Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 3 - Phan Trung Hiếu (2018)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (458.51 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

15/10/2018

LOG
O

Chương 3:

Đạo hàm và vi phân

hàm một biến

GV. Phan Trung Hiếu

§1. Đạo hàm và vi phân của hàm một biến
§2. Đạo hàm và vi phân cấp cao

§3. Ứng dụng trong tốn học
§4. Ứng dụng trong kinh tế

§1. Đạo hàm và vi phân của

hàm một biến

I. Đạo hàm cấp một:

Định nghĩa 1.1.

Cho hàm số

f

(

x

) xác định trên

khoảng mở chứa

x

.

Đạo hàm

(cấp một) của

hàm số

f

(

x

) tại

x

, ký hiệu

, được

tính bởi

0
0

( )

lim

x x

f x

x











0 0

( )

y x





f x



nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.



Chú ý 1.2.

Nếu

tồn tại thì

f

(

x

) được

gọi là

khả vi

tại

x

0

.

(

)

f x



4
Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số

ln(1 )

khi 0
( )

0 khi 0

x

f x x

x

 




 

 



tạix00.

Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)

0
0

( ) ( )
( ) lim

x x

f x f x

f x

x x







 



Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)

0
0

( ) ( )
( ) lim

x x

f x f x
f x

x x







 



Định lý 1.5:

0 0 0

( ) ( ) ( )

f x L f x   f x  L
Ví dụ 1.2: Xét sự khả vi của hàm số

1 , 1,

( )

(1 )(2 ), 1

 


 

  



x x

f x

x x x

tạix01.

Định lý 1.6:

f

(

x

)

có đạo hàm tại x



f

(

x

)

liên tục tại x

.

Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số

( ) khi 0

( )

khi 0

  

 




x

e x x x

f x

m x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

15/10/2018

Định nghĩa 1.7 (Đạo hàm trên khoảng, đoạn):

Cho hàm số f(x) xác định trên [a,b].

-Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên (a,b) nếu f(x) có
đạo hàm tại mọi điểm xthuộc (a,b).

-Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên [a,b] nếu f(x) có
đạo hàm trên (a,b) và có tại mọi điểm xthuộc (a,b).

II. Các cơng thức và quy tắc tính đạo hàm:

2.1. Các cơng thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2.

2
( . ) .

( )

( . ) . .
. .

k u k u

u v u v

u v u v u v

u u v u v

v v

 
  

  

   
   
 


 
 
2.3. Đạo hàm của hàm số hợp:

Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó





( ) ( ). ( )

   

y x u x y u x

2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có uu x( ),vv x( )

Ví dụ 1.4: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) yarctan x

b)y(arcsin )x 2

c)yexarctanexln 1e2x

d)y(x21)x3

Ví dụ 1.5: Nếu , trong đó F x( )f g x



( )



f( 2) 8,

( 2) 4,

  

f f(5)3,g(5) 2, g(5)6.
Tìm F(5).

III. Vi phân cấp một:

10
Vi phân(cấp một) của hàm sốf(x) là

( )





( )

df x

f x dx

dy



y dx



hay

Ví dụ 1.6.

Tìm vi phân của hàm số

y



e

x2

.

Định lý 2.3.

Nếu

u

,

v

là các hàm khả vi thì

1) (d u v )du dv .
2) ( . )d k u k du. .
3) ( . )d u v vdu udv .

4)d u vdu udv.

v v

  


 
 

Ví dụ 1.7.

Tính

) ( x)

a d x e

) ( x)
b d x e

) xx
c d

e

 

 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

15/10/2018

I. Đạo hàm cấp cao:

Định nghĩa 2.1.

Giả sử

y

=

f

(

x

) có đạo hàm cấp

một

thì đạo hàm

cấp hai

của hàm số

y=f

(

x

)

là

Tương tự, ta có đạo hàm cấp

n

của

f

(

x

) là

y







( )

y





f



x



f x



( ) ( ) ( 1)

( )

n n n

y



f

x

 



f



x







Ví dụ 2.1.

Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp

ba, cấp bốn, cấp

n

của hàm số

y



e

kx

,

k



const

.

