Bài giảng Kinh tế lượng 1 - Bài 3: Mô hình hồi quy bội - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (384.09 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài 3: Mơ hình hồi quy bội

BÀI 3

MƠ HÌNH HỒI QUY BỘI

Hướng dẫn học:

Bài này sẽ tiếp nối ý tưởng phân tích trong bài 2. Nội dung của bài 2 đề cập đến việc
đánh giá tác động của một biến độc lập X lên giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y khi
các giả thiết từ 1 đến 3 thỏa mãn. Tuy nhiên, mơ hình hồi quy đơn (còn gọi là hồi quy hai
biến) thường vi phạm giả thiết 2, một giả thiết quan trọng, do trong thực tế rất ít khi sự
thay đổi của biến phụ thuộc lại chỉ do một nguyên nhân (1 biến độc lập) gây nên. Khi đó
kết quả ước lượng sẽ khơng có giá trị sử dụng. Do đó, cần phải xây dựng mơ hình hồi
quy bội với nhiều biến độc lập (hay còn gọi là hồi quy nhiều biến). Tính ưu việt của mơ
hình hồi quy bội ở chỗ nó cho phép đánh giá tác động riêng của từng biến độc lập lên
biến phụ thuộc trong điều kiện các biến độc lập khác của mơ hình là khơng đổi. Đây
chính là một tiền đề quan trọng cho việc phân tích tác động giữa các đại lượng trong kinh
tế – xã hội. Ngoài ra, việc đưa thêm các biến số thích hợp vào mơ hình đồng nghĩa với
việc có thêm nhiều ngun nhân giải thích cho sự thay đổi của biến phụ thuộc, do đó góp
phần cải thiện chất lượng dự báo của mơ hình.

Các nội dung trong bài sẽ giới thiệu về mơ hình hồi quy k biến (với k ≥2), phương pháp OLS
cho mơ hình hồi quy bội, hệ số xác định bội và một vài dạng mơ hình trong kinh tế – xã hội.
Để học tốt bài này sinh viên cần thực hiện:

 Học đúng lịch trình của mơn học theo tuần.

 Theo dõi các ví dụ và tính tốn lại các kết quả.

 Đọc tài liệu: Đọc tài liệu: Nguyễn Quang Dong, Nguyễn Thị Minh, 2012, Giáo trình
kinh tế lượng, NXB Đại học Kinh tế quốc dân.

 Sinh viên tự học, làm việc theo nhóm, trao đổi với giảng viên.

 Tham khảo các thông tin từ trang Web của môn học.
Nội dung:

 Giới thiệu về mơ hình hồi quy k biến (cấu trúc và các giả thiết).

 Mô tả lại phương pháp OLS cho trường hợp tổng quát k biến, định lý Gauss – Markov.

 Tìm hiểu về hệ số xác định bội đo độ phù hợp của hàm hồi quy.

 Nghiên cứu một số mơ hình cụ thể thường gặp trong kinh tế – xã hội.
Mục tiêu:

Sau khi học xong bài này, sinh viên cần đảm bảo được các yêu cầu sau:

 Dựa vào vấn đề nghiên cứu biết cách xây dựng mô hình hồi quy nhiều biến.

 Phân tích kết quả ước lượng mơ hình từ phương pháp OLS (đánh giá tác động của từng
biến độc lập đến giá trị trung bình của biến phụ thuộc) với số liệu một mẫu cụ thể.

 Dự báo giá trị của biến phụ thuộc tại các mức giá trị cụ thể của biến độc lập.

 Đánh giá sự phù hợp của hàm hồi quy trong mẫu qua hệ số xác định.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 3: Mơ hình hồi quy bội

T

ình huống dẫn nhập

Trong các bài trước, ta đã làm quen với phân tích mối quan hệ giữa hai biến kinh tế là tổng thu

nhập và chi tiêu trong năm của các thành viên trong hộ gia đình. Mẫu được lựa chọn là 100 hộ
gia đình (số liệu VHLSS 2012). Với vấn đề nghiên cứu đặt ra là phân tích tác động của thu nhập
đến chi tiêu của hộ gia đình trong năm, biến chi tiêu được lựa chọn là biến phụ thuộc còn biến
độc lập là thu nhập. Tuy nhiên, kết quả phân tích chưa tốt vì trong thực tế có rất nhiều các yếu tố
cũng ảnh hưởng đến tổng chi tiêu của hộ gia đình trong một năm như số nhân khẩu trong hộ, tuổi
của chủ hộ, số năm đi học của chủ hộ… Do đó để tăng tỷ lệ giải thích cho sự thay đổi của chi
tiêu (CT), ngồi thu nhập (TN) ta có thể thêm các biến độc lập khác như số người trong hộ (SN),
tuổi chủ hộ (TCH)… Các biến này sẽ làm chất lượng dự báo chi tiêu từ giá trị các biến độc lập
tốt hơn.

