Chuyên đề: Tìm điểm thuộc đồ thị thỏa mãn điều kiện cho trước

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498. CHUYÊN ĐỀ: TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Tổng quát: Cho hàm số y  f  x   C  . Tìm điểm M   C  thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Giả sử M 0  x0 ; y0    C  với y0  f  x0  . Từ điều kiện cho trước ta dẫn đến một phương trình theo x0 , giải phương trình này được x0  y0  f  x0   M 0 Loại 1: Tìm điểm thuộc đồ thị liên quan dến tiếp tuyến 1 2 Bài 1: (ĐHNN – 2001) Tìm trên đồ thị của hàm số y  x 3  x  các điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ 3 3 1 2 thị vuông góc với đường thẳng y   x  . 3 3  4 Đáp số: M 1  2;  , M 2  2;0   3 x2  2 x  2 Bài 2: (TCKT – 2000) Cho hàm số y   C  . Tìm những điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến x 1 tại đó vuông góc với tiệm cận xiên 2 Đáp số: Hai điểm có hoành độ x  1  . 2 2 x 1 Bài 3: (ĐHDB – B 2003) Cho hàm số y   C  . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của x 1 (C). Tìm điểm M   C  sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM Đáp số: M 1  2;3 , M 2  0;1 Bài 4: (ĐHCĐ – 2001) Tìm điểm M thuộc  C  : y  2 x 3  3x 2  12 x  1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc tọa độ Đáp số: M  1;12 . x2 có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng y  4 tất các điểm mà từ mỗi điểm đó x 1 có thể kẻ tới (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc bằng 450 Đáp số: A1 1  2 2; 4 A2 1  2 2; 4 Bài 5: Cho hàm số y . .  . . 2x  3  C  . Tìm những điểm trên đồ thị (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) lập với x2 trục Ox một góc dương 1350 . Viết phương trình các tiếp tuyến khi đó Đáp số: y   x  6 và y   x  2 3x  2 Bài 7: Cho hàm số y   H  . Tìm trên (H) những điểm mà tại đó tiếp tuyến của (H) có hệ số x2 góc bằng 4. Viết phương trình các tiếp tuyến đó Đáp số: y  4 x  3 và y  4 x  5. Bài 6: Cho hàm số y . --------^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^------Lop12.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498. x2  x  2 các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị x 1 tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của đồ thị.  4  34 8  8   4 4  34 8  8  Đáp số: A1  1  4 8;  A2  1  8;  4 4 8 8     Bài 8: (ĐHAN – A 2001) Tìm trên đồ thị của hàm số y . Bài 9: Cho hàm số y . 2x 1 (1). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường x 1. thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9. Đáp số: M  0; 3 , M   2; 5 Bài 10: Tìm điểm M trên Ox mà tiếp tuyến đi qua M của y . x  1 song song với đường thẳng x 1. d: y = - 2x. 7 1  Đáp số: M  ; 0  và M ( ;0) 2 2  Bài 11: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) y  x 3  3x 2  1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . Đáp số: A  3;1 và B  –1; –3 Loại 2: Tìm điểm liên quan đến khoảng cách và đối xứng x2  2x  5 Bài 1: Tìm M  (C) y  để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất x 1 Đáp số: Hai điểm có hoành độ xM  1  4 23 x2  C  . Tìm trên (C) điểm M sao cho khoảng cách từ x 3 điểm M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Đáp số: M 1 3  5; 5  1 , M 2 3  5;  5  1. Bài 2: (HVQHQT – D 1999) Cho hàm số y . . . Bài 3: Tìm trên đồ thị y   Đáp số: A(-3;. . . x3 11  x2  3x  hai điểm phân biệt M, N đối xứng hau qua trục tung 3 3. 16 16 ) và B(3; ) 3 3. 2x 1 . Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho tổng khoảng x3 cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất Đáp số: Hai điểm có hoành độ x  3  7 và d = 2 7 x2 Bài 5: Cho hàm số y   C  . Tìm những điểm thuộc thuộc (C) cách đều hai điểm A  0; 0  và x 1 B  2; 2 . Bài 4: (ĐHAN – 1997) Cho hàm số y . --------^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^------Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498.  x2  3x  3 (1) 2  x  1 a. Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min. b. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ. 