Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2: Bài 5 - ThS. Hoàng Văn Thắng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (616.71 KB, 10 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>BÀI 5</b>
<b>C</b>
<b>Ự</b>
<b>C TR</b>
<b>Ị</b>
<b>C</b>
<b>Ủ</b>
<b>A HÀM NHI</b>
<b>Ề</b>
<b>U BI</b>
<b>Ế</b>
<b>N</b>
ThS. Hồng Văn Thắng
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
v1.0014105206 2
<b>TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG: Lựa chọn tối ưu trong kinh tế</b>
Trong doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí
kết hợp:
Với giá thị trường của sản phẩm 1 là $160 và giá của sản phẩm 2 là $120.
Hãy chọn một cơ cấu sản lượng (Q<sub>1</sub>, Q<sub>2</sub>) để hàm lợi nhuận đạt giá trị tối đa.
2 2
1 1 2 2
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
<b>MỤC TIÊU</b>
• Hiểu được khái niệm các điểm cực trị, điểm dừng của hàm số.
• Biết cách thực hành tìm các điểm cực trị của bài tốn cực trị tự do.
• Biết cách thực hành tìm các điểm cực trị của bài tốn cực trị có điều kiện bằng
phương pháp nhân tử Lagrange.
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
v1.0014105206 4
<b>NỘI DUNG</b>
Bài tốn cực trị khơng có điều kiện (cực trị tự do)
Ứng dụng bài tốn cực trị khơng có điều kiện trong phân tích kinh tế
Bài tốn cực trị có điều kiện ràng buộc
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
<b>1. CỰC TRỊ</b> <b>KHƠNG CĨ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC</b>
1.2. Điều kiện cần của cực trị
1.1. Khái niệm cực trị của hàm số
</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>
v1.0014105206 6
<b>1.1. KHÁI NIỆM CỰC TRỊ</b> <b>CỦA HÀM SỐ</b> <b>HAI BIẾN SỐ</b>
Xét hàm số w = f(x, y) xác định và liên tục trên miền
<b>Định nghĩa:</b>
• Ta nói hàm số w = f(x, y) = f(M) đạt giá trị cực đại tại điểm M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) thuộc D nếu
f(M) f(M<sub>0</sub>) với mọi điểm M(x, y) D mà khoảng cách từ M đến M0 nhỏ hơn r (r > 0,
nhỏ tùy ý).
• Ta nói hàm số w = f(x, y) = f(M) đạt giá trị cực tiểu tại điểm M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) thuộc D nếu
f(M) f(M<sub>0</sub>) với mọi điểm M(x, y) D mà khoảng cách từ M đến M0 nhỏ hơn r (r > 0,
nhỏ tùy ý).
• Cực đại và cực tiểu được gọi chung là cực trị. Nếu hàm số đạt cực trị tại M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) thì
điểm M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) được gọi là <i>điểm cực trị.</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>
<b>1.1. KHÁI NIỆM CỰC TRỊ</b> <b>CỦA HÀM SỐ</b> <b>HAI BIẾN SỐ</b> <b>(tiếp theo)</b>
<b>Ví dụ:</b> Hàm số w = x2 <sub>+ y</sub>2 <sub>đạ</sub><sub>t giá tr</sub><sub>ị</sub> <sub>c</sub><sub>ự</sub><sub>c ti</sub><sub>ể</sub><sub>u t</sub><sub>ạ</sub><sub>i</sub> <sub>đ</sub><sub>i</sub><sub>ể</sub><sub>m O(0, 0)</sub>
Vì x2 <sub>+ y</sub>2 <sub>> 0 v</sub><sub>ớ</sub><sub>i m</sub><sub>ọ</sub><sub>i (x, y) thu</sub><sub>ộ</sub><sub>c c</sub><sub>ậ</sub><sub>n</sub> <sub>đ</sub><sub>i</sub><sub>ể</sub><sub>m (0, 0)</sub>
<b>Câu hỏi</b> <b>đặt ra:</b> Với hàm số bên ngoài điểm cực trị (0, 0) cịn điểm cực trị nào khác? Tìm
chúng như thế nào?
</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>
v1.0014105206 8
<b>1.2. ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA CỰC TRỊ</b>
• Hàm số w = f(x, y) = f(M) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng trên miền D
• Khi đó, nếu điểm M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) là điểm cực trị của hàm số thì tại điểm M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) tất cả các
đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số triệt tiêu.
• Điểm M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) thỏa mãn điều kiện (*) tức là nghiệm của hệ được gọi là điểm
dừng của hàm w = f(x, y).
.
x 0 0
y 0 0
w' (x , y ) 0
(*)
w ' (x , y ) 0
<sub></sub>
D M(x,y) : a x b,c y d
x
y
w' 0
w ' 0
<sub></sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>
<b>1.2. ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA CỰC TRỊ</b> <b>(tiếp theo)</b>
• <b>Nhận xét 1:</b>
Từ định lý trên ta suy ra: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng của nó, nên
để tìm các điểm cực trị ta chỉ cần tìm trong số các điểm dừng.
• <b>Nhận xét 2:</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>
v1.0014105206 10
<b>1.3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ</b> <b>CỦA CỰC TRỊ</b> <b>(Chỉ</b> <b>xét tại các điểm dừng) </b>
Giả sử hàm số w = f(x, y) = f(M) có điểm dừng M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) và các đạo hàm riêng cấp 2 của
hàm số xác định, liên tục tại M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>).
Xét với
• Nếu D < 0 thì điểm M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) khơng phải là điểm cực trị của hàm số w = f(x, y)
• Nếu D > 0 thì điểm M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) là điểm cực trị của hàm số w = f(x, y)
a<sub>11</sub> > 0 thì điểm M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) là điểm cực tiểu của hàm số.
a<sub>11</sub> < 0 thì điểm M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) là điểm cực đại của hàm số.
<sub></sub>
" "
11 xx 0 0 12 xy 0 0
11 12
" "
21 22 <sub>21</sub> <sub>yx</sub> <sub>0</sub> <sub>0</sub> <sub>22</sub> <sub>yy</sub> <sub>0</sub> <sub>0</sub>
a
w (x , y ); a
w (x , y )
a
a
D
</div>
<!--links-->
