 a3 b) HI = HJ = SH =  VSABC= S ABC .SH  2 3 12. Bài 14: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . 1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.. Lop12.net. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã. 2) Tính thể tích khối chóp SABCD.. Lời giải: Dựng SO  (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nênOA = OB = OC = OD  ABCD là hình thoi có đường tròn ngoại tiếp nên ABCD là hình vuông . Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên  ASC vuông tại S.  OS . a 2 2. Vậy V .  V. 1 1 a 2 a3 2 S ABCD .SO  a 2  3 3 2 6. a3 2 6. Bài 15: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD. b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC. Lời giải: a) Gọi O là tâm của ABC  DO  ( ABC ). 1 V  S ABC .DO 3. a2 3 2 a 3 a 6 S ABC  , OC  CI  DO  DC 2  OC 2  4 3 3 3 2 3 1a 3 a 6 a 2 V  .  3 4 3 12 1 a 6 b) Kẻ MH// DO, kc từ M đến mp(ABC) là MH  DO  2 6 2 3 1 1a 3 a 6 a 2 a3 2  VMABC  S ABC .MH  .  Vậy V  3 3 4 6 24 24. Lop12.net. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã. Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông . góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60 và M là trung điểm của SB. 1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2) Tính thể tích của khối chóp MBCD. Lời giải:. a)Ta có. 1 V  S ABCD .SA 3. 2 2 + S ABCD  (2a )  4a. + SAC có : SA  AC tan C  2a 6. 1 2 8a 3 6  V  4a .2a 6  3 3 b) Kẻ MH / / SA  MH  ( DBC ) Ta có: MH . S BCD. .. 1  S ABCD 2. 1 SA , 2. 1 2a 3 6  VMBCD  V  4 3. Bài 17: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp.. Lop12.net. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã. Lời giải: Hạ SH  ( ABC ) , kẽ HE  AB, HF  BC, HJ  AC suy ra SE  AB, SF  BC, SJ  AC . Ta có    SJH   60O  SAH  SFH  SJH nên HE SEH  SFH =HF = HJ = r ( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp ABC ). p ( p  a )( p  b)( p  c) abc  9a Nên SABC = 9.4.3.2 a 2 với p = 2 S 2 6a  Mặt khác SABC = p.r  r  p 3 Ta có SABC =. Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 600 Vậy VSABC =. 2 6a . 32 2 a 3. 1 6 6 a 2 .2 2 a  8 3 a 3 . 3. Bài 18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a 3 , AD = a, AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD. a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’. c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V. Ta có : V.  AB. AD.AA '  a 3.a 2  a 3 3. ABD có : DB  AB 2  AD 2  2a * Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên:. 1 a3 3  VOA ' B 'C ' D '  V  3 3 Lop12.net. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã. b) M là trung điểm BC.  OM  ( BB ' C '). 1 1 a 2 a 3 a3 3  VO BB 'C '  S BB 'C ' .OM  . .  3 3 2 2 12 c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. Ta có :. C 'H . 3VOBB 'C ' SOBB '. ABD có : DB  AB 2  AD 2  2a  SOBB ' . 1 2 a  C ' H  2a 3 2. Bài 19(THPT PB-2008-lần 1): Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh SA vuông góc với BC. b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a. Bài 20:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Tính thể tích của khối chóp, biết: a) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 2cm. b) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 600. c) Cạnh đáy bằng 2cm, mặt bên hợp với đáy 1 góc 600. Bài 21 (THPT- PB-2006): Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a 3 .. Lop12.net. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã. a) Tính thể tích của khối chóp S. ABCD. b) Chứng minh trung điểm của cạnh bên SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bài 22( THPT PB-2007-lần 1): Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S. ABC. Bài 23: (THPT PB-2007- lần 2): Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC. Tính thể tích khối chóp S. ABCD. Bài 24: (THPT PB- 2008 - lần 2): Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông đỉnh B, đường thẳng SA vuông góc với với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a; BC = a 3 và SA = 3a. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a Bài 25 (THPT 2009): Cho hình chóp S. ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với  = 1200, tính thể tích của khối chóp S. ABC theo a. mặt phẳng đáy. Biết BAC Bài 26 Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a . a) Tính thể tích khối lăng trụ theo a . b) Tính thể tích của khối chóp A'. ABC theo a .  = 600, mặt Bài 27: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB // CD), AB = a, DC = 2a, ADC bên (SAD) vuông góc với đáy, SA = SD = AD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Bài 28: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O, đường chéo AC = 2a, đường chéo BD = 2b. Hai mặt chéo (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy. Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy một góc bằng 450. Tính theo a, b thể tích khối chóp S. ABCD.. Lop12.net. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>