Giáo án ôn tập hè Toán khối 11 ban KHTN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Lượng giác. PhÇn 1.. 1. Công thức lượng giác a) C«ng thøc céng. sin       sin  cos   cos  sin  cos       cos  cos   sin  sin  cos       cos  cos   sin  sin  tan   tan  1  tan  tan  tan   tan  tan       1  tan  tan  tan      . b) Công thức cung nhân đôi. sin 2  sin  cos  cos2   sin 2 . cos 2 . 1  2 sin 2  2 cos2   1. tan 2 . c) C«ng thøc gãc nh©n gãc nh©n ba. d) Công thức biến đổi tổng thành tích. 2 tan  1  tan 2 . sin 3  3sin   4 sin 3  cos3  4 cos3   3 cos  3 tan   tan 3  tan 3  1  3 tan 2 .     cos 2 2     cos   cos   2 sin sin 2 2     sin   sin   2 sin cos 2 2     sin   sin   2 cos sin 2 2 sin      tan   tan   cos  cos  sin      tan   tan   cos  cos  sin      cot   cot   sin  sin  sin      cot   cot   sin  sin  e) Công thức biến đổi tổng thành tích cos   cos   2 cos. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. 2 cos  cos   cos       cos      2 sin  cos   sin       sin      2 sin  sin   cos       cos     . A) Phương trình lượng giác Để giải phương trình lượng giác ta thường tiến hành theo các bước sau: 1. Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa Phương pháp 1. Xem phương trình cần giải có thuộc dạng quen thuộc hay không? Phương pháp 2: Xem phương trình cần giải có thể: +) Đưa về phương trình tích được hay không? +) Có thể đưa về phương trình phụ thuộc vào 1 hàm lượng giác hay không? Nếu được ta chọn ẩn là hàm lượng giác đó Phương pháp 3: Sau khi không áp dụng được hai phương pháp trên Xem phương trình có thuộc một trong các dạng sau: +) A2 + B2 = 0 +) A  B  0. A  M A  M  +) Dạng đối lập B  M   B  M A  B   A  A1  A  A1  +) D¹ng B  B1   B  B1 A  B  A  B 1 1  Bµi tËp Giải các phương trình lượng giác sau Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản a) sin(2x+500) = cos(x+1200)   b) tan  x    cot x  0 5  Dạng 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai theo một hàm số lượng giác a) 3  2 sin 2x  0 b) tan3x.tanx=1 c) Gi¶i vµ biÖn luËn (4m-1)sinx = m sinx – 8 3 d) sin22x – 2cos2x + =0 4 e) tan 4 x  4 tan 2 x  3  0 f) cos2x + 9cosx + 5 = 0 h) Gi¶i vµ biÖn luËn: m.cos2x – 2m + 3 = (2m +3)cosx Dạng 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx :   3 2   a) 2 sin  x    sin  x    4 4 2  . asinx + bcosx = c. b) 2 sin 2 x  3 sin 2x c).   3 cos 2x  sin 2x  2 sin  2x    2 2 6  -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Dạng 4. Phương trình đối xứng, phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx a) 4 sin 2 x  3 3 sin 2x  2 cos2 x  4 b) sin 3 x  2 sin 2 x cos x  3 cos3 x  0 c) Gi¶i vµ biÖn luËn m sin 2 x   m  3  cos2 x  m sin x  1  0. d) 2 sin 2x  3 3  sin x  cos x   8  0 e) cos x  sin x  3sin 2x  1  0 f) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: sin x cos x  sin x  cos x  m  0 vÒ ptlg c¬ b¶n, ptlg gÇn c¬ b¶n về pt bậc nhất đối với sinx và cosx Bài 1: Giải phương trình lượng giác 1) cos(x-2) = - cos(5x+2) 2) tanx = cot(x+60o), x(0o; 270o) 3) sinx2 = cosx2 4) cos(x2-x) = sin(x-/2) 5) tan3x + cot2x = 0 6) tan(cosx) = tan(2cosx), x0o; 360o) 7*) sin(cosx) = cos(sinx) Bài 2: Giải phương trình lượng giác 1)  cos(2x+1)= 1/2 2) tan2x = cot2x, x(0; 7) 3) sin2(6x-/3) + cos2(x+) = 1 4*) cot3x.tan2x = 1 Bài 3: Giải và BL phương trình 1) sin2x + (2m-1)cos2(x+) = m 2) m(tanx + cotx) = 2cotx Bài 4: Giải phương trình lượng giác 1 3 1) sinx - cosx = , x(0; 2) 2 2) sin2x - 2sinxcosx = 5 3) 2sin25x +(3+ 3 )sin5xcos5x + + ( 3 -1) cos25x = -1 4) 3 cos4x - 2sin2xcos2x = 2 5) 3 (cos4x + sin3x) = cos3x – sin4x 6) 2- tanx = 2/ cosx Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiÖm (2m-1)sinx + (m-1)cosx = m-3 Bµi 3: Cho PT mcos2x + sin2x = 2 1. GPT víi m = 2 2. m = ? PT cã nghiÖm. Bài 4: Giải và BL phương trình msin(x/3) + (m+2)cos(x/3) = 2 Bµi 5: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. 