Về tính duy nhất nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại parabolic

<span class='text_page_counter'>(1)</span>VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI PARABOLIC ON THE UNIQUENESS OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER PARABOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng. TÓM TẮT Lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục đã được khảo sát bởi M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] trong khuôn khổ các nguyên lý so sánh, các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh và đưa ra tính duy nhất của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại parabolic suy biến tổng quát. ABSTRACT The theory of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second order has been considered by M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] which provides a framework in comparison principles, uniqueness theorems and existence theorems. This paper deals with a comparison principle and provides a uniqueness property of a viscosity solution to general degenerate parabolic partial differential equations of second order.. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Khái niệm nghiệm nhớt được áp dụng cho các phương trình đạo hàm riêng có dạng: F(x, u, Du, D 2 u) = 0, trong đó, F: R n  R  R n  S(n)  R với S(n) là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông đối xứng cấp n. Trong thực tế ta thường xem xét hàm số F(x, u, Du, D 2 u) = 0 với u là một hàm số giá trị thực xác định trong một tập con  của R n , Du là ký hiệu gradient của u và D 2 u ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai của u. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của bài toán sau đây, Du và D 2 u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đòi hỏi phải khả vi liên tục đến cấp hai. Ta sẽ áp dụng lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình F = 0, trong đó F phải thỏa mãn điều kiện đơn điệu (monotonicity condition): F(x,r,p,X)  F(x,s,p,Y) với r  s và Y  X. (1.1). trong đó r, s  R, x, p  R n , X, Y  S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường của nó. Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện: F(x,r,p,X)  F(x,s,p,X) với r  s. (1.2). F(x,r,p,X)  F(x,r,p,Y) với Y  X.. (1.3). Khi đó ta nói F là suy biến (degenerate) nếu (1.3) là đúng.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. KHÁI NIỆM NGHIỆM NHỚT Bây giờ ta xét u là một hàm của (t, x), tức là u = u(t,x), và xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến loại parabolic:. u t + F(t, x, u, Du, D 2 u) = 0,. (2.1). trong đó Du và D 2 u có nghĩa là D x u (t , x) và D x2 u (t , x) và F thỏa mãn điều kiện (1.1) (với x được thay bởi (t,x)). Cho  là một tập con compact địa phương của R n , T > 0, và ký hiệu  T = (0,T)   . Ta ký hiệu P2,  và P2,  của hàm số u:  T  R như sau:. P2,  u(s,z) = {(a,p, X)  R  R n  S(n) | (s,z)   T và u(x,t)  u(s,z) + a(t-s) + p, x  z +. 1 X ( x  z ), x  z + o(|t-s|+ | x  z | 2 ) khi (t,x)  (s,z) trong  T } 2. và P2,  u = - P2,  (-u). Ta định nghĩa:. P2,  u(t,x) ={(a,p, X)  R  R n  S(n) |  ( t n , x n , a n , p n , X n )   T  R  R n  S(n), ( a n , p n ,. X n )  P2,  u( t n , x n ) và ( t n , x n , u( t n , x n ), a n , p n , X n )  (t, x, u(t,x), a, p, X)} P2,  u(t,x) ={(a,p, X)  R  R n  S(n) |  ( t n , x n , a n , p n , X n )   T  R  R n  S(n), ( a n , p n ,. X n )  P2,  u( t n , x n ) và ( t n , x n , u( t n , x n ), a n , p n , X n )  (t, x, u(t,x), a, p, X)}. ĐỊNH NGHĨA: a. Một nghiệm nhớt dưới của phương trình (2.1) là một hàm u  C(  T ) sao cho: a + F(t, x, u(t,x), p, X)  0 với (t,x)   T và (a, p, X)  P2,  u(t,x) ; b. Một nghiệm nhớt trên của phương trình (2.1) là một hàm v  C(  T ) sao cho: a + F(t, x, v(t,x), p, X)  0 với (t,x)   T và (a, p, X)  P2,  v(t,x) ; c. Một nghiệm nhớt của phương trình (2.1) là một hàm u  C(  T ) sao cho u vừa là nghiệm nhớt dưới vừa là nghiệm nhớt trên của phương trình (2.1). 3. TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM Xét bài toán Dirichlet cho phương trình (2.1) u t  F(t, x, u, Du, D 2 u)  0 trong (0, T)    0  t  T, x   u (t , x)  0,  x  . u (0, x)   ( x),. (3.1). Trong đó   R n là một tập mở, T > 0 và   C () là một hàm số cho trước.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Định lý: Cho   R n là một tập mở bị chặn. Cho F  C ([0, T ]    R  R n  S (n)) thỏa mãn (1.1) với mỗi t cố định và thỏa mãn các điều kiện sau đây cho mỗi t: F(t, y, r,  ( x  y ) , Y) - F(t, x, r,  ( x  y ) , X)   ( | x  y | 2  | x  y |) với mọi x, y   , r  R , và X, Y  S (n) thỏa điều kiện sau:. I -3   0. 