Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

<b>Nội dung </b>

Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thơng, mục đích của bài này là ơn tập, hệ thống
hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của
hàm số.

<b>Hướng dẫn học </b>

 Đây là bài học nhằm ơn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức tốn học đã học trong chương
trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số, giới hạn.

 Sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm bài tập càng nhiều càng tốt để củng cố và nâng cao
kiến thức.

<b> BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC </b>

<b>Thời lượng </b> <b>Mục tiêu </b>

Bạn nên học và làm bài tập của bài này
trong hai tuần, mỗi tuần khoảng 3 đến 4
giờ đồng hồ.

 Hiểu được khái niệm hàm số, giới hạn, sự
liên tục

 Giải được các bài tập về hàm số, giới hạn,
tính liên tục

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

<b>1.1.</b> <b>Hàm số một biến số </b>

<b>1.1.1.</b> <b>Định nghĩa hàm số một biến số </b>

Cho X là tập hợp khác rỗng của <b></b>. Ta gọi ánh xạ

 

f : X

x y f x





<b></b>

là hàm số một biến số trên tập hợp X , trong đó x là biến số độc lập, y là đại lượng
phụ thuộc hay hàm sốcủa x.

Tập hợp X gọi là miền xác định của hàm số f .

Tập hợp f (X) {y , y f (x) : x X}  gọi là miền giá trị của f

Nếu hàm số một biến số cho trong dạng biểu thức: y f (x) mà không nói gì thêm thì
ta hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp những giá trị thực của biến số x làm cho
biểu thức có nghĩa.

<b>Ví dụ 1: </b>

Biểu thức _y_ _{1 x}_ 2_{xác định khi :}
2

1 x  0 x 1    1 x 1.
Do đó miền xác định của hàm số _y_ _{1 x}_ 2_là



__1,1



_.

Dễ dàng thấy rằng miền giá trị của hàm y là [0,1].

Miền xác định của một hàm số có thể gồm nhiều tập con rời nhau, trên mỗi tập con đó
lại có một quy tắc riêng để xác định giá trị của hàm số. Hàm số có thể được xác định
bởi nhiều công thức khác nhau tùy thuộc vào giá trị của biến.

<b>Ví dụ 2: </b>

2

x 1 khi x 0

f (x)

1 2x khi x 0

  

  _ _



Hàm f (x) là một hàm số xác định trên <b></b>. Nếu x không âm thì giá trị của hàm số

được tính theo cơng thức: _{f (x) x}_ 2_₁_{. Nếu}_x_{âm, giá trị của hàm số được tính bởi:}

f (x) 1 2x. 

<b>1.1.2.</b> <b>Đồ thị của hàm số </b>

Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định là X<b></b>. Ứng với mỗi giá trị x0Xta có

giá trị y₀f (x )₀ của hàm số. Trong hệ trục tọa độ Đề-các vng góc, xét điểm

0 0 0

M (x , y ). Khi x thay đổi và “quét” hết tập xác định X thì ₀ M cũng thay đổi ₀
theo và vạch nên một đường cong trong mặt phẳng tọa độOxy. Đường cong này được
gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

<b>Ví dụ 3:</b>

Đồ thị của hàm số

2

x khi x 0

y x khi 0 x 1

3

khi x 1
2



 



_  



 



được biểu diễn như sau:

<b>Hình 1.1 </b>

Việc vẽ phác họa đồ thị của hàm số f với miền xác định là một khoảng số thực
thường được xác định theo trình tự như sau:

Lấy các số x , x ,..., x từ miền xác định ₁ ₂ _n
của hàm số (càng nhiều điểm và các điểm
càng gần nhau càng tốt).

 Tính các giá trị tương ứng của hàm số

1 1 n n

y f (x ),..., y f (x )

 Xác định các điểm

 M₁(x , y ),..., M₁ ₁ _n (x , y )_n _n

 Nối các điểm đã xác định nói trên ta có
hình ảnh phác họa của đồ thị hàm số.
Cách vẽ như trên khơng hồn tồn chính xác
mà chỉ cho hình dáng của đồ thị hàm số.
Đồ thị của hàm số được dùng để minh họa
các đặc trưng cơ bản, sự phụ thuộc của giá

trị của hàm số và biến số. Nhìn vào đồ thị có thể dễ dàng quan sát xu hướng thay đổi
của giá trị hàm số khi biến độc lập thay đổi.