Mơ hình hồi quy bội giản lược nhất trong tình huống này là mơ hình với hai biến độc lập là thu
nhập và số người trong hộ. Trong kinh tế, đây là hai nhân tố ảnh hưởng mạnh đến số tiền chi tiêu
của hộ gia đình. Tuy nhiên, trong thực tế khi dựa vào số liệu VHLSS, điều đó có đúng khơng thì
cần phải ước lượng mơ hình và phân tích. Một vài câu hỏi nghiên cứu đặt ra như sau:

 Phải chăng khi thu nhập tăng lên thì chi tiêu cũng tăng trong điều kiện số nhân khẩu trong hộ
khơng đổi?

 Có thể nói rằng việc có thêm người sẽ khiến chi tiêu của hộ tăng lên với mức thu nhập vẫn
như trước?

 Bao nhiêu phần trăm sự thay đổi của chi tiêu được giải thích bởi hai yếu tố thu nhập và
số người?

Các câu hỏi này sẽ được trả lời khi ta xây dựng mơ hình và phân tích kết quả.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 3: Mơ hình hồi quy bội
3.1. Mơ hình hồi quy K biến

3.1.1. Giới thiệu mơ hình

Mơ hình hồi quy trong đó: biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào (k – 1) biến độc lập
X2,…,Xk có dạng như sau:

Hàm hồi quy tổng thể (PRF): E(Y| X2,, Xk) = 1 + 2 X2 + … + kXk (3.1)

Mơ hình hồi quy tổng thể (PRM): Y = 1 + 2 X2 + … + kXk + u (3.2)

Ta biết rằng dù mơ hình có nhiều biến độc lập nhưng vẫn tồn tại những yếu tố tác
động đến biến phụ thuộc nhưng khơng đưa vào mơ hình vì nhiều lý do (khơng có số
liệu hoặc khơng muốn đưa vào). Do đó trong mơ hình vẫn tồn tại sai số ngẫu nhiên u
đại diện cho các yếu tố khác ngoài các biến Xj (j = 2,3, ,k) có tác động đến Y

nhưng khơng đưa vào mơ hình như là biến số.

Xét một mẫu ngẫu nhiên với n quan sát cụ thể, ta có hồi quy mẫu như sau:

ki
k
i

i X X

Yˆ ˆ ˆ ... ˆ
2

1  

 (3.3)

Hoặc ˆYi  ˆ1 ˆ2X2i ... ˆkXkiei

Với ei là phần dư tại quan sát I, được tính bởi cơng thức sau: eiY Yi ˆi

3.1.2. Các giả thiết của mơ hình

Giả thiết 1: Việc ước lượng được dựa trên cơ sở mẫu ngẫu nhiên.

Giả thiết 2: Kỳ vọng của sai số ngẫu nhiên tại mỗi giá trị (X2i,,…, Xki) bằng 0:

E(u| X2i,…, Xki) = 0

Giả thiết 3: Phương sai của sai số ngẫu nhiên tại các giá trị (X2i,,…, Xki) đều bằng nhau:

Var(u| X2i,…, Xki) = σ2

Giả thiết 4: Giữa các biến độc lập Xj khơng có quan hệ cộng tuyến hồn hảo, nghĩa là không

tồn tại hằng số λ2, , λk không đồng thời bằng 0 sao cho: λ 2 X2 + … + λ kXk = 0.

Trong các giả thiết trên, chỉ có giả thiết 4 là mới so với các giả thiết trong bài 2. Có
thể nhận thấy nếu giữa các biến Xj(j = 2,3,,k) có quan hệ cộng tuyến hồn hảo thì

sẽ có ít nhất một trong các biến này sẽ suy ra được từ các biến cịn lại. Do đó, giả thiết
4 được đưa ra để loại trừ tình huống này.

