Những kết quả nhận được từ một bài toán quen thuộc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Nh÷ng kÕt qu¶ nhËn ®­îc tõ mét bµi to¸n quen thuéc ---------------------------------------------------***-----------------------------------------------I. Đặt vấn đề.. Dạy cho học sinh bài tập này rồi đến bài tập khác nếu chỉ chú ý đến số lượng mà thiếu dạy tư. duy thì nhiều khi vô íc. Đành rằng muốn có học sinh giỏi thì Thầy phải đọc nhiều,làm nhiều, trang bÞ nhiÒu kiÕn thøc kü n¨ng cho häc sinh.Trong khi trß ( thËm chÝ c¶ ThÇy ) ch­a t×m ®­îc lời giải của một bài toán thì việc hướng dẫn cho trò nghiên cứu lời giải thông qua tài liệu là điều cần làm. Điều đó sẽ có ý nghĩa khi chúng ta hiểu đựơc các khâu “ chốt ” có tính quyết định của lời giải. Kèm theo đó là phải có thái độ nhận xét , phê phán hoặc không thoã mãn những điều cßn h¹n chÕ theo nhiÒu nghÜa : vÝ dô nh­ lêi gi¶i cßn ch­a ®­îc tù nhiªn, hoÆc ch­a cã tÝnh tæng quát, vv. Để rồi từ đó tìm cách khắc phục, hoặc tìm ra lời giải tốt hơn đi đến những bài toán tổng quát hơn. Sau đây là những ví dụ nhằm minh hoạ cho các ý tưởng trên nhằm góp phần rền luyện n¨ng lùc gi¶i to¸n cho hoc sinh. II. C¸c vÝ dô. Bài toán sau đây bạn đã từng gặp với nhiều cách giải : 0  a, b, c  2 Bµi to¸n A. Cho 3 sè thùc a, b , c tho· m·n:  Chøng minh P= a 2  b 2  c 2  5.  a  b  c  3. Truíc hÕt chóng ta xÐt mét lêi gi¶i sau cña bµi to¸n 1. Lêi gi¶i1. Do vai trò bình đẳng như nhau của a, b, c nên ta có thể giả sử: a  b  c . Từ đó ta có : 3  a  b  c  3a  1  a  2. (1) 2  P  a 2  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2  2bc(b.c  0)  a 2  b  c   a 2  (3  a ) 2  2a 2  6a  9 .  P  2a 2  6a  9 = 2a 2  6a  9  5  2(a 2  3a  2)  5 (do (1) ). DÔ thÊy dÊu “ = ‘’ trong bµi to¸n 1 xÈy ra khi vµ chØ khi ( a; b; c ) = ( 2;1; 0 ) . ( cã mét sè b»ng 2, mét sè b»ng 1 vµ mét sè b»ng 0 ) Râ rµng lêi gi¶i rÊt ng¾n gän! §äc kü lêi gi¶i ta rót ®­îc mét sè nhËn xÐt sau Nhận xét 1 : - Khâu chốt quyết định ở lời giải 1 là: 2) Sử dụng tính bình đẳng của các biến. 2 1) đưa ra được đánh giá : b 2  c 2  b  c  (*) b  0 dÊu ‘ = ‘’ ë (*)   c  0 3) Với b và c không bằng 0 lúc đó (*) không xây ra đẳng thức hay nói cách khác lời giải bài toán sÏ ra sao? ta xÐt bµi to¸n 2 sau ®©y.  3  x; y; z  5 Bµi to¸n 2. Cho 3 sè thùc x, y , z tho· m·n:  Chøng minh  x  y  z  12. P = x 2  y 2  z 2  50 . Ta sẽ tìm cách đưa về giả thiết trên đoạn có cận trái là 0 để sủ dụng (*) với lời giải sau đây. a  x  3  Lêi gi¶i: §Æt: b  y  3 Do 3  x , y , z  5  0  a; b; c  2 vµ a+ b + c = 3. Theo bµi c  z  3  to¸n 1 ta sÏ cã: 2 2 2 a 2  b 2  c 2  5   x  3   y  3   z  3  5  x 2  y 2  z 2  6 x  y  z   27  5 .  x 2  y 2  z 2  50. Dễ thấy dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ( x; y ; z ) = ( 5;4;3 ) ( có một sè b»ng 5, mét sè b»ng 4 vµ mét sè b»ng 3 ).. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Nhận xét 2. Theo dõi qua trình giải các bài toán trên ta thấy rằng bất đẳng thức tổng quát cho sự k k k k më réng (*) lµ: x k  a1  a 2  ...  a n   x  a1  a 2  ...  a n  x  0; ai  0.(k  N ; ). ai  0  DÊu “ = ”   (**) a 2  a3  ...  a n  0 Bất đẳng thức này có thể chứng minh dễ dàng. Từ đó ta có thể đề xuát bài toán tổng quát sau: Bµi to¸n tæng qu¸t I1.   x; ai  0; a (i  1; n)  Cho n+1 sè x; a1 ; a 2 ;...a n ( n> 2) tho· m·n:  x  a1  a 2  ...a n  b > a> 0.  b a  ba  n 1 . · k k k H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: P = x k  a1  a 2  ...  a n víi k lµ sè tù nhiªn ; k  2.  b  ; a Ta cã quyÒn gi¶ sö x = x  x1  x 2  ...x n.  b  (n  1) x  x   n 1  k k  Sử dụng bất đẳng thức trên ta có ãP  x k  b  x  .Xét hàm f ( x)  x k  b  x  b Ta cã f / ( x)  k x k 1  (b  x) k 1  f / ( x)  22 x  b  0  x   0; a  ( do ®kiÖn cña 2 bài toán). Từ đó có bảng biến thiên hàm số f (x) như sau: b b x a n 1 2 + f / ( x) 0. . . . f (x). k. k. b b   b   k k Ta cã f ( )   b    A; f (a )  a  (b  a )  B n 1  n 1  n 1 b b ; a1  b  P = A x  ; x  a; a 2  a3  ...  a n  0 . Do a1  n 1 n 1 b b b  a ba  tho· m·n. n 1 n 1 P = B  x  a; a1  b  a. VËy MaxP = MaxA; B (bài toán 1 là trường hợp đặc biệt khi n = 2. a= 2; b = 3 Max P = 2 2  1  5) .. 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b  a. n 1 Điều kiện “ kép” này thực chất là để đảm bảo cho các số x và a1  0; a  . Vậy thì khi đièu kiện nµy kh«ng tho· m·n tøc lµ khi th× bµi to¸n tæng qu¸t t×m Max P sÏ nh­ thÕ nµo? TÊt nhiªn khi đó bất đẳng thức mở rộng (**) không còn hiệu lực nữa.Ta bắt đầu :. NhËn xÐt 3: Trong bµi to¸n tæng qu¸t I1 ta ®© giíi h¹n ®kiÖn: b  a . Cho c¸c sè x; a 1 ; a 2 ;...a n  0; a  tho· m·n: x  a1  a 2  ...a n  b . Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = k. k. k. x k  a1  a 2 ...  a n bằng bao nhiêu trong các trường hợp sau: b  a. Trường hợp 1: n 1 (Câu trả lời quá đơn giản. Bài toán đặt ra lúc này là vô nghĩa.) b  b  a. Trườnghợp 2. n 1 Trường hợp 3. b  2a. VÝ dô bµi to¸n cô thÓ sau : Bµi to¸n 3. Cho 3 sè t; m; n tho· m·n: t ; m; h  0;2 GÝa trÞ lín nhÊt cña P  t 2  m 2  h 2 b»ng bao nhiªu?  t  m  h  5 b 5   3  b  a) . ( ë ®©y a=2;b=5; n =2;  n 1 3 Như trên ta đã nói bất đẳng thức đã sử dụng (**) không còn hiệu lực. Vậy lời giải bài toán tổng quát cho trường hợp này ra sao? (ta tạm gọi là bài toán I2. sau đây). Để bµi viÕt qu¸ dµi t«i xin t¹m thêi dõng l¹i bµi to¸n nµy ë ®©y vµ xin hÑn gÆp l¹i trong bµi viÕt kh¸c. Cuộc hành trình của bài toán trên với dụng ý : Nếu với bạn các quá trình suy luận trên là đơn giản thì cũng còn bao việc phải tiếp tục suy nghĩ đó là: 1). B¹n h·y gi¶i bµi to¸n 3 b  b  a. hoÆc 2). H·y gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t trªn nh»m kh¾c phôc mét “ lç hæng” khi n 1 cô thÓ lµ: b  2a. Bµi to¸n I2.  x; ai  0; a    “ Cho n+1 sè x, a 1 , a 2 ,...a n tho· m·n:  x  a1  a 2  ...  