Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại bài toán tính thể tích khối tròn xoay

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Céng ho∙ x∙ héi chñ nghÜa viÖt nam §éc lËp-tù do-h¹nh phóc. …………o0o…………. đề tài Ph©n lo¹i bµi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. I. s¬ yÕu lÝ lÞch • Hä vµ tªn: NguyÔn §«ng B¾c • Sinh ngµy: 31/10/1980 • N¨m vµo nghµnh: 09/2007 • Ngµy vµo §oµn TNCS Hå ChÝ Minh: 22/12/1998 • Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên tr−ờng THPT Vạn Xuân • Trình độ: Cö nh©n To¸n • Hệ đào tạo: ChÝnh quy • Bé m«n gi¶ng d¹y: To¸n • Ngo¹i ng÷: Anh. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay.. Trang 2. II. Nội dung đề tμi: 1. Tên đề tài: Ph©n lo¹i bµi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. 2. Lý do chọn đề tài: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ nãi chung vµ thÓ tÝch khèi trßn xoay nãi riªng lµ mét øng dông quan träng cña tÝch ph©n, d¹ng to¸n nµy th−êng xuyªn xuÊt hiÖn trong c¸c đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi vào các tr−ờng cao đẳng và đại học. Thời l−îng cho phÇn nµy theo ph©n phèi ch−¬ng tr×nh lµ 2 tiÕt, víi thêi gian Ýt nh− vËy cộng với hình dạng trừu t−ợng của khối tròn xoay- một đối t−ợng của hình học không gian, học sinh th−ờng bị lúng túng, mất định h−ớng và thiếu tự tin vào bản th©n khi lµm bµi tËp d¹ng nµy. ViÖc ph©n lo¹i bµi to¸n vµ ®−a ra ph−¬ng ph¸p giải phù hợp đối với từng tr−ờng hợp sẽ giúp học sinh định h−ớng trong quá trình giải bài tập, vì lí do đó tôi quyết định thực hiện đề tài. 3. Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài: §Ò tµi nµy ®−îc ¸p dông trong ph¹m vi c¸c líp 12C2-Tr−êng THPT V¹n Xu©n với đối t−ợng là các em học sinh có học lực trung bình. Thực hiện trong năm học 2008-2009, vào các giờ luyện tập và tự chọn, sau khi các em đã học xong bài “§3. øng dông cña tÝch ph©n trong h×nh häc” cña ch−¬ng III- Gi¶i tÝch 12 Ban C¬ b¶n. III. Quá trình thực hiện đề tμi: 1. Kh¶o s¸t t×nh h×nh thùc tÕ: ở đầu năm trong ch−ơng trình Hình học 12 các các em đã đ−ợc trang bị các kiến thức t−ơng đối đầy đủ về mặt tròn xoay, khối tròn xoay và cách tạo ra chúng, trong ch−ơng trình Giải tích 12 ở học kì II các em đã đ−ợc trang bị các kiến thức cơ bản về tích phân, ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể. Đó là cơ sở vững chắc để tiến hành thực hiện đề tài này. 2. Số liệu điều tra tr−ớc khi thực hiện đề tài: Sau khi d¹y xong bµi “§3. øng dông cña tÝch ph©n trong h×nh häc” cña ch−¬ng III- Gi¶i tÝch 12 Ban C¬ b¶n, tr−íc khi d¹y thö nghiÖm néi dung s¸ng kiÕn cho học sinh của lớp 12C2, tôi đã ra bài tập về nhà cho các em, cho các em chuẩn bị tr−íc trong thêi gian 1 tuÇn. Víi bµi tËp sau: Bµi tËp: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o thµnh khi quay h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau quanh trôc Ox. a) y = e x ; y = 0 ; x = 0; x = 2 . b) y = x 2 ; y =. x. c) x 2 + y 2 = 8 ; y 2 = 2 x . KÕt qu¶ thèng kª ®−îc nh− sau:. Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Trang 3. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay.. KÕt qu¶ Số HS giải đúng. Sè HS gi¶i sai. Sè HS kh«ng cã lêi gi¶i. C©u a). 20 (54%). 7 (19%). 10 (27%). C©u b). 17 (46%). 9 (24,3%). 11 (29,7%). C©u c). 2 (5,4%). 8 (29,6%). 26 (70%). C©u. Từ kết quả thu đ−ợc ta thấy mặc dù bài toán t−ơng đối dễ nh−ng học sinh vẫn ch−a nắm đ−ợc kĩ năng giải. Việc thực hiện đề tài là cần thiết. 