Tài liệu ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI + DAP AN TOAN 9 (BAC LIEU)

ĐỀ THI HSG TRƯỜNG THCS BẠCH LIÊU
Năm học:2009-2010
Môn: Toán 9( Vòng 2) - Thời gian:120 phút
Bài 1: Cho biểu thức: P=
2 1 2 1
:
1
1 1 1
x x x
x
x x x x x
 
− − +
− +
 ÷
 ÷
+
− + + +
 
a, Nêu ĐKXĐ và rút gọn P b, So sánh P và |P|
c, Tìm m để phương trình (ẩn
x
) P=
1
m x
x +
có 2 nghiệm phân biệt
Bài 2: Cho Parabol(P):
2
1
2

y x=
và đường thẳng (d):
2mx y+ =
a, Chứng minh khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua 1 điểm cố định
b, Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B
c, Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất.
Bài 3: a, Cho x, y thoả mãn:
2 2
1 1x y y x− + − =
1(1) . Chứng minh:
2 2
1x y+ =
(2)
b, Từ đẳng thức (2) có thể suy ra đẳng thức (1) được không? Vì sao?
Bài 4: Cho đường tròn (O;R) và điểm P ở bên trong đường tròn đó. Qua P vẽ hai dây cung AB
và CD vuông góc với nhau. Chứng minh:
a, PA.PB = PC.PD
b, Tổng AC²+CB²+BD²+DA² không phụ thuộc vào vị trí điểm P
c, Khoảng cách từ tâm O đến AC bằng nửa độ dài cạnh BD
d, Nếu điểm P cố định, hai dây AB và CD thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau tại P thì hãy
xác định vị trí của AB và CD để S
ACBD
lớn nhất?
ĐỀ THI HSG TRƯỜNG THCS BẠCH LIÊU
Năm học:2009-2010
Môn: Toán 9( Vòng 2) - Thời gian:120 phút
Bài 1: Cho biểu thức: P=
2 1 2 1
:
1

1 1 1
x x x
x
x x x x x
 
− − +
− +
 ÷
 ÷
+
− + + +
 
a, Nêu ĐKXĐ và rút gọn P b, So sánh P và |P|
c, Tìm m để phương trình (ẩn
x
) P=
1
m x
x +
có 2 nghiệm phân biệt
Bài 2: Cho Parabol(P):
2
1
2
y x=
và đường thẳng (d):
2mx y+ =
a, Chứng minh khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua 1 điểm cố định
b, Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B
c, Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất.

Bài 3: a, Cho x, y thoả mãn:
2 2
1 1x y y x− + − =
1(1) . Chứng minh:
2 2
1x y+ =
(2)
b, Từ đẳng thức (2) có thể suy ra đẳng thức (1) được không? Vì sao?
Bài 4: Cho đường tròn (O;R) và điểm P ở bên trong đường tròn đó. Qua P vẽ hai dây cung AB
và CD vuông góc với nhau. Chứng minh:
a, PA.PB = PC.PD
b, Tổng AC²+CB²+BD²+DA² không phụ thuộc vào vị trí điểm P
c, Khoảng cách từ tâm O đến AC bằng nửa độ dài cạnh BD
d, Nếu điểm P cố định, hai dây AB và CD thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau tại P thì hãy
xác định vị trí của AB và CD để S
ACBD
lớn nhất?
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM
Bài1 a,
1 điểm
b,
1 điểm
c,
0.5 đ
ĐK:
0; 4x x≥ ≠
P=
2 1 2 1
:

1
1 ( 1)( 1) 1
x x x
x
x x x x x x
 
− − +
− +
 ÷
 ÷
+
− + + − + +
 
=
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 1
2
:
1
1 1
x x x x x
x
x
x x x
− + − − + − +
−
+
− − +
=

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2 2
: .
1 1
1 1 2 1
x x x
x x x x
x x
x x x x x
+ − +
− − − −
=
+ +
+ − + − +
=
1
1
x x
x
− +
+
Ta có:
2
1 3
1 0
2 4
x x x

 
− + = − + >
 ÷
 
⇒
P =
1
0
1
x x
x
− +
>
+
⇒
P=|P|
P=
1 ( 1) 1 0
1
m x
x x m x x m x
x
⇒ − + = ⇔ − + + =
+
Đặt
( )
0x t t= ≥
phương trình trở thành:
2
( 1) 1 0t m t− + + =

(1)
để phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình 2
có 2 nghiệm ≥0 và ≠2
ĐK
2
( 1) 4 0m + − >

1m
> −

1m
> −

1 0m
+ >

⇒

3m
< −
⇒

3
2
m ≠

5 2( 1) 0m− + ≠

1m
> −

3
2
m ≠
Vậy với m>-1 và m≠
3
2
thì pt(1) có 2 nghiệm phân biệt
0.25đ
0.25đ
0.5 đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
Bài2 a,
1 điểm
b,
1 điểm
c,
0.5
điểm
Gọi điểm cố định là I(
0 0
;x y
)
0 0
2mx y⇒ + =

với ∀m
0 0
2 0mx y⇔ + − =
với ∀m
⇔
x
0
=0
y
0
=2
Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là I(0;2)
Từ
2 2mx y y mx+ = ⇒ = −
Ta xét pt:
2
1
2
2
x mx= − +
2
2 4 0x mx⇔ + − =
có
2
' 4 0m∆ = + >
với ∀m
⇒
(P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
Gọi toạ độ A và B lần lượt là
( ; )

A A
x y
và
( ; )
B B
x y
Ta có:
2 2 2
4; 4 2
A A
x m m y m m m= − − + = + + +

2 2 2
4; 4 2
B B
x m m y m m m= − + + = − + +
AB²=
2 2 2 2 2
( ) ( ) 4( 4) 4 ( 4)
A B A B
x x y y m m m− + − = + + +
=
4 2
4 20 16 16m m+ + ≥
0.5 đ
0.5 đ
0.5 đ
0.5 đ
P H

K O
b,
1 d
c,
1 điểm
d,
1 điểm
Vẽ đường kính CE ⇒ AB//DE ( cùng ⊥ CD)
⇒Hình thang ABED nội tiếp đường tròn là hình thanh
cân. Do đó BD=AE; AD=BE
ta có: AC²+CB²+BD²+DA² =(AC²+AE²)+(BC²+BE²)
= CE²+CE²=4R²+4R²=8R²
Không phụ thuộc vào vị trí điểm P
Vẽ OI ⊥ AC( I là trung đỉêm AC)
Trong ∆CAE có OI là đường trung bình nên OI=
1
2
AE
mà AE =BD ⇒OI=
1
2
BD
Vì AB⊥CD nên S
ABCD
=
1
2
AB.CD
Tính được AB²+CD²=4(2R²-OP²) (P cố định)
Dấu “=” xảy ra

⇔
AB=CD
⇔
OH=OK
⇒PO là phân giác của
∠
HPK
Khi đó AB và CD hợp với PO 1 góc 45º thì S
ABCD
lớn
nhất
0.5 đ
0.5 đ
0.5d
0.5 đ
0.5d
0.5 đ
Chó ý: mäi c¸ch gi¶i kh¸c ®óng ®Òu cho ®iÓm tèi ®a.