Phương trình vô tỉ ôn thi đại học

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ A. Một số phương pháp giải I. Phương pháp biến đổi tương đương 1.Kiến thức cơ bản a.. . f  x  = g(x)  . g(x)  0. f(x) = g(x). 2. f (x)  0,(g(x)  0) b. f (x)  g(x)   2  f (x)  g(x) . . Chú ý : Các trường hợp khác ta phải tìm điều kiện trước khi biến đổi.. 2.Ví dụ minh hoạ . Ví dụ1: Giải phương trình sau:. x 2  x 1  2  x (1) Lời giải:. 2 x  0   x  2 Pt (1)   2   x 1  2  x  x  1  ( x  2)  x  1 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 . Ví dụ2: Giải phương trình sau:. x  1  3x  1  2 x (2) Lời giải:.  x 1  0  ĐK 3x  1  0  x  1 . Phương trình (2) tương đương với  x0   x 1 2 2 x  1  3x  1  4x  3x  2x  1  0    x 1 x  1  3. . . Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> * Chú ý : ở ví du trên ta có thể bình phương cả 2 vế , tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng có thể bình phương ngay được . Ví dụ 3: Giải phương trình sau:. 3x  4  2 x 1  x  3 (3) Lời giải: 3 x  4  0  1 ĐK :  2 x  1  0  x  2  x  3  0 . 3x  4  2 x 1  x  3  3x  4  ( 2 x 1  x  3)2  x  2 1 2  (2 x  1)( x  3)  1  2 x  5 x  4  0   x  x1 2  2 1 Vậy nghiệm của phương trình là x  . 2. Pt (2) . * Chú ý :ở ví dụ (3), ta phải chú ý điều kiện để 2 vế không âm, rồi mới bình phương hai vế.  Ví dụ 4: Giải phương trình sau:. 2(1  x) x 2  2 x 1  x 2  2 x 1 (4) Lời giải: Pt(3)  ( x 2  2 x  1  2 x)(2 . x2  2 x 1)  0  x2  2 x 1  2 x  0 (*) hoặc x2  2 x 1  2 (**). Giải phương trình (*) ta có phương trình vô nghiệm Giải phương trình(**) ta được nghiệm của phương trình là x  1  6 Vậy nghiệm của phương trình là : x  1  6 *Nhận xét :trong một số trường hợp ta phải đưa về dạng tích , mà không thể dùng ngay được bình phương hai vế. Ngoài ra, ta cũng có thể giải phương trình, dựa vào điều kiện của nó  Ví dụ 5: Giải phương trình sau:. x( x 1)  x( x  2)  2 x 2 (5) Lời giải:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  x 1  x( x  1)  0   x0 ĐK   x( x  2)  0   x  2 Ta xét theo 3 trường hợp như sau:. +)Trường hợp 1: Nếu x  1 thì pt(4) trở thành. x 1  x  2  2 x . . . 2. x 1  x  2  4x  2 x 2  x  2  2x 1 9 (t/m). 8.  4(x 2  x  2)  (2x  1)2  x . +)Trường hợp 2: Nếu x  2 thì pt(4) trở thành. 1  x  x  2  2 x . . . 2. 1  x   x  2  4x  2 x 2  x  2  2x  1.  4(x 2  x  2)  (2x  1)2  x . 9 (loại). 8. +)Trường hợp 3: Nếu x = 0 pt(4) luôn thỏa mãn Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 , x  . 9 . 8. Ví dụ 6: Giải phương trình sau:. x  2x  1  x  2x  1  2 (6) Lời giải:. 1  x    2x  1  0 2  1  ĐK  x  2x  1  0   x   2x  1  x  . Phương trình (6) tương đương với 2  x  2x  1  0  x  2x  1    2x  2 2x  1  2x  2 2x  1  2 .  2x  1  1 . . 2x  1  1  2  2x  1 . . 2. 2x  1  1 . . 2x  1  1  1(*). 2x  1  1  0 .Khi đó Pt(*) trở thành 2 2x  1  2  2x  1  1  x  1 . 1  Trường hợp 2 :  x  1  2x  1  1  0 .Khi đó Pt(*) trở thành 2 2x  1  1  2x  1  1  1  1 ( luôn đúng). . Trường hợp 1 : x  1 . Lop12.net. . 2x  1  1. 2. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Vậy nghiệm của phương trình là. 1  x  1. 2. II) Phương pháp đặt ẩn phụ 1.Dạng1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình không chứa ẩn ban đầu a.Phương pháp: . Nếu phương trình có chứa. f(x) và f(x),thì ta đặt t =. f (x). f (x), g(x) mà f (x). g(x)  a , với a là hằng số a thì ta đặt t  f (x)  g(x)  t  Nếu phương trình có chứa f (x)  g(x), f (x)g(x),f (x)  g(x)  a với a là . Nếu phương trình có chứa. hằng số , thì đặt t  f (x)  g(x) . Nếu phương trình có chứa. . Nếu phương trình có chứa.   a 2  x 2 , thì đặt x  a sin t,   t  2 2 a   (   t  , t  0) x 2  a 2 , thì đặt x  sin t 2 2. b.Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình : 2(x2- 2x) +. x 2  2x  2  3  0 (1). Lời giải:.  t 1 Đặt t = x  2x  2 , PT (1) trở thành 2t  t  3  0    t  1. t   3  2 2. 2. Với t =1 thì. x 2  2x  2  1  x 2  2x  1  0  x  1. Ví dụ 2: Giải phương trình :. 5( 3x  2  x 1)  4x  9  2 3x 2  5x  2 (2). Lời giải:. 3x  2  x 1 , đ/k t ≥ 1 t  2 PT (2) trở thành t2-5t+6=0   t  3 Điều kiện x ≥ 1 , đặt t =. . Với t =2 thì. 3x  2  x 1  2  2  3x  2  x 1  7  4x. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  7  7 1  x    1 x  4  4    Phương trình vô nghiệm. 9  15  4(3x  2)(x  1)  (7  4x) 2 x   2  . Với t = 3 thì. 3x  2  x 1  3  2  3x  2  x 1  12  4x.  1  x  3 1 x  3       x  2  x  2. 2 (3x  2)(x  1)  (6  2x)   x  17   Vậy PT có nghiệm duy nhất là x = 2. Ví dụ 3: Giải phương trình :. 1  x 2  4x 3  3x (3). Lời giải: Điều kiện -1 ≤ x ≤ 1 , đặt x = cost , t   0,   PT (3) trở thành.  1  cos 2 t  4cos3 t  3cos t  sin t  cos3t  cos3t  cos(  t) 2   3t   t  k2   5 3 2  (k  )  t  , , , t   0;   . 8 8 4   3t  t  2  k2.  2 2 5  2  2  x1  cos  , x 2  cos  , 8 2 8 2 3 2 x 3  cos   4 2 Ví dụ 4 : Giải phương trình :. 2 (1  x)2  3 1  x 2  (1  x)2  0 (4) Lời giải: Do x  1 không là nghiệm của phương trình (4) nên ta chia cả 2 vế của. 1 x2  0 1 x 1 x   3  0 (4') , ta đặt PT (4) trở thành 2 1 x 1 x PT(4) cho. Lop12.net. t. 1 x (t  0) 1 x.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  t 1 1 2 PT (4’) trở thành 2t   3  0  2t  3t  1  0   1 t t   2 1 x 1 x  Với t = 1 thì 1 1 x  0 1 x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 3  Với t = thì    x 1 x 2 1 x 4 5 2 3 Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x   . 5. Ví dụ 5 : Giải phương trình :. x. x 35 (5)  x 2 1 12. Lời giải:.  1 , với t  (0. ) 2 cos t 2  x 1  tan t 1 1 35 1 1 35 PT (5) trở thành  cos t     cos t sin t 12 cos t sin t 12 cos t. Điều kiện x > 1 , đặt x .  12(sin t  cos t)  35sin t cos t Đặt u  sin t  cos t  u  (1; 2) . PT trở thành 35u 2  24u  35  0  u  Do đó ta có 1 35  1  cos t  sin t  12  1 25  1   cos t sin t 12. 7 ( thỏa mãn). 5. 5  5  1  cos t  3 x  3    1 5 x  5  cos t 4  4. Vậy phương trình có hai nghiệm là x =. 5 5 và x  . 3 4. 2. Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình còn chứa ẩn ban đầu. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> a.Phương pháp: Sau khi đặt ẩn phụ ,phương trình chứa 2ẩn.Ta có thể coi một ẩn là tham số , và giải phương trình theo ẩn còn lại. b. Ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Giải phương trình :. x 2 1  2x x 2  2x (1). Lời giải:. x  2 ĐK  x  0. Đặt t . x 2  2x  0. PT (1) trở thành x2 -2tx-1 = 0 ,  ' = t2+1 = (x-1)2 →x = t±(x-1) . Khi đó ta có  x 2  2x  1  x 2  2x  1  0  x  x 2  2x  (x  1) x  1 5      2x 1  0    x  1/ 2   x  x 2  2x  (x  1)   x 2  2x  (2x  1)2  3x 2  2x  1  0  x  1  5     Vậy phương trình có hai nghiệm là x  1  5 Ví dụ 2: Giải phương trình :. (4x-1) 4x 2  1  8x2+2x+1 (2). Lời giải: Đặt t = 4x 2  1 ≥ 1 , PT (2) trở thành 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 1  t  2  t  2x 1   t  2x  1  1 1  x  x  2  với t =2x-1  4x  1  2x  1   2 2  PTvô nghiệm 4x 2  1  (2x  1)2  x  0  Vậy phương trình (2) vô nghiệm. 3. Dạng3: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình a.Phương pháp: (1). m.  u  m a  f (x) u m  vn  a  b a  f (x)  b  f (x)  c    u  v  c  v  n b  f (x) n. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> (2). m. u  m a  f (x). a  f (x)  n b  f (x)  c  .  v  n b  f (x). u m  v n  a  b. . u  v  c. trong đó m và n nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2 b. Ví dụ minh họa : 3. Ví dụ 1: Giải phương trình :. 1  x  3 1  x  2 (1). Lời giải: u  3 1  x Đặt  3  v  1  x. .. u  v  2 u  v  2   u  v  1  x  0.  3  3 uv  1   u  v  2 Vậy phương trình có nghiệm là x = 0.. Khi đó PT (1) trở thành. Ví dụ 2: Giải phương trình :. 3. 2  x  1  x 1 (2). Lời giải: u  3 2  x Đặt   v  x  1  u 0  x2  2    u 1 u 3  v 2  1 u(u  u  2)  0 Khi đó PT (2) trở thành       x 1 v  1 u  u  v  1   u  2   x  10  v  1  u  Vậy phương trình có ba nghiệm là x = 1 ; x = 2 ; x = 10.. III) Phương pháp đánh giá 1) Kiến thức cơ bản:. f (x)  0  1) f2(x) + g2(x) + h2(x) = 0  g(x)  0  h(x)  0 . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> f (x)  g(x)  k f (x)  m  2)  f (x)  m ;g(x)  n   ( trong đó k là hằng số)  g(x)  n   mn  k  f (x)  g(x)  f (x)  k 3)  (trong đó k là hằng số)   f (x)  k;g(x)  k g(x)  k. 2) Ví dụ minh họa :. Ví dụ 1: Giải phương trình :. 4x2 + 3x +3 = 4x x  3  2 2x  1 (1). Lời giải: ĐK x ≥ 1/2 . Phương trình (1) tương đương với  x  3  2x. (2x  x  3)  (1  2x 1)2  0   2.  2x  1  1.  x  1.. Vậy phương trình có nghiệm là x = 1. Ví dụ 2: Giải phương trình :. 3x 2  6x  7  5x 2  10x  14 = 4 – 2x – x2. Lời giải: Ta có VT =. 3(x  1)2  4  5(x  1)2  9  4  9  5. VP = 4 - 2x- x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5.  VT  5  x  1 Do đó phương trình chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi   VP  5 Vậy phương trình có nghiệm là x = -1. Ví dụ 3: Giải phương trình :. 5x 3  3x 2  3x  2 . x2 1  3x  . (1) 2 2. Lời giải:. . . ĐK : 5x3 + 3x2 +3x + 2  0  x 2  x  1  5x  2   0  x  BĐTCôsi Ta có. 5x 3  3x 2  3x  2 .  x 2  x  1 5x  2.  x 1 Do đó PT(1)  x2 + x + 1 = 5x – 2   (thoả mãn).  x  3 Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = 3. IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số. Lop12.net. . 