Gián án ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI + DAP AN TOAN 9 HAY 1

Phòng Giáo dục Huyện Long Điền
Trường THCS Phước Hưng
ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
NĂM HỌC : 2005 – 2006
Bài 1 (4 điểm)
a) Chứng minh rằng đa thức P(x) = x
95
+ x
94
+ x
93
+ … + x
2
+ x + 1, chia hết cho đa thức
Q(x) = x
31
+ x
30
+ x
29
+ … + x
2
+ x + 1.
b) Chứng minh biểu thức :
A = 75(4
2005
+ 4
2004
+ 4
2003
+… + 4

2
+ 5) + 25, chia hết cho 4
2006
.
Giải
a) (2 điểm). P(x) = x
95
+ x
94
+ x
93
+ … + x
2
+ x + 1 = (x
31
+ x
30
+ x
29
+ … + x
2
+ x + 1)(x
64
+
x
32
+ 1) Vậy, đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x).
b) A = 75(4
2005
+ 4

2004
+ 4
2003
+… + 4
2
+ 5) + 25
= 25.3(4
2005
+ 4
2004
+ 4
2003
+… + 4
2
+ 4 +1) + 25
= 25.(4 – 1)(4
2005
+ 4
2004
+ 4
2003
+… + 4
2
+ 4 + 1) + 25
(1 điểm) = 25(4
2006
– 1) + 25
(1 điểm) = 25.4
2006


4
2006
Bài 2 (4 điểm)
Giải các phương trình sau :
99
98
99
148
)2)(
99.97
1
...
7.5
1
5.3
1
3.1
1
)(
10
21
273
19
300
17
323
15
342
)

−=+−++++
=
−
+
−
+
−
+
−
x
xxb
xxxx
a
Giải
a) Viết phương trình như sau :
0)4
21
273
()3
19
300
()2
17
323
()1
15
342
(
=−
−

+−
−
+−
−
+−
−
xxxx
(1 điểm)
Từ đó tìm được x = 357 (1 điểm)
b) (1 điểm).Ta có :

.
99
49
)
99
1
1(
2
1
)]
99
1
97
1
(...)
7
1
5
1

()
5
1
3
1
()
3
1
1[(
2
1
99.97
1
...
7.5
1
5.3
1
3.1
1
=−=
−++−+−+−=++++
Phương trình có vô số nghiệm (1 điểm).
Bài 3 (4 điểm)
Chứng minh :
])()())[((
2
1
3
222333

xzzyyxzyxxyzzyx
−+−+−++=−++
Từ đó, chứng tỏ :
a) Với ba số x, y, z không âm thì :

;
3
333
xyz
zyx
≥
++
b) Với ba số a, b, c không âm thì :

3
3
abc
cba
≥
++
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau.
Giải
(1 điểm). Khai triển vế phải và rút gọn, ta được kết quả vế phải bằng vế trái.
a) Nếu x, y, z không âm thì x + y + z không âm. Suy ra :
x
3
+ y
3
+ z
3

– 3xyz ≥ 0.
Từ đó, ta có :

xyz
zyx
≥
++
3
333
(1 điểm)
b) (2 điểm). Đặt
333
,, czbyax
===
Ta thấy a, b, c không âm, nên x, y, z không âm. Dựa vào kết quả câu a) ta có :
⇒≥
++
333
3
3
3
3
3
3
..
3
)()()(
cba
cba

3
3
abc
cba
≥
++
Bài 4 (4 điểm)
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Vẽ các đường kính
AOB, AO’C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a) Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi.
b) Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O’). chứng minh rằng ba điểm D, A, I
thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Giải
(0,5 điểm). Hình vẽ đúng
a) (0,5 điểm). Chứng minh đúng tứ giác BDCE là hình thoi
b) (1 điểm). Chứng minh AD
⊥
BD, AI
⊥
IC ( tức là AI
⊥
EC )
Mặt khác, ta có BD // EC ( vì là các cạnh đối của hình thoi).
Các đường thẳng AD, AI cùng đi qua A và vuông góc với hai đường thẳng song song (BD,
EC ) nên A, D và I thẳng hàng.
c) (2 điểm).
∆
DIE vuông tại I có IK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền DE nên
IK = KD = KE

⇒

)1(
ˆˆ
ADKAIK
=
∆
O’IA cân tại O’ nên
)2(
ˆˆ
'
ˆ
' KADIAOAIO
==

Từ (1) và (2) , suy ra:
0
0
90
ˆ
'
ˆ
'
ˆ
90
ˆ
ˆˆ
'
ˆ
=+=⇒

=+=+
AIOAIKOIK
KADADKAIOAIK
Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
Bài5 (4 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nửa đường
tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp
tuyến AC, BD với đường tròn tâm M(C và D là các tiếp điểm khác H).
a) Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn
(O).
(Bất đẳng thức Cô - si cho ba số không âm).
B
O
D
K
O’
C
I
E
A
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD
không đổi.
c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi.
Giải
(0,5 điểm). Hình vẽ đúng.
a) (1,5 điểm). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có :

00
18090.2
ˆ

2)
ˆˆ
(2
ˆˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
ˆ
===+=+⇒
=
=
BMAAMHBMHCMHDMH
AMHCMH
BMHDMH
⇒
C, M, D thẳng hàng.
Hình thang ABDC có O là trung điểm của AB, M là trung điểm của CD nên OM là đường
trung bình, suy ra OM // AC, mà AC
⊥
CD nên OM
⊥
CD. Vậy CD là tiếp tuyến của đường
tròn (O).
b) (1 điểm). AC + BD = AH + BH = AB không đổi.
c) (1 điểm). OM là đường trung bình của hình thang ACDB nên OM // BD, suy ra OM
⊥
CD
MOI

∆
vuông tại M, MH
⊥
OI
⇒
OH.OI = OM
2
không đổi (vì OM bằng bán kính
của đường tròn tâm O).

A
C
M
D
O
H
B
I