3. C¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn: A. Yêu cầu đối với học sinh: - N¾m v÷ng kh¸i niÖm mÆt trßn xoay, khèi trßn xoay vµ c¸c kh¸i niÖm liªn quan. - N¾m v÷ng c¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n. - Nắm vững bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các phép biến đổi đồ thị, và đồ thị của các hàm số đặc biệt. B. Nội dung đề tài: Phần I: Nhắc lại các kiến thức đã học trong ch−ơng trình lớp 12 và các kiến thức liªn quan. 1. C¸ch tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ bÊt k×: B−íc 1: Chän trôc Ox däc theo chiÒu dµi vËt thÓ. B−ớc 2: Xác định chiều dài vật thể trên trục Ox ⇒ ta đ−ợc đoạn [a; b]. B−íc 3: C¾t vËt thÓ bëi mÆt ph¼ng (P) vu«ng gãc víi trôc Ox t¹i vÞ trÝ x ∈ [a; b] ⇒ tìm quy luật biến đổi của diện tích thiết diện S(x). b. B−íc 4: KÕt luËn c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ lµ: V = ∫ S( x ).dx a. 2. Các phép biến đổi đồ thị: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C). - Lấy đối xứng đồ thị (C) qua trục Ox ta đ−ợc đồ thị (C1): y = − f ( x ) . - Lấy đối xứng đồ thị (C) qua trục Oy ta đ−ợc đồ thị (C2): y = f (− x ) . Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trang 4. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay.. 3. Đồ thị của một số hàm số đặc biệt: §å thÞ hµm sè mò. §å thÞ hµm logarit. §å thÞ hµm luü thõa. §å thÞ hµm y = x n (n ∈ N ). PhÇn II: Ph©n lo¹i bµi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. B×nh luËn: §Ó t¹o ra khèi trßn xoay ta ph¶i quay mét h×nh ph¼ng quanh mét trục nào đó, trong ch−ơng trình cơ bản ta chỉ xét khối tròn xoay quay quanh trục Ox. Do vậy, ta sẽ phân loại bài toán theo đặc điểm của hình phẳng và vị trí của h×nh ph¼ng so víi trôc Ox. 1. Khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng n»m vÒ mét phÝa cña trôc Ox khi quay quanh Ox. D¹ng 1: Khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi mét ®−êng cong vµ trôc Ox. ⎧y = f ( x) ⎪ S : ⎨Ox ( y = 0) ⎪ ⎩ x = a; x = b. Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Trang 5. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay.. N»m phÝa trªn trôc Ox. N»m phÝa d−íi trôc Ox. b. C«ng thøc tÝnh:. Vox = π.∫ [ f ( x )] .dx 2. a. VÝ dô: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau khi quay quanh Ox: b) y = x 2 − 2.x − 3; y=0. c) y = x.e x ; y=0; x=1. a) y = x ; Ox; x=1; x=4. Bµi gi¶i: a) Nhận xét: Đây là một bài toán đúng dạng đang xét do vậy ta có thể áp dụng ngay c«ng thøc mµ kh«ng ph¶i vÏ h×nh. Lêi gi¶i: C«ng thøc tÝnh diÖn tÝch lµ: 4. Vox = π ∫ ( x )2 .dx 1. ⇒ ThÓ tÝch khèi trßn xoay lµ: Vox =. 15 π (®vtt) 2. b) Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay.. Trang 6. Nhận xét: Trục Ox có ph−ơng trình y=0, bài toán này đúng dạng nh−ng ch−a cho c¸c cËn lÊy tÝch ph©n x=a; x=b, ta t×m nã b»ng c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh t−¬ng giao. Lêi gi¶i: Hoành độ giao điểm của y = x 2 − 2.x − 3 víi trôc Ox lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: ⎡ x = −1 x 2 − 2.x − 3 = 0 ⇔ ⎢ ⎣x = 3. C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch: 3. Vox = π ∫ ( x 2 − 2 x − 3)2 .dx −1. ⇒ThÓ tÝch vËt thÓ lµ: Vox =. 