<b>1.1.3.</b> <b>Hàm số đơn điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn </b>
<b>1.1.3.1.</b> <b>Hàm số đơn điệu </b>

Hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b)

 Được gọi là đơn điệu tăng trong khoảng (a, b) nếu với mọi x , x1 2(a, b), x1x2

kéo theo: f (x ) f (x )₁  ₂ .

CHÚ Ý:

Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp các điểm rời rạc, cũng có thể gồm một số cung liền

<b>Hình 1.2 </b>

y

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục
(Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức, tức là:

1 2 1 2 1 2

x , x (a, b), x x f (x ) f (x )

    

thì ta nói hàm f tăng ngặt (hay đồng biến) trên (a, b) ).

 Được gọi là đơn điệu giảm trong khoảng (a, b) nếu với mọi x , x₁ ₂(a, b), x₁x₂
kéo theo: f (x ) f (x )₁  ₂ .

(Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức:

1 2 1 2 1 2

x , x (a, b), x x f (x ) f (x )

    

thì ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) trên (a, b)).

Hàm số f được gọi là đơn điệu trên (a, b) nếu nó chỉ đơn điệu tăng hoặc chỉ đơn

điệu giảm trong khoảng này.

Đồ thị của hàm số tăng là một đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số giảm là
đường “đi xuống” nếu nhìn từ trái sang phải.

<b> </b> <b>Hình 1.3 </b>

<b>1.1.3.2.</b> <b>Hàm số chẵn, hàm số lẻ </b>

Hàm số f xác định trên một tập hợp D đối xứng



x D   x D



, chẳng hạn khoảng
( l,l) , đoạn



a,a



, tập ( b, a) (a, b)(0 a b)     ,…

 Được gọi là hàm chẵn nếu: f (x) f ( x)  với mọi x D .
Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì y vẫn không thay đổi.

 Được gọi là hàm lẻ nếu: f (x)  f ( x) với mọi x D .
Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì y cũng đổi dấu.

<b>Ví dụ 4: </b>

Các hàm số _{f (x) x , g(x) cos x}_ 2 _ _{là các hàm chẵn trên}<b>_</b>_vì:
2 2

f ( x) ( x) x f (x)

x
g( x) cos( x) cos x g(x)



     _{ }



</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục
còn hàm số _{h(x) x , k(x) sin x}_ 3 _ _{là các hàm lẻ trên}<b>_</b>_vì:

3 3

h( x) ( x) ( x) h(x)

x
k( x) sin( x) sin x k(x)



       _{ }



       _ <b></b>

Đồ thị của hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, còn đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa
độ O làm tâm đối xứng (hình 1.4)

<b>Hàm chẵn: </b>
<b> </b>

<b>Hàm lẻ: </b>

<b>1.1.3.3.</b> <b>Hàm số tuần hoàn </b>

<b>Định nghĩa: </b>

Hàm số f được gọi là tuần hoàn trên miền xác định D (thông thường xét D<b></b>) nếu
tồn tại số thực p 0 sao cho:

x D thì x p D và f (x p) f (x).

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục
Số p gọi là chu kỳ của hàm f.

Nếu trong các số p nói trên, tồn tại một số dương nhỏ nhất – ký hiệu bởi T – thì T
được gọi là chu kỳ cơ bản của f.

<b>Ví dụ 5: </b>

Các hàm sin x,cos x đều tuần hoàn với chu kỳ 2 vì:

sin(x 2 ) sin x,cos(x 2 ) cos x x       <b></b>
Các hàm tgx,cotgx đều tuần hoàn với chu kỳ  vì:





tg x tgx, x k ;cotg(x ) cotgx, x k

2



            

Hơn nữa các chu kỳ nói trên đều là các chu kỳ cơ bản. Thật vậy, chẳng hạn xem xét
hàm y sin x , giả sử tồn tại số dương T 2  để:





sin x T s inx x .
Khi đó với x 0 ta phải có:

sin T sin 0 0     T k (k <b></b>)
mà T 2  nên T .