a n  b  2a .  b  b  a.  n 1  k k k H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P  x k  a1  a 2  ...  a n (k  N ; k  2). 3 ). Từ bài toán 2 cùng với cách chuyển về bài toán 1 rồi đưa đến bài toán tổng quát I1. ( còn một “ lç hæng” ) b¹n h·y thay gi¶thiÕt 0; a  trong bµi to¸n I1 b»ng gi¶ thiÕt  ;  (  0) víi “ lç hổng” trên để có bài toán tổng quát hơn bài toán I1. Hơn thế nữa nếu bạn khắc phục được cả 2 điều ấy thì đã đi đến điều mà bài viết này mong đợi. Bạn hãy đề xuát bài toán tổng quát cuối cùng cho bài toán 1 và tiếp tục giải nó biết đâu từ đó lại thu được những điều mới lạ! 4). Víi gi¶ thiÕt cña c¸c bµi to¸n trªn nh­ng nÕu thay P b»ng c¸c biÓu thøc kh¸c mµ c¸c biÕn cã vai trò bình đẳng thì ta sẽ được lớp các bài toán tương tự nhưng đầy tính sáng tạo khi giải nó.. 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bµi to¸n B. Cho 2 phương trình:. . . . 2. . ax 2  bx  c  x (*) vµ a ax 2  bx  c  b ax 2  bx  c  c  x (**). Chøng minh r»ng: 1) PT (*) cã nghiÖm  PT (**) cã nghiªm. :. Lêi gi¶i. ThËt vËy gi¶ sö (*) cã nghiÖm tøc lµ tån t¹i x0 : ax0. . . 2. 2. 2.  bx0  c  x0 . Suy ra:. 2. a ax0  bx0  c  b(ax0  bx0  c)  c  ax0  bx0  c  x0 nghÜa lµ PT(**) còng cã nghiệm x0 . Từ đó ta có mệnh đề 1) được chứng minh. B©y giê cã thÓ ra cho häc sinh 2 c©u hái sau: Câu hỏi 1: Tìm điều kiện của a,b, c để phương trình (**) có nghiệm? Câu hỏi 2: Tìm điều kiện của a,b, c để phương trình (**) vô nghiệm? - Sai lầm của học sinh trả lời câu hỏi 1 là : “ Điều kiện để (**) có nghiệm là phương trình (*) cã nghiÖm. - Sai lầm của học sinh trả lời câu hỏi 2 là: “ Điều kiện để (**) vô nghiệm là phương trình (*) v« nghiÖm.  Thực ra mệnh đề 1)  mệnh đề: “ Phương trình (**) vô nghiệm  PT (*) vô nghiệm”.  Nh­ vËy viÖc tr¶ lêi 2 c©u hái trªn lµ ch­a cã c¬ së.  Với 2 câu hỏi trên thực chất là tìm đk cần và đủ của a, b, c để phương trình (**) vô nghiÖm ( cã nghiÖm) Như vậy lời giải trên không có hiệu lực để trả lời các câu hỏi 1) và 2). Ta phải đi tìm một hướng khác để giải. Để giải (**) ta đưa (**) về hệ đối xứng bằng cách đặt : y  ax 2  bx  c. Khi đó (**) tương.   x y (1)  2  ay  by  c  x  ax  bx  c  y ax  bx  c  y  ®­¬ng víi:  2   ax  ay  b  1  0 ax  bx  c  y ( x  y )(ax  ay  b  1)  0  ax 2  bx  c  y (2)   (1)vn VËy (**) v« nghiÖm   (2)vn x y  (1)   V« nghiÖm 2  ax  x(b  1)  c  0(3) 2. 2.  a  0; b  1; c  0 a0  ax  x(b  1)  c  0vn   (I )  2   (b  1)  4ac. a  0; b  1  (2)vn   2 2 2 2 2 a x  (ab  a ) x  a  b  1  0(a  0)vn    a (b  1)  4(ac  1)  0  (b  1)  4ac  4. 2. . . Kết hợp cả 2 trường hợp trên ta có: “ Điều kiện cần và đủ để phương trình (**) vô nghiệm là a  0; b  1; c  0  (b  1) 2  4ac. Chú ý rằng đây cũng chính là điều kiện cần và đủ để (*) vô nghiêm. Nhưng kết luận   cña häc sinh ë trªn kia lµ mét sù “ hó ho¹ “ mµ th«i.. 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Từ đó ta có 2 mệnh đề đúng sau : “ pT (**) vn  PT (* ) vn ” và “ PT (**) có nghiệm  (*) có nghiªm.” Từ kết quả này ta có thể sáng taọ nhiều bài toán về giải phương trình rất hấp dẫn. II. C¸c vÝ dô ¸p dông.. .  . . 2. Ví dụ 1. Giải phương trình: x 2  x  2  x 2  x  2  2  x. (1) có dạng (**) Ta xét phương trình : x 2  x  2  x. (2) có dạng (*) .ở đây a=1; b = -1; c=2. Do (2)  x 2  2 x  2  0 v« nghiÖm vËy (1) v« nghiÖm. Ví dụ 2. Giải phương trình : x 4  2 x 3  4 x 2  4 x  4  0. (3) Trước hết ta viết x 4  2 x 3  4 x 2  4 x  4  0  x 4  2 x 3  4 x 2  5 x  4  x .Bây giờ ta tìm các. . . 2. . . sè m vµ n sao cho: x 4  2 x 3  4 x 2  5 x  4  x 2  mx  n  m x 2  mx  n  n . Bằng cách đồng nhất các hệ số của các đa thức ở 2 vế ta có hệ:. 2m  2  m 2  m  2n  4 m  1 2   (3)  x 2  x  2  x 2  x  2  2  x   2  n  2  2mn  m  5 2  n  mn  n  4 Do phương trình x 2  x  2  x  x 2  2 x  2  0 Đây cũng là nghiệm của (3). Từ đó: ( 3)  x 2  2 x  2 x 2  2  0  x1  1  3; x 2  1  3; x3   2 ; x 4  2 . Ví dụ 3. Phương trình sau đây có nghiệm hay không:. . . x  2. . . 2. .  . . . . x  1  2 x  2 x  1  1  x. §kiÖn x  0. Đặt x  t (t  0).  x  2 x  1  t 2  2t  1 . Phương trình đã cho có dạng: (t 2  2t  1) 2  2(t 2  2t  1)  1  t.(*). Xét phương trình: t 2  2t  1  t (  t 2  t  1  0 ) vô nghiệm nên (*) vô nghiệm .Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. III. Kết luận . Trên đây là những câu chuyện dạy học toán theo lối suy nghĩ tôi đã từng làm .Hiện nay tài liệu toán thật nhiều. Nhưng ý tưởng dạy và rèn luyện tư duy thì phải thực hiện theo nh÷ng con ®­êng kh«ng ph¶I theo kiÓu ch¹y t×m gi÷a biÓn ,bëi c¸c bµi to¸n còng mªnh m«ng nh­ biÓn c¶. Bµi viÕt dõng l¹i ë ®©y . Sau ®©y lµ mét sè bµi tËp tù gi¶i mµ qu¸ tr×nh h×nh thµnh trong qu¸ tr×nh suy luËn ë trªn. Mét sè bµi tËp.. a, b, c  0;2 1. Cho 3 sè thùc a, b , c tho· m·n:  a  b  c  3 4 4 4 Chøng minh: a  b  c  17 . 1  a; b; c  3 2. Cho 3 sè thùc a, b, c tho· m·n:  a  b  c  6 Chøng minh r»ng a 3  b 3  c 3  36.. 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  0  a, b, c, d  4 3. Cho 4 sè thùc a, b, c, d tho· m·n :  a  b  c  d  8 2 2 2 2 Chøng minh: a) a  b  c  d  32. b) a 3  b 3  c 3  d 3  128.  a, b, c  0;2 4.Cho 3 sè thùc a,b , c tho· m·n :  a  b  c  3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = a 2 (b  c)  b 2 (a  c)  c 2 (a  b)  2abc ( §s: MaxP = 6 )  a; b; c; d  0;4 5.Cho 4 sè thùc a, b , c ,d tho· m·n:  a  b  c  d  8. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = a 2 (b  c  d )  b 2 (c  d  a )  c 2 (d  a  b)  d 2 (a  b  c)  2(abc  bcd  cda  dab). (§s: Max P = 128). 6. Giải các phương trình sau: x 8  4 x 6  9 x 2  9  0.. . . 2. 7. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: x 2  mx  4  mx 2  m 2 ( x  1)  4m  4  0.. (NguyÔn TiÕn Minh THPTBC Hång Lam – Th¸ng 4/2009) ------------------------@@@----------------------------------. 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>