Tài liệu ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI + DAP AN TOAN 9 PHAM HUU CHI

PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2009 – 2010
HUYỆN LONG ĐIỀN Môn thi: Toán học lớp 9.
====*&*===== Thời gian : 150 phút
Câu 1: Cho biểu thức:
4 4 4
1 2 1 1
x x x
A
x x
+ − − −
=
− − − +
a) Rút gọn A.
b) Tìm
x
∈
¢
để
A∈ ¢
Câu 2: Cho đường thẳng d có phương trình:
( 2) ( 3) 8x m m y m+ + − = −
a) Xác đònh m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).
b) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố đònh.
Câu 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Hãy tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
.
( ) ( ) ( )
a b c
S
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −

Câu 4: Cho
∆
ABC (AB = AC). Vẽ một đường tròn có tâm(O) nằm trên BC và tiếp xúc với các cạnh AB,
AC lần lượt tại D; E. Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE (
;I D E≠
). Tiếp tuyến của đường
tròn tại I cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N .
a) Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi.
b) Chứng minh hệ thức
2
4. .BM CN BC=
c) Xác đònh vò trí của điểm I trên cung nhỏ DE để
∆
AMN có diện tích lớn nhất.
Câu 5: Cho
∆
ABC đều điểm M nằm trong
∆
ABC sao cho AM
2
= BM
2
+ CM
2
. Tính số đo góc BMC ?
-----------------------------*&*-----------------------------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu Đáp án
Thang điểm
1 ( 2 đ) a) TXĐ :

4x
≥
4 4 4
1 2 1 1
x x x
A
x x
+ − − −
=
− − − +
4 4 4 4 4
1 2 1 1
x x x
x x
− + − + − −
=
− − − +
( )
( )
2
2
4 2 4
1 1
x x
x
− + − −
=
− −
Vì
4x ≥

1 1 0x⇒ − − > nên
4 2 4 2
1 1 1 1
x x
A
x x
− + − −
= =
− − − −
b) Tìm
x
∈
¢
để
A∈ ¢
Để
A∈ ¢
khi
x∈ ¢
thì 1 1x − − là ước dương của 2 ( vì 1 1 0x − − > ).
*) 1 1 1 1 2 5x x x− − = ⇔ − = ⇔ =
*) 1 1 2 1 3 10x x x− − = ⇔ − = ⇔ =
1 điểm
1 điểm
2 ( 2 đ) a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên
( 2).( 1) ( 3).1 8 5 8 3.m m m m m+ − + − = − ⇔ − = − ⇒ =
b) Gọi
( )
0 0
;x y

là tọa độ điểm cố đònh mà (d) đi qua
Ta có:
0 0
( 2) ( 3) 8m x m y m m+ + − = − ∀
.
( )
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
( 1) 2 3 8 0 .
1 0 1
2 3 8 0 2
x y m x y m
x y x
x y y
⇔ + − + − + = ∀
+ − = = −
 
⇒ ⇔
 
− + = =
 
Vậy điểm cố đònh mà (d) đi qua là (-1;2)
1 điểm
1 điểm
3(1,5đ) Đặt
2
( ; ; 0)
2
2

y x
a
x b c a
x z
y a c b b x y z
z a b c
x y
c
+

=

= + −


+
 
= + − → = >
 
 
= + −

+

=


Ta có

1 1 1

2 2 2 2 2 2
1 1 1
.2 .2 .2 3
2 2 2
y z z x x y x y x z y z
S
x y z y x z x z y
   
+ + +
 
= + + = + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
≥ + + =
Dấu “ =” xẩy ra khi x = y = z
⇔
a = b = c .
Vậy S nhỏ nhất là 3 và xẩy ra khi a = b = c..
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
4 (3.5đ) Hình vẽ đúng
a) Chu vi
∆
AMN = AM + AN + MN
= AM + AN +MI + IN
= AM + AN + MD + NE
= AD + AE = 2 AD không đổi.

0.5 điểm
1 điểm
1 điểm
b)
·
·
·
·
µ
0
1
90
2 2
A
MON MOI ION DOE= + = = −
mà
µ
µ
µ
·
µ
µ
0
90
2
A
B C MON B C= = − → = =
Mặt khác:
·
·

BMO NMO=
và
·
·
CNO MNO=
MON MBO⇒ ∆ ∆:
và
MON OCN∆ ∆:
2
2
. .
4
4 .
MBO OCN
BM OC BC
MB CN OB OC
OB CN
BM CN BC
⇒ ∆ ∆
⇒ = ⇒ = =
⇒ =
:
c)
AMN ABC BMNC AMN
S S S S= − ⇒
lớn nhất khi S
BMNC
nhỏ nhất .
Ta có:
( )

1
2
BMNC OBM OMN OCN
S S S S R BM MN CN= + + = + +
( R: bán kính đường tròn)

( )
( )
( )
( ) ( )
1
2
1
2
1
2 2
2
BM MI NI CN R
BM MD NE CN R
R BM BD CN CE
R BM CN BD BD CE
= + + +
= + + +
= − + −
= + − =
R; BD không đổi
BMNC
S⇒
nhỏ nhất khi BM + CN nhỏ nhất .
Tích

2
.
4
BC
BM CN =
không đổi
→
Tổng BM + CN nhỏ nhất
2
BC
BM CN⇔ = =
Khi
đó
//MN BC ⇔
I là điểm chính giữa cung DE .
1 điểm
5(1đ) Vẽ tam giác đều CMN
BCN ACM
BN AM
⇒ ∆ = ∆
⇒ =
mà
2 2 2
AM BM CM= +
2 2 2
BN BM MN⇔ = +
BMN⇔ ∆
vuông tại M.
·
·

·
0 0 0
90 60 150BMC BMN NMC⇒ = + = + =
.
1điểm.