Khi đó với x
2



 thì sin sin

2 2

 

 _{  }  

   

   , hay 1 1.

Về mặt hình học, đồ thị của hàm tuần hồn là một họ đường lặp đi lặp lại trong từng
khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Do đó để vẽ đồ thị của hàm tuần hoàn, ta chỉ cần vẽ đồ
thị trong một chu kỳ cơ bản T , sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo các
vectơ song song với trục hồnh và có độ dài bằng T.

<b>Hình 1.5: Đồ thị hàm số y = tgx </b>

<b>1.1.4.</b> <b>Hàm số hợp </b>

Giả sử ta có hai hàm số

y f (u) biểu diễn sự phụ thuộc của y theo u
u (x) biểu diễn sự phục thuộc của u theo x .

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

f

x u y, hay y f ( (x))  .

Hàm số g_{biến x thành}y theo quy tắc trên gọi là (hàm số) hợp của hai hàm f và .
Ký hiệu: g f ( (x))  . (Nhớ rằng trong cách ký hiệu trên, hàm nào đứng sau lại có tác
động trước đến biến x).

<b>Ví dụ 6: </b>

Hàm số _{y sin x}_ 5 _{là hàm hợp của hai hàm}_{y u}_ 5_{và u sin x}_ _.

Cách nói sau cũng được chấp nhận:

“Hàm số _{g(x) sin x}_ 5 _{là hàm hợp của hai hàm}_{f (x) x}_ 5_{và (x) sin x}_ _ _”.

<b>1.1.5.</b> <b>Hàm số ngược </b>

Xét hàm số y f (x) có miền xác định X, miền giá trị Y f (X) . Nếu với mỗi y₀Y
tồn tại duy nhất x0X để f (x ) y0  0(hay phương trình f (x) y 0 có nghiệm duy

nhất trong X) thì quy tắc biến mỗi số y Y thành nghiệm duy nhất của phương trình
f (x) y là một hàm số đi từ Y đến X gọi là hàm ngược của hàm f, ký hiệu _f1

1

f (y) x _{ }f (x) y._
Khi đó, dễ dàng thấy rằng f là hàm ngược của _f1_.
<b>Ví dụ 7: </b>

 Hàm số _{y x}_ 3₍<b>_</b>_<b>_</b>_{) có hàm ngược là hàm số}_x_₃ _y₍<b>_</b>_<b>_</b>_{) vì:}

3 ₃

y x  x y

 Hàm số _{y a}_ x



_{a 0, a 1}_ _



₍

*





<b></b> <b></b> ) có hàm ngược là hàm số x log y _a

( +
* 

<b></b> <b></b>) vì:

x

a

y a  x log x.

 Các hàm lượng giác quen thuộc đều có hàm ngược với cùng một cách ký hiệu:

o Hàm số y sin x , [ 1,1]

2 2

_ _{ } 

_ _ 

  có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược

đó là:

x arcsin y [ 1,1] , .

2 2

 _ _{ }   

 _ _

 

o Hàm số y cos x



 

0,  [ 1,1]



có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược
đó là:

x arccos y



[ 1,1] 

 

0,



.

o Hàm số y tgx ,

2 2

_ _ 

 

_ _ 

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

x arctgy , .

2 2

    

 _  _ __

 

 

o Hàm số y cotgx



 

0, <b></b>



có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là:

 





x arccotgy  0.



<b></b>

 

0,



<b>1.1.6.</b> <b>Các hàm số sơ cấp </b>

<b>1.1.6.1.</b> <b>Các hàm số sơ cấp cơ bản </b>

 Hàm lũy thừa y x (_  _{ }<b>_</b>)

Miền xác định (MXĐ) của hàm phụ thuộc
vào số .

o Nếu  0, MXĐ là <b></b>.

o Nếu  nguyên âm. MXĐ là \{0}<b></b> .

o Nếu 1, p *

p

  <b></b> thì MXĐ là <b>_</b>_nếu

p chẵn và <b></b> nếu p lẻ.

o Nếu  vô tỷ, MXĐ được quy ước là <b></b>.

