Hiệu ứng âm - điện lượng tử phi tuyến trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (609.88 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

HIệU ứNG ÂM-ĐIệN LƯợNG Tử PHI TUYếN

TRONG DÂY LƯợNG Tử HìNH Trụ

VớI Hố THế CAO VÔ HạN

NGUYễN VĂN NGHĩA*, NGUYễN Vũ NHÂN**, 
NGUYễN QUANG BáU***, ĐINH QUốC VƯƠNG***

Túm tt: Hiu ng õm-in lượng tử phi tuyến trong dây lượng tử hình trụ với hố 
thế cao vô hạn được nghiên cứu lý thuyết trên cơ sở phương trình động lượng tử cho 
hàm phân bố điện tử tương tác với sóng âm trong (phonon trong) và sóng âm ngồi 
(phonon ngồi). Đã nhận được biểu thức giải tích cho dịng âm-điện phi tuyến trong 
dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn. Đã chỉ ra sự phụ thuộc của biểu thức 
dòng âm-điện vào nhiệt độ của hệ, vào số sóng âm, tần số sóng âm ngoài và các 
tham số của dây lượng tử hình trụ. Kết quả nhận được đối với dòng âm-điện bước 
đầu được đánh giá số, khảo sát đồ thị và bàn đối với dây hình lượng tử trụ 
GaAs/AlAs. Kết quả khảo sát được so sánh với các kết quả tương ứng trong bán dẫn 
khối và giếng lượng tử để thấy rõ sự khác biệt.

Tõ khãa: VËt lý b¸n dÉn, vËt lý b¸n dÉn cÊu tróc nano, vËt lý b¸n dÉn thÊp chiều.

1. ĐặT VấN Đề

Trong nhng thp niờn gn đây, các nhà nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm quan tâm
nhiều tới các màng mỏng và vật liệu bán dẫn thấp chiều [1-2] như các hố lượng tử
(quantum wells), các siêu mạng (superlattices) và dây lượng tử (quantum wires) cũng như
các chấm lượng tử (quantum dots). Các kết quả nghiên cứu cho thấy hứa hẹn xuất hiện một
công nghệ vật liệu, thiết bị điện tử thế hệ mới. Trong các cấu trúc thấp chiều đó, dây lượng
tử thu hút được rất nhiều sự quan tâm nghiên cứu hiện nay.

Tương tác của sóng âm với bán dẫn thấp chiều nói chung hay dây lượng tử nói riêng

được đặc biệt quan tâm. Chính sự lan truyền của các phonon âm ngoài vào bán dẫn làm gia
tăng chuyển động của các điện tử dẫn trong vật liệu làm xuất hiện một dòng âm-điện. Đối
với dây lượng tử là sự xuất hiện một hiệu ứng âm-điện dọc, hay một dịng điện khơng đổi
chạy dọc trong mẫu (dây lượng tử) ngược chiều với sóng âm. Một số cơng trình lý thuyết
về hiệu ứng âm-điện đã được nghiên cứu trong bán dẫn khối, bán dẫn mẫu Kane và bán
dẫn lưỡng cực [3-5]. Gần đây, bài toán về hiệu ứng âm-điện trong các bán dẫn thấp chiều
bắt đầu được quan tâm nghiên cứu như trong hố lượng tử [6], trong siêu mạng pha tạp [7,
8] và trong dây lượng tử hình trụ [9]. Ngoài ra các nhà thực nghiệm đã đo đạc hiệu ứng này
bằng phương pháp thực nghiệm trong dây dẫn lượng tử [10], trong ống nano cacbon [11],
và trong giếng lượng tử InGaAs [12]. Tuy nhiên, bài toán về hiệu ứng âm-điện trong dây
lượng hình trụ vẫn cịn bỏ ngỏ. Vì vậy, chúng tơi quan tâm nghiên cứu hiệu ứng âm-điện
lượng tử phi tuyến trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn trên cơ sở phương
pháp phương trình động lượng tử.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

hố lượng tử [12,13] để làm rõ sự khác bit.