2  cos x 2  cos x  sin x Bài 6: Tìm m để mọi nghiệm của phương trình đều là nghiệm của phương trình msinx + cosx = m2 ## y. Bài 1: Giải phương trình lượng giác. sinx + mcosx = 1. đại số hoá ptlg. 1 3 cos2x + 3 cosxsinx = - sin2x 2 2 2) 2 2 sin x - 3 sin2x = 2 - 6 3) 2sin2x + sin 2x =-1 4) cosx + sinx - 4sin3x = 0 5) sinx(2cosx + sinx) = 2cos2x +1/2 6) 5sinx – 2 = 3(1- sinx)tan2x Bài 2: Giải phương trình lượng giác 1) cos2xsin2x + 1 = 0 2) 2- tan2x = 2/ cos2x 3) 4(tanx + cotx) + 3(tan2x + cot2x)=-2 4) tan2x - tanx = 0,5sin2x 5) tan2x + cotx = 4cos2x 6) tan(x+/4) = 1+ sin2x 7) tanx +tan2x+ tan3x +cotx +cot2x+ cot3x =6 1  cos 2 x  2 tan x  1 8) 1  cos 2 x Bài 3: Giải phương trình lượng giác 1) 1+ sin2x = cosx + sinx 2) 1+ cosx + sinx + cos2x + sin2x = 0 4) sin3x - cos3x = cos2x 5) sin3x + cos3x = cosx + sinx+ sin2x 6)  cosx - sinx + 4sin2x = 1 1 1  7) tanx+cotx+cosx+sinx = - 2 cos x sin x Bài 4: Giải phương trình lượng giác 1) 3sin3x - 3 cos9x = 1+ 4sin33x 2) 8cos4x = 3+5 cos4x 4 2     sin x   2 3) sin 2 x  2 sin x sin x   2 4) 2cos (6x/5) + 1 = 3cos(8x/5) 6 6 5) 3 cos x  4 sin x  3 cos x  4 sin x  1 6) sin4x +(1+ sinx)4 = 17. 1) sin2x +. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. ptlg ®­a vÒ d¹ng tÝch Bài 1: Giải phương trình lượng giác 1) cosxsinx(1+ tanx)(1+ cotx) = 1 1 1 2) (1+ tanx + ) (1+ tanx )=2 3 cos x cos x 3) cos(100-x)sin(200+x) = 1/2 4) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx 1 cos 2 x 5) cotx – 1 = sin2x - sin2x + 2 1  tan x 6) cos3x - 2cos2x + cosx = 0 Bài 2: Giải phương trình lượng giác 1) sin2x + sin22x+ sin23x = 3/2 2) cos23xcos2x - cos2x = 0 3) cos3xcos3x +sin3x sin3x = 2 /4 4) cos3xcos3x +sin3x sin3x = cos34x 5) sin4x + cos4x + cos(x-/4)sin(3x-/4) = 3/2 6) cos2x = cos(4x/3) 7) 2cos2(3x/5) + 1 = 3cos(4x/5) 8) sin8x + cos8x = (17/16) cos22x Bài 5: Giải phương trình 1  cos x 1  tan x 1) tan 2 x  2) 1  sin 2 x  1  sin x 1  tan x 3 1  cos x 3) tan 2 x  1  sin 3 x 0 4) tan20 tanx+ tan400tanx + tan200tan400 =1 5) tan2x- tan3x- tan5x = tan2xtan3xtan5x 6) tan22x- tan23x- tan25x = tan22xtan23xtan25x 7) ( 3 /cosx)- (1/sinx) = 8sinx Bài 6: Giải phương trình 1) sin2x + sin2y + sin2(x +y)=9/4 2) tan2x + tan2y + cot2(x +y)=1 Bµi 7: TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC kh«ng tï tho¶ m·n Cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC = 3. Ptlg chøa tham sè Bài 1: Tìm m để phương trình có nghiệm msin2x + cos2x + sin2x + m = 0 Bài 2: Cho phương trình msinx + (m+1)cosx = m/cosx 1) Giải phương trình với m = 1/2 2) Tìm m để phương trình có nghiệm ? 3) Tìm m để phương trình có nghiệm x(0; /2) ? Bài 3: Cho phương trình (1-m)tan2x -2(1/cosx) +1+3m = 0 1) Giải phương trình với m = 1/2. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. 2) Tìm m để phương trình có nhiều hơn một nghiệm x(0; /2) ? Bài 4: Tìm m để phương trình có nghiệm m(tanx - cotx) = tan2x + cot2x Bài 5: Chứng minh với mọi m, phương trình sau luôn có nghiệm 1) sin4x + cos4x+m cosxsinx = 1/2 2) (1/cosx)- (1/sinx) = m. Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1). Giải Phương trình (1) tương đương với:. 1  cos 2 x 1  cos 6 x 1  cos 4 x 1  cos8 x    2 2 2 2.  cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0  2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0  2cos5x(cos3x+cosx) = 0  4cos5x.cos2x.cosx = 0 π kπ π    x  10  5 5 x  2  kπ cos 5 x  0   π π lπ    cos 2 x  0  2 x   kπ   x   , (k , l , n  )   2 4 2 cos x  0    x  π  nπ  x  π  kπ   2 2. Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2). Giải Ta có (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)  cos2x(sin6x–cos6x) = 0  cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0  cos2x = 0 . 2x . π π kπ  kπ  x   , ( k  ) 2 4 2. Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 2 cos6 x  2 2 sin 3 x sin 3x  6 2 cos 4 x  1  0 (3). Giải Ta có:. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. (3)  2 2 cos3 x(4 cos3 x  3cos x)  2 2 sin 3 x sin 3 x  1  0  2 cos 2 x.2 cos x cos 3 x  2sin 2 x.2sin x sin x3 x  2  (1  cos 2 x)(cos 2 x  cos 4 x)  (1  cos 2 x)(cos 2 x  cos 4 x)  2  2(cos 2 x  cos 2 x cos 4 x)  2  cos 2 x(1  cos 4 x)   cos 2 x.cos 2 2 x   cos 2 x . 2 2. 2 4. 2 π  x    kπ , (k  ) 2 8. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác:. sin 8 x  cos8 x . 17 32. (4).. Giải Ta có (4) 4. 4. 17 1 17  1  cos 2 x   1  cos 2 x      (cos 4 2 x  6 cos 2 2 x  1)    2 2 32 8 32    . Đặt cos22x = Vì t[0;1], nên.  1 t  t, với t[0; 1], ta có t 2  6t  1  17  t 2  6t  13  0   2 4 4 t   13  2 1 1 cos 4 x  1 1 t   cos 2 2 x    2 2 2 2 π cos4x = 0  4 x   kπ  x  π  k π , (k  ) 2 8 4. Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5) Giải Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0  (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0  (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0. cos x  1  x  k 2π , (k  )   2sin x  2 cos x  2sin x cos x  1  0 (*) Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 , khi đó phương trình (*) trở thành: t  0 π 2t + t2 – 1 + 1 = 0  t2 + 2t = 0    sin x  - cos x  x    nπ , (n  ) 4 t  2 (lo ¹i) π Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x    nπ ; x  k 2π , (n, k  ) 4. Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Ví dụ 6. Giải phương trình: π |sin x |  cos x (6). Giải Điều kiện: x ≥ 0 Do | sin x | 0, nên π |sin x |  π 0  1 , mà |cosx| ≤ 1. | sin x | 0  x  k 2π 2 k 2π  n k  n  0  x  kπ , (k    )     | cos x | 1  x  nπ , (n  ) x  0  x  nπ  x  nπ. Do đó (6)  . (Vì k, n   ). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.. x2 Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 1   cos x . 2. Giải Đặt f ( x)= cos x . x2 . Dễ thấy f(x) = f(x), x   , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước 2. hết ta chỉ xét với x ≥ 0. Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0  f(x) đồng biến với x≥0 . Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 2 n  π n n 2 thoả mãn phương trình: . 0; sin x  cos x  2   2  . Giải Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x. = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x) . . 2. 4. Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng (0; ) , ta có minf(x) = f( ) = 2 Vậy x =.  4. 2 n 2. là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.. BÀI TẬP Giải các phương trình sau: 1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) x  k 2 ; x . . 2. ĐS:.  n 2. 2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: x. . 4.  k ; x  . . 3.  n 2. 3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại). . . . 4. 4. 12. ĐS: x    k ; x  .  n ; x . 7  m . 12. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. 4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội). . ĐS: x  k . 2. 5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội) ĐS: x . . 1  k 2 ; x    n 2 ; x      l 2 ; với sin    . 2 4. 6. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội). ĐS: x .   7. sin  3x    sin 2 x.sin  x   ; (Học Viện BCVT) 4 4. ĐS: x . . 8.. . . . . 1  sin x.  7   4 sin   x 3    4  sin  x   2   1. 4. 12. 