 Hàm mũ: _{f (x) a (0 a 1)}_ x _{ }

MXĐ: <b></b>, MGT: *



<b></b> ; Hàm số đồng biến nếu a 1 và nghịch biến nếu 0 a 1  .

 Hàm số lôgarit: f (x) log x _a ( 0 a 1  )

o MXĐ: <b></b>_*, MGT:<b></b>; Hàm số đồng biến nếu a 1 và nghịch biến nếu
0 a 1  .

 Hàm lượng giác

<b>Hình 1.7: Đồ thị hàm số</b> _y _x3
<b>CHÚ Ý : </b>

 Do thường ký hiệu x để chỉ biến độc lập và y để chỉ biến phụ thuộc nên khi biểu diễn
hàm ngược thay vì _x__{f (y)}1 _{có viết}_{y f (x)}_ 1 _.

Chẳng hạn y log x _a là hàm ngược của hàm: x

y a

<b> </b>
 Đồ thị của hai hàm ngược nhau không

thay đổi như khi đổi vai trò x,y cho nhau
thì nó đối xứng nhau qua đường phân giác
thứ nhất.

Thật vậy, gọi (C) và (C’) lần lượt là đồ thị
của hai hàm f (x) và _{f (x)}1 _{thì theo}

định nghĩa:

M (x, y) (C)  M ' (y, x) (C') 

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục
o y sin x : Có MXĐ là <b></b>, MGT [ 1,1] ; cho tương ứng mỗi số thực x với

tung độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác. Hàm sin là
hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ

cơ bản 2.

o y cos x : Có MXĐ là <b></b>,
MGT [ 1,1] ; cho tương ứng
mỗi số thực x với hoành độ

điểm biểu diễn cung x radian
trên đường tròn lượng giác.
Hàm cos là hàm chẵn, tuần
hoàn với chu kỳ cơ bản 2.
o y tgx : Có MXĐ là

\ (2k+1) , k
2



 _ 

 

 

<b></b> <b></b> ,

MGT <b></b>; cho tương ứng mỗi
số thực x với tung độ của giao

điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác)
với trục tan là đường thẳng có phương trình: x 1 .

Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản  .

o y  cotgx: Có MXĐ là <b></b>\ k , k



 <b></b>



, MGT <b></b>; cho tương ứng mỗi số thực x
với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên
đường tròn lượng giác) với trục cotg là đường thẳng có phương trìnhy 1 .

Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản .

<b>Hình 1.8: Quy tắc xác định các hàm lượng giác</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

 Hàm lượng giác ngược

o y arcsin x : Có MXĐ là [ 1,1] , MGT ,
2 2

 

_ 

 

  là hàm ngược của hàm sin.

Hàm y arcsin x là hàm lẻ, đồng biến.

o y arccos x : Có MXĐ là [ 1,1] , MGT

 

0, là hàm ngược của hàm cos.
o Hàm y arccos x là hàm nghịch biến.

o y arctgx : Có MXĐ là <b></b>, MGT ,
2 2

 

_ 

 

  là hàm ngược của hàm tg.

Hàm y arctgx là hàm lẻ, đồng biến.
o y arccotgx : Có MXĐ là <b></b>, MGT ,

2 2

 

_ 

 

  là hàm ngược của hàm cotgx.

Hàm y arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến.

<b>Hình 1.10: Đồ thị các hàm lượng giác ngược</b>

<b>1.1.6.2.</b> <b>Định nghĩa </b>

Hàm số sơ cấp là một hàm số được thành lập từ các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm
hằng cùng với một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và các phép

toán lấy hàm hợp.

<b>Ví dụ 8: </b>

Các hàm số sau đều là các hàm sơ cấp:

</div>

<!--links-->