Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động: Chương 4 - Khảo sát tính ổn định của hệ thống - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (200.9 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI GIẢNG

LÝ THIẾT

ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Thạc sĩ VÕ VĂN ĐỊNH

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

4.1 Khái niệm về ổn định

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

4.1.1 Định nghĩa

Hệ thống được gọi là ở trạng thái ổn định, nếu với tín hiệu vào
bị chặn thì đáp ứng của hệ thống cũng bị chặn (Bounded Input
Bounded Output = BIBO)

Yêu cầu đầu tiên của hệ thống ĐKTĐ là hệ thống phải giữ
được trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và
chịu ảnh hưởng của nhiễu lên hệ thống.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4.1.1 Định nghĩa

Đối với hệ tuyến tính đặc tính của q trình q độ khơng phụ
thuộc vào giá trị tác động kích thích. Tính ổn định của hệ tuyến
tính khơng phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tín hiệu vào và
trong hệ tuyến tính chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng.

Phân biệt ba trạng thái cân bằng:
- Biên giới ổn định

- ổn định

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

4.1.1 Định nghĩa

Trên hình vẽ ta thấy nếu thay đổi nhỏ trạng thái cân bằng của
quả cầu, chẳn hạn cho nó một vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé thì
quả cầu sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới vị trí a, hoặc sẽ
dao động quanh vị trí cân bằng vị trí b và vị trí d, hoặc sẽ
không về trạng thái ban đầu vị trí c. Trong trường hợp đầu, ta
có vị trí cân bằng ở biên giới ổn định, trường hợp sau là ổn
định trường hợp thứ ba là không ổn định.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

4.1.1 Định nghĩa

Cũng ở vị trí b và vị trí d, nếu quả cầu với độ lệch ban đầu lớn
thì cũng sẽ không trở vể trạng thái ban đầu được - hai trạng
thái b và d chỉ ổn định trong phạm vi hẹp mà không ổn định
trong phạm vi rộng.

b d

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính

Một hệ thống ĐKTĐ được biểu diễn bằng phương trình vi
phân dạng tổng quát:

(4.1)

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

1
1
1
1
0
1
1
1

1
0

t

r

b

dt

t

dr

b

dt

t

r

d

b

dt

t

r

d

b

t

c

a

dt

t

dc

a

dt

t

c

d

a

dt

t

c

d

a

m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n















(4.2)

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

1
1
1
0
1
1
1
0

s

A

s

B

a

s

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

b

s

R

s

C

s

G

n
n
n
n
m
m
m
m












</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính

Nghiệm của (4.1) gồm hai thành phần:

(4.3)

)

(

)

(

)

(

t

c

0

t

c

t

c





qđ

Trong đó:

- c0(t) : là nghiệm riêng của (4.1) có vế phải, đặc trưng cho quá
trình xác lập

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính

Dạng nghiệm đặc trưng cho quá trình quá độ trong hệ thống:

(4.4)

)

(





n

i

t
p

i
qđ

i

e

t

c



Trong đó pi là nghiệm của phương trình đặc tính:

(4.5)

0 ...

)

(

s



a

0

s

n



a

1

s

n1



a

n1

s



a

n



A

pi có thể là nghiệm thực cũng có thể là nghiệm phức liên hợp
và được gọi là nghiệm cực của hệ thống. Đa thức mẫu số hàm
truyền đạt là A(s) bậc n do đó hệ thống có n nghiệm cực pi

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính

Zero là nghiệm của phương trinh B(s) = 0. Tử số hàm truyền
đạt G(s) là đa thức bậc m (m < n) nên hệ thống có m nghiệm
zero - zj với j = 1, 2, …, m.

Hệ thống ổn định nếu:

(4.6)

0 )

(

lim







c

qđ

t

Hệ thống không ổn định nếu:

(4.7)

)

(

lim







c

qđ

t

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính

Trong phương trình (4.4) hệ số



i là hằng số phụ thuộc vào
thông số của hệ và trạng thái ban đầu.

Nghiệm cực pi được viết dưới dạng:

(4.8)

i
i

i

j

p



























i
i
i
t
t
p
i
t

t

Me

e

i
i











)

cos(

2

0 lim

Nếu i < 0 Hệ ổn định

Nếu



i = 0

Nếu i > 0 Hệ không ổn định

nếu pi là nghiệm phức
nếu pi là nghiệm thực

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính

Phân biệt ba trường hợp phân bố cực trên mặt phẳng phức số:
1. Phần thực của nghiệm cực dương



i > 0

2. Phần thực của nghiệm cực dương bằng 0
3. Phần thực của nghiệm cực âm



i < 0

Mặt phẳng S
Re
Im

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính

Ổn định của hệ thống chỉ phụ thuộc vào nghiệm cực mà không
phụ thuộc vào nhiệm zero, do đó mẫu số hàm truyền đạt là

A(s) = 0 được gọi là phương trình đặc tính hay phương trình
đặc trưng của hệ thống.

1 – Hệ thống ổn định nếu tất cả các nghiệm của phương trình
đặc tính đều có phần thực âm: Re[pi] < 0,



i < 0 các nghiệm
nằm bê trái mặt phẳng phức:

2 – Hệ thống không ổn định nếu có dù chỉ là một nghiệm
phương trình đặc tính (4.9) có phần thực dương (một nghiệm
phải) còn lại là các nghiệm đều có phần thực âm (nghiệm trái)
Kết luận:

(4.9)

0 ...

)

(

s



a

0

s

n



a

1

s

n1



a

n1

s



a

n



</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính

3 – Hệ thống ở biên giới ổn định nếu có dù chỉ là một nghiệm
có phần thực bằng khơng cịn lại là các nghiệm có phần thực
âm (một nghiệm hoặc một cặp nghiệm phức liên hợp nằm trên
trục ảo).

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính

Tất cả các phương pháp khảo sát ổn định đều xét đến phương

trình đặc tính (4.9) theo một các nào đó. Tổng quát, ba cách
đánh giá sau đây thường được dùng để xét ổn định:

1- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh - Hurwitz.

2- Tiêu chuẩn ổn định tần số Mikailov - Nyquist - Bode.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

4.2.1 Điều kiện cần

Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của
phương trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu.

Ví dụ: hệ thống có phương trình đặc trưng:

0

1

2

3 







s

không ổn định

0

3

5

2 



s

không ổn định

0

1

2

5

4

3 2





s

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

0 ...

)

(

s



a

0

s

n



a

1

s

n1



a

n1

s



a

n



A

Muốn xét tính ổn định tính ổn định của hệ thống thei tiêu
chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo quy tắc:
- Bảng Routh có (n + 1) hàng.

- Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẵn.
- Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẽ.

- Phần ở hàng i cột j của bảng Routh (i > 3) được tính theo
cơng thức:

1
,
1

2 

.

 





i j i i j

ij

c



1
,
1

1
,
2






i
i
i

c



</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Bảng Routh:

sn c

11= a0 c12=a2 c13=a4 c14=a6

-sn-1 c

21=a1 c22=a3 c23=a5 c24=a7

-sn-2 c

31=c12-3c22 c32=c13-3c23 c33=c14-3c24 c34=c15-3c25

-sn-3 c

41=c22-4c32 c42=c23-4c33 c43=c24-4c34 c44=c25-4c35

-- - -

-s0 c

n1=cn-2,2-ncn-1,2
11

c
c

 

21
4

c
c

 

2 ,1
1,1

n
n

n
c

c

 

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Phát biểu tiêu chuẩn Routh

Điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của phương trình 
đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức là tất cả các phần tử

nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Ví dụ 1: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình
đặc trưng là:

0

1

2

5

4

3 2





s

s4 1 5 1

S3 4 2 0

S2 1

S1 0

S0 1

Giải: Bảng Routh

</div>

Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động: Chương 4 - Khảo sát tính ổn định của hệ thống - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

<b>ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG</b>

(4.1)

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

<i>t</i>

<i>r</i>

<i>b</i>

<i>dt</i>

<i>t</i>

<i>dr</i>

<i>b</i>

<i>dt</i>

<i>t</i>

<i>r</i>

<i>d</i>

<i>b</i>

<i>dt</i>

<i>t</i>

<i>r</i>

<i>d</i>

<i>b</i>

<i>t</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>dt</i>

<i>t</i>

<i>dc</i>

<i>a</i>

<i>dt</i>

<i>t</i>

<i>c</i>

<i>d</i>

<i>a</i>

<i>dt</i>

<i>t</i>

<i>c</i>

<i>d</i>

<i>a</i>





















(4.2)

)

(

)

(

...

...

)

(

)

(

)

(

<i>s</i>

<i>A</i>