Định lý 2.2 (Cơng thức Leibniz).

Giả sử u và

v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó

( ) ( ) ( )

( . )

n

n k k n k

n
k

u v

C u v







Ví dụ 2.3.

Tính của hàm số

2 2

.

x

y



x e

(20)

y

Ví dụ 2.2.

Cho hàm số Chứng

minh

sin .



y

x

2(

sin )

0. 











xy

y

x

xy

II. Vi phân cấp cao:

Định nghĩa 2.3.

Giả sử

y

=

f

(

x

) có đạo hàm đến

cấp

n

thì

vi phân cấp n

của hàm số

y

=

f

(

x

) là





( )

n n n n

d y



d d



y



y dx

Ví dụ 2.4.

Cho Tính

(2

3) .





y

x

dy d y d y

,

.

§3. Ứng dụng trong tốn học

I. Quy tắc L’Hospital khử các dạng vơ định:

Định lý 3.1.

Giả sử các hàm f và g khả vi trong

lân cận nào đó của x

0

(hoặc có thể trừ x

0

). Nếu

i

)

hay

và

tồn tại

thì

0 0

lim ( )

0

xx

f x



xx

g x



0 0

lim

( )

lim ( )

xx

f x



xx

g x

 

( )

lim

( )

x x

f x

g x





0 0

( )

lim

( )

x x x x

f x

g x

 









Chú ý 3.2.



Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc

L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định



Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital

nhiều lần.

0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

15/10/2018

Ví dụ 3.1.

Tính các giới hạn sau

3 2

5 6

) lim

2
x

x x

a

x x x



 
  

2
2
0

2 4

)lim

9 3
x

x
b

x


 
 

3
0

sin
) lim





x

x x

c

x

) lim
3





x
x

x x

d
e

2
3

ln
) lim



x

x
e

x ) lim sin .ln0







x

f x x

1 1 1

)lim

t an2 sin



 



 

 

x

g

x x x

cot
0

) lim (1 s in4 )

 

x
x

h x

II. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân:

20
( ) ( ) ( )(  )

f x f a f a x a

Phép xấp xỉ (*)
được gọi là xấp xỉ tuyến tính hoặc xấp xỉ tiếp tuyến

củaftại a.

Hàm tuyến tính L x( ) f a( )f a x( )( a)
được gọi là tuyến tính hóacủa ftại a.

3,98.

Ví dụ 3.2:

Tính gần đúng giá trị của

21
Đặt . Từ (*), ta có   x x a

(   ) ( ) ( )

f a x f a f a x

(   ) ( ) ( )

f a x f a f a x

( )

 y f a x

y là lượng tăng hoặc giảm của y khi x tăng hoặc giảm
một lượng là x

Ví dụ 3.3:Để chuẩn bị cho việc lát gạch nền nhà hình
vng, thầy Hiếu đo chiều dài một cạnh được kết quả
là 100m. Giả sử, phép đo của thầy có độ chính xác

trong phạm vi mm(sai số cho phép).

a) Ước tính sai số diện tích nền nhà theo sai số cho
phép nói trên. So sánh kết quả đó với sai số thực sự.
b) Nếu mỗi viên gạch có diện tích 1m2 và một hộp

gồm 12 viên gạch có giá là 24$ thì thầy Hiếu nên
dự trù chi phí tăng thêm là bao nhiêu để đảm bảo lót
đủ gạch cho nền nhà?

6


§4. Ứng dụng trong kinh tế

I. Trung bình của hàm:

Xét hai đại lượng kinh tế xvà ycó quan hệ hàm với
nhau y= f(x). Tỉ số

được gọi là trung bình của y.

( )
 f x

Ay
x

Ví dụ 4.1: Xét hàm tổng doanh thu R= P.Q.

Khi đó là doanh thu trung bình.ARP Q. P
Q

Ví dụ 4.2: Xét hàm tổng chi phí C = C(Q).

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

15/10/2018

II. Tốc độ biến thiên:

Xét hai đại lượng kinh tế xvà ycó quan hệ hàm với
nhau y= f(x).