832 π (®vtt) 15. c) Nhận xét: Trục Ox có ph−ơng trình y=0, bài toán này đúng dạng nh−ng ch−a đủ cận lấy tích phân và đồ thị của nó ta ch−a biết cách vẽ, ta tìm cận còn lại bằng c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh t−¬ng giao. Lêi gi¶i: Hoành độ giao điểm của y = x.e x víi trôc Ox lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: x.e x = 0 ⇔ x = 0. C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch: 1. 1. 0. 0. Vox = π ∫ ( x .e x )2 .dx = π ∫ x 2 .e2 x .dx. ⇒Sö dông ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn ta cã thÓ tÝch vËt thÓ lµ: Vox =. e2 − 1 π (®vtt) 4. D¹ng 2: Khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi tõ hai ®−êng cong trë lªn. C¸ch gi¶i: B−ớc 1: Vẽ hình và xác định hoành độ các giao điểm. B−íc 2: Ph©n chia h×nh ph¼ng thµnh c¸c phÇn giíi h¹n bëi mét ®−êng cong vµ trôc Ox. B−ớc 3: Xác định công thức tính thể tích và kết luận. VÝ dô: Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Trang 7. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay.. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau khi quay quanh Ox: a) y = x 2 ; y=2-x, Ox. b) y = x 2 − 2.x − 3; y=0. Bµi gi¶i: a) Hoành độ giao điểm của ( P) : y = x 2 vµ (d): y=2-x lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: ⎡ x=1 x 2 =2-x ⇔ ⎢ ⇔ x =1 ⎣ x=-2 (lo¹i). Ta cã: S=S1+S2 ⇒ V=V1+V2 ⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch: 1. 2. 0. 1. Vox = π ∫ ( x 2 )2 .dx + π ∫ (2 − x )2 .dx. ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ: Vox =. 8 π (®vtt) 15. b) Hoành độ giao điểm của (H) : y =. 3 vµ (d): y=7-2x lµ x. nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: ⎡ x=3 3 =7-2x ⇔ ⎢ 1 ⎢ x= x ⎢⎣ 2. Ta cã: S=S1- S2 ⇒ V=V1- V2 ⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch: 2. ⎛3⎞ Vox = π∫ (7 − 2 x ) .dx − π∫ ⎜ ⎟ .dx 1 1⎝ x⎠ 3. 3. 2. 2. 2. ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ: Vox =. 185 π (®vtt) 2. 2. Khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng n»m vÒ hai phÝa cña trôc Ox khi quay quanh Ox. VÝ dô 1: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau khi quay quanh Ox: y = sin x; Ox; x=0; x=2π. Bµi gi¶i: Ta cã: S=S1+S2 ⇒ V=V1+V2 ⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch lµ: π. 2π. Vox = π∫ (sin x )2 .dx + π ∫ ( sin x ) .dx 2. π. 0. 2π. =π ∫ (sin x )2 .dx 0. Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay.. Trang 8. ⇒ ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ: Vox = π2 (®vtt) NhËn xÐt: ë bµi to¸n nµy h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 1 ®−êng cong vµ trôc Ox, h×nh ph¼ng nµy cã mét phÇn n»m trªn vµ mét phÇn n»m phÝa d−íi trôc Ox, vµ ta thấy rằng công thức thiết lập ở phần I vẫn còn đúng. VÝ dô 2: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau khi quay quanh Ox: x 2 + y 2 = 8 ; y 2 = 2 x . Bµi gi¶i: Hoành độ giao điểm của (C) : x 2 + y 2 = 8 và (P): y 2 =2x là nghiệm của ph−ơng tr×nh: ⎡x2 = 4 ⎡x = 2 x 2 + (2 x )2 = 8 ⇔ ⎢ 2 ⇔⎢ ⇔ x=2 x 2 (lo¹i) = − 2 (lo¹i) x = − ⎣ ⎣. Ta có: do tính đối xứng của (C) và (P) khối tròn xoay quay bởi S là khối tròn xoay quay bëi S1∪S2 ⇒ V=V1+V2. p : y= 8-x 2 vµ AB p : y= 2x Mà OA Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Trang 9. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay.. ⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch lµ: 2. Vox = π∫ 0. (. ) .dx + π ∫ ( 8. 2. 2x. 8 − x2. 2. 2. ) .dx 2. 8. =π ∫ 2 x.dx + π ∫ ( 8 − x 2 ) .dx 0. ⇒ ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ: Vox =. 2. 16 8 − 28 π (®vtt) 3. Nhận xét: ở bài toán này hình phẳng gồm 2 phần đối xứng nhau qua trục Ox, khèi trßn xoay t¹o thµnh cã ®−îc b»ng c¸ch quay mét phÇn quanh trôc Ox. VÝ dô 3: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau khi quay quanh Ox: y = 3 − x; y = −1; x = 1; x = 3 ; y 2 = 2 x . Bµi gi¶i: S gåm 2 phÇn S1 n»m phÝa trªn vµ S2 n»m phÝa d−íi Ox. §èi xøng cña ®−êng y = −1 qua trục Ox là đ−ờng y = 1 và đối xứng của S2 qua Ox là S '2 khối tròn xoay t¹o thµnh lµ khèi trßn xoay quay bëi S1 ∪ S '2 ⇒ V=V1+V2 Hoành độ giao điểm của y = 1 và y=3-x là nghiệm của ph−ơng trình: 3− x =1⇔ x = 2. ⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch lµ: 2. 3. 1. 2. Vox = π ∫ (3 − x )2 .dx + π ∫ dx. ⇒ ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ: Vox =. 10 π (®vtt) 3. NhËn xÐt: ë bµi to¸n nµy h×nh ph¼ng gåm 2 phÇn phÇn S1 n»m phÝa trªn vµ S2 nằm phía d−ới trục Ox, để tính thể tích khối tròn xoay tạo thannhf ta tiến hành Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Trang 10. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay.. lấy đối xứng S2 lên phía trên đ−ợc S '2 và kết luận khối tròn xoay tạo thành do h×nh ph¼ng S1 ∪ S '2 quay quanh Ox vµ ®−a bµi to¸n vÒ d¹ng quen thuéc. 3. C¸c bµi tËp t−¬ng tù Bµi 1. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau khi quay quanh Ox: a) y = sinx; y = 0; x = 0; x = π/2 b) y = cos2x; y = 0; x = 0; x = π/4 c) y = cos4x + sin4x ; y = 0; x = 0; x = π/2 d) y = cos6x + sin6x ; y = 0; x = π/4; x = π/2 e) y = xex; y = 0; x = 0; x = 1 f) y= x .lnx; y = 0; x =1; x = e 4 g) y = x ; y = 0; x = 1; x = 4 h) y = 2x, y = – x + 3, Ox j) y = x2 ,y = 2 – x, Oy i) y = x2, y = 2 – x, Ox 3 l) y = 1 – x, y = 3 – 2x – x2 k) y = x , y = – 2x + 7 Bµi 2. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau khi quay quanh Ox: a) y = 3x – x2; y = 0 b) y = x2; y = 3x c) y = x3 + 1; y = 0; x = 0; x = 1 4 e) y = 2x ; y = – x +3; y = 0 d) y = x ; y = – x + 5 g) y = x2; y = 2 – x; y = 0 (phÇn n»m ngoài y = x2) h) y = x2; y = 10 – 3x; y = 1 (phÇn n»m ngoài y = x2) IV. Kết quả so sánh đối chứng: Sau khi thực hiện đề tài, để kiểm tra hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành cho học sinh làm bài tập kiểm tra với đề bài t−ơng tự kết quả thu đ−ợc nh− sau: Sè HS gi¶i thµnh th¹o 34. Sè HS kh«ng gi¶i thµnh th¹o 3. 92%. 8%. Qua bảng số liệu thu đ−ợc ta thấy đề tài đã có tác dụng định h−ớng cho học sinh trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay. C¸c em kh«ng cßn lúng túng khi phải xác định công thức tính thể tích mà đã có nhìn nhận bài toán đúng đắn hơn, tổng quát hơn. Đề tài đã cho kết quả tốt đối với học sinh lớp đ−ợc lùa chän. V. Các kiến nghị sau khi thực hiện đề tμi: Sau khi thực hiện đề tài này tôi thấy đề tài có xuất phát điểm là những kiến thức t−ơng đối đơn giản, t− duy rõ ràng, tự nhiên, dễ hiểu có thể áp dụng cho các học sinh từ trung bình, hiệu quả của đề tài t−ơng đối tốt. Tôi đề nghị các thầy cô dạy khối 12 cố gắng dành một tiết tự chọn để đề cập tới chủ đề này.. Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Trang 11. §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay.. C¸c tµi liÖu tham kh¶o chÝnh: 01. SGK H×nh häc 12 02. SGK Gi¶i tÝch 12 03. TuyÓn tËp c¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n- TrÇn Ph−¬ng.. Hoµi §øc, th¸ng 05 n¨m 2009 Ng−êi thùc hiÖn:. NguyÔn §«ng B¾c.. VI. đánh giá của hội đồng thẩm định:. Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>