0  X 0      3 I   0  Y . I   I. -I  I . trong đó  : [0,)  [0,) là một hàm liên tục thỏa mãn  (0)  0. Khi đó, nếu u là nghiệm nhới dưới của (3.1) và v là nghiệm nhớt trên của (3.1) thì u  v trên [0,T)   . Để chứng minh định lý trên ta xét các bổ đề sau đây: Bổ đề 1: Cho  là một tập con của R n , u , v UC () và M   sup{u ( x)  v( y ) .  2. . | x  y |2 }. với   0. Cho M    với  lớn và ( x , y ) là một điểm sao cho lim[ M   (u ( x )  v( y ) . .  . 2. | x  y | 2 )]  0 .. Khi đó, ta có: (i) lim  | x  y | 2  0 và  . (ii) lim M   u ( x)  v( x)  sup(u ( x)  v( x)) miễn là x   là điểm giới hạn của x khi   .  . x. Bổ đề 2: Cho u i  UC ((0, T )   i ) với i=1,…,k, trong đó  i là một tập con compact địa phương của R N i . Cho  là một hàm số xác định trong một lân cận của (0, T )  1  ...   k sao cho (t, x1 ,…, x k )   (t, x1 ,…, x k ) khả vi cấp một theo t và khả vi cấp hai theo ( x1 ,…, _. _. x k )  1  ...   k . Giả sử t  (0, T ), xi   i với i=1,…,k và _. _. _. w(t, x1 ,…, x k )  u1 (t , x1 )  ...  u k (t , x k )   (t, x1 ,…, x k )  w(t , x1 ,..., x k ) với 0 < t < T và xi   i . Ngoài ra giả sử tồn tại một r > 0 sao cho với mọi M > 0 tồn tại một hằng số C sao cho với i=1,…,k ta có:. bi  C khi ( bi , qi , X i )  P2,  u i ( t , xi ) _. _. | xi  xi | + | t  t | r và | u i (t , xi ) | + | qi | + X i  M .. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Khi đó, với mỗi   0 , tồn tại X i  S ( N i ) sao cho: _ _. _. _. _. (i) (bi , D xi  (t , x1 ,..., x k ), X i )  P2,  u i (t , xi ) với i=1,…,k,.  X1 1  (ii) -   A  I     0 _. 0    A+ A 2 , X k  _. _. (iii) b1  ...  bk   t (t , x1 ,..., x k ), _. _. _. trong đó A  ( D x2 ) (t , x1 ,..., x k ) và chuẩn của ma trận đối xứng A là:. A  sup{|  |:  là giá trị riêng của A}= sup{| A ,  |:|  | 1}. Chứng minh các bổ đề này hoàn toàn tương tự như trong chứng minh cho trường hợp ellitic[1]. Chứng minh định lý: _. Trước hết ta lưu ý rằng với   0 , u  u   /(T  t ) cũng là một nghiệm nhớt dưới của (3.1) và thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng với bất đẳng thức ngặt; thật vậy, _. _. _. . _. u t  F (t , x, u , D u , D 2 u )  . (T  t ) 2. _. Vì u  v kéo theo u  v trong giới hạn khi   0 , nên ta sẽ chứng minh nguyên lý so sánh với giả thiết phụ: (i) u t  F (t , x, u , Du, D 2 u )   / T 2 , (ii) lim u (t , x)   đều trên  . t T. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại một. ( s, z )  (0, T )   và u ( s, z )  v( s, z )    0. (3.2). Ta có thể giả thiết u, -v là bị chặn trên. Cho (t , x, y ) là điểm cực đại của. u (t , x)  v(t , y )  ( / 2) | x  y | 2 trên [0, T )     trong đó   0 . Điểm cực đại này tồn tại vì tính bị chặn trên của u, -v, tính compact của  và giả thiết phụ (ii). Đặt: M   u (t , x)  v(t , y ) .  2. | x  y |2 .. Theo (3.2), M    . Nếu t  0 , ta có: 0<   M   sup( ( x)   ( y )  . Lop12.net.  2. | x  y | 2 );.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ta thấy rằng vế phải dần về không khi    theo Bổ đề 1. Vì vậy t  0 với  lớn. Hơn nữa, x, y   với  lớn vì u  v trên [0, T )   . Do đó ta có thể áp dụng Bổ đề 2 tại điểm. (t , x, y ) và nhận được các số thực a, b và X , Y  S(n) sao cho: _ _. (a,  ( x  y ), X )  P2,  u (t , x) ,. _ _. (b, ( x  y ), Y )  P2,  v(t , y ). sao cho a-b=0. và. I -3   0. 0  X 0      3 I   0  Y . I   I. -I . I . (3.3). Các quan hệ: a + F( t , x, u (t , x), ( x  y ), X )  c, b + F( t , y, v(t , y ), ( x  y ), Y )  0, và (3.3) kéo theo c  F( t , y, v(t , y ), ( x  y ), Y ) - F( t , x, u (t , x), ( x  y ), X )   ( | x  y | 2  | x  y |) . Cho    , ta được điều mâu thuẫn và định lý được chứng minh. 4. KẾT LUẬN Từ nguyên lý so sánh ta thấy rằng mọi nghiệm nhớt của bài toán Dirichlet (3.1) phải trùng nhau và từ đó ta thu được tính duy nhất nghiệm của bài toán. Mặt dù khái niệm và các tính chất của nghiệm nhớt đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, bài báo này khảo sát cho loại phương trình parabolic và có thể áp dụng cho các phương trình xuất hiện trong hình học vi phân như phương trình chuyển động mặt, phương trình mặt cực tiểu,… TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions, User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations, Bull. Amer. Math. Soc 1[27], 1992.. [2]. M. G. Crandall, P. L. Lions, The maximum principle for semicontinuous functions, Diff. Int. Equ. [3], 1990.. [3]. R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal. [101], 1988.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>