Chuyên đề Toán học: Giới hạn, đạo hàm, vi phân

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề toán học : giới hạn, đạo hàm, vi phân. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Traàn Só Tuøng. Tích phaân. Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 1. Các giới hạn đặc biệt: sin x =1 a) lim x ®0 x x =1 x ®0 sin x. Heä quaû: lim. sin u(x) =1 u(x)®0 u(x). u(x) =1 u(x)®0 sin u(x). ln(1 + x) =1 x® 0 x. lim. lim. lim. x. æ 1ö b) lim ç 1 + ÷ = e, x Î R x ®¥ è xø 1. Heä quaû: lim (1 + x) x = e. x®0. lim. ex - 1 =1 x® 0 x. 2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: (c)’ = 0 (c laø haèng soá) (x a )' = ax a-1 (ua )' = aua-1u ' 1 æ1ö ç ÷' = - 2 èxø x ( x )' = 1 2 x x (e )' = ex. u' æ1ö ç ÷' = - 2 u èuø ( u ) ' = u' 2 u u (e )' = u'.e u. (ax )' = a x .ln a (a u )' = a u .ln a . u ' 1 u' (ln x )' = (ln u )' = x u 1 u' (loga x ') = (loga u )' = x.ln a u.ln a (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 1 u' (tgx)' = = 1 + tg 2 x (tgu)' = = (1 + tg 2 u).u' 2 2 cos x cos u -1 - u' (cot gx)' = = -(1 + cot g 2 x) (cot gu)' = = - (1 + cot g 2 u).u' 2 2 sin x sin u 3. Vi phaân: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x Ỵ (a; b) . Cho số gia Dx tại x sao cho x + Dx Ỵ (a; b) . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)). dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx). Trang 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tích phaân. Traàn Só Tuøng. NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN §Baøi 1: NGUYEÂN HAØM 1. Ñònh nghóa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x thuoäc (a ; b), ta coù: F’(x) = f(x). Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm: F '(a+ ) = f(x) vaø F '(b - ) = f(b) 2. Ñònh lyù: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì : a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số. Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là ị f(x)dx. Do đó viết:. ò f(x)dx = F(x) + C Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó. 3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm: · · · ·. ( ò f(x)dx ) ' = f(x). ò af(x)dx = aò f(x)dx (a ¹ 0) ò [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C. (u = u(x)). 4. Sự tồn tại nguyên hàm: ·. Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.. Trang 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Traàn Só Tuøng. Tích phaân. BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp thường gặp (dưới đây u = u(x)). ò dx = x + C. ò du = u + C. x a+1 ò x dx = a + 1 + C. (a ¹ -1). ua+1 ò u du = a + 1 + C. dx = ln x + C x. (x ¹ 0). ò. a. ò. ò e dx = e x. x ò a dx =. x. du = ln u + C u. ò e du = e u. +C. ax +C ln a. (a ¹ -1). a. u ò a du =. (0 < a ¹ 1). u. (u = u(x) ¹ 0). +C. au +C ln a. (0 < a ¹ 1). ò cos xdx = sin x + C. ò cos udu = sin u + C. ò sin xdx = - cos x + C. ò sin udu = - cos u + C. dx 2 ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C. du 2 ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C. dx. ò sin. 2. x. = ò (1 + cot g 2 x)dx = - cot gx + C. dx = x +C x. ò2. du. ò sin. 2. du = u +C u. ò2. (x > 0) 1. ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C. (a ¹ 0). 1 sin(ax + b)dx = cos(ax + b) + C ò a. (a ¹ 0). dx. 1. ò ax + b = a ln ax + b + C òe ò. ax + b. u. = ò (1 + cot g 2 u)du = - cot gu + C. 1 dx = eax + b + C a. (a ¹ 0). dx 2 = ax + b + C ax + b a. (a ¹ 0). Trang 3 Lop12.net. (u > 0).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tích phaân. Traàn Só Tuøng. Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HAØM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b) Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) ìF '(x) = f(x), "x Î (a ; b) ï + Bước 2: Chứng tỏ rằng íF '(a + ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) î Ví dụ 1: CMR hàm số: F(x) = ln(x + x 2 + a) với a > 0 1. laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) =. x2 + a. treân R.. Giaûi: Ta coù: F '(x) = [ln(x + x 2 + a)]' =. (x + x 2 + a)' x + x2 + a. 2x. 1+. 2 x2 + a x + x2 + a. = =. x2 + a + x x 2 + a(x + x 2 + a). =. Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. ìïex Ví duï 2: CMR haøm soá: F(x) = í 2 ïî x + x + 1. khi x ³ 0 khi x < 0. ìex khi x ³ 0 Laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = í treân R. 2x + 1 khi x < 0 î Giaûi: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x ¹ 0 , ta có: ìe x khi x > 0 F '(x) = í î2x + 1 khi x < 0 b/ Với x = 0, ta có: Trang 4 Lop12.net. 1 x2 + a. = f(x).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Traàn Só Tuøng. ·. Tích phaân. Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0. F '(0 - ) = limx®0. ·. F(x) - F(0) x 2 + x + 1 - e0 = lim= 1. x ®0 x-0 x. Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0. F '(0 + ) = lim+ x®0. F(x) - F(0) ex - e0 = lim+ = 1. x®0 x-0 x. Nhaän xeùt raèng F '(0 - ) = F '(0 + ) = 1 Þ F '(0) = 1. ìe x khi x ³ 0 Toùm laïi: F '(x) = í = f(x) î2x + 1 khi x < 0 Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. Bài toán 2: Xác định các giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) treân (a ; b). PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b) Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trị tham số. Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: ìF '(x) = f(x), "x Î (a ; b) ï + Þ giaù trò cuûa tham soá. íF '(a ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) î Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân PHÖÔNG PHAÙP CHUNG ·. Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C. ·. Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C. Thay giaù trò C vaøo (*), ta coù nguyeân haøm caàn tìm.. Trang 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tích phaân. Traàn Só Tuøng. ìx2 khi x £ 1 Ví dụ 3: Xác định a , b để hàm số: F(x) = í îax + b khi x > 1 ì2x laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: f(x) = í î2. khi x £ 1 khi x > 1. treân R.. Giaûi: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: ì2x khi x < 1 a/ Với x ¹ 1 , ta có: F '(x) = í î2 khi x > 1 b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do đó : lim- F(x) = lim+ F(x) = f(1) Û a + b = 1 Û b = 1 - a (1) x ®1. x ®1. · Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1. F'(1) = lim x ®1. f(x) - F(1) x2 - 1 = lim= 2. x ®1 x - 1 x -1. · Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0 = 0. F '(1+ ) = lim+ x ®1. F(x) - F(1) ax + b - 1 ax + 1 - a - 1 = lim+ = lim+ = a. x ®1 x ®1 x -1 x -1 x -1. Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 Û F '(1- ) = F '(1+ ) Û a = 2.. (2). Thay (2) vào (1), ta được b = –1. Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1. Khi đó: F’(1) = 2 = f(1) Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Ví dụ 4: Xác định a , b , c để hàm số: F(x) = (ax 2 + bx + c)e -2x là một nguyên hàm của F(x) = - (2x 2 - 8x + 7)e-2 x treân R. Giaûi: Ta coù: F '(x) = (2ax + b)e-2 x - 2(ax 2 + bx + c)e -2x = éë-2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2cùûe-2x Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R Û F '(x) = f(x), "x Î R Û - 2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x 2 + 8x - 7, "x Î R ìa = 1 ìa = 1 ï ï Û ía - b = 4 Û í b = -3 ï b - 2c = -7 ïc = 2 î î Vaäy F(x) = (x 2 - 3x + 2)e-2x .. Trang 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Traàn Só Tuøng. Tích phaân. BAØI TAÄP æ x pö Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số F(x) = ln tg ç + ÷ è2 4ø Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số f(x) =. 1 . cos x. ì ln(x 2 + 1) ,x¹0 ï Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số F(x) = í x ï0 ,x = 0 î ì 2 ln(x 2 + 1) ,x¹0 ï 2 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = í x + 1 x2 ï1 ,x=0 î Baøi 3. Xaùc ñònh a, b, c sao cho haøm soá F(x) = (ax 2 + bx + c).e- x laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = (2x 2 - 5x + 2)e- x treân R. ÑS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. Baøi 4. a/ b/. Tính nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) =. Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) = sin 2. ÑS: a/ F(x) = Baøi 5. a/. x 3 + 3x 2 + 3x - 7 vaø F(0) = 8. (x + 1)2. x2 8 +x+ ; 2 x +1. x æ pö p vaø F ç ÷ = . 2 è2ø 4. 1 b/ F(x) = (x - sin x + 1) 2. Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c sao cho haøm soá: F(x) = (ax 2 + bx + c) 2x - 3 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: f(x) =. b/. 20x 2 - 30x + 7 æ3 ö trên khoảng ç ; + ¥ ÷ è2 ø 2x - 3. Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0.. ÑS: a/ a = 4; b = -2; c = 1;. b/ G(x) = (4x 2 - 2x + 10) 2x - 3 - 22.. Trang 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tích phaân. Traàn Só Tuøng. Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HAØM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG. CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN. 1. ị f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C với a ¹ 0.. Ví duï 1: CMR , neáu ò f(x)dx = F(x) + C thì. Giaûi: 1 Ta luôn có: f(ax + b)dx = f(ax + b)d(ax + b) với a ¹ 0. a Áp dụng tính chất 4, ta được:. 1. 1. ò f(ax + b)dx = a ò (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (ñpcm) .. Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp:. ị f(t)dt = F(t) + C Þ ị f(u)du = F(u) + C, với u = u(x) Ví duï 2: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/. 3 ò (2x + 3) dx. b/ ò cos4 x.sin xdx. c/ ò. 2e x dx ex + 1. d/ ò. (2 ln x + 1)2 dx x. Giaûi: 1 1 (2x + 3)4 (2x + 3)4 3 +C= + C. a/ Ta coù: ò (2x + 3) dx = ò (2x + 3) d(2x + 3) = . 2 2 4 8 3. b/ Ta coù: ò cos4 x.sin xdx = - ò cos 4 xd(cos x) = c/ Ta coù:. cos5 x +C 5. 2ex d(ex + 1) x dx = 2 ò ex + 1 ò ex + 1 = 2 ln(e + 1) + C. (2 ln x + 1)2 1 1 d/ Ta coù: ò dx = ò (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C. x 2 2 Ví duï 3: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/. ò 2sin. 2. x dx 2. b/ ò cot g2 xdx. c/ ò tgxdx Giaûi:. a/ Ta coù: ò 2sin 2. x dx = ò (1 - cos x)dx = x - sin x + C 2. æ 1 ö b/ Ta coù: ò cot g 2 xdx = ò ç 2 - 1 ÷ dx = - cot gx - x + C è sin x ø c/ Ta coù: ò tgxdx = ò. sin x d(cos x) dx = - ò = - ln cos x + C cos x cos x. Trang 8 Lop12.net. d/ ò. tgx dx cos3 x.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Traàn Só Tuøng. d/ Ta coù:. Tích phaân. tgx. ò cos. 3. x. dx = ò. sin x d(cos x) 1 1 dx = - ò = - cos -3 x + C = + C. 4 4 cos x cos x 3 3cos3 x. Ví duï 4: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/. x. ò 1 + x dx 2. b/. òx. 2. 1 dx - 3x + 2 Giaûi:. a/ Ta coù:. x 1 d(1 + x 2 ) 1 dx = = ln(1 + x 2 ) + C 2 ò 1 + x2 ò 2 1+ x 2. b/ Ta coù:. òx. 1 1 1 ö æ 1 dx = ò dx = ò ç ÷dx - 3x + 2 (x - 1)(x - 2) è x - 2 x -1 ø. 2. = ln x - 2 - ln x - 1 + C = ln. x-2 + C. x -1. BAØI TAÄP Baøi 6. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: x a/ f(x) = cos2 ; b/ 2 ÑS: a/. 1 (x + sin x) + C ; 2. f(x) sin 3 x. 1 - cos x + cos3 x + C. 3. b/. Baøi 7. Tính caùc tích phaân baát ñònh : a/. ò e (2 - e. d/. e2-5x + 1 ò ex dx;. x. -x. )dx; b/ e/. ÑS: a/ 2e - x + C; x. d/. ex ò 2x dx ;. c/. 2 2x.3x.5x ò 10x dx .. ex ò ex + 2dx ex + C; (1 - ln 2)2 x. b/. 1 - e2-6 x - e- x + C; e/ 6. c/. 6x +C ln 6. ln(ex + 2) + C .. Baøi 8. Tính caùc tích phaân baát ñònh : a/. ò. d/. ò (1 - 2x). x 4 + x -4 + 2 dx ; 2001. dx; e/. x3 1 ÑS: a/ - + C; 3 x d/. ò. b/. ò. 3. x 5 x dx ; c/. òx. x 2 + 1 dx ;. 3 - 4 ln x dx x 55 7 x + C; 7. b/. 1 (1 - 2x)2002 - . + C; 2 2002. e/. Trang 9 Lop12.net. c/. 1 2 (x + 1) x 2 + 1 + C ; 3. 1 (3 + 4 ln x) 3 + 4 ln x + C. 6.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Tích phaân. Traàn Só Tuøng. Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HAØM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết. Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích là có thể rút ra ý tưởng cho riêng mình từ một vài minh hoạ sau: ·. Với f(x) = (x 3 - 2)2 thì viết lại f(x) = x 6 - 4x 3 + 4.. ·. Với f(x) =. x 2 - 4x + 5 2 thì vieát laïi f(x) = x - 3 + . x -1 x -1. ·. Với f(x) =. 1 1 1 thì vieát laïi f(x) = x - 5x + 6 x -3 x -2. ·. Với f(x) =. ·. Với f(x) = (2 x - 3x )2 thì viết lại f(x) = 4 x - 2.6 x + 9 x.. ·. Với f(x) = 8 cos3 x.sin x thì viết lại f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x. 2. 