2. HIệU ứNG ÂM-ĐIệN LƯợNG Tử
TRONG DÂY LƯợNG Tử HìNH TRụ

2.1.Hm súng v ph nng lng trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vơ hạn
Xét dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vơ hạn, trong đó giả thiết rằng 0z là phương
điện tử có thể chuyển động tự do và bị giam cầm theo hai phương còn lại 0x và 0y. Hàm
riêng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình trụ bán kính R với hố thế cao
vô hạn được viết dưới dạng:





exp ( )
exp
1
)
( ,

2
,

, z r

p
i
in

L
R

r z nl

p
l
n




















 (r < R) (1)

 

* 2

2
,
2
*
2
2
,
2

2 m R

B
m

p

p z nN

z
l
n








(2)

trong đó m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử; l = 1,2,3,... là các số lượng tử xuyên tâm,

n = 0, 1, 2, ... là số lượng tử góc phương vị; R là bán kính của dây lượng tử; L là chiều

dài của dây lượng tử; p= (0,0,pz) là véc tơ động lượng của điện tử dọc theo trục z và








 R
r
B
J
B
J

r n nl

l
n
n
l
n ,
,
1

,
)
(
1
)
(

 là hàm sóng xuyên tâm của các điện tử chuyển động trong
mặt phẳng (Oxy), với Bn,l là nghiệm thứ l của hàm Bessel cấp n.

2.2. Phương trình động lượng tử trong dây lượng tử hình trụ khi có mặt sóng âm
Chúng ta giả sử rằng sóng âm bên ngồi có tần số



q được truyền dọc theo dây lượng
tử hình trụ với hố thế vô hạn. Chúng tôi xét các trường hợp thực tế nhất từ điểm thực
nghiệm ở nhiệt độ thấp, khi đó



q

/

 



s

q /





1

và ql >> 1, ở đây



là tần số dao
động của điện tử, vs vận tốc của sóng âm, q là số sóng âm ngồi và l là quãng đường tự do
trung bình của điện tử. Giả thiết rằng các sóng âm ngồi như là một bó sóng phonon, xuất
phát từ Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-phonon trong và phonon ngoài trong dây
lượng tử hình trụ trong sự lượng tử hóa lần thứ hai (thứ cấp) được viết di dng sau:

q
l
n
l
n
q
q
p
l
n
q
p
l
n
l
n
l
n
q
k
k
k

k
k
l
n
l
n
k
k
p
l
n
k
p
l
n
k
l
n
l
n
p
l
n
p
l
n
p
l
n
z

l
n
t
i
b
a
a
U
C
b
b
b
b
a
a
C
I
a
a
p
H
z
z
z
z
z
z
z

,'
,'
,
, ,' ,'
,'
,'
'
,'
,

,'
,'
,
,
,'
,'
,'
,'
'
,'
,
,
,
,
,
,
,
,
)
exp(
)
(
'
'

(3)

ở đây, C k



vsSL



k  / 2 là thừa số tương tác giữa điện tử-phonon âm trong;



là mật

độ khối lượng của bán dẫn;



là hằng số thế dạng; Cq i vl q/



2FS



2 

    lµ thõa sè

tương tác giữa điện tử-phonon âm ngoài, với F q





1 l



/2t



l/t 2





1 t



/2t



2
2




 ,
2
/
1
2
2
)
/
1
( s l

l  v v

 , 2 2 1/2

)
/
1
( s t

t  v v

 và S = LxLy là thiết diện của dây lượng tử hình trụ;

vl (vt) lµ vËn tèc däc (ngang) của sóng âm;

z
p
N
n
a
,

, (anN pz

,

, ) là toán tử sinh (hủy) của điện

tử;

b

k (

k

b) là toán tử sinh (hủy) của phonon âm trong;

q

b là toán tử hủy của phonon âm

ngoi; q l vộct sóng phonon ngồi; n,k



n',kq



là trạng thái tương tác trước (sau)

cđa ®iƯn tư;  