2. .. . ĐS: x =   k ,. HD: Chia hai vế cho cos3x x. . .   k 4   k 8 5  k 8. 10. sin 3 x  3 cos3 x  sin x cos 2 x  3 sin 2 x cos x . k. 4. ĐS: x  k  x   ĐS:  x    x  .  k .. 4. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x. HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x. 9.. . 3.  k. 11.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx HD: Đưa về cung x đặt thừa số. ĐS: x . .  k  x  . 4 2  cos x  sin x  1  12.Giải phương trình lượng giác: tan x  cot 2 x cot x  1. 2  k 2 (k  ) 3. Giải. cos x.sin 2 x.sin x.  tan x  cot 2 x   0 Điều kiện:  cot x  1. Từ (1) ta có:. 1. . 2  cos x  sin x  cos x.sin 2 x   2 sin x cos x cos x 1 sin x. sin x cos 2 x  cos x sin 2 x  2sin x.cos x  2 sin x   x   k 2  2 4  cos x   k    2  x    k 2  4. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. . So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x    k 2  k    4. 13.Giải phương trình:. sin x  cos x 1   tan x  cot x  sin 2 x 2 4. 4. Giải sin 4 x  cos 4 x 1   tan x  cot x  (1) sin 2 x 2 Điều kiện: sin 2 x  0 1 1 1  sin 2 2 x 1  sin 2 2 x 1 1 1  sin x cos x  2 2   1  sin 2 2 x  1  sin 2 x  0 (1)      sin 2 x sin 2 x 2 sin 2 x 2  cos x sin x . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. . 14.Giải phương trình: 2 sin 2 ( x  )  2 sin 2 x  tan x . 4. Giải. . . 4. 2. Pt 2 sin 2 ( x  )  2 sin 2 x  tan x (cosx  0)  [1  cos(2 x  )] cos x  2 sin 2 x. cos x  sin x  (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0  sin2x = 1 hoặc tanx = 1.. 15.Giải phương trình: sin 2 x  cos x  3  2 3cos3 x  3 3cos2 x  8  3 cos x  s inx   3 3  0 . Giải sin 2 x(cos x  3)  2 3.cos3 x  3 3.cos 2 x  8( 3.cos x  sin x)  3 3  0  2 sin x.cos 2 x  6 sin x.cos x  2 3.cos3 x  6 3 cos 2 x  3 3  8( 3.cos x  sin x)  3 3  0  2 cos 2 x( 3 cos x  sin x)  6. cos x( 3 cos x  sin x)  8( 3 cos x  sin x)  0  ( 3 cos x  sin x)(2 cos 2 x  6 cos x  8)  0  tan x  3  3 cos x  sin x  0    cos x  1 cos 2 x  3cos x  4  0 cos x  4 (loai)    x   k   ,k  3   x  k 2. . 16.Giải phương trình: cosx=8sin3  x   6 . . Giải.  cosx=8sin3  x    cosx =. . 3 sin x  cos x. . 3. 6   3 3 sin x  9sin 2 x cos x  3 3 sin x cos 2 x  cos3 x  cos x  0 (3) 3. Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3)  3 3 tan 3 x  8 tan 2 x  3 3 tan x  0 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.  tan x  0  x  k. 17.Giải phương trình lượng giác:. 2  cos x  sin x  1  tan x  cot 2 x cot x  1. Giải. cos x.sin 2 x.sin x.  tan x  cot 2 x   0 Điều kiện:  cot x  1. Từ (1) ta có:. 1. . 2  cos x  sin x  cos x.sin 2 x   2 sin x cos x cos x 1 sin x. sin x cos 2 x  cos x sin 2 x  2sin x.cos x  2 sin x   x   k 2  2 4  cos x   k    2  x    k 2  4. . So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x    k 2  k    4. 18.Giải phương trình: cos 2 x  5  2(2  cos x)(sin x  cos x) Giải Phương trình  (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 cos x  sin x  1  cos x  sin x  5 (loai vi cos x  sin x  2)  x    k 2 2  2 sin x    1  sin x    sin    (k  Z ) 4 4 4  x    k 2 .  .  . 19.Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 Giải 3 sin x  cos x  2 cos 3 x  0. . . . sin sinx + cos cosx = – cos3x..   cos  x     cos 3x. . 3 3  cos  x    cos(  3x) 3 .   k x    3 2   x   k 3 . . x=. . 3. (k ).  3. . k 2. 20.Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x =. (kZ) 23 2 8. Giải. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = =. 23 2  cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) 8. 23 2 8.  cos 2 3x  sin 2 3x  3  cos 3x cos x  sin 3x sin x  . 23 2 2    x    k ,k  Z .  cos 4 x  2 16 2 2. 21.Định m để phương trình sau có nghiệm.       