3.1.3. Ý nghĩa của các hệ số hồi quy

Xuất phát từ hàm hồi quy tổng thể:

E(Y| X2,…, Xk) = 1 + 2 X2 + … + kXk

Hệ số 1: bằng giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y khi các biến độc lập trong mơ

hình nhận giá trị bằng 0. Tuy nhiên, trong thực tế, hệ số này ít được quan tâm.

Các hệ số góc j ( j = 2, 3, , k): thể hiện tác động riêng của biến Xj lên giá trị trung

bình của biến phụ thuộc (cịn được gọi là hệ số hồi quy riêng). Cụ thể, khi Xj tăng hoặc

giảm 1 đơn vị, trong điều kiện các biến độc lập khác khơng đổi, thì Y trung bình sẽ thay
đổi j đơn vị.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 3: Mơ hình hồi quy bội

 Hệ số j > 0: khi đó mối quan hệ giữa Y và Xjlà thuận chiều, nghĩa là khi Xj tăng

(hoặc giảm) trong điều kiện các biến độc lập khác khơng đổi thì Y cũng sẽ tăng
(hoặc giảm).

 Hệ số j < 0: khi đó mối quan hệ giữa Y và Xjlà ngược chiều, nghĩa là khi Xjtăng (hoặc

giảm) trong điều kiện các biến độc lập khác khơng đổi thì Y sẽ giảm (hoặc tăng).

 Hệ số j = 0: có thể cho rằng giữa Y và Xjkhơng có tương quan với nhau, cụ thể là
Y có thể khơng phụ thuộc vào Xjhay là Xjkhông thực sự ảnh hưởng tới Y.

Dựa vào kết quả ước lượng với một mẫu cụ thể, ta có thể đánh giá được mối quan hệ

giữa biến phụ thuộc và các biến độc lập trong mơ hình một cách tương đối. Sau đây, ta
sẽ nghiên cứu một ví dụ để hiểu rõ về ý nghĩa của các hệ số trong mơ hình hồi quy.

Ví dụ 3.1. Khi phân tích tác động của lượng phân bón hữu cơ và lượng phân bón vơ cơ
lên năng suất lúa, ta có thể xây dựng mơ hình như sau:

NS = 1 + 2 HC + 3VC + u

Trong đó NS là năng suất lúa/ha là biến phụ thuộc, các biến độc lập: HC là lượng phân
bón hữu cơ/ha, VC là lượng phân bón vơ cơ/ha

Kết quả ước lượng mơ hình với số liệu của 30 vùng chuyên canh nông nghiệp như sau:

VC
HC

NS 1,50,35 0,12
Giải thích về mối quan hệ giữa các biến như sau:

 Khi khơng sử dụng phân bón cả hai loại hữu cơ và vô cơ (biến HC = VC = 0), năng
suất lúa/ha trung bình đạt 1,5 đơn vị.

 Nếu lượng phân bón hữu cơ tăng (giảm) 1 đơn vị và mức phân bón vơ cơ khơng
thay đổi thì năng suất lúa/ha trung bình sẽ tăng (giảm) 0,35 đơn vị.

 Nếu lượng phân bón vô cơ tăng (giảm) 1 đơn vị và mức phân bón hữu cơ khơng
thay đổi thì năng suất lúa/ha trung bình sẽ tăng (giảm) 0,12 đơn vị.

Có một sự khác biệt quan trọng giữa mơ hình hồi quy bội và mơ hình hồi quy hai biến:
Mơ hình hồi quy bội cho phép đánh giá tác động riêng của từng biến độc lập lên biến

phụ thuộc trong khi các biến độc lập khác không đổi. Đây là ưu điểm của mơ hình hồi
quy bội trong phân tích kinh tế – xã hội vì trong thực tế rất khó để giữ các biến ở trạng
thái khơng đổi nhưng với mơ hình có nhiều biến, điều kiện này được đặt ra để phân tích
ảnh hưởng của từng nguyên nhân khác nhau (các biến độc lập) đến kết quả là sự biến
thiên của biến phụ thuộc.

Sau khi xây dựng và tìm hiểu ý nghĩa của các hệ số hồi quy trong mơ hình, vấn đề tiếp
theo ta quan tâm là làm thế nào để có được các ước lượng đáng tin cậy cho các hệ số
này. Cũng như với mơ hình hồi quy hai biến, ta sẽ sử dụng phương pháp bình phương
nhỏ nhất (OLS) để ước lượng các hệ số trong mơ hình hồi quy k biến. Nội dung tiếp
theo sẽ đề cập đến phương pháp này.