1 1 thì vieát laïi f(x) = ( 3 - 2x - 2x + 1) 2 2x + 1 + 3 - 2x. = 2 cos3x.sin x + 6 cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + 2 sin 2x. ·. tg 2 x = (1 + tg 2 x) - 1. ·. cot g 2 x = (1 + cot g 2 x) - 1. ·. x n (1 + x 2 ) + 1 1 = xn + . 2 1+ x 1 + x2. Đó chỉ là một vài minh hoạ mang tính điển hình. Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x(1 - x)2002 dx. Giaûi: Sử dụng đồng nhất thức : x = 1 – (1 – x) ta được: x(1 - x)2002 = [1 - (1 - x)](1 - x)2002 = (1 - x)2002 - (1 - x)2003 . Khi đó: I = ò (1 - x)2002 dx - ò (1 - x)2003 dx = - ò (1 - x)2002 d(1 - x) + ò (1 - x)2003 d(1 - x) =-. (1 - x)2003 (1 - x)2004 + + C. 2003 2004. Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh:. I = ị x(ax + b)a dx, với a ¹ 0. 1 1 Sử dụng đồng nhất thức: x = .ax = [(ax + b) - b] a a Trang 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Traàn Só Tuøng. Tích phaân. Ta được: 1 1 x(ax + b)a = [(ax + b) - b)(ax + b)a = [ò (ax + b)a+1 d(ax + b) - ò (ax + b)a d(ax + d)] a a Ta xét ba trường hợp : ·. Với a = 2, ta được: I = =. ·. 1 1 [ln ax + b + ] + C. 2 a ax + b. Với a = –1, ta được: I=. ·. 1 [ (ax + b)-1 d(ax + b) - ò (ax + b)-2 d(ax + b)] 2 ò a. 1 1 [ d(ax + b) - ò (ax + b)-1 d(ax + b)] = 2 [ax + b - ln ax + b ] + C. 2 ò a a. Với a Ỵ R \ {-2; - 1}, ta được:. I=. Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I =. òx. 2. 1 (ax + b)a+ 2 (ax + b)a+1 [ + ] + C. a2 a+2 a +1. dx - 4x + 3 Giaûi:. Ta coù:. 1 1 1 (x - 1) - (x - 3) 1 æ 1 1 ö = = . = .ç ÷ x - 4x + 3 (x - 3)(x - 1) 2 (x - 3)(x - 1) 2 è x - 3 x -1ø 2. 1 æ dx dx ö 1 d(x - 3) d(x - 1) 1 Khi đó: I = . ç ị -ò -ò ' = .(ln x - 3 - ln x - 1) + C ÷ = [ò 2 è x -3 x -1 ø 2 x -3 x -1 2 =. 1 x -3 ln + C. 2 x -1. Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I =. ò. dx x +2 + x -3 Giaûi:. Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được: 1 1 1 1 2 I = ò ( x + 2 + x - 3)dx = [ò (x + 2) d(x + 2) + ò (x - 3) 2 d(x - 3)] 5 5 2 = [ (x + 2)3 + (x - 3)3 ] + C. 15. Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I =. dx. ò sin x.cos. 2. Giaûi: Sử dụng đồng nhất thức: sin 2 x + cos2 x = 1,. Trang 11 Lop12.net. x. ..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Tích phaân. Traàn Só Tuøng. 1 1 sin 2 x + cos2 x sin x 1 sin x 2 . 1 . Ta được: = = + = + sin x.cos 2 x sin x.sin 2 x cos2 x sin x cos2 x cos2 x tg x 2 2 æ xö 1 d ç tg ÷ sin x d(cos x) 1 x 2 Suy ra: I = ò dx + ò dx = - ò +ò è 2ø = + ln tg + C. 2 2 x x x cos x cos x cos x 2 cos2 tg tg 2 2 2 Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I =. dx. ò cos. 4. x. .. Giaûi: Sử dụng kết quả: ta được: I = ị. dx = d(tgx) cos2 x. 1 dx 1 3 2 2 . = (1 + tg x)d(tgx) = d(tgx) + tg xd(tgx) = tgx + tg x + C. ò ò cos2 x cos2 x ò 3. BAØI TAÄP Baøi 9. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: a/ f(x) = (1 - 2x 2 )3 ;. b/. f(x) =. 2 x - x 3ex - 3x 2 ; x3. (2 + x )2 ; x. d/. f(x) =. 1 3x + 4 - 3x + 2. c/ f(x) =. 12 5 8 7 x - x +C ; 5 7. b/. -. 24 6 3 x x + x 3 x 2 + C; 7 5. d/. 1é 3 3ù ë (3x - 4) + (3x + 2) û + C. 9. ÑS: a/ x - 2x 3 + c/ 6 3 x 2 +. 4 - e x + ln x + C; 3x x. Baøi 10. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: a/ f(x) =. 1 ; 2 x - 6x + 5. b/. f(x) =. 4x 2 + 6x + 1 ; 2x + 1. c/ f(x) =. 4x 3 + 4x 2 - 1 ; 2x + 1. d/. f(x) =. -4x 3 + 9x + 1 ; 9 - 4x 2. ÑS: a/. 1 x-5 ln + C; 4 x -1. 1 b/ x 2 + 2x - ln 2x + 1 + C; 2. 2 1 1 1 c/ x 3 + x 2 - x - ln 2x + 1 + C ; 3 2 2 4 Baøi 11. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:. Trang 12 Lop12.net. x2 1 2x - 3 d/ - ln + C. 2 12 2x + 3.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Traàn Só Tuøng. Tích phaân. a/ (sin x + cos x)2 ;. pö pö æ æ b/ cos ç 2x - ÷ .cos ç 2x + ÷ ; 3ø è 4ø è. d/ cos 4 x;. e/ sin 4 x + cos4 x;. 1 ÑS: a/ x - cos2x + C ; 2. b/. c/ cos3 x;. f/ sin 6 2x + cos6 2x.. 1 7p ö 1 æ pö æ sin ç 5x + ÷ + sin ç x - ÷ + C 10 è 12 ø 2 è 12 ø. c/. 3 1 sin x + si n3x + C; 4 12. d/. 3 1 1 x + si n2x + si n4x + C; 8 4 31. e/. 3 sin 4x x+ + C; 4 16. f/. 5 3 x + sin 8x + C. 8 64. Trang 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Tích phaân. Traàn Só Tuøng. Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HAØM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau: Ñònh lyù: a/ Nếu ị f(x)dx = F(x) + C và u = j(x) là hàm số có đạo hàm thì ị f(u)du = F(u) + C . b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm của nó (j’(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được: ò f(x)dx = ò f[j(t)].j '(t)dt. Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau: Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất định I = ị f(x)dx. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp. + Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt + Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi đó I = ị g(t)dt. Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Daáu hieäu Caùch choïn p p é x = a sin t với - £ t £ ê 2 2 a2 - x 2 ê êë x = x cos t với 0 £ t £ p a é é p pù x = vớ i t Î ê êë - 2 ; 2 úû \ {0} sin t ê a p ê êë x = cos t với t Ỵ[0; p] \ { 2 } p p é x = a tgt vớ i < t < ê 2 2 ê êë x = a cot gt với 0 < t < p. x 2 - a2. a2 + x 2 a+ x a-x hoặc a-x a+x (x - a)(b - x). Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I =. x = acos2t x = a + (b – a)sin2t. ò. dx (1 - x 2 ). .. Giaûi: Ñaët x = sin t; -. p p <t< 2 2 Trang 14 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Traàn Só Tuøng. Tích phaân. Suy ra: dx = cos tdt &. dx (1 - x 2 )3. Khi đó: I = ị d(tdt) = tgt + C =. =. cos tdt dt = = d(tgt) 3 cos t cos2 t. x 1- x. 2. Chú ý: Trong ví dụ trên sở dĩ ta có: là bởi: -. + C. (1 - x 2 )3 = cos3 t vaø tgt =. p p < t < Þ cos t > 0 Þ 2 2. Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I =. ò. x 1 - x2. ìï cos2 t = cos t í ïîcos t = 1 - sin 2 t = 1 - x 2 x 2 dx x2 - 1. Giaûi: Vì điều kiện x > 1 , ta xét hai trường hợp : ·. Với x > 1 1 p 2 cos 2tdt ;0<t< Suy ra: dx = sin 2t 4 sin 2 2t x 2 dx 2dt 2(cos2 t + sin 2 t)2 dt =- 3 =sin 2t 8sin 3 t cos3 t x2 - 1. Ñaët: x = ú. 1 1 1 1 = - (cot gt. 2 + tgt. + )dt 2 4 sin t cos t sin t cos t 1 1 1 2 1 = - (cot gt. 2 + tdt. + ) 2 4 sin t cos t tgt cos2 t 1 d(tgt) = - [- cot gt.d(cot gt) + tgt.d(tgt) + 2 ]. 