4sin 3 x sin x  4 cos  3 x   cos  x    cos 2  2 x    m  0 4 4 4   . Giải Ta có: * 4sin 3x sin x  2  cos 2 x  cos 4 x  ;      * 4 cos  3x   cos  x    2 cos  2 x    cos 4 x   2  sin 2 x  cos 4 x  4 4 2 . .        1   1 * cos 2  2 x    1  cos  4 x     1  sin 4 x  4  2 2  2  . Do đó phương trình đã cho tương đương: 1 1 2  cos 2 x  sin 2 x   sin 4 x  m   0 (1) 2 2  Đặt t  cos 2 x  sin 2 x  2 cos  2 x   (điều kiện:  2  t  2 ). 4  2 Khi đó sin 4 x  2sin 2 x cos 2 x  t  1 . Phương trình (1) trở thành: t 2  4t  2m  2  0 (2) với  2  t  2 (2)  t 2  4t  2  2m. Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D) : y  2  2m (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y  t 2  4t với  2 t  2. x  2 2 y’ + y 24 2 24 2. Trong đoạn   2; 2  , hàm số y  t 2  4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2  4 2 tại t   2 và đạt giá trị lớn nhất là 2  4 2 tại t  2 . Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2  4 2  2  2m  2  4 2  2 2  m  2 2 . 22.Giải phương trình:. 1  2sin x  cos x  1  2sin x 1  sin x . 3.. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giải. 1 , sinx ≠ 1 2 Pt  1  2sin x  cos x  3 1  2sin x 1  sin x . ĐK: sin x .  cos x  2sin x cos x  3 1  sin x  2sin 2 x   cos x  3 s inx  s in2x  3 cos 2 x. 1 3 1 3      cos x  sin x  s in2x  cos 2 x  cos   x   cos  2 x   2 2 2 2 6 3   . . 3.  x  2x . x.  2. . 6.  k 2 hay. .  k 2 (loại) x  . 3.  x  2 x . . 18. k. . 6.  k 2. 2 , k  Z (nhận) 3. . . 23.Giải phương trình: sin x  cos x sin 2 x  3 cos 3x  2 cos 4 x  sin 3 x . Giải 1. sin x  cos x sin 2 x  3 cos 3x  2  cos 4 x  sin 3 x   sin x . 1 3sin x - sin 3 x   sin 3x  sin x   3 cos 3x  2  cos 4 x   2 4  .  sin 3 x  3 cos 3 x  2 cos 4 x 1 3 sin 3 x  cos 3 x  cos 4 x 2 2    cos  3 x -   cos 4 x 6  .     3 x  6  4 x  2 k   x   6  2k   . k     3 x    4 x  2k  x    2k    6 42 7. 24.Giải phương trình: 3 cos 5 x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0 . Giải Pt  3 cos 5 x   sin 5 x  sin x   sin x. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.  3 cos 5 x  sin 5 x  2sin x 3 1 cos 5 x  sin 5 x  sin x 2 2    sin   5 x   sin x 3  .   5 x  3   x  2 k   k   5 x      x  2 k   3  k  x    18 3  k    x    k  3 2. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 14 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. PHẦN II :. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT. I)QUI TẮC ĐẾM . a)Qui tắc cộng . Một công việc được hoàn thành bởi hành động một hoặc hành động hai . Nếu hành động một có m cách thực hiện , hành động hai n cách thực hiện không trùng với bất kỳ hành động nào của hành động một thì công việc đó có m+n cách thực hiện . b)Qui tắc nhân . Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp , nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất , ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hoàn thành cộng việc . BÀI TẬP II)HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP a)Hoán vị : Có tập hợp A gồm n phần tử  n  1 . Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của b phần tử . Ví dụ : A={1,2,3} thì 123,321,213 … là những hoán vị . Ta viết số hoán vi của n phần tử là : Pn=n!=n(n-1)(n-2)…..3.2.1 . b)Chỉnh hợp : Cho tập A gồm n phàn tử  n  1 . Kết quả lấy k phần tử của n phần tử tập hợp A và sắp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần phần tử đã cho n! Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là : Ank   n(n  1)...(n  k  1) . k! c)Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  1 . Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập đã cho . n! k !(n  k )! Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ . Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người hỏi : a/ Có tất cả bao nhiêu cách . b/ Có bao nhiêu cách thành lập đoàn đại biểu chỉ có 3 nam và 2 nữ .. Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là : Cnk . III)NHỊ THỨC NIU TƠN Công thức sau gọi là công thức nhị thức niu tơn n  a  b   Cn0 a nb0  Cn1a n1b1  ...  Cnk a nk bk  ...  Cnn1a1bn1  Cnn a 0bn Số hạng thứ k+1 là : Tk 1  Cnk a n  k b k . BÀI TẬP : TỔ HỢP –XÁC SUẤT . Sử dụng qui tắc cộng , qui tắc nhân , hoán vị và chỉnh hợp Bài 1 : CHo một hộp đựng 5 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 5 và 10 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 15 . có bao nhiêu cách chọn một viên bi ? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 15 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Bài 2 : Có 7 cuốn sách toán khác nhau , 10 cốn sách văn khác nhau và 3 cuốn sách lý khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuốn cách để học ? Bài 3 : Có 5 cửa hàng bán sách , cửa hàng 1 chỉ bán 100 cuốn sách toán , cửa hàng 2 bán 200 cuốn sách văn , của hàng 3 chỉ bán 50 cuốn cách lý và 50 cuốn sách địa , cửa hàng 4 chỉ bán 150 sách hoá , của hàng 5 chỉ bán 150 sách sinh và 50 sách kỹ thuật . Hỏi có bao nhiêu cách chọn cửa hàng để mua sách . CÁC BÀI TẬP VỀ SỐ Bài 3 : CHo tập hợp số : {1,2,3,4} . Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên : a. Có hai chữ số đôi một khác nhau ? b. Có 3 chữ số đôi một khác nhau ? c. Có 4 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 4: Từ tập hợp số {1,2,3,4,5} Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên : a. Có hai chữ số đôi một khác nhau . b. 3 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 ? c. Có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 2 ? Bài 5 : Từ tập hợp số : {0,1,2,3,4,5) ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : a) Có hai chữ số đôi một khác nhau ? b) Có 3 chữ số đôi một khác nhau ? c) Là số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau ? d) Là số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 6 : Từ tập số tự nhiên {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên a) Có 4 chữ số đôi một khác nhau ? b) Có 8 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 7 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 . Có biêu cách lập một số tự nhiên a) Là số lẻ có 3 chữ số đôi một khác nhau ? b) Là số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 8 : Từ các số : 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên : a) Có 2 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 2 . b) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 c) Có 5 chữ số khác nhau và luôn nhỏ hơn 550 Bài 9: Từ các số : 0,1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên : a) Có 3 chữ số khác nhau . b) Có 4 chữ . c) Là số lẻ và có 4 chữ số và đôi một khác nhau . d) Là số chẵn và có 5 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 10 : Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu các lập một số tự nhiên : a) Số có 4 chữ số đôi một khác nhau . b) Số có 5 chữ số . c) Số có 3 chữ số chia hết cho 5 . d) Số có 4 chữ số trong đó luôn có chữ số 1 . Bài 11: Từ các số : 0,4,5,7,8,9 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : a) Có 4 chữ số đôi một khác nhau . b) Có 3 chữ số và luôn có mặt chữ số 9 . c) Có 3 chữ số và lớn hơn 400 . Bài 12 : Từ các số 0,2,3,4,5,6 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : a) là số chẵn có 3 chữ số . b) số có 4 chữ số và luôn có mặt chữ số 5 . -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 16 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. c) Số có 3 chữ số và lớn hơn 250 . Bài 13 : Từ các số : 0,2,4,5,6,8,9 . Ta có thê