Tài liệu ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI + DAP AN TOAN 9

Phòng GD Huyện Long Điền ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Trường THCS Văn Lương Năm học : 2009 – 2010
Môn : TOÁN 9 : 150 phút
Bài 1 ( 6 điểm )
1) Chứng minh rằng :
2 3 5 13 48
6 2
A
+ − +
=
+
là một số nguyên
2) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1
Chứng minh :
2 2
2 2
a b
a b
+
≥
−
3) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số
abc
sao cho :

( )
2
2
1
2
abc n

cba n

= −


= −


với n là số nguyên lớn hơn 2
Bài 2 : ( 4 điểm )
Cho biểu thức :
2
2 2 1
1
2 1 2
x x x
P
x
x x
 
− + −
 
= − ×
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ +
 
 

( với
0; 1x x≥ ≠
)
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng : nếu 0 < x < 1 thì P > 0
c) Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài 3 : ( 5 điểm )
Cho
ABC
∆
nhọn. Trên đường cao AD (
D BC
∈
) lấy điểm I sao cho
0
ˆ
90BIC =
. Trên đường cao BE (
E AC
∈
) lấy điểm K sao cho
0
ˆ
90AKC =
. Chứng minh : CI = CK
Bài 4 : ( 5 điểm )
Cho
ABC
∆
vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có 2 đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M,

cắt các đoạn thẳng AB , AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí điểm D và E để diện tích
DME∆
đđạt giá trị
nhỏ nhất.
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM
Bài 1 : ( 6 điểm )
1) ( 2 điểm ) Viết được
2 3 5 (2 3 1)
2 3 4 2 3
6 2 6 2
A
+ − +
+ −
= =
+ +
( 0,5 đ )

2 2 3
6 2
+
=
+
( 0,5 đ )

( )
2
6 2
8 4 3
6 2 6 2
+

+
= =
+ +
= 1 ( 1 đ )
2) ( 2 điểm )
* Vì a.b = 1 nên
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
a b ab a b
a b
a b
a b a b a b a b
− + − +
+
= = = − +
− − − −
( 1 đ )
* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương
Ta có :
( ) ( )
2 2
2a b a b
a b a b
− + ≥ − ×
− −
Vậy

2 2
2 2
a b
a b
+
≥
−
( 1đ )
3) ( 2 đđiểm )
Viết được
2
2
100 10 1
100 10 4 4
abc a b c n
cba c b a n n

= + + = −


= + + = − +


Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5
M
99 (3) ( 0,75 đ )
Mặt khác : 100
2 2
1 999 101 1000 11 31n n n≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
39 4 5 119n

⇔ ≤ − ≤
(4) ( 0,75đđ )
Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26
Vậy số cần tìm
675abc =
( 0,5 đ )
Bài 2 ( 4 điểm )
a) Rút gọn

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2 1 2 1
1
.
2
1 1
1
x x x x
x
P
x x
x x
− × + − + × −
−
=
− × +

= × −
( 1,5 đ )
b) Với 0 < x < 1 thì 0 <
x
< 1 hay
1 x−
> 0
Do đđó
( )
1x x−
> 0 ( 1 đ )
c) Viết được
2
1 1 1
2 4 4
P x x x
 
= − + = − − + ≤
 ÷
 
Vậy P
max
=
1 1 1
0
4 2 4
x x⇔ − = ⇔ =
( 1,5 đ )
B ài 3 ( 5điểm ) ( hình vẽ 0,5 đ )
Viết được CI

2
= BD.BC (1 đ )
CK
2
= CE.CA (1đ )
Chứng minh BD.BC = CE.CA (1,5 đ )
=> CI
2
= CK
2
=> CI = CK ( 1 đ)
Bài 4 : ( 5 điểm )
-Vẽ
( )
; ,MH AB MK AC H AB K AC⊥ ⊥ ∈ ∈
Thì ta có H , K cố định (1 đ )
Chỉ ra
MH HD MD MH
MK KE ME MK
⊥ ⇒ ≥


⊥ ⇒ ≥

( 1đđ )
Do đó S
MDE
=
1 1
2 2

MD ME MH MK× ≥ ×
Với MH , MK khơng đổi ( vì M , H , K cố định ) ( 1 đ )
Đẳng thức xảy ra
D H
E K
≡

⇔

≡

.Lúc đó c/m được D & E lần lượt là trung điểm của AB và AC (1,5 đ )
Vậy khi D , E lần lượt là trung điểm của AB , AC thì S
MDE
nhỏ nhất ( 0,5đ )