Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Trường PTDTBT THCS Nàn Ma

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD&ĐT HUYỆN XÍN MẦN TRƯỜNG PTDTBT THCS NÀN MA. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 Năm học : 2012-2013(Thời gian 180 phút) Bài 1. (1 điểm) Tính : A  56  477  54  2012 Bài 3: (2 điểm) Tìm x biết: 2 2 2011  x   2011  x x  2012   x  2012 . 2011  x   2011  x x  2012   x  2012  2. 2. 1. Bài 3(2 điểm) Chứng minh rằng a. a2+b2  2ab b. a4+b4+1  ab(a+b+1) Bài 4(2 điểm)  x. 1  x  x. x x . Cho biÓu thøc A       . x  1   2 2 x  x 1 a) Rót gän biÓu thøc A b) Tìm giá trị của x để A = - 4 Bài 4(3 điểm) Cho hai nửa đường tròn ( O;R1 ) và ( O’;R2 ) tiếp xúc ngoài ở A. Tiếp tuyến chung ngoài TT’có tiếp điểm với đường tròn ( O ) ở T với đường tròn ( O’ ) ở T’, Cắt đường tròn nối tâm OO’ ở S. Tiếp tuyến chung trong tại A của hai nửa đường tròn cắt TT’ ở M a) Tính độ dài AM theo các bán kính của hai đường tròn ( O )và ( O’ ). Chứng minh: SO.SO’ = SM2 ST.ST’ = SA2 b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp  TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A và đường tròn ngoại tiếp  OMO’tiếp xúc với SM tại M. GV: LÊ MINH HẢO. GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đáp án Câu. Điểm A  56  477  54  2012. 0,25. A  56  477  54  2 53. A  56  477  ( 53  1) 2. 1. A  56  3 53  53  1. 0,25. A  56  4 53  1 A  53  4 53  4. A  ( 53  2) 2. 0,5. A  53  2. 2011  x   2011  x x  2012   x  2012   1 2 2 2011  x   2011  x x  2012   x  2012  2. 2. Đặt a = x – 2012  2011-x=2011-(a+2012)=-(1+a). 0,25. a  1  a  1a  a 2  1 2 a  1  a  1a  a 2 2. . 2. 0,25. a2  a 1  2 1 3a  3a  1  a2+a+1= 3a2+3a+1  a2+a=0  a(a+1)=0  a=0 hoặc a=-1  x=2012 hoặc x=2011. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. 3 a. b. a2+b2  2ab  a2-2ab +b2  0  (a-b)2  0 luôn đúng dấu bằng xảy ra khi a=b Ta có: a4+ b4  2a2b2 b4+1  2 b2 1+ a4  2 a2 Từ (1);(2);(3) ta có (a4+ b4)+( b4+1)+(1+ a4)  2a2b2+2 b2+2 a2 2(a4+ b4+1)  2(a2b2+ b2+ a2) Tương tự ta có: a2b2+ b2+ a2  a2b+ab2+ab=ab(a+b+1). GiaoAnTieuHoc.com. (1) (2) (3). 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. (4) (5). 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 4. Từ (4);(5) ta có a4+b4+1  ab(a+b+1) ĐK: x  0 và x  1. a.  x 1  x  x x  x  A     2 2 x   x  1 x  1     x 1  x  x 1  x 1   x  x  A  . . 2  x   x 1 x 1 . .   x  x  1 .  x  1  2  A x 1 2 x .  . 0,25.  . . x 1    .  .  A   x 1. b. Ta có A=-4  - x -1=-4  x =3  x=9 GT: ( O ) và ( O’ ) tiếp xúc ngoài ở A TT’ tiếp tuyến chung TT’xOO’=S. Tiếp tuyến chung tại A của hai nửa đường tròn cắt TT’ ở M. KL : a. AM=? SO.SO’ = SM2 và ST.ST’ = SA2 Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp  TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A và. 5. đường tròn. T. ngoại tiếp  OMO’tiếp xúc với SM tại M. M. T’ ’’ S. O. A. O ’. GiaoAnTieuHoc.com. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> MO, MO’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù AMT và A , AMT’ nên OMO =  90o Tam giác OMO’ vuông ở M có MA  OO’ nên:. a. b. MA2 = OA.OA’, Suy ra: MA = OA.OA '  R.R ' SO' SM  hay SO.SO '= SM 2  SO’M ~  SMO suy ra: SM SO ST SA  hay ST.ST' = SA 2  SAT~  ST’A suy ra: SA ST '. MA = MT = MT’ nên MA là bán kính đường tròn ngoại tiếp  TAT’ và OO’ Do đó đường tròn ngoại tiếp  TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A. Do đó đường tròn ngoại tiếp  TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A. Gọi M’ là trung điểm của OO’ thì M’M//OT  SM M’M ở M mà M’M là bán kính đường tròn ngoại tiếp  OMO’.. GiaoAnTieuHoc.com. 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25. MA tại A..

<span class='text_page_counter'>(5)</span>