lập được bao nhiêu số tự nhiên : a) Có 3 chữ số và đôi một khác nhau . b) Có 4 chữ số đôi một khác nhau là luôn có mặt số 5 . CÁC BÀI TẬP VỀ NGƯỜI VÀ VẬT Bài 14 : Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau . a) Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau . b) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành các nhóm chẵn lẻ riêng biệt . Bài 15 : Trong một phong học có hai bàn dài mỗi bàn 5 ghế , người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu : a) Các học sinh ngồi tuỳ ý . b) Các học sinh nam ngồi một bàn và các học nữ ngồi một bàn . Bài 16 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho : a) Bạn C ngồi chính giữa . b)Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu mút . Bài 17 : Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc a) Có bao nhiêu cách sếp khác nhau . b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng gới đứng cạnh nhau . Bài 18 : Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen đánh dấu mỗi loại theo các số 1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách xếp các thể này theo một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm cạnh nhau . Bài 19 : Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phai đứng cạnh nhau . Bài 20 : Có 15 học sinh gồm 8 nam và 7 nữ . Có bao nhiêu cách chọn 4 người để lập được một ban đại diện trong đó có ít nhất là 2 nam và 1 nữ . Bài 21 : Một đội ngũ cán bộ gồm có 5 nhà toán học 6 nhà vậ lý , 7 nhà hóa học . Chọn từ đó ra 4 người để dự hội thảo khoa học .Có bao nhiêu cách chọn nếu: a) Phải có đủ 3 môn . b) Có nhiều nhất 1 nhà toán học và có đủ 3 môn . Bài 22 : Từ 12 học sinh ửu tú của trường ngươi ta muốn chọn ra một ban đại diện gồm 5 người gồm 1 trường đoàn ,1 thư ký và 3 thành viên đi dự trại hè quốc tế . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban đại biểu như thế . Bài 23 : Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng . Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn ra khỏi hộp , có bao nhiêu cách lầy để có một bóng bị hỏng . Bài 24 : Một hộp đựng 4 viên bị đỏ , 5 viên bi trắng , 6 viên bi vàng , người ta chọn ra 4 viên bị từ hộp đó , hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra có đủ 3 màu . Bài 25 : Có 5 tem thư và 6 bì thư khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 tem thư và 3 bì thư để 3 tem thư dán vào 3 bì thư chọn ra . Bài 26A : Có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ hoa ( mỗi lọ cắm một bông ) Bài 26B : Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp . Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất 2 cán bộ lớp . Bài 27 : Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn Nếu : a) Mọi người đều vui vẻ tham gia . b) Cậu Tánh và cô Nguyệt từ chối tham gia . Bài 28 : một lớp học gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ , chọn 6 học sinh để lập một đội tốp ca . Hỏi có bao nhiêu cách chọn -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 17 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. a) Nếu ít nhất hai nữ . b) Nếu chọn tuỳ ý . Bài 29 : Một đội văn nghệ 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ , Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho : a) Có đúng 2 nam . b) Có ít nhất 2 nam và 1 nữ . Bài 30 : Một hộp đựng 2 bi đỏ , 3 bi trắng và 5 bi vàng .Chọ ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó , hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu . SỬ DỤNG KHAI TIỂN NHỊ THỨC NEWTON Bài 31 : Hãy khai triển các nhị thức sau thành đa thức :. a   a  2b . 5. . b a 2. . 6. 15. 1  c x  x . d   3x  4 . 20. e   2 x  3. 17. 6. 