3.2. Phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS) 
3.2.1. Mơ tả phương pháp

Xét mơ hình k biến:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 3: Mơ hình hồi quy bội

Giả sử có một mẫu quan sát với giá trị thực tế là (Yi, X2i, …, Xki) với (i = 1, 2, …, n).

Ta sẽ sử dụng thông tin từ mẫu để xây dựng các ước lượng cho các hệ số j(j = 1, 2, 
…, k), ký hiệu là ˆ (j = 1, 2, …, k). Từ các giá trị ước lượng này có thể viết thành j
hàm hồi quy mẫu như sau:

k
kX

X

Yˆ ˆ1ˆ2 2...ˆ

Tại mỗi quan sát i, hàm hồi quy mẫu được viết thành:

ki
k
i

i X X

Yˆ ˆ1ˆ2 2 ...ˆ

Trong đó Yˆ là giá trị ước lượng cho i Yivà sai lệch giữa hai giá trị này được gọi là phần

dư với cách tính:

i
i
i Y Y

e   ˆ

Tương tự như mô hình hồi quy hai biến, phương pháp OLS nhằm xác định các giá trị

j

ˆ (j = 1, 2, …, k) sao cho tổng bình phương các phần dư là bé nhất:

2 2 2

1 2 2 1 2

1 1 1

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

(

)

(

 

...



)

( ,

 

,...,



)

  









 







n i



n i i



n i i k ki k

i i i

e

Y Y

Y

X

f

Min

Khi đó, các giá trị ˆ1,ˆ2,...,ˆksẽ là nghiệm của hệ gồm k phương trình sau:

1 2

1 2 2

1
1

1 2

2 1 2 2

1
2

1 2

1 2 2

ˆ ˆ ˆ

( , , ..., ) 2 ( ˆ ˆ ... ˆ ) 0

ˆ ˆ ˆ

( , , ..., ) ˆ ˆ ˆ

2 ( ... ) 0

ˆ
...

ˆ ˆ ˆ

( , , ..., ) 2 ( ˆ ˆ ... ˆ )

n
k

i i k k i

i
n
k

i i i k k i

i

k

k i i i k k i

i
k

f Y X X

f

X Y X X

f X Y X X

     

     

     




       

       

      




0
n
















Với điều kiện số quan sát trong mẫu lớn hơn số hệ số hồi quy cần ước lượng và giả
thiết 4 được thỏa mãn thì hệ phương trình trên sẽ có nghiệm duy nhất. Việc giải hệ
phương trình khá dễ dàng qua các phầm mềm kinh tế lượng và thống kê nếu số biến
không quá lớn. Các giá trị ước lượng bằng phương pháp OLS dựa trên số liệu mẫu cụ
thể được xem như là các ước lượng điểm của các hệ số trong tổng thể.

Với mơ hình hồi quy bội (hồi quy k biến với k > 2), việc giải hệ phương trình để tìm các
ước lượng hệ số ˆ (j j1, 2,..., )k sẽ trở nên khó khăn hơn so với mơ hình hồi quy 2 biến
do đó ta sẽ có được các kết quả này với sự giúp của các phần mềm kinh tế lượng.

Tù kết quả ước lượng từ phương pháp OLS, ta có thể khai thác các thông tin để đánh
giá tác động của biến độc lập đối với sự thay đổi của biến phụ thuộc thông qua ý nghĩa
các hệ số hồi quy. Sau đây, ta sẽ quay trở lại phân tích tình huống dẫn nhập đưa ra
trong phần đầu của bài học.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 3: Mơ hình hồi quy bội

TT CT TN SN STT CT TN SN STT CT TN SN
1 97 107 2 41 172 149 4 81 273 285 5
2 100 118 2 42 156 162 4 82 276 290 5
3 100 119 2 43 165 164 4 83 281 312 5
4 114 148 2 44 155 166 4 84 277 325 5
5 126 155 2 45 173 183 4 85 294 340 5
6 177 193 2 46 189 203 4 86 294 360 5
7 171 217 2 47 232 228 4 87 333 385 5
8 175 250 2 48 210 239 4 88 337 392 5
9 205 294 2 49 207 254 4 89 161 113 6

