Bài giảng Toán tài chính - Chương 5a: Đại số tuyến tính và ứng dụng - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>CHƯƠNG 5</b>

<b>Chương 5: Đại số tuyến tính và ứng dụng</b>

5.1 Quy hoạch tuyến tính 2 biến

<b>5.2 Ma trận</b>

<b>5.3 Giải hệ phương trình: phương pháp khử</b>
<b>5.4 Định thức</b>

<b>5.5 Ma trận nghịch đảo và phân tích input/output</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN</b>

Một ma trận A cấp
mxn là một bảng số
hình chữ nhật gồm
mxn phần tử, gồm m
hàng và n cột.

11 12 1

21 22 2

1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m n</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>A</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>hay A</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

ổ ử_ữ
ỗ _ữ
ỗ _ữ
ỗ _ữ
ỗ _ữ
ỗ _ữ
= ỗ_ỗ ữ_ữ
ữ
ỗ _ữ
ỗ _ữ
ỗ _ữ
ỗ _ữ
ỗố ứ
ộ ự
ờ ỳ
ờ ỳ
ờ ỳ
= ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
K
L

M M O M
L

K
L

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN</b>

Ký hiệu ma trận:

Ví dụ:

ij <i>_{m n}</i>

<i>A</i> <i>a</i>

´

é ù
= ê ú_{ë û}

1 2 7 0
4 5 7 1
0 2 8 9

<i>A</i>

ổ _- ử_ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ

= _ỗ - _ữ_ữ

ỗ _ữ

ỗ ữ_ữ

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>MA TRN VUễNG</b>

Nu m=n ta nói A là ma trận vng cấp n.

Đường chéo chính gồm các phần tử:

11 12 1

21 22 2

ij
1 2

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n n</i>

<i>n n</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>A</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

ổ ử_ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ ữ ộ ự

= _ỗ _ữ= _{ờ ỳ}

ỗ ữ_ữ ở ỷ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ

K
L

M M O M
L

11, 22, ..., <i>n n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>CÁC DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT</b>

1. Ma trận không:

2. Ma trận hàng

3. Ma trận cột

4. Ma trận tam giác trên

5. Ma trận tam giác dưới

6. Ma trận chéo

7. Ma trận đơn vị

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>MA TRẬN KHÔNG</b>

Tất cả các phần tử đều bằng 0.
Ký hiệu: 0 hay 0_mxn

0 0 0
0 0 0

0 0

0 0 0

<i>m n</i>

ổ ử_ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

= _ỗ _ữ =
ỗ ữ_ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ
L

L

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>MA TRN HNG, CT</b>

Ma trn hng: chỉ có một hàng
Ma trận cột: chỉ có một cột

(

)

1
2
1 2 3 4 5

4
5

<i>A</i> <i>B</i>

ổ ử_ữ
ỗ _ữ
ỗ _ữ
ỗ _ữ

ỗ _ữ
ỗ _ữ

= - _{= ỗ} _ữ

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>MA TRN TAM GIÁC TRÊN</b>

Ma trận vuông

Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0

1 2 3 4
1 2 3

0 0 2 1
0 4 5

0 0 8 9
0 0 6

0 0 0 4

<i>A</i> <i>B</i>

ổ ử_ữ
ỗ

ổ ử_ữ _ỗ _ữ

ữ

ỗ _ữ _ỗ _ữ

ỗ _ữ _ỗ _ữ

ỗ _ữ _ỗ _ữ

ỗ

= _ỗ _ữ_ữ _{= ỗ} _ữ

ỗ ữ

ỗ _ữ _ỗ _ữ

ỗ ữ_ữ _ỗ ữ_ữ

ỗ _ỗ

ố ứ _ỗ _ữ_ữ

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI</b>

Ma trận vuông

Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0

1 0 0 0
1 0 0

2 0 0 0
3 4 0

0 6 8 0
5 0 6

9 3 1 4

<i>A</i> <i>B</i>

ổ ử_ữ
ỗ

ổ ử_ữ _ỗ _ữ

ữ

ỗ _ữ _ỗ _ữ

ỗ _ữ _ỗ _ữ

ỗ _ữ _ỗ _ữ

ỗ

= _ỗ _ữ_ữ _{= ỗ} _ữ

ỗ ữ

ỗ _ữ _ỗ _ữ

ỗ ữ_ữ _ỗ ữ_ữ

ỗ _ỗ

ố ứ _ỗ _ữ_ữ

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>MA TRẬN CHÉO</b>

Ma trận vuông

Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0
Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0

1 0 0 0

1 0 0

0 0 0 0 0

0 4 0

0 0 8 0 0

0 0 6

0 0 0 4

<i>a</i>

<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>

<i>b</i>

ổ ử_ữ

ỗ

ổ ử_ữ _ỗ _ữ

ữ

ỗ _ữ _ỗ _ữ _ổ _ử

ỗ _ữ _ỗ _ữ _ỗ _ữ

ỗ _ữ _ỗ _ữ _ỗ _ữ

ỗ

= _ỗ _ữ_ữ = _ỗ _ữ = _ỗ _ữ

ỗ ữ _ỗ ữ

ỗ ữ ỗ ữ ỗ_ố ữ_ứ

ỗ ữ_ữ _ỗ ữ_ữ

ỗ _ỗ

ố ứ _ỗ _ữ_ữ

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>MA TRẬN ĐƠN VỊ</b>

Ma trận chéo

Các phần tử chéo đều bằng 1.