R
l
n
l
n
l
l
n
l

n r r iq r dr

L
k

U * ,

'
,'

, ( ) ( )exp

)
exp(

2  



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

U = exp(iqy - klz); kl = (q
2

– (ïq/vl)
2

)1/2 là thừa số tắt dần theo không gian của vùng thế
năng của điện trường thay đổi; 



 

R
l
n
l
n
n
n
l

n
l

n J q R r r rdr

R
I
0
,
*
'
,'
'|
|
2
'
,'
, ( ) ( ) ( )

là thừa số dạng
của điện tử và

q

là véc tơ sóng trong mặt phẳng (Oxy).

thit lp phng trình động lượng tử cho điện tử khi có mặt của sóng siêu âm,
chúng ta sử dụng phương trình chuyển động cho giá trị trung bình thống kê đối với các
điện tử

t
p
l
n
p
l
n
H
t
f
t
t
f
i
z
z
),
(
)
(
,
,
,
,  
 



, ở đây kí hiệu

t

X

có ý nghĩa trung bình của nhiệt
động lực học của toán tử X thông thường và

t
p
l
n
p
l
n
p
l

n z t a za z

f

,
,
,
,
,
, ( )

là toán tử số hạt hay
hàm phân bố điện tử.

S dng Hamiltonian trong phương trình (3) và thực hiện tính tốn, chúng ta nhận được
phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử khi có mặt sóng siêu âm ngoài
được viết dưới dạng sau:







2 2
, ,
, , ', ' , , ', ',
2
', ',

( )

z
z z

n l p

q n l n l q n l p n l p q
n l q

f

t

C

I

N

f

t







 










  






n l p', ', z q n l p, , z q

 

f

n l p, , z

f

n l p', ', z q

 

n l p', ', z q n l p, , z q



 









 









 

















   















f

n l p', ', zq

f

n l p, , z

 

 

n l p, , z



n l p', ', 'zq



q





 



 



 









fn l p', ', zq fn l p, , z

 

 

n l p, , z



n l p', ', 'zq



q





          



 





2
2
, , ', ' , , , ,

2 ', ', ', ',

', ',

z z z z

k n l n l k n l p n l p k n l p k n l p q k

n l k

C

U

N

f



 





 









   





















fn l p', ', zq fn l p, , z

 

 

n l p, , z



n l p', ', zq



q



k





             (4)

ở đây, Nq (Nk) là số hạt phonon ngoài (phonon trong) và



là hàm delta Kronecker.
2.3. Dòng âm-điện lượng tử phi tuyến trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vơ

h¹n

Để giải phương trình động lượng tử (4) thuận lợi, chúng ta thay thế fn,l,p bởi fF + f(t),
với fF là hàm Fermi cân bằng và f(t) là hàm có dạng:













z z
z z

z z
2
2 n',l'

q n ,l q n ,l ,p n',l', p q n',l' z n ,l z q
2

n',l',q

n ,l ,p n',l', p q n',l' z n ,l z q
2

2 n',l'

k n ,l k n ,l ,p

2 n',l', p k

n',l',k

2

f ( t ) C I N f f ( p q ) ( p )

f f ( p q ) ( p )

C U N f f


   

   




 
       
 
      

 




  

  

 

  


  















z
z

n',l' z n ,l z q k

n ,l ,p n',l' z n ,l z q k
n',l', p k

( p k ) ( p )

f f ( p k ) ( p )

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Mật độ dịng âm-điệncó biểu thức chung:

 

 



l
n

z

p f t dp

v
e
j

z
,





(6)

ở đây,



là thời gian hồi phục xung lượng; vpz là vận tốc dịch chuyển trung bình của các
điện tích dịch chuyển được tính bởi cơng thức vp nl pz pz

z











, ( )/ .