Nếu x biến thiên từ x1 đến x2 thì độ thay đổi của xlà

và độ thay đổi tương ứng của ylà

Tỉ số

được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y tương 
ứng với x.

2 1

 x x x

2 1

( ) ( )

 y f x f x

2 1

( ) ( )




 

f x f x

y

x x x

Tốc độ thay đổi (tức thời) của y tương ứng với x tại
x = x1 là

2 1

1
0

2 1

( ) ( )

lim lim ( )

  






 

 

x x x

f x f x

y

f x

x x x

Ví dụ 4.3: Cho D(t) là nợ quốc gia của Mỹ tại thời
điểmt. Bảng dưới đây biểu thị các giá trị xấp xỉ của

hàm này bằng cách cung cấp các con số ước tính vào
cuối năm, đơn vị tính là tỷ USD, từ năm 1980 đến năm
2005.

a) Tìm mức tăng trưởng trung
bình của nợ quốc gia

(i) từ năm 1985 đến 1990.
(ii) từ năm 1990 đến 1995.
b) Ước tính mức tăng trưởng
tức thời của nợ quốc gia vào
năm 1990 bằng cách lấy trung
bình của hai tốc độ biến thiên
trung bình. Đơn vị tính của nó
là gì? Giải thích ý nghĩa của kết
quả đó.

II. Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm:

Cho hàm số y= f(x) xác định trên Dvới x, ylà các biến
số kinh tế (xlà biến đầu vào, ylà biến đầu ra). Gọi x0D.

Gọi làlượng thay đổicủaytại mứcx=x0khi biếnx
tăng thêm1 đơn vị từx0lênx0+ 1. Khi đó, được gọi

làgiá trị cận biên (Marginal value) haybiên tế của

biếnytại mứcx0.

y

Trong kinh tế, ta thường quan tâm đếnsự biến thiên của
y như thế nào tại một mức khi x tăng lên 1 đơn vị

từ lên .



x x

x x01

y
4.1. Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal value):

0 0

( 1) ( )
 y f x  f x

29
0

0
0

( ) ( )
( ) lim




 


x x

f x f x

f x

x x

Từ định nghĩa

ta đặt và , ta có  x xx0  y f x( )f x( 0)

0
0

( ) lim

 


 


x

y
f x

x

( ).

  y f x x

Khi thì . Nghĩa là, là xấp xỉ
của giá trị cận biêncủa y tại mứcx0.

 x  y f x( )0 f x( )0

30
0 .

x D

Hàm số được gọi làhàm biên tế(hàm cận

biên)của biếny.

( )

Myf x

Giá trị được gọi làbiên tế(giá trị cận

biên)của hàm sốf(x) tại điểmx0.

0 0

( ) ( )
My x f x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

15/10/2018

4.2. Ý nghĩa của biên tế: cho biết xấp xỉ lượng
thay đổi giá trị của biến ykhi biếnx tăng thêm1
đơn vị, từx0 lênx0+ 1. Cụ thể, ta có

( )
My x

( ) 0

My x  có nghĩa là khi x tăng1 đơn vị, từ x0 lên

( )
My x đơn vị.

( ) 0

My x  có nghĩa là khi x tăng1 đơn vị, từ x0 lên

( )
My x

 đơn vị.
khoảng

khoảng

x0 + 1 thì ysẽ tăng

x0 + 1 thì ysẽ giảm

Khi xét từng hàm kinh tế cụ thể, biên tế sẽ có tên gọi
tương ứng:

Nếu hàm tổng chi phíC=C(Q), trong đóQlà mức
sản lượng thì hàmchi phí biênlàC’(Q). Chi phí biên
là chi phí xấp xỉ của một đơn vị sản phẩm được tăng
thêm.

Nếu hàm tổng doanh thu R=R(Q), trong đó Q là
mức sản lượng thì hàm doanh thu biên là R’(Q).

Doanh thu biên là xấp xỉ của lượng doanh thu gia tăng
khi bán thêm một đơn vị sản phẩm.

Nếu hàm tổng doanh thu R= R(L), trong đó L là
lượng lao động thì hàmsản phẩm doanh thu biênlà

R’(L).Sản phẩm doanh thu biên là xấp xỉ của lượng
doanh thu gia tăng khi thuê thêm một đơn vị lao động.

