Bài tập nâng cao hình học 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bµi tËp n©ng cao h×nh häc 9 Bài tập nâng cao chương I Baøi 1: a) Tìm x vaø y trong moãi hình beân (a) (b) y. x 9. 25. 8 x. 10. b) Tìm x, y, z trong hình c (c). x. y. z. 5 4 Baøi 2: A  400 , F  580 . Kẻ đường cao EI của tam giác đó. 1. Cho tam giaùc DEF coù ED = 7 cm, D Haõy tính: a) Đường cao EI. b) Caïnh EF. A 2. Giaûi tam giaùc vuoâng ABC, bieát raèng A  900 , AB = 5, BC = 7. 3. Haõy tính caùc goùc nhoïn cuûa moät tam giaùc vuoâng, bieát tæ soá hai caïnh goùc vuoâng laø 13 : 21. Baøi 3: Cho tam giaùc ABD vuoâng taïi B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Treân caïnh BD laáy ñieåm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E. a) Tính AD. b) Tính các góc BAD, BAC. Từ các kết quả đó, có thể kết luận rằng Ac là tia phân giác cuûa goùc BAD khoâng ?. c) Chứng minh tam giác ADE cân tại D. d) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD. Bài 4: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB = 1 đơn vị độ dài. Gọi I, J lần lượt là trung điểm cuûa AB, AD. a) Tính dieän tích hình caùnh dieàu AICJ baèng caùc caùch khaùc nhau. b) Tính sinICJ. Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) đường cao AH, AB = 8 cm, CD = 12 cm, AD = 10 cm. a) Tính AH. b) Tính soá ño goùc ADC, suy ra soá ño goùc ABC.. c) Tính AC. Vì sao ta không có hệ thức. 1 1 1   ? 2 2 AD AC AH 2. A = 580, AC = 8. Bµi 6. Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i B vµ C, AC  AD. BiÕt D a) Tính độ dài các cạnh AD, BC b) Chøng minh AC2 = AB.DC A  600 . Keû BH  AC vaø CK  AB. Baøi 9: Cho ABC coù A a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều µ là góc nhọn. Chứng minh diện tích của tam giác đó là S= 1 Baøi 7 Cho ABC coù A. µ = 600 AB.AC.sinA. Aùp duïng: a) Tính S(ABC) bieát AB = 4 cm, AC = 7 cm vaø A µ b) Bieát S(ABC) = 5 2 (cm2), AB = 4 cm, AC = 5 cm. Tính soá ño cuûa A GiaoAnTieuHoc.com. 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> µ , B, µ C µ theo thứ tự là a, Bài 8: Cho ABC có 3 góc nhọn, các cạnh đối diện với các góc A. b, c. Chứng minh:. a b c = = . sin A sin B sin C. µ = 1200. Kẻ đường phân giác AD của Baøi 9: Tam giaùc ABC coù AB = 3 cm, AC = 6 cm, A µ . Tính độ dài của AD. A · Baøi 10: Cho hình bình haønh ABCD ( ACD < 900 ). · a) Chứng minh : AD2 = CD2 + CA 2 - 2CD.CA.cos ACD .. · = b) Neáu CD = 6 cm, CA = 4 cm, cos ACD. 1 thì tứ giác ABCD là hình gì?. Tính diện 3. tích của tứ giác đó. µ < 900 ). Keû BK  AC. Baøi 11: Cho tam giaùc caân ABC ( AB = AC; A µ = 2.KBC · a) Chứng minh : A . A 2. b) Chứng minh : sin A = 2.sin .cos. A . 2. 2 , tính sinA. 3 µ = 900 ). Laáy ñieåm M treân caïnh AC. Keû AH  BM, Baøi 12: Cho tam giaùc vuoâng ABC ( B · = c) Bieát sin KBC. CK  BM. · a) Chứng minh : CK = BH.tgBAC . · MC BH.tg 2 BAC = . MA BK µ = 600. Keû BH  AC vaø CK  AB. Baøi 13: Cho ABC coù A. b) Chứng minh :. a) Chứng minh : KH = BC.cosA. b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều. · Baøi 14: Cho tam giaùc ABC coù BC = a. ACB = 450 . Về phía ngoài của ABC, vẽ các hình vuông ABDE và ACFG. Giao điểm các đường chéo của hai hình vuông là Q và N. Trung ñieåm cuûa BC vaø EG laø M vaø P. a) Chứng minh AEC = ABG. b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông. · = a . Tính dieän tích hình vuoâng MNPQ theo a vaø a . c) Bieát BGC Bài 15: Cho hình chữ nhật MNPQ có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của hình thoi ABCD ( M  AB, N  BC, P  CD, Q  DA ). Các cạnh hình chữ nhật song song với các đường chéo · cuûa hình thoi. Bieát AB = 7 cm. tgBAC = 0, 75 . a) Tính dieän tích hình thoi ABCD. b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Bài 16: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH  AD và CK  AB. a) Chứng minh CKH ~ BCA. · b) Chứng minh HK = AC.sin BAD . · = 600 , AB = 4 cm vaø AD = 5 cm. c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD µ = 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF  BC. Nối AF và Baøi 17: Cho ABC ( A BE. GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a) Chứng minh AF = BE.cosC. b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE. · c) AF vaø BE caét nhau taïi O. Tính sin AOB . Bài 18: Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB và BC theo thứ tự là M và N. Nối CM và DN cắt nhau tại P. a) Chứng minh CM  DN. · b) Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của góc CMN . · c) Nối MD, tính các tỉ số lượng giác của góc MDN và diện tích tam giác MDN. · Bài 19: Cho hình chữ nhật ABCD; sin DAC = 0,8 ; AD = 42 mm, keû CE  BD vaø DF  AC. · a) AC cắt BD ở O, tính sin AOD . b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó. c) Kẻ AG  BD và BH  AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính dieän tích cuûa noù. Bài 20: Cho đoạn thẳng MN = 6 cm. Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm. Vẽ đường troøn taâm N baùn kính 4,8 cm, chuùng caét nhau taïi A vaø B. a) Chứng minh :. 4 1 1 = + 2 2 MB AM AN 2. b) Tính soá ño caùc goùc cuûa MAB. µ = 900 ). Kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt Baøi 21: Cho tam giaùc vuoâng ABC ( A caùc caïnh goùc vuoâng AB vaø AC taïi M vaø N. Bieát MB = 12 cm vaø NC = 9 cm, trung ñieåm cuûa MN vaø BC laø E vaø F . a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng. b) Trung điểm của BN là G. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của EFG. c) Chứng minh EFG ~ ABC. Baøi 22: Cho ABC, keû AH  BC, bieát BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75. Treân AH laáy ñieåm O sao cho OH = 2 cm. a) Chứng minh ABC là tam giác vuông. b) Treân caïnh AB laáy ñieåm M, treân OB laáy ñieåm P vaø treân OC laáy ñieåm N sao cho AM OP ON 2 = = = . Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của MPN. AB OB OC 5. Bài tập nâng cao chương II 1- Đường tròn và sự xác định của đường tròn 1 2. Baøi 1: Cho hình thang caân ABCD (AD // BC); BC  CD  AD  a . a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn. Hãy xác định tâm O và bán kính của đường tròn này. b) Chứng minh AC  OB. Bài 2 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AH, AB, AC. Chứng minh OPNQ là hình bình hành.. GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài 3: Cho ABC, các góc đều nhọn. Vẽ đường tròn tấm đường kính AB, vẽ đường tròn tâm O đường kính AC. Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D và E, cắt đường tròn (O) tại H và K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K). A a) Chứng minh BD, BE là những đường phân giác của góc ABC ; CK, CH là những đường A phaân giaùc cuûa goùc ACB . b) Chứng minh BDAE, AHCK là những hình chữ nhật. Bài 4: Cho đường tròn (O) dường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB tại O. Lấy ñieåm M treân cung AC. Haï MH  OA. Treân baùn kính OM laáy ñieåm P sao cho OP = MH. a) Tìm quó tích caùc ñieåm P khi M chaïy treân cung AC.. b) Tìm quĩ tích các điểm P lấy trên bán kính OM sao cho OP bằng khoảng cách từ M đến AB khi M chạy khắp đường tròn (O). 