4 4  1 1 5 1  1 1 5 1 Đáp số: a. A   4  1; 4    ; B  4  1;  4    2 2 2 2 5 2 5 5 2 5    1 b. S OAB  OA.OB  1 2 x Bài 7: Cho hàm số y   C  . Tìm điểm M   C  có khoảng cách đến đường thẳng  : 3x  4 y  0 x 1 bằng 1 x2  2 x  2 Bài 8: (QGHN – B 1998) Cho hàm số y   C  . Tìm điểm M   C  sao cho khoảng cách x 1 từ điểm M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung. Bài 6: Cho hàm số y . Đáp số: Có hai điểm thỏa mãn là M 1. . . . 2; 2 2 , M 2  2; 2 2. . 2. x  x 1 . Tìm những điểm trên đồ thị cách đều hai trục tọa độ x 1 x2  x 1 Bài 10: Cho hàm số y   C  . Tìm tất cả những điểm M   C  sao cho tổng khoảng cách từ x 1 M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất 4 4   1 8 4  1 8 4  Đáp số: M 1 1  4 ;1   2  , M 2  1  4 ;1   2  2 2 2 2     x 1 Bài 11: Cho hàm số y  (C) 2x  1 a. Tìm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ đạt giá trị lớn nhất b. Tìm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất c. Tìm hai điểm A và B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min Đáp số:  3 1 3 1  3 1 3 1   3 1  3 1 a. M  ; b. M  ; ;  d min  3  1  M   2  2  2   2  2  2 Bài 9: Cho hàm số y .   3 1  3 1  3 1 3 1 c. A  ; ; ; B  ; ABmin  6 2   2 2   2 Bài 12: Tìm điểm N (xN >1) thuộc y . 2x  1 sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến  ngắn nhất 2x. Đáp số: N  2; 5 Bài 13: Tìm điểm M thuộc (C) y . 2x  1 sao cho khoảng cách từ điểm I (1; 2) tới tiếp tuyến của (C) x 1. tại M là lớn nhất --------^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^------Lop12.net. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. . . DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498. . Đáp số: M 1  3 ; 2  3 hoặc M 1  3 ; 2  3. . Bài 16: Tìm hai điểm E và F thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị y . x2  x 1 x 1. C . sao cho đoạn EF. ngắn nhất Đáp số: Hai điểm E và F có hoành độ 1 . 1 2. 4. x2  4x  5 Bài 17: (ĐH KTQS – 2000) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y  có khoảng cách đến x2 đường thẳng  : y  3x  6  0 là nhỏ nhất 4  3 5  5 5 Đáp số: Có hai điểm là M 1 :   ;  , M 2   ;   và d  10  2 2  2 2 x2 Bài 18: Tìm điểm M thuộc đồ thị y  sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ x2 nhất Đáp số: M  0; 1 x2 (C). Tìm những điểm trên (C) sao cho khoảng từ điểm đó đến trục hoành x 1 gấp đôi khoảng cách từ đó đến trục tung 2x  4 Bài 20: Tìm trên đồ thị (C) y  hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(x 1 1; -1) Đáp số: A(0; 4) B(2;0) 3x  4 Bài 21: Tìm điểm M thuộc đồ thị y  sao cho M cách đều hai đường tiệm cận của đồ thị (C). x2 Đáp số: M1 1;1 ; M 2  4; 6 . Bài 19: Cho hàm số y . x2  2x  2 . Tìm những điểm thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ đó x 1 đến giao điểm hai tiệm cận nhỏ nhất. Bài 22: (ĐHNT_A 01) Cho y . Đáp số: x  1  1 / 4 2 , d  2  2 2 Bài 23: Cho y . x 1 .CMR tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số đến các đường tiệm x 1. cận là một hằng số. Bài 24: (ĐHDL Hải Phòng_00) Cho y . x2 . Tìm những điểm trên đồ thị cách đều hai điểm O(0;0), x 1. B(2; 2).. x2  x  5 . CMR tích khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đồ thị đến các đường x2 tiệm cận là một hằng số. Bài 25: Cho y . --------^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^------Lop12.net. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498. Bài 26: (ĐHSP TPHCM_D00) Cho y . x2  3x  3 . Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau để x 1. khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất . Đáp số: Hai điểm thỏa mãn là A,B  1 . 1 4. ;2  4 2 . 1   và d = 2 2( 2  1) 2. 4. 2 1 Bài 27: (ĐHNT_99) Cho hàm số y  x  . Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của đồ thị x 1 . sao cho khoảng cách AB ngắn nhất . 1   2 2  2x  1 Bài 28: (ĐH Đà Nẵng_B98) Cho hàm số y  . Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách x 1. Đáp số: Hai điểm thỏa mãn A, B 1 . 1. 4. ;1  4 2 . 