1   1  Bài 31 : Tìm hệ số của x3 trong nhị thức sau :  x3  2  ,  x 2   x   x . 9. 15. Bài 32 : Tìm hệ số của. x5. 1  ,  x2  3  x   10. 9. 1  1   1   trong nhị thức sau :  x 4   ,  x3  2  ,  x  2  x  x   x   15. 2  2  Bài 33 : Tìm hệ số của trong nhị thức sau :  x 2   ,  x3   x  x  2 n Bài 34: Biết hệ số của x trong khai triển (1-3x) là 90 . Tìm n ?. 20. 8. x3. 20. 2  Bài 35 : Tìm hệ số không chứa x trong khai triển  x3  2  . x   12. x 3  Bài 36 : Tìm hệ số không chứa x trong khai triển :    . 3 x  15.  x2 3  Bài 37 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển sau :    .  3 x 40. Bài 38 : Tìm hệ số của. x31. 1   trong khai triển nhị thức  x  2  . x  . -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 18 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giíi h¹n cña d·y sè. D¹ng 1: Chia cho n cã sè mò cao nhÊt. Bµi 1: Chia lu«n cho n cã sè mò cao nhÊt.. n    1    4) lim 2   n  2   2 5 4 2 n  4n  5 n n n2 7n  3n  2 6) lim 3 7) lim 8) lim 2 3 2 3n  n  7 4n  6n  9 n2  5  2n 3  3n 5  7n 3  11 1  5n 2   10) lim 2 11) lim  n 5  n 4  3n  2n  3 5n  1 . 6n 3  2n  1 1) lim n 3  2n. 1  n  2n 2 2) lim 5n 2  n.  2n 2  n  2 3n 4  5 3n 3  2n  1 9) lim 2n 2  n. 5) lim. 2n 2  3 n 6  5n 5 2n  32 4n  7 3. 12) lim 13) lim. 2n 3  4n 2  3n  3 3) lim n 3  5n  7. 3n  15n  3 2n  1n  1 2. 14) lim. 3n  42 5n 2  1. 3. n  12 7n  22 2n  14. 2n 2  n 1  3n 2. 16) lim. n 1. 17) lim. 3. 18) lim. n 1 3. 20) lim. 24) lim. . n3  n n2. 19) lim. 2n 4  3n  2 2n 2  n  3. n 6  7 n 3  5n  8 n  12. n n n. 21) lim. n 1. 22) lim. n 3 n 4 n. 23) lim. 2n  1. n2  1  n 4. n3  n  n. n2  1  n  1 3n  2. . 25) lim 3n 3  7 n  11. 26) lim 2n 4  n 2  n  2. 28) lim 3 n 9  8n 2  7. 1) lim 1  2 2...  n. 2) lim n 2 2 4  ...  2n. 3) lim. 3n  n  2. n. 27) lim 3 1  2n  n 3. n  31) lim. 2 n 2  1  2n 29) lim 30) lim n  1  n  1 2n  1 3n  2 Bµi 2: Liªn quan tíi d·y sè.   5. n2 1  n  n2 1 n5. . 5. 12  2 2  ...  n 2 n 3  3n  2. 1  2  ...  n n 4  n 3  3n  2 3. 4) lim. 15) lim. 3. 3. 2 2 3 3 3 5) lim 1  2  ...  n , 13  2 3  ...  n 3  n n  1 2. 11n  n  2. 4. 6) lim n. 1  3 2 ...  (2n  1) 2n  n  1. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 19 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Gi¸o ¸n «n tËp hÌ khèi 11 ban KHTN. Ngµy so¹n: 02/02/2018. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. 7) lim. 2. n. 2. n. 1. 2 2 2     ...    3 3 3. 1. 1 1 1     ...    5 5 5. 9) lim  1  1  ... .  1 8) lim  1  1  ...  (2n  1)(2n  1)  1.3 3.5. 1.2.  1 10) lim  1  1  ...  2n(2n  2)   2.4 4.6 Bài 3: Sử dụng định lí 6 - SGK 4n 3n  1 lim 1) lim 2) 2.3 n  4 n 2n  1 (3) n  5 n 5) lim (3) n 1  5 n 1. 3) lim. 3 n  2.5 n 7  3.5 n. 4) lim. n 2. lim  1 cos n. 1) lim. sin 3n   1  4n . D¹ng 2: Nguyªn lÝ kÑp. 2.3. 1  n(n  1) . 3.. n 1. Dạng 3: Nhân lượng liên hợp.   2) lim n  1  n  n 4) lim n  n  2  n  1  5) lim n  3  n  5  6) lim n  n  3  n  1) lim 3n  1  2n  1. lim. 3 sin n  4 cos n 2n  1. . 3) lim n 2  n  1  n. 2. 2. 4n  5n 2 n  3.5 n. . . . . . 7) lim n 2 n  n 2  1. 1. 8) lim. n  2  n 1. . 9) lim 2n  3  n  1.  13) limn  16) lim n. 12) lim n 2  n  3  n. 3. 2. 17) lim n 3. . 1  n3. 3. .  n3  n. n. 3. . . 10) lim n n 2  1  n. . . 14) lim a  n  n. .  1  n3  1. . 19) lim n  2n  3  n  n 2. 3. 2. 3. . . 11) lim n n 2  5  n. 15) lim 3 1  n 2  3 n  12  . . 18) lim n  n  n  n . . . . Giíi h¹n cña hµm sè. D¹ng 1: x  a Bµi 1: Thay vµo lu«n. 2 1) lim x 3  3 x  1. 5) lim x 1. x 2. 2) lim 4 x  3  x 3.  2x  7 . 5. 4 3) lim 3 2 x2  3x  2 x  2. x x2. 4) lim x 3. x2 x3  x  6. 5x  1 2x  7. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Giáo viên: Trương Ngọc Hạnh. Trang 20 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>