2. Tính chất đối xứng của đường tròn Bài 1: Cho hai đường tròn bằng nhau (O ; R) và (O’; R) và hai dây AB, CD bằng nhau theo thứ tự thuộc hai đường tròn ấy sao cho B và C nằm giữa A và D và AB < 2R. a) Chứng minh rằng AD // OO’. b) Chứng minh rằng AC = OO’ = BD. c) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ rằng điểm I nằm trên một đường cố định khi các dây AB, CD thay đổi vị trí sao cho AB, CD luôn luôn bằng nhau và B, C luôn nằm giữa A, D. A  600 . Laáy ñieåm I coá ñònh treân tia phaân giaùc Ot cuûa goùc xOy laøm taâm Baøi 7: Cho goùc xOy vẽ đường tròn sao cho nó cắt Ox tại A, Oy tại B (A và B không đối xứng nhau qua Ot). Haï ID  Ox, IE  Oy. a) Chứng minh DA = EB. b) Gọi T là tâm đường tròn qua A, I, B. Chứng minh TAI, TBI là các tam giác đều. Xaùc ñònh vò trí cuûa T moät caùch nhanh nhaát. c) Tìm quĩ tích điểm T khi đường tròn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng vẫn cắt Ox, Oy). d) Tìm quĩ tích điểm H, trực tâm của AIB (theo điều kiện câu c). Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với đường thẳng AB. Chứng minh: a) AEF laø tam giaùc caân. b) DO  OE. c) D, A, O, E nằm trên cùng một đường tròn. 3. V ị trí t ương đối của đường th ẳng và đường tròn – Tính chất của tiếp tuyến - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’). Một tiếp tuyến chung ngoài MM’, một tiếp tuyến chung trong NN’ (M, N nằm trên (O) ; M’, N’ nằm trên (O’)). Các đường thẳng MM’ , GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> NN’ cắt nhau tại tiếp điểm P và các dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương ứng tại các điểm Q, Q’. a) Chứng minh rằng các tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy ra b) Chứng minh rằng. M 'O ' MP  . M ' P MO. O 'Q ' PQ  . Q ' P QO. c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng ba điểm O, I, O’ thẳng hàng. A  600 . Một đường tròn tâm I bán kính R = 5 cm, tiếp xúc với Ox tại A, Baøi 9: Cho goùc xOy tiếp xúc với Oy tại B. Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt Ox tại E, cắt Oy taïi F. a) Tính chu vi OEF. Chứng tỏ rằng chu vi đó có giá trị không đổi khi M chạy trên cung nhoû AB. A có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB. b) Chứng minh EIF Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một dây AC tạo với AB góc 300. Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt đường thẳng AB tại D. Chứng minh rằng: a) OAC ~ CAD. b) DB.DA = DC2 = 3R2. Bài 11: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh rằng: a) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H. b) EF laø tieáp tuyeán cuûa (I) taïi E, tieáp tuyeán cuûa (J) taïi F. Bài 12: Cho ABC cân tại A. Đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh: a) Đường tròn đường kính AI đi qua K. b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI. Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm D trên bán kính OB. Gọi H là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại C. Đường tròn tâm I đường kính DB cắt CB tại E. a) Tứ giác ACED là hình gì ? b) Chứng minh HCE cân tại H. c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I. Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn, vẽ đường tiếp tuyến, nó cắt Ax tại C, cắt By tại D. Gọi A’ là giao điểm của BM với Ax, B’ là giao điểm của BM với By. Chứng minh rằng: a) A’AB ~ ABB’ , suy ra AA’.BB’ = AB2. b) CA = CA’ ; DB = DB’. c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui. Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax tại điểm A của đường tròn. Trên Ax chọn hai điểm B, C tùy ý (C nằm giữa A và B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường tròn đã cho. A A  DAE a) Chứng minh: BOC . b) Giả sử B, C ở về hai phía đối với điểm A, chứng minh rằng trong trường hợp này A A BOC  DAE =1800. GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 4. V ị trí tương đối của hai đường tròn Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; 4 cm) và (O’ ; 3 cm) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B. biết OO’ = 5 cm. Từ B vẽ 2 đường kính BOC và BO’D. a) Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng; b) Chứng minh tam giác OBO’ là tam giác vuông; c) Tính dieän tích caùc tam giaùc OBO’ vaø CBD; d) Tính độ dài các đoạn AB, CA, AD. Bài 2: Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại điểm A. Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở B và C (khác điểm A). DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, D  (O) ; E  (O’). Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng A BD và CE. Chứng minh rằng: a) DME  900 ; b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’); c) MD.MB = ME.MC. Bài 4: Cho một đường tròn (O ; R), một đường tròn (O1 ; r1) tiếp xúc trong với (O ; R) và một đường tròn (O2 ; r2) vừa tiếp xúc trong với (O ; R) vừa tiếp xúc ngoài với (O1 ; r1). a) Tính chu vi tam giaùc OO1O2 theo R. b) Dựng hai đường tròn (O1 ; r1) và (O2 ; r2) biết R = 3 cm ; r1 = 1 cm. Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d và điểm A nằm trên d. Dựng đường tròn tiếp xúc với (O ; R) đồng thời tiếp xúc với d tại A. Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Lấy A làm tâm vẽ đường tròn bán kính AD, nó cắt AB tại E. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính BE, nó cắt tiếp đường thẳng DE taïi F. a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) và (B ; BE) tiếp xúc nhau. b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng. Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (O’) bán kính lần lượt là 3R và R tiếp xúc ngoài nhau tại A. Đường thẳng d1 qua A cắt (O) tại B, cắt (O’) tại B’. Đường thẳng d2 vuông góc với d1 taïi A caét (O) taïi C, caét (O’) taïi C’. a) Chứng minh BC’, CB’ và OO’ đồng qui tại một điểm M cố định. b) Chứng minh các tiếp tuyến chung ngoài PP’ và TT’ cắt nhau tại M. c) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC’. Tìm quĩ tích điểm I khi d1 và d2 thay đổi vị trí (vẫn qua A và vuông góc với nhau). Bài 12: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Góc vuông xAy quay xung quanh ñieåm A, Ax caét (O) taïi B, Ay caét (O’) taïi C. a) Chứng minh OB // O’C. b) Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua O’. Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng. c) Qua O vẽ d  AB, nó cắt BC tại M. Tìm quĩ tích điểm M khi các dây AB, AC thay đổi vị trí nhưng vẫn vuông góc với nhau. 5. Ôn tập chương II Bµi 1: Cho ®­êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i A. Gäi BC lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi cña (O) vµ (O’); B, C lµ hai tiÕp ®iÓm. TiÕp tuyÕn chung trong cña hai ®trßn t¹i A c¾t BC t¹i M. GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> a) Chøng minh r»ng A, B, C thuéc ®­êng trßn ( M ; BC/2 ) b) Đường thẳng OO’ có vị trí gì đối với đường tròn ( M ; BC/2 ) c) Xác định tâm của đường