10 205 294 2 50 210 258 4 90 213 154 6
11 218 309 2 51 235 267 4 91 243 203 6
12 241 333 2 52 274 298 4 92 229 227 6
13 233 347 2 53 282 325 4 93 288 271 6
14 242 362 2 54 275 334 4 94 264 272 6
15 266 375 2 55 289 344 4 95 308 358 6
16 280 385 2 56 296 349 4 96 334 362 6
17 108 107 3 57 298 351 4 97 337 380 6
18 142 117 3 58 304 361 4 98 336 392 6
19 130 143 3 59 281 364 4 99 345 394 6
20 157 148 3 60 293 370 4 100 360 398 6
21 132 154 3 61 302 372 4

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 3: Mơ hình hồi quy bội

Kết quả thu được như sau:



CT 3,961 0,612TN 15, 432SN 

Ta giải thích kết quả ước lượng như sau:

 Hệ số chặn ˆ1 = – 3,961. Hệ số chặn trong mơ hình này khơng có ý nghĩa thực tế
vì nó mang giá trị âm.

 Hệ số góc ˆ2= 0,612 thể hiện tác động riêng của thu nhập lên chi tiêu của hộ gia
đình. Cụ thể giá trị này cho biết nếu thu nhập của hộ gia đình tăng (hoặc giảm) 1
triệu đồng/năm và số người trong hộ khơng thay đổi thì mức chi tiêu trung bình
trong năm của hộ gia đình tăng 0,612 triệu đồng. Con số này chính là khuynh

hướng tiêu dùng cận biên. Giá trị này phù hợp với lý thuyết kinh tế vì khuynh
hướng tiêu dùng cận biên nằm trong khoảng từ 0 đến 1, nghĩa là khi thu nhập tăng
thì chi tiêu cũng tăng nhưng mức tăng nhỏ hơn so với mức tăng của thu nhập.

 Hệ số góc ˆ3= 15,432 thể hiện tác động riêng của số người trong hộ lên chi tiêu
của hộ. Khi số nhân khẩu trong hộ tăng thêm một người, trong khi thu nhập vẫn
giữ nguyên ở mức cũ thì số tiền chi tiêu trung bình của hộ sẽ tăng thêm 15,432
triệu/năm.

 Cũng có thể cho rằng nếu thu nhập gia tăng 1 triệu đồng và hộ có thêm 1 người thì
mức chi tiêu trung bình của hộ sẽ tăng khoảng 16,044 triệu (= 0,612 + 15,432).

 Có thể dự báo mức chi tiêu của hộ tại một mức thu nhập và số nhân khẩu cụ thể từ
kết quả ước lượng mơ hình. Cụ thể là nếu tổng thu nhập của hộ là 150 triệu/năm và
hộ có 4 người thì mức chi tiêu trung bình là:

Như vậy các gia đình sẽ chi tiêu gần hết thu nhập của họ. Nếu thu nhập là 200
triệu/năm và gia đình vẫn chỉ có 4 người thì hộ sẽ chi tiêu số tiền là 180,212 triệu,
nghĩa là các gia đình bắt đầu có tiền tiết kiệm (trung bình là 19,788 triệu/năm).

Ví dụ 3.3. Đánh giá về nhu cầu vay vốn ngân hàng của 50 doanh nghiệp sản xuất xi
măng dựa trên tác động của quy mô sản xuất và lãi suất cho vay của ngân hàng, ta có
kết quả như sau:

32,5 2, 65 0,81

  



I Q R

Trong đó I là nhu cầu vốn vay của doanh nghiệp (tỷ đồng), Q là sản lượng dự kiến
doanh nghiệp làm ra trong một năm (tấn), R là lãi suất cho vay của ngân hàng (%).
Khi đó:

 Hệ số chặn ˆ1= 32,5 cho biết nếu sản lượng của doanh nghiệp bằng 0 và lãi suất
cho vay của ngân hàng bằng 0% thì nhu cầu vay vốn sẽ là 32,5 tỷ đồng. Giá trị này
cũng khơng có ý nghĩa trong thực tế nên khi phân tích mơ hình ta cũng khơng cần
quan tâm đến nó quá nhiều.

 Hệ số góc ˆ2= 2,56 cho biết ảnh hưởng riêng của qui mô sản lượng dự kiến đến
nhu cầu vay vốn của doanh nghiệp. Cụ thể nó cho biết khi sản lượng tăng thêm 1



TN 50,SN 4

</div>