Thay phương trình (5) vào phương trình (6) với giả thiết cơ chế tán xạ điện tử-phonon
âm trong, kết quả tính thu được biểu thức giải tích cho dịng âm-điện trong dây lượng tử
hình trụ với hố thế cao vơ hạn có dạng:

F

2 3 2

2

0 n',l' 2

n ,l n ,l

5

n ,l ,n',l'

s q

3
3

3 2 1 0

e f 2m

j e I exp B

2 v m 2m

2m

e K ( ) 3K ( ) 3K ( ) K ( )





 

















 

    

 

     

   

   



      

  

  







 



F

3
3

3 2 1 0

2 4 2 2 3 / 2 2

2

l q 0 n',l' 2

n ,l n ,l

6

n ,l ,n',l'
s

5 / 2

5 3 1 1

2 2 2 2

2m

e

K (

) 3K (

) K (

)

e

v

f W

4m

e

U

exp

B

FSv

2m

e

K (

) 3K (

) K (

)











 

















 

    



    









































































































5 / 2

5 3 1 1

2 2 2 2

e



K (



) 3K (



) 3K (



) K (



)

    





 



(7)

ở đây,

q

l
n
l
n

m
R

B
B

m







2

2
,
2

,'
2

)
(




;

k



     với



= 1/kBT; kB là hằng
số Boltzmann; T là nhiệt độ của hệ;



F là năng lượng Fermi và Kn(x) là hàm Bessel loại 2.

Biểu thức (7) chính là biểu thức giải tích của dịng âm-điện trong dây lượng tử hình trụ
với hố thế cao vơ hạn. Như vậy, từ phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử,
chúng ta đã thu được biểu thức giải tích của dịng âm-điện trong dây lượng tử hình trụ với
hố thế cao vơ hạn. Biểu thức (7) cho thấy sự phụ thuộc của dòng âm-điện vào nhiệt độ T

của hệ, vào số sóng, tần số sóng âm ngồi và bán kính của dây lượng tử hình trụ với hố thế

cao vô hạn là phi tuyến. Những kết quả này hoàn toàn khác biệt so với những kết quả thu
được khi tính tốn dịng âm-điện trong bán dẫn khối [4] và trong hố lượng tử [12,13].
2.4. Kết quả khảo sát số và thảo luận

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

vt = 18.10
2ms-1; v

s = 5370ms

-1;



=13,5eV; 
q



= 1,46.109 s-1; e = 2,07e
0; m

* = 0,067m
e (me
là khối lượng của electron tự do) và n=0,±1; n’=0,±1; l=1; l’=1.

Đồ thị biểu diễn trên hình 1 biểu diễn sự phụ thuộc của dòng âm-điện vào nhiệt độ T

của hệ ứng với các giá trị khác nhau của số sóng: q = 2.108 m-1, q = 3,1.108 m-1 và q =
4,2.108 m-1. Nhận thấy từ đồ thị, ứng với mỗi giá trị số sóng q khác nhau đường biểu diễn
dòng điện là khác nhau. Cụ thể, giá trị số sóng càng lớn thì đồ thị biểu diễn dịng
âm-điện càng được mở rộng về phía dưới. Tuy nhiên, dáng điệu đều có một đặc điểm chung là
trị số của dòng âm-điện giảm nhanh khi nhiệt độ của hệ tăng trong vùng nhiệt độ thấp và
trị số sẽ tăng khi nhiệt độ của hệ tăng lên trong vùng nhiệt độ cao. Giá trị của dòng
âm-điện đạt xấp xỉ một hằng số khi nhiệt độ dao động trong miền nhiệt độ từ 40K đến 70K.
Khi so sánh kết quả này với kết quả thu được trong hố lượng tử [12,13] và trong bán dẫn
khối [4] cho thấy dịng âm-điện đều có dạng phi tuyến nhưng sự phụ thuộc hay dáng điệu

đường cong biểu din l hon ton khỏc bit.