Nếu hàm sản xuấtQ=Q(L), trong đóLlà lượng lao
động thì hàmsản phẩm hiện vật biên là Q’(L).Sản

phẩm hiện vật biên là xấp xỉ của lượng sản phẩm hiện
vật gia tăng khi tăng thêm một đơn vị lao động.
Nếu hàm tiêu dùngC=C(Y), trong đóYlà mức thu
nhập thì hàmxu hướng tiêu dùng biên làC’(Y).Xu
hướng tiêu dùng biên là xấp xỉ của lượng tiêu dùng khi
thu nhập tăng thêm một đơn vị. Hơn nữa, hàm xu
hướng tiết kiệm biên làS’(Y) = 1 - C’(Y).Xu hướng
tiết kiệm biên là xấp xỉ của lượng tiết kiệm khi thu
nhập tăng thêm một đơn vị.

Ví dụ 4.4:Giả sử chi phí trung bình ACđể sản suất
một đơn vị sản phẩm là

2 1

0, 0001 0, 02 5 500 , ( 0)

    

AC Q Q Q Q

a)Tìm hàm chi phí biên.

b)Tìm chi phí biên tại mức sản lượngQ= 50 đơn vị
và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.

c)Hãy ước tính chi phí để sản xuất sản phẩm thứ 51.
So sánh ước tính đó với chi phí thực sự của nó.

d)Nếu sản lượng tăng thêm 1/3 đơn vị sản phẩm từ

Q= 50 thì chi phí sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị tiền?

Ví dụ 4.5:Cho hàm tiêu dùng theo thu nhập Ynhư

dưới đây

Hãy xác định xu hướng tiêu dùng biên và xu hướng tiết
kiệm biên khiY= 100.

3
5(2 3)

.
10






Y
C

Y

Ví dụ 4.6: Giả sử hàm sản xuất Q (khối lượng sản

phẩm) của một doanh nghiệp cho bởi

trong đóL >0 là số cơng nhân.

Hãy ước tính sản phẩm hiện vật biên khi thêm 1 cơng
nhân nếu doanh nghiệp đang có 100 cơng nhân.

( ) 5 ,

 

Q Q L L

Ví dụ 4.7:Nhu cầu tiêu thụDcủa một loại sản phẩm
phụ thuộc vào giáPcủa sản phẩm đó. Giả sử rằng, giá

Pphụ thuộc vào thời giant. Cho biết nhu cầu tiêu thụ
sản phẩm này giảm 5000pounds khi giá tăng 1$ mỗi

pound, và giá mỗipoundsản phẩm này tăng 0,05$ mỗi
tuần. Hỏi lượng cầu giảm bao nhiêupoundsmỗi tuần?
Ví dụ 4.8:GọiClà hàm chi phí,Qlà mức sản lượng
vàPlà giá bán. Biết rằngP.Q= 100 và chi phí biên khi

Q= 200 là 0,01 (đơn vị tiền).

Tính dC khiQ= 200.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

15/10/2018

4.3. Độ thay đổi tuyệt đối và độ thay đổi tương đối:
Xét hàm sốy=f(x).Khi biến số tăng từx0đếnxthì ta có

-Độ thay đổi (tăng, giảm) tuyệt đốicủa biếnxtạix0là

0
 x xx

Độ thay đổi tuyệt đối của biếnxphụ thuộc vào đơn vị
chọn để đo biếnx.

-Độ thay đổi tương đốicủa biếnxtạix0là

100%




x
x

Độ thay đổi tương đối của biếnxkhông phụ thuộc vào
đơn vị chọn để đo biếnx.

Ví dụ 4.9:

Một căn hộ có giá cũ là 200 triệu

đồng. Nếu tăng giá lên 201 triệu đồng thì độ

tăng tuyệt đối là bao nhiêu? Độ tăng tương đối

là bao nhiêu?

Ví dụ 4.10:

Một chiếc điện thoại Samsung có

giá cũ là 4 triệu đồng. Nếu tăng giá lên 5 triệu

đồng thì độ tăng tuyệt đối là bao nhiêu? Độ

tăng tương đối là bao nhiêu?

39
4.4. Độ co dãn:

-Để đo mức độ phản ứng của biếnykhi biếnxthay đổi,
người ta đưa vào khái niệm hệ số co dãn.

-Độ co dãn của đại lượngytheo đại lượngxlà tỉ số giữa
độ thay đổi tương đối củayvà độ thay đổi tương đối của

x,ký hiệu là yx
Ta có

.
%





 

  



 

yx

y

y y y x

x

x x y

x

Từ đó, vớixkhá bé, ta có

lim . ( ).


 

 



  



 

yx x

y x x

y x

x y y

Ví dụ 4.11:

Một nhà kinh tế học đã ước lượng

rằng khi giá thuốc tăng 10% thì sẽ gây ra sự sụt

giảm về nhu cầu thuốc lá của những người

trung niên là 12%.

a)

Tìm độ co dãn của nhu cầu thuốc lá theo giá

thuốc lá.

b)

Nếu chính phủ muốn giảm nhu cầu thuốc lá

đến 20% thì chính phủ cần tăng giá thuốc lá lên

bao nhiêu phần trăm?

Hệ số co dãn của biếnytheo biếnxtạix0là

0 0

0
( ) ( )

( )
yx x y x  x

y x

4.6. Ý nghĩa của hệ số co dãn: cho biết xấp xỉ
độ thay đổi tương đối của biến ytại x = x0 khi biến x

tăng tương đối lên 1%(từ x0 lên x0+1%x0=1,01x0).
Cụ thể, ta có

( )

yx x



( ) 0


 yx x  có nghĩa làcó nghĩa là tại x= x0, khix
tăng1% thìysẽtăngyx( )%.x0

có nghĩa làcó nghĩa là tại x= x0, khix
tăng1% thìysẽgiảmyx( )%.x0

( ) 0


 yx x 

4.5. Hệ số co dãn:

Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa ra các khái niệm sau:
Nếu thì hàmfđược gọi làco dãntạix0(hàm

số có phản ứng nhanh với sự thay đổi của biến số). Khi
đó, điểm (x0;y0) được gọi làđiểm co dãn.

Nếu thì hàmfđược gọi làđẳng co dãntạix0

Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm đẳng co dãn

(điểm co dãn đơn vị).

Nếu thì hàmfđược gọi làkhơng co dãntại

x0(hàm số có phản ứng chậm với sự thay đổi của biến

số). Khi đó, điểm (x0;y0) được gọi làđiểm không co

dãn.
0

( ) 1
yx x 

( ) 1
yx x 

</div>

Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 3 - Phan Trung Hiếu (2018)

15/10/2018

<i><b>Chương 3:</b></i>

<i><b>Đạo hàm và vi phân</b></i>

<i><b>hàm một biến</b></i>

<b>§1. Đạo hàm và vi phân của </b>

<b>hàm một biến</b>

<b>I. Đạo hàm cấp một:</b>

<b>Định nghĩa 1.1.</b>

Cho hàm số

<i>f</i>

(

<i>x</i>

) xác định trên

khoảng mở chứa

<i>x</i>

.

<i><b>Đạo hàm</b></i>

(cấp một) của

hàm số

<i>f</i>

(

<i>x</i>

) tại

<i>x</i>

, ký hiệu

, được

tính bởi

( )

( )

( )

lim

<i>f x</i>

<i>f x</i>

<i>f x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>









( )

( )

<i>y x</i>





<i>f x</i>



nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.

<b></b>

<b>Chú ý 1.2.</b>

Nếu

tồn tại thì

<i>f</i>

(

<i>x</i>

) được

gọi là

<i>khả vi</i>

tại

<i>x</i>

.

(

)

<i>f x</i>



<b>Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)</b>

<b>Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)</b>

<b>Định lý 1.5:</b>

<b>Định lý 1.6:</b>

<i>f</i>

(

<i>x</i>

)

<i>có đạo hàm tại x</i>



<i>f</i>

(

<i>x</i>

)