Ký hiệu: I_n là ma trận đơn vị cấp n

2 3 4

1 0 0 0

1 0 0

1 0 0 1 0 0

0 1 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1

0 0 0 1

<i>I</i> <i>I</i> <i>I</i>

ổ _ữử

ỗ

ổ ử_ữ _ỗ _ữ

ữ

ỗ _ỗ

ổ ử_ữ _ỗ ữ_ữ _ỗ ữ_ữ

ỗ _ữ ỗ _ữ _ỗ _ữ

ỗ ỗ

= _ỗ _ữ = _ỗ _ữ_ữ _{= ỗ} _ữ

ỗ ữ

ữ

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ỗ ữ

ố ứ _ỗ _ữ _ỗ _ữ

ữ ữ

ỗ _ỗ

ố ứ _ỗ _ữ_ữ

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>MA TRN BẬC THANG</b>

Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử bên trái gọi
là phần tử cơ sở của hàng đó.

Ma trận bậc thang:

 Hàng khơng có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>VÍ DỤ 1</b>

2 1 0 0
0 0 7 1
0 4 8 9
0 0 0 9

3 1 0 0 3
0 0 0 1 2
0 0 0 9 1

<i>A</i>

<i>B</i>

ổ ử_ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _- _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

= ỗ_ỗ ữ_ữ
ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ

ổ ử_ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ

= _ỗ _ữ_ữ

ỗ _ữ

ỗ _- ữ_ữ

ỗố ứ

Khụng l bc
thang

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>V D 2</b>

2 1 0 0
0 4 8 9
0 0 7 1
0 0 0 0

3 1 0 0 3
0 0 3 1 2
0 0 0 9 1

<i>C</i>

<i>D</i>

ổ ử_ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

= ỗ_ỗ ữ_ữ
- _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ

ổ ử_ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ _ữ

ỗ

= _ỗ _ữ_ữ

ỗ _ữ

ỗ _- ữ_ữ

ỗố ứ

bc thang

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN</b>

1. Ma trận bằng nhau

2. Cộng hai ma trận cùng cấp

3. Nhân một số với ma trận

4. Nhân hai ma trận

5. Ma trận chuyển vị

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>HAI MA TRẬN BẰNG NHAU</b>

Nếu các phần tử tương ứng bằng nhau.

1 2

4 5
2

1

4
5

<i>a</i> <i>d</i>

<i>A</i> <i>B</i>

<i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i>

<i>d</i>

<i>A</i> <i>B</i>

<i>b</i>
<i>c</i>

ổ ử_ữ ổ_- ử_ữ

ỗ _ữ ỗ _ữ

ỗ ỗ

= _ỗ _ữ = _ỗ _ữ

ữ ữ

ỗ _ữ ỗ _ữ

ỗ ỗ

ố ø è ø

ìï ₌
-ïï

ï ₌
ïï

= _{Û í}

ï =
ïï

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>CỘNG HAI MA TRẬN</b>

Cộng các phần tử tương ứng với nhau

Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

1 2

4 5
2 1

4 5

<i>a</i> <i>d</i>

<i>A</i> <i>B</i>

<i>b</i> <i>c</i>

<i>a</i> <i>d</i>

<i>A</i> <i>B</i>

<i>b</i> <i>c</i>

ỉ ư_÷ ổ_- ử_ữ

ỗ _ữ ỗ _ữ

ỗ ỗ

= _ỗ _ữ = _ỗ _ữ

ữ ữ

ỗ _ữ ỗ _ữ

ỗ ỗ

ố ứ ố ứ

ổ _- ₊ ử_ữ

ỗ _ữ

ỗ

+ = _ỗ _ữ

ữ

+ +

ỗ _ữ

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN</b>

Nhân số đó vào tất cả các phần tử

1 2 6

4 5
2 2
2
2 2
2 6
4 5
<i>a</i> <i>d</i>
<i>A</i> <i>B</i>

<i>b</i> <i>c</i> <i>f</i>

<i>a</i>
<i>A</i>

<i>b</i> <i>c</i>

<i>k</i> <i>dk</i> <i>k</i>

<i>kB</i>

<i>k</i> <i>k</i> <i>fk</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>VÍ DỤ 3</b>

1 2 3 4 0 2 10 4
8 7 5 3 1 7 6 0
2 3 0 1 2 3 2 4
)

) 2 3
1 2
)

3 7

<i>A</i> <i>B</i>

<i>a A</i> <i>B</i>

<i>b</i> <i>A</i> <i>B</i>

<i>c</i> <i>A</i> <i>B</i>

ỉ ư ỉ ư

÷ ữ

ỗ _ữ ỗ _ữ

ỗ _ữ ỗ _ữ

ỗ _ữ ỗ _ữ

ỗ ç

= _ç _÷ = _ç- _÷

÷ ÷

ç ÷ ç ÷

ç ữ_ữ ỗ _- _- ữ_ữ

ỗ ỗ

ố ứ ố ứ

+

</div>

<!--links-->