Đồ thị biểu diễn trên hình 2, biểu diễn sự phụ thuộc của dòng âm-điện vào bán kính R

ca dõy lng t ng với các giá trị nhiệt độ khác nhau: T = 200K, T = 130K và T = 100K.
Đồ thị cho thấy ứng với mỗi giá trị của T đường cong biểu diễn là khác nhau. Kết quả cho
thấy trên đường biểu diễn tồn tại một vùng cộng hưởng hay dịng âm-điện có giá trị cực đại
ứng với một giá trị R=rđ xác định. Nhận thấy đỉnh cực đại này sẽ dịch chuyển ứng với từng
giá trị khác nhau của nhiệt độ T. Cụ thể khi nhiệt độ T tăng lên, đỉnh cực đại của đồ thị
dịch chuyển về bên phải theo chiều tăng của bán kính dây lượng tử. Để làm rõ hơn sự phụ
thuộc của dịng âm-điện vào bán kính dây, chúng ta xem xét bán kính dây trong các miền
giá trị khác nhau. Nhận thấy, trong miền bán kính R<rđ dòng âm-điện tăng rất nhanh theo
trị số của bán kính dây. Cịn trong miền R>rđ dịng âm-điện suy giảm chậm khi bán kính
dây tăng lên. Nếu tiếp tục tăng bán kính R lên cỡ micromet thì sự phụ thuộc này sẽ trở
thành tuyến tính hay khơng cịn cấu trúc của dây lượng tử nữa.

H×nh 1. Sù phơ thc của dòng âm-điện

vo nhit T ca hng vi

các giá trị số sóng khác nhau.

Hình 2. Sự phụ thuộc của dòng âm-điện 
vào bán kính ứng với các giá trị

nhit khỏc nhau.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

3 cho thấy vị trí của đỉnh cực đại khơng bị dịch chuyển khi số sóng q thay đổi mà chỉ khác
nhau về biên độ, trong khi đồ thị ở trên hình 2 các đỉnh cực đại sẽ dịch chuyển vị trí và có
biên độ thay đổi ứng với các giá trị khác nhau của nhiệt T.

Hình 3. Sự phụ thuộc của dòng âm-điện vào 
bán kính ứng với các giá trị

số sãng q kh¸c nhau.

Hình 4. Sự phụ thuộc của dịng âm-điện vào 
chiều dài dây dẫn ứng với giá trị nhit

khác nhau.

Đồ thị biểu diễn trên hình 4 biểu diễn sự phụ thuộc của dòng âm-điện vào chiều dµi L

của dây lượng tử khi ta xét số sóng q = 2.2.107 m-1, bán kính R = 3,6.10-9 m ứng với các 
nhiệt độ: T = 100K, T = 160K và T = 170K. Đồ thị cho thấy, ứng với mỗi giá trị nhiệt độ T

xác định, đồ thị biểu diễn là khác nhau. Cụ thể, nhiệt độ càng cao, đường cong đồ thị biểu
diễn bị dịch chuyển về bên phải theo chiều tăng độ dài L của dây lượng tử. Trong miền L

có giá trị nhỏ dòng âm-điện giảm rất nhanh và khi L > 1,7.10-7 m cường độ dịng âm-điện 
có giá trị gần như khơng đổi.

Đồ thị biểu diễn trên hình 5 biểu diễn sự phụ thuộc của dòng âm-điện vào bán kính của
dây lượng tử và nhiệt độ của hệ ứng với chiều dài dây lượng tử L = 90.10-9 m và số sóng q
= 3,2.108 m-1. Từ đồ thị chúng ta nhận thấy, dòng âm-điện đạt giá trị cực đại tại nhiệt độ và 
bán kính dây xác định tương ứng là rđ và Tđ. Trong miền R < rđ và T < Tđ dòng âm-điện
tăng rất nhanh, còn trong miền R > rđ và T > Tđ dòng âm-điện bắt đầu suy giảm.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

3. KÕT LUËN

Trong bài báo này, trên cơ sở phương pháp phương trình động lượng tử và xuất phát từ
Halmiltonian của hệ điện tử-phonon âm trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vơ hạn,
trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm được coi là trội đã nhận được: Phương trình động
lượng tử trong dây lượng hình trụ khi có mặt của sóng âm ngồi, nhận được biểu thức giải
tích của hàm phân bố điện tử cũng như biểu thức giải tích của dịng âm-điện trong dây
lượng tử hình trụ kể trên. Kết quả chỉ ra rằng dịng âm-điện khơng những phụ thuộc phi
tuyến vào các thông số đặc trưng của dây lượng tử hình trụ như chiều dài dây L và bán kính
dây R mà cịn phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ T của hệ, số sóng q và tần số sóng âm ngồi.