4 tgt 1 d(tgt) I = - [- ò cot gt.d(cot gt) + ò tgt.d(tgt) + 2 ò ] 4 tgt 1 1 1 1 1 = - (- cot g2t + tg2 t + 2ln tgt ) + C = (cot g2 t - tg2t) - ln tgt + C 4 2 2 8 2 1 1 = x x2 - 1 - ln x - x2 - 1 + C. 2 2 Với x < –1 Đề nghị bạn đọc tự làm. Khi đó:. ·. Chú ý: Trong ví dụ trên sở dĩ ta có: cot g 2 t - tg 2 t = 4x x 2 - 1 và tgt = x - x 2 - 1 cos4 t - sin 4 t 4 cos2t 4 1 - sin 2 2t 4 1 là bởi: cot g t - tg t = = = = -1 cos2 t.sin 2 t sin 2 2t sin 2 2t sin 2t sin 2 2t 2. 2. 1 1 sin t 2sin 2 t 1 - cos2t 1 cos2 2t tgt = = -1 = = = 2 cos t 2sin t.cos t sin 2t sin 2t sin 2t sin 2t sin 2 2t. Trang 15 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Tích phaân. Traàn Só Tuøng. Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I =. dx ò (1 + x 2 )3 Giaûi:. Ñaët: x = tgt; -. p p dt < t < . Suy ra: dx = & 2 2 cos2 t. Khi đó: I = ị cos tdt = sin t + C =. x 1 + x2. dx (1 + x 2 )3. =. cos3 tdt = cos tdt. cos2 t. +C. Chuù yù: 1. Trong ví dụ trên sở dĩ ta có:. 1 1 + x2. = cos t vaø sin t =. x 1 + x2. ì cos2 t = cos t p p ï là bởi: - < t < Þ cos t > 0 Þ í x 2 2 ïsin t = tgt.cos t = 1 + x2 î 2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát: I=. ò. dx 2. (a + x 2 )2 k +1. , với k Ỵ Z.. Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân I = ị f(x)dx. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp + Bước 2: Xác định vi phân dt = y '(x)dx. + Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi đó I = ị g(t)dt. Daáu hieäu Haøm soá maãu coù Haøm soá f(x, j(x) a.sin x + b.cos x Haøm f(x) = c.sin x + d.cos x + e Haøm f(x) =. 1 (x + a)(x + b). Caùch choïn t laø maãu soá t = j(x) x x t = tg (với cos ¹ 0) 2 2 · Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt: t = x+a + x+b · Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt: t = x - a + -x - b. Trang 16 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Traàn Só Tuøng. Tích phaân. Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 3 (2 - 3x 2 )8 dx. Giaûi: Ñaët: t = 2 - 3x . 2. Suy ra: dt = 6xdx. x3 (2 - 3x2 )8 dx = x2 (2 - 3x2 )8 xdx = Khi đó: I =. 2-t 2-t 8 æ 1 ö 1 9 .t .ç - dt ÷ = (t - 2t 8 )dt. = 3 3 è 6 ø 18. 1 1æ 1 2 ö 1 10 1 9 (t 9 - 2t 8 )dt = ç t10 - t 9 ÷ + C = t - t +C ò 18 18 è 10 9 ø 180 81. Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I =. ò. x 2dx 1- x Giaûi:. Ñaët: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2 Suy ra: dx = - 2tdt &. x 2 dx (1 - t 2 )2 ( -2tdt) = = 2(t 4 - 2t 2 + 1)dt t 1- x. 2 2 æ1 ö Khi đó: I = 2 ị (t 4 - 2t 2 + 1)dt = -2 ç t 5 - t 3 + t ÷ + C = - (3t 4 - 10t 2 + 15)t + C 3 15 è5 ø =-. 2 2 [3(1 - x)2 - 10(1 - x) + 15] 1 - x + C = - (3x 2 + 4x + 8) -1x + C 15 15. Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx. Giaûi: 1 - t3 3 Ñaët: t = 1 - 2x Þ x = . Suy ra: 2xdx = - t 2 tdt, 2 2 3. 2. 2. x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx = x 2 3 (1 - 2x 2 )2 xdx = Khi đó: I =. 3 7 4 (t - t )dt = 8ò. 1 - t3 2 æ 3 2 ö 3 7 4 .t ç - t dt ÷ = (t - t )dt. 2 è 4 ø 8. 3æ1 8 1 5 ö 3 (5t 6 - 8t 3 )t 2 + C ç t - t ÷+C= 8è8 5 ø 320. =. 3 [5(1 - 2x 2 )2 - 8(1 - 2x 2 )] 3 (1 - 2x 2 )2 + C 320. =. 3 (20x 4 - 4x 2 - 3) 3 (1 - 2x 2 )2 + C. 320. Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò sin 3 x cos xdx. Giaûi: Ñaët: t = cos x Þ t 2 = cos x dt = sinxdx, Trang 17 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Tích phaân. Traàn Só Tuøng. sin 3 x cos xdx = sin 2 x cos x sin xdx = (1 - cos2 x) cos x sin x dx = (1 - t 4 ).t.(2tdt) = 2(t 6 - t 2 )dt. 1 ö 2 æ1 Khi đó: I = 2 ị (t 6 - t 2 )dt = 2 ç t 7 - t 3 ÷ + C = (3t 6 - 7t 2 )t + C 3 ø 21 è7 =. 2 (cos3 x - 7 cos x) cos x + C. 21. cos x.sin 3 xdx Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 1 + sin 2 x Giaûi: Ñaët: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2at = 1 + sin 2 x Suy ra: dt = 2sin x cos xdx, cos x.sin 3 xdx sin 2 x.cos x.sin xdx (t - 1)dt 1 æ 1 ö = = = ç 1 - ÷ dt. 1 + sin 2 x 1 + sin 2 x 2t 2è t ø Khi đó: I =. 1 æ 1ö 1 2 2 ç 1 - ÷ dt = f12(t - ln t + C = [1 + sin x - ln(1 + sin x)] + C ò 2 è tø 2. Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: I =. cos2 xdx ò sin8 x . Giaûi:. Ñaët: t = cotgx 1 dx, sin 2 x cos2 xdx cos2 x dx 1 dx dx = = cot g 2 x 4 = cot g 2 x.(1 + cot g2 x)2 8 6 2 2 sin x sin x sin x sin x sin x sin 2 x = t 2 .(1 + t 2 )2 dt.. Suy ra: dt = -. 2 1 ö æ1 Khi đó: I = ị t 2 .(1 + t 2 )dt = ị (t 6 + 2t 4 + t 2 )dt = ç t 7 + t 5 + t 3 ÷ + C 5 3 ø è7 1 = (15cot g 7 x + 42 cot g 5x + 35cot g3 x) + C. 105 Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I =. òe. x. dx - ex / 2 Giaûi:. Ñaët: t = e- x / 2 1 dx Suy ra: dt = - ex / 2 dx Û - 2dt = x / 2 , 2 e dx dx e- x / 2 dx -2tdt 1 = = = = 2(1 + )dt x x/2 x -x / 2 x/2 -x / 2 e -e e (1 - e ) e (1 - e ) 1 - t t -1 Trang 18 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Traàn Só Tuøng. Tích phaân. 1 ö æ -x / 2 Khi đó: I = 2 ị ç 1 + + ln e- x / 2 + 1) + C. ÷ dt = 2(e è t -1 ø Chú ý: Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến t = e - x / 2 , tuy nhiên với cách đặt t = ex / 2 chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán. Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I =. ò. dx 1 + ex. .. Giaûi: Caùch 1: Ñaët: t = 1 + ex Û t 2 = 1 + e x Suy ra: 2tdt = e x dx Û dx =. 2tdt dx 2tdt 2tdt & = 2 = 2 . 2 t -1 1 + ex t(t - 1) t - 1. dt t -1 1 + ex - 1 Khi đó: I = 2 ị 2 = ln + C = ln +C t -1 t +1 1 + ex + 1 Caùch 2: Ñaët: t = e- x / 2 1 dx Suy ra: dt = e - x / 2dx Û - 2dt = x / 2 , 2 e dx dx dx -2dt = = = 1 + ex ex (e- x + 1) ex / 2 e- x + 1 t2 + 1 Khi đó: I = - 2 ị. dt t +1 2. = - 2 ln t + t 2 + 1 + C = -2 ln e- x / 2 + e - x + 1 + C. Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I =. ò. dx x +a 2. , với a ¹ 0. .. Giaûi: Ñaët: t = x + x + a 2. x ö x2 + a + x dx dt æ Suy ra: dt = ç 1 + dx Û = ÷ dx = 2 2 2 t x +a ø x +a x +a è dt Khi đó: I = ị = ln t + C = ln x + x 2 + a + C. t dx Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò . (x + 1)(x + 2) Giaûi: Ta xét hai trường hợp: ìx + 1 > 0 · Với í Û x > -1 îx + 2 > 0 Ñaët: t = x + 1 + x + 2 Trang 19 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>