2 . 5. x 2  6x 1 x 2 1   3x  . 2 2 2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1) Phương pháp: Dùng tính đơn điệu của hàm số để khẳng định số nghiệm phương trình. 2) Ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Giải phương trình : x 5  x 3  1  3x  4  0 . Lời giải:. 1 1  . Xét hàm số f(x) = x 5  x 3  1  3x  4 trên tập D   ;  . 3 3  3  0 với x  D  h/s f(x) đồng biến trên D. Ta có f ' (x)  5x 4  3x 2  2 1  3x ĐK : x . Mặt khác với x = -1 thì f (-1) = 0. Vậy pt có nghiệm duy nhất là x = - 1. Ví dụ 2: Giải phương trình :. 3  x  x 2  2  x  x 2  1 .(2). Lời giải: PT (2)  3  x  x 2  2  x  x 2  1 (*) Đặt t = x2- x đ/k ( -3≤ t ≤2) PT(*) trở thành 3  t  1  2  t (**). 3  t trên tập D =  3;2  . Ta có f ' (t) . Xét hàm số f(t) =. 1  0 với 2 3 t. x   3;2   h/s f(t) đồng biến trên tập xác định D. 1  0 với x   3;2  Mặt khác hàm số g(t) = 1+ 2  t  g ' (t)   2 2t  h/s g(t) nghịch biến trên tập D.. Mặt khác với t = 1 thì f(1) = g(1) = 2 Do vậy Pt (**) có nghiệm duy nhất t =1 . Với t = 1 thì x2- x = 1  x 2  x  1  0  x . 1 5 . 2. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình sau luôn có 2 nghiệm thực x 2  2x  8  m(x  2) (1) ( Khối B – 2007) phân biệt Lời giải: ĐK x  2. x2  Pt (1)   x  2  x 3  6x 2  32  m  0   3 2  x  6x  32  m  0 Ta chứng minh phương trình x 3  6x 2  32  m (2) có nghiệm x 0   2;   với m  0. . . Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 -32 với x  2 .. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Ta có f ' (x)  3x 2  12x  0 với x  2  hàm số f(x) đồng biến trên  2;  . Bảng biến thiên x. f ' (x). . 2 +. . f(x). 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có với m  0 , Pt(1) luôn có một nghiệm x 0   2;   . Vậy Pt(1) luôn có 2 nghiệm thực phân biệt. B. Bài tập vận dụng. Bài tập 1 : Giải các phương trình sau 1) 1  3) 1 . 2 x  x2  x  1 x 3. 5x  1  3x  2  x  1  0. x 2  3x  3  x 2  3x  6  3 x 3 6) 4x  1  3x  2  5. x 1  6  x. 4). 5) x  5  x 2  5 7). 2). 4x  1  4x 2  1  1. 8) x 2  3x  1  (x  3) x 2  1. 9) 3  2  x   3  7  x   3 (2  x)(7  x)  3 2. 2. 10) 2 3 3x  2  3 6  5x  8  0 ( Khối A – 2009). 11) x 2  x  12 x  1  36  0 . 12) (x  4)(x  1)  3 x 2  5x  2  6 . 13) x  2 . 2x  5  x  2  3 2x  5  7 2 .. 14) x 2  4x  3 . x 2  3x  2  x 2  x . 1  2x 1  2x 15) 1  2x  1  2x  .  1  2x 1  2x 1 1 16) 2  x 2  x  2  2   4 . x x Bài tập 2 : Cho phương trình. x 1  3  x .  x  1 3  x   m. a. Giải phương trình với m = 2. b. Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài tập 3 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> x x  x  12  m( 5  x  4  x ) Bài tập 4 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất. 1 x2  23 1 x2  m Bài tập 5 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực. 3 x  1  m x  1  2 4 x 2  1 ( Khối A – 2007). Bài tập 6 :Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt 4 2  x  2x  2 4 6  x  2 6  x  m ( Khối A – 2008). ………………… Hết……………………….. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>