Kết quả lý thuyết nhận được cho hiệu ứng âm-điện lượng tử phi tuyến trong dây lượng
tử hình trụ với hố thế cao vơ hạn bước đầu được tính số, vẽ đồ thị và bàn luận đối với dây
lượng tử GaAs/AlAs. Kết quả tính số và đồ thị biểu diễn cho thấy dịng âm-điện phụ thuộc
phi tuyến mạnh vào các tham số như nhiệt độ T, bán kính và chiều dài của dây lượng tử và
dịng âm-điện có một giá trị cực đại (đỉnh cực đại). Khi bán kính dây lượng tử hình trụ có
kích thước vào cỡ trên 10-6m thì kết quả này trở lại kết quả của dịng âm-điện trong các bán
dẫn khối [4]. Sự phụ thuộc của dòng âm-điện vào chiều dài dây lượng tử sẽ giảm nhanh
trong vùng L có giá trị nhỏ, khi L > 1,7.10-7 m giá trị dòng âm-điện gần như khơng đổi. 
Theo nhiệt độ T, dịng âm-điện giảm đáng kể trong vùng nhiệt độ thấp và lại tăng mạnh
trong vùng nhiệt độ cao. Tuy nhiên trong miền nhiệt độ từ 40K đến 70K dòng âm-điện có
giá trị gần như khơng đổi. Các kết quả này là hoàn toàn khác biệt so với kết quả thu được
trong bán dẫn khối [4] cũng như trong hố lượng tử [12, 13] là vì dây lượng tử thuộc cấu
trúc hệ một chiều còn hố lượng tử thuộc cấu trúc hệ hai chiều và bán dận khối có cấu trúc
ba chiều.

Lời cám ơn: Nghiên cứu này được hoàn thành với sự giúp đỡ về tài chính từ đề tài nghiên 
cứu cấp Đại học Quốc gia Hà Nội (mã số QG.TD.12.01)

TµI LIƯU THAM KH¶O

[1]. A. Wixforth, M. Wassermeier, J. Scriba, J. P. Kotthaus, G. Weimann, and W.

Schlapp, “Surface acoustic wave on GaAs-AlGaAs heterostructures”, Phys. Rev., 
B40 (1989), p.7874.

[2]. I. L. Drichko, A. M. D’Yakonov, A. M. Kreshchuk, et al., “Electron localization in 
sound absorption oscillations in the quantum hall effect regime”, Sov. Phys. Sol. 
State., 31 (1997), pp.451-458.

[3]. V.V. Afonin, Y.M. Galperin, “Acoustoelectric effect and phonon-drag electron 
thermoelectric-power under weak localization conditions” Semiconductor., B27, 
No.1 (1993), pp.61-65.

[4]. E. M. Epshtein, Y. V. Gulyaev, “Acoustomagnetoelectric effect in conductors with 
monopolar condutivity”, Sov. Phys. Sol. State., B9, No.2(1967), pp.288-293.

[5]. Y. M. Galperin, O. Entin-Wohlman, Y. Levinson, “Quantized acoustoelectric current 
in a finite-length ballistic quantum channel: The nose spetrum ”, Phys. Rev., B63

(2001), pp.153309-153313.

[6]. R. H. Parmenter, “The acousto-electric effect”, Phys. Rev., B89 (1953), pp.990-998. 
[7]. S. Y. Mensah, F.K.A. Allotey, N.G. Mensah, H. Akrobotu, G. Nkrumah, “The

influence of external electric field on acoustoelectric effect in a superlattice”, J Phys. 
Superlatt. Micros., B37 (2005), pp.87-97.

</div>

Hiệu ứng âm - điện lượng tử phi tuyến trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn