Tài liệu ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI + DAP AN TOAN 9

Phòng GD – ĐT Long điền Kỳ thi chọn HSG huyện
Năm học : 2005 – 2006
MÔN THI: TOÁN – THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT .
A – Trắc nghiệm : (4 điểm)
1. Biểu thức
4
2
−
x
xác đònh với những giá trò nào sau đây :
A.
2
≤
x
; B.
2
−≥
x
; C.



≥
−≤
2
2
x
x
; D.
22
≤≤−

x
2. Giá trò của x để
2781812
+=+
xx
là
A.
3
2
=
x
; B.
3
2
−=
x
; C.
2
3
=
x
; D.
2
3
−=
x
3. Phát biểu nào sau đây là sai :
A. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông
góc với dây ấy.
B. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung

điểm của dây ấy.
C. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi
qua tâm thì vuông góc với dây ấy .
D. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với 1 dây thì hai đầu mút của
dây đó đối xứng với nhau qua đường kính ấy.
4. Cho các hàm số : y = 0,3x ; y = -
x
4
3
; y =
x3
; y = -2x, kết luận nào sau
đây là không đúng .
A . Đồ thò của các hàm số đã cho đều là đường thẳng đi qua gốc toạ độ .
B. Các hàm số đã cho đều xác đònh với mọi x .
C. Các hàm số đã cho đều đồng biến .
D. Đồ thò của các hàm số đã cho đều cắt nhau tại một điểm O (0,0).
Đáp án :
1. C . 2. C. 3. A. 4. C.
B – Tự luận : (16 điểm)
Câu 1 : (3đ) Giải hệ phương trình .
1











=+
=+
=+
)3(
3
411
)2(
6
511
)1(
2
311
xz
zy
yx

Giải : Trừ vế với vế của phương trình (2) cho phương trình (3) ta được :
)4(
2
111
−=−
xy

Lấy phương trình (4) cộng với phương trình (1) ta được :
21
2
=⇒=
y

y

Thay y = 2 vào (1) ta được x = 1.
Thay x = 1 vào (3) ta được z = 3.
Vậy nghiệm của hệ phương trình trên là : x = 1; y = 2; z = 3.
Câu 2 : (3đ) Cho A =
x
x
x
x
xx
x
−
+
−
−
+
−
+−
−
3
12
2
3
65
92
a, Rút gọn A.
b, Tìm giá trò của x để A < 1.
c, Tìm các giá trò nguyên của x để A nhận giá trò nguyên.
Giải :

a,
)3)(2(
)2)(12(
)3)(2(
9
)3)(2(
92
−−
−+
+
−−
−
−
−−
−
=
xx
xx
xx
x
xx
x
A
(1,5 đ)

3
1
)3)(2(
)1)(2(
)3)(2(

2
)3)(2(
242992
−
+
=
−−
+−
=
−−
−−
=
−−
−+−++−−
=
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxxxx
A có nghóa
9,4,0
≠≠≥
xxxkhi
b, Ta có A < 1
9030
3

4
1
3
1
<⇔<−⇔<
−
⇔<
−
+
⇔
xx
xx
x
(0,75 đ)
Kết hợp với điều kiện trên ta có :
901
<≤<
xkhiA
và
4
≠
x
c,
3
4
1
3
1
−
+=

−
+
=
xx
x
A
(0,75 đ)
A nguyên khi và chỉ khi 4 chia hết cho
3
−
x
. Tức là
3
−
x
nhận các giá trò :
4;2;1
±±±
. Từ đó ta tìm được các giá trò nguyên của x là : 1; 4; 16; 25; 49.
Đối chiếu với điều kiện trên ta có : với x
∈
{ }
49;25;16;1
thì A nhận giá trò
nguyên .
Câu 3: (3 đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình:
x(m + 2) + (m - 3)y = m – 8 (1)
a, Xác đònh m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).
2
b, Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua 1 điểm cố

đònh.
Giải :
a, (1 đ). Vì đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1) nên x = -1 và y =1 thoả mãn
phương trình (1), do đó: (-1).(m + 2) + (m - 3).1 = m – 8

⇔
-m - 2 + m – 3 = m – 8

⇔
-5 = m – 8

⇔
m = 3
Vậy với m = 3 thì đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).
b, ( 2 đ) Gọi (x
0
; y
0
) là toạ độ điểm cố đònh mà (d) đi qua .
Ta có : (m + 2)x
0
+ (m - 3)y
0
= m - 8
m
∀

⇔
mx
0

+ 2x
0
+ my
0
– 3y
0
= m -8
m
∀

⇔
mx
0
+ 2x
0
+ my
0
– 3y
0
- m + 8 = 0
m
∀

⇔
(mx
0
+ my
0
- m) + (2x
0

– 3y
0
+ 8) = 0
m
∀

⇔
m (x
0
+ y
0
- 1) + (2x
0
– 3y
0
+ 8) = 0
m
∀




=
−=
⇔



=−+
=−

⇔



=+−
=−+
⇔



=+−
=−+
⇒
2
1
01
0105
0832
0222
0832
01
0
0
00
0
00
00
00
00
y

x
yx
y
yx
yx
yx
yx
Vậy điểm cố đònh mà (d) đi qua là (-1;2).
Câu 4: (3đ)
a, Một tam giác vuông có tỷ số các cạnh góc vuông bằng k. Tính tỷ số các hình
chiếu của 2 cạnh góc vuông lên cạnh huyền.
b, Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền của một tam
giác vuông, biết rằng tỷ số hai cạnh góc vuông bằng 5 : 4 và cạnh huyền dài 8,2
cm.
Giải :
3
a, Gọi b’ và c’ là hình chiếu của các cạnh góc vuông b và c trên cạnh huyền a. Ta
có : b
2
= a.b’, c
2
= a.c’ nên
'
'
2
c
b
c
b
=







. Mà theo giả thiết
k
c
b
=
. Vậy tỷ số
2
'
'
k
c
b
=
b, p dụng câu a ta có
16
25
'
'
=
c
b
(1) và từ giả thiết ta được: b’+c’=8,2 (2) .
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :




=
=
⇔





=+
=
2,3'
5'
2,8''
16
25
'
'
c
b
cb
c
b

Câu 5 : (4đ) Cho đường tròn (
2
,
AB
O

), lấy điểm M thuộc đoạn OA, H là trung
điểm của MB, từ H kẻ tia Hx sao cho Hx vuông góc với MB và cắt đường tròn
(O) tại C, đường tròn đường kính AM cắt AC tại E .
a, Tứ giác BCEM là hình gì ?
b, Chứng minh tam giác EHC cân tại H .
c, Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AM .
Giải : Hình vẽ đúng cho 0,5 điểm .
a,(1,5 đ) Tứ giác BCEM cóù:
góc ACB = góc AEM = 90
0

⇒
ME // BC
⇒
Tứ giác BCEM là hình thang
vuông.
b, ( 1 đ) Chứng minh tam giác EHC cân tại H .
Kẻ HG
⊥
EC
⇒
EG = GC (Vì HM = HB và
HG//ME//CB).
⇒
HG vừa là trung tuyến vừa là đường cao của
tam giác EHC
⇒
Tam giác EHC cân tại H.
c,( 1 đ) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AM.
Gọi I là tâm đường tròn đường kính AM.

Ta có: *) góc IEM = góc IME ( Vì IE = IM)
*) góc IME = góc ECH ( góc có cạnh tương ứng vuông góc)
*) góc ECH = góc HEC ( Vì
∆
EHC cân cmt)
Từ đó suy ra : góc IEM = góc HEC.
Mà góc MEH + góc HEC = 90
0

4
Suy ra : goực IEM + goực MEH = 90
0
hay HE

IE
Vaọy HE laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (I; IE).
5