tròn đi qua 3 điểm O, O’, M. d) Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®i qua 3 ®iÓm O, O’, M. Bµi 2: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ trung ®iÓm O cña AB. Trªn mét nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Một góc vuông có đỉnh là O có hai cạnh cắt Ax và By tại C và D. Gọi C’ là giao điểm của tia CO với tia đối của tia By. Chứng minh: a) Tam gi¸c CDC’ lµ tam gi¸c c©n. b) §­êng th¼ng CD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. c) Đường tròn ngoại tiếp COD luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định khi góc vuông tại O thay đổi Bµi 3: Cho hai ®­êng trßn (O) vµ (O’) ngoµi nhau. C¸c tiÕp tuyÕn chung ngoµi MN, PQ ( M,P n»m trªn (O); N, Q n»m trªn (O’) ). a) CMR: MN đối xứng với PQ qua đường thẳng OO’. b) CMR: 4 ®iÓm M, N, P, Q n»m trªn mét ®­êng trßn. c) Nối MQ cắt (O), (O’) tương ứng tại các điểm thứ hai A, B. Chứng minh MA = QB. Bµi 4: Cho ®­êng trßn (O) vµ tiÕp tuyÕn xy t¹i tiÕp ®iÓm C n»m trªn (O). a) CMR nÕu d©y AB song song víi xy th× CA = CB. b) CMR nếu một đường thẳng d song song với xy đồng thời tiếp xúc với (O) tại một ®iÓm D th× 3 ®iÓm C, O, D th¼ng hµng. c) Cho hai ®­êng th¼ng song song d1 , d2 c¸ch nhau mét kho¶ng b»ng 3 cm, mét ®iÓm M n»m gi÷a hai ®­êng th¼ng d1 , d2 vµ c¸ch d1 mét kho¶ng b»ng 1 cm. H·y dùng mét ®­êng trßn ®i qua M vµ tiÕp xóc d1 , d2. Bµi 5: Cho 2 ®­êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc víi nhau t¹i A. Qua A kÎ ®­êng th¼ng a c¾t (O) t¹i C, c¾t (O’) t¹i C’ vµ ®­êng th¼ng b c¾t (O) t¹i B, c¾t (O’) t¹i B’. Chøng minh BC // B’C’.. Hướng dẫn giải §2. Tính chất đối xứng. x. Bài 2: a) Ta chứng minh được AA’ = BB’; suy ra AD = BE A  600 nên dễ dàng chứng minh b) Vì xOy A  DIE A  1200 AIB. A'. A O. t. D I. B' Ta chứng minh được ATI = BTI E B y T 0 A A Nên ATI  BTI  60 . Suy ra đó là những tam giác đều. Lấy A (hoặc B) làm tâm vẽ cung tròn (A ; AI) nó cắt cung nhỏ AB tại T, đó chính là tâm đường tròn qua A, I, B. c) Ta chứng minh được rằng đường tròn tâm T bán kính TI đi qua O. Thật vậy, giả sử (T) caét IO taïi O’ vaø caét O’T taïi T’. A '  2IO A ' T ' . Nhöng BTT A '  2BO A ' T ' . Suy ra ITB A  2IO A ' B , do đó IO A ' B  300 . Ta coù ITT A ' B vaø IOB A A  300 . Nếu O’B và OB là hai đường thẳng phân biệt thì IO Ta coù IOB coù moät goùc ở vị trí góc ngoài còn góc kia là góc trong của BOO’, như vậy chúng không thể bằng nhau được. Do đó BO và BO’ trùng nhau, O’ trùng với O. PHẦN THUẬN: Ta có TI = TO  T thuộc trung trực của OI cố định. Để đường tròn A A taâm T caét caùc tia Ox, Oy thì TOx ; TOy là các góc nhọn. Do đó T nằm ở miền trong góc A xác định bởi Ou  Ox, Ov  Oy. Do đó T thuộc đoạn thẳng T1T2 vừa thuộc trung trực uOv của OI, vừa thuộc miền trong của góc uOx (để A, B phân biệt).. GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> PHẦN ĐẢO: Lấy T’ thuộc đoạn T1T2 vẽ đường tròn bán kính TI, nó cắt Ox tại A’, cắt Oy tại B, ta phải chứng minh đường tròn (I ; IA’) qua B. (Chứng minh IDA’ = IEB’  IA’ = IB’). KẾT LUẬN: Quĩ tích T là đoạn thẳng T1T2, không kể T1, T2. d) AIBT là hình thoi nên trực tâm H của AIB nằm trên đường thẳng TI, Bz  AI, ta chứng minh được Bz  BT. Ta chứng minh được H thuộc (I) và H đối xứng với T qua I. Quĩ tích các trực tâm H là đoạn thẳng H1H2 đối xứng của T1T2 qua I không kể H1, H2. F Baøi 3 A D B. O I. H. E C. K. a) Ta c/m được AO là phân giác của góc FAE nên AO là trục đối xứng của góc FAE. AO là đường thẳng chứa đường kính của (O) nên AO là trục đối xứng của đường tròn (O). F là giao điểm của AB với (O). Hình đối xứng của F là giao điểm của AC với (O), đó chính là điểm E. F và E đối xứng nhau qua AO. Vậy AEF là tam giác cân. A  2DFO A A  2EFO A b) Ta c/m được: DOI , EOI . A A  2DFE  900 hay DO  OE. Suy ra DOE c) Laáy I laø trung ñieåm cuûa DE, ta coù ID = IA = IE = IO. Vaäy D, A, O, E naèm treân moät đường tròn tâm I bán kính DE/2. Baøi 4: B A C. D. D'. O B'. Ta có C và D đối xứng qua O. Lấy B’ đối xứng của A qua O thì B’ cố định. CA có hình đối xứng qua O Là DB’ nên CA = DB’, do đó DB = DB’. Suy ra D nằm trên trung trực d của BB’….. §3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn – Tiếp tuyến O. Baøi 9: a) EM = EA ; FM = FB. Suy ra OE + EF + OF = OA + OB. A  300 ; ta tính được OB  R 3 ; do đó: OIB coù IOB OE + EF + OF = 2R 3 . Giaù trò 2R 3 khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M.. F E. M. A B I. 1A 1A A  1200 ; EIM A A  AIM ; MIF  MIB b) Ta tính được AIB . 2 2 A có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ A  1 AIB A hay EIF A  600 . Vaäy EIF Suy ra EIF 2. AB. Baøi 10:. C 30 A. 30 O. GiaoAnTieuHoc.com. B. 30. D.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> A a) Tính số đo các góc, ta được CAO  300 . A A A  300 (chung); ACO  ADC  300 Hai tam giaùc OAC vaø CAD coù CAO Vaäy OAC ~ CAD. A b) Tam giác COB là tam giác đều, OCA  300 (có nhiều cách chứng minh), A CBD  1200 . Dễõ dàng chứng minh được OAC ~ BCD. Suy ra BD = R.. DCB ~ DAC  Vaäy DA.DB = DC2 = 3R2. Baøi 11:. DC DB  . Do đó DA.DB = DC2 mà DB = R , DA = 3R. DA DC A P. F. E B. I. H. J. C. a) Gọi I là trung điểm của BH thì I là tâm đường tròn đường kính BH. Gọi J là trung điểm của HC thì J là tâm đường tròn đường kính BH. Ta có IH  AH suy ra AH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC. Vậy AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I), (J). b) Chứng minh không khó khăn AFHE là hình chữ nhật. Gọi P là giao điểm AH và EF. Ta coù PE = PF = PH = PA. A  IHP A  900 . Vậy EF là tiếp tuyến của đường Chứng minh PEI ~ PHI (c.c.c), suy ra IEP troøn (I). A  PHJ A  900 . Vậy EF là tiếp tuyến của đường Chứng minh PFJ ~ PHJ (c.c.c), suy ra PFJ A troøn (J) Baøi 12: O I B. C. H. a) Gọi O là trung điểm của AI ta có OA = OI = OK. Vậy đường tròn tâm O đường kính AI đi qua K. A A b) Ta coù AOK caân  AKO (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc).  OAK A A Ta lại có HK = HB nên HBK  HKB . Từ đó ta c/m được OK  HK. C Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn O. E Baøi 13: A a) ACED laø hình thang vuoâng H O D I b) Ñaët AB = 2R, AD = 2x, DB = 2y thì HA = HD = x. Ta có các hệ thức sau: x + y =R hay HI = R OH = OA – AH = (x + y) – x = y hay OH = y A A  HIE Hai tam giaùc OHC vaø IEH coù: OH = IE = y ; OC = IH = R ; COH (ñv) Suy ra OHC = IEH (c.g.c). Do đó HC = EH hay HCE là tam giác cân tại H.. GiaoAnTieuHoc.com. K. B.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> A E A  900 , tức là HE  IE. Vậy HE là tiếp tuyến của đường c) Do OHC = IEH neân H B' troøn taâm I x Bài 14: a) Tự giải. D A' b) CA = CM (hai tieáp tuyeán caét nhau taïi C) M Lấy I là trung điểm của AM, CI là đường trung bình của AA’M. C I Vậy CA = CA’. Tương tự DB = DB’. B. c) Ta coù AA’ // BB’. Laïi coù. K. AC DB   1 .Vậy B’A’, DC, AB đồng qui. CA ' DB'. Baøi 15: a) CO  AE taïi P, BO  AD taïi Q. Goïi I laø giao ñieåm cuûa OP vaø AQ. A  900 ; PIA A  QIO A Hai tam giaùc PAI