4. đến hai tiệm cận nhỏ nhất. Đáp số: A(0; 1), B(-2; 3), d = 2 Bài toán 4: Các bài toán liên quan đến khoảng cách: A. Lý thuyết: - Khoảng cách giữa hai điểm: Cho A  x A ; y A  , B  xB ; y B  khi đó: AB .  xB  x A . 2.   yB  y A . 2. - Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho điểm M ( x0 ; y0 ) và đường thẳng  : ax  by  c  0 , khi đó khoảng cách từ M đến đường thẳng.  là: d  M ;   . ax 0  by0  c 2. a b. 2. . 2. - Định lí Viét: Nếu phương trình ax  bx  c  0 (a  0) có hai nghiệm x1 ,x2 thì. b   x1  x2   a .  c x x   1 2 a. B. Bài tập: Bài 1: Tìm m để đồ thị hàm số y .  x2  3x  3 cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A,B sao 2  x  1. cho AB = 1. --------^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^------Lop12.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số y . DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498.  x2  x  1 cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A, B sao x 1. cho AB nhỏ nhất 1 (C) x 1 a) Tìm m sao cho (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB  5 b) Tìm hai điểm M,N thuộc hai nhánh của (C) sao cho MN nhỏ nhất x2 Bài 4: Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số y  sao cho khoảng cách từ M đến các tiệm cận bằng x 3 nhau x2  x  2 Bài 5: Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  (C) tại điểm M  (C ) cắt hai tiệm cận tại P x2 và Q. Cmr MP = MQ  x2  4 x  4 Bài 6: Cho hàm số y  (C) x 1 a) Cmr tích khoảng cách từ điểm M thuộc (C) đến hai tiệm cận là không đổi b) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho: d ( M , Ox )  2d ( M , Oy) 1 Bài 7: Cmr với mọi m đồ thị hàm số y  x 3  mx 2  x  m  1 luôn có hai điểm cực tri, tìm m để 3 khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó nhỏ nhất. Bài 3: Cho hàm số y  x  1 . x2  2 x  2 x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm điểm M trên đồ thị sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai tiệm cận nhỏ nhất Bài 9: 2x2  x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y  x 1 b) Gọi M  (C ) có hoành độ xM  m . Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (C ) không phụ thuộc vào m Bài 8: Cho hàm số y . x2  x  1 x 1 a. Khảo sát hàm số đã cho. b. Xác định điểm A( x1; y1 ) (với x1  1 ) thuộc đồ thị của hàm số trên sao cho khoảng cách từ A đến giao điểm của 2 tiệm cận của đồ thị là nhỏ nhất. Bài 10: Cho hàm số y . 2 x 2  mx  2 với m là tham số. Xác định m để tam giác tạo bởi 2 trục toạ độ và x 1 đường tiệm cận xiên của hàm số trên có diện tích bằng 4. Bài 12: Bài 11: Cho hàm số: y . --------^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^------Lop12.net. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498. x2  2 x  2 x 1 2. Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Bài 13: x2  x  5 1. Khảo sát hàm số : y  (C) x2 2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị (C) đến các tiệm cận là một hằng số không phụ thuộc vị trí điểm M. 3. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y . Bài 14: Tìm phương trình tt của (C): y  x 4  2 x 2  3 có khoảng cách đến điểm A(0;-3) bằng. 5 65. 2x + 1 Gọi (∆) là tiếp tuyến tại điểm M(0; 1) với đồ thị ( C ). Hãy tìm trên (C) nhữn 1-x điểm có hoành độ x > 1 mà khoảng cách từ đó đến (∆) là ngắn nhất. 2x  1 Bài 16: Tìm trên đồ thị (C): y  những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất x 1 Đáp số: (0;1) và (-2;-3) x2 Bài 17: Tìm trên đồ thị (C): y  những điểm khoảng cách đến TCĐ và TCN bằng nhau x3 x2 Bài 18: Tìm trên đồ thị (C): y  những điểm cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2) x 1 x2 Bài 19: Tìm trên đồ thị (C): y  những điểm cách đều hai trục tọa độ x2 x3 Bài 20: Tìm trên đồ thị (C): y  những điểm sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành bằng hai x 1 lần khoảng cách từ đó đến trục tung. 2x  1 Bài 21: Tìm trên đồ thị (C): y  những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất x 3 Bài 15: Cho hàm số y =. --------^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^------Lop12.net. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>