vaø QOI coù: P  Q A A  DAE Suy ra BOC . C A A  900 hay P  Q A  1800 b) Tứ giác AQOP’ có P  Q C P' 0 0 A A mà tổng các góc trong tứ giác lồi là 360 , suy ra BOC'  DAE '  180 E'. A. O. B. E I. Q. D. O. §4. Vị trí tương đối của hai đường tròn D C Baøi 8: A a) AOBO’ laø hình thoi (AO = OB = BO’ = O’A) neân AB vaø OO’ O' cắt nhau tại I, trung điểm chung của AB và OO’. D’ đối xứng của O I D qua O neân D’ thuoäc O’. B OCO’D’ laø hình bình haønh (OC // O’D’ ; OC = O’D’). D' AB và CD’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Nhưng trung điểm của AB là I, nên CD’ đi qua I. Vậy AB, OO’, CD’ cắt nhau tại I, trung điểm của mỗi đoạn thẳng. b) Tứ giác OCDO’ là hình bình hành nên OO’ // CD. Vì BA  OO’ nên BA  CD. Tứ giác ACBD’ có IA = IB, IC = ID nên ACBD’ là hình bình hành do đó AD’ // CB. Vì DA  AD’ (DD’ là đường kính) suy ra DA  CB. Vậy A là trực tâm của BCD. Bài 9: a) B, A, E thẳng hàng, suy ra hai đường tròn (A ; DA), (B ; BE) tieáp xuùc nhau taïi E. F A A A  DFB A  AED  FEB b) Ta c/m được ADF A A ADF  DFB  BF // AD (*) E A B Vì ABCD laø hình bình haønh BC // AD (**) Từ (*) và (**) ta suy ra C, B, F thẳng hàng I' Baøi 10: D C Tâm đường tròn tiếp xúc với (O) tại A nằm trên đường thẳng OA O A Giả sử đường tròn (I) thỏa mãn yêu cầu đề bài, tiếp xúc với D taïi B. Taïi A veõ tieáp tuyeán chung noù caét d taïi P, thì PB = PA. I Từ đó ta suy ra cách dựng B' P B Baøi 11: d1 P A ' BA  BAC A B a) A  900  A’B // AC I'. A 'B  O A ' AC' OA Ta coù A A 'C' A  (OA A ' B) OBA 'O. P'. I A'. O. A C. GiaoAnTieuHoc.com. C'. T. I''. M. O' B'. T'.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Do đó OA’B ~ O’AC’ Ta có BOC là đường kính của đường tròn (O), B’O’C’ là đường kính của đường tròn (O’). O 'C' O ' B' 1   nên OO’ , BC’ , B’C đồng qui tại M. OB OC 3 MO ' O 'C 1   . Suy ra M laø ñieåm coá ñònh. Ta laïi coù MO OB 3 M P MO ' 1  . Suy ra M1 trùng với M. b) Giả sử PP’ cắt OO’ tại M1, ta chứng minh được 1  MP MO 3 A c) Phaàn thuaän: AIM  900 (A, I cố định), đồng thời I không ở miền ngoài của góc PMT.. Ta coù BC // B’C’ vaø. Do đó I nằm trên cung tròn đường kính AM, giới hạn bởi hai tiếp tuyến MP, MT, đó là cung I1I2 (khi B ở vị trí P thì C’ ở vị trí P’) Phần đảo: Lấy I’ trên cung I1I2. Đường thẳng MI’ cắt (O) tại B1, cắt (O’) tại C’1, ta phải A AC'  1v và AI’  B C* (có thể sử dụng định lí đảo của định lí Thales) chứng minh B 1 1 1 1 Keát luaän: Quó tích ñieåm I laø cung IA1I2 .. C. A C A  2A A ;A A B A C A  1800 suy ra A A  600 . Bài 13: Ta tính được B. Ta cũng tính được BC = R 3 . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với AB, BC, CD. A  IAF A  300 , Trong tam giaùc IAD vuoâng taïi D ta thaáy IAD ID = IF = r, do đó AD = AF = r 3 . Ta có: SABC = p.r =. E F. I O. B. D. A. 1 (AB + BC + CA).r 2. 1 (AD + AF + DB + CF + CE + EB).r 2 Trong đó DB+CF = BE + EC = R 3 .Thay các giá trị đã biết và thu gọn ta được. =. C. SABC = r.(R + r). 3 Bài 14: Ta chứng minh được. 1 1 1 DE = DF = R ; SACD = b.R ; SBCD = a.R ; SABC = a.b.sin  . 2 2 2 1800   ab.sin  A A  FDC  Ta rút ra được R  .Ta tính được EDC . 2 a b. Gọi M, N là giao điểm của tiếp tuyến chung tại K với AC và BC thì 1800   A KDN  . Ta chứng minh được CMN cân tại C nên: 4   ab  0    A MK  KN  R.tg  450    tg  45   .sin  . Do đó OK  r  KN.tgKNO , 4 a  b 4     1800    ab   A KNO   450  . Suy ra r  .sin  .tg2  450   4 4 a b 4 . GiaoAnTieuHoc.com. M E A. N K. D. F B.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>