Tài liệu BÀI GIẢI ĐỀ THI VÀO 10 NĂM 2010 - 2011

GV giải : Nguyễn Thế Tưởng THCS Lê Qíu Đôn - TP Rạch Giá – Kiên Giang
UBND THÀNH PHỐ RẠCH GIÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2010 – 2011
Khóa ngày 27/12/2010
ĐỀ THI MÔN TOÁN HỌC
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian phát đề).
Bµi 1: (3 ®iÓm)
Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 1000. a là số chính
phương.
Bµi 2: (4 ®iÓm)
a) Chứng minh rằng: Nếu a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c
b) Tính giá trị của biểu thức: Q =
1 1 1
a b c
b c a
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
biết a
3
+ b
3
+ c
3

= 3abc
Với a
≠
0, b
≠
0, c
≠
0
Bµi 3: (3 ®iÓm)
Cho biểu thức: P =
1 3 2 2
1 1 2 2 2
x x
x x x x x x
 
− +
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
− − − − − −
 
 
a) Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn P
b) Tính giá trị của P với x =
3 2 2−
Bµi 4: (4 ®iÓm)
Chứng minh đẳng thức sau: (ac + bd)
2

≤ (a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
)
Áp dụng: Tìm x để giá trị của y =
6 2x x− + +
lớn nhất.
Bµi 5: (3 ®iÓm)
Trong các tam giác ABC có chung cạnh BC và có cùng diện tích . Hãy tìm tam
giác có chu vi nhỏ nhất.
Bµi 6: (3 ®iÓm)
Cho đường tròn O đường kính AB. Một điểm M thay đổi trên đường tròn
( M khác A và B). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc AB tại H. Từ A và B kẻ hai
tiếp tuyến AC, BD đến đường tròn tâm M.
a) Chứng minh CD là tiếp tuyến đường tròn tâm O.
b) Chứng minh tổng AC + BD không đổi. Từ đó tính giá trị lớn nhất của
AC.BD
c) Lấy điểm N cố định trên đường tròn (O). Gọi I là trung điểm MN, P là hình
chiếu của I trên MB. Chứng minh rẳng P di động trên một đường tròn cố
định.
Chú ý: Phương án giải sẽ đưa lên sau
Đ T : 091 69 69 0 96
d
A
1

B
1
H
C
B
A
GV giải : Nguyễn Thế Tưởng THCS Lê Qíu Đôn - TP Rạch Giá – Kiên Giang
Phương án giải toán thi học sinh giỏi cấp thành phố Rạch Giá năm 2010 - 2011
Bài 1:
Cách 1: a chia hết cho 6 và a chia hết cho 1000 => a chia hết cho UCLN(6;1000) = 750
mà a là số nguyên dương nhỏ nhất và a là số chính phương nên a = 750.n(n nguyên dương
nhỏ nhất) => n = 120 vậy a = 750.120 = 90000.
Cách 2: 1000 = 10
2
.2.5; 6 = 2.3 => a là bội số (6; 1000) mà a là số chính phương nhỏ nhất
=> a = 10
2
.2
2
.5
2
.3
2
= 90000
Bài 2:
a) a
3
+ b
3
+ c

3
– 3abc = 0
⇔
(a + b)
3
+ c
3
– 3ab(a + b + c) = 0
⇔
(a + b + c) (a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – bc – ac ) = 0
⇔
1
2
(a + b + c)[(a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c – a)
2
] = 0
⇔
a + b + c = 0 hoặc a = b = c
b) Nếu a = b = c thì Q = 8
Nếu a + b + c = 0 thì a + b = – c ; b + c = – a ; c + a = – b thì Q = – 1

Bài 3:
a) ĐK: x ≥ 1 ; x ≠ 2 ; x ≠ 3
A =
1 3
1 1 2
x
x x x
−
 
−
 ÷
− − − −
 
=
1 ( 3)( 1 2)
2
1 3
x x x x
x
x x x
 
+ − − − +
− = −
 ÷
 ÷
− + −
 
B =
2 2 2 1
2 2 ( 2)

x x
x x x x x x
+ − −
− = =
− − − −
=> P = A.B = –1 +
2
x

b) Nếu x = 3 – 2
2
thì
2
( 2 1) 2 1x = − = −
=> P = – 1 +
2
2 1−
= 1 +
2
.
Bàn luận: với x =
3 2 2−
thì từ bài ra biểu thức P có nghĩa không? Ta hảy
tìm Đ/K của
1 2 2 2x O− = − <
?
Bài 4: (ac + bd)
2
≤ (a
2

+ b
2
)(c
2
+ d
2
)
⇔
a
2
c
2
+ b
2
d
2
– a
2
c
2
– a
2
d
2
– b
2
c
2
≤ 0
⇔

a
2
d
2
+ b
2
c
2
≥ 0
Bất đẳng thúc đúng => đpcm. Dấu bằng xẩy ra khi ad = bc.
Áp dụng: Đặt a =
6 x−
; b =
2x +
; c = 1; d = 1
Ta có y
2
≤ 8.2 = 16 => y ≤ 4 . Vậy GTLN y = 4 khi đó x = 2.
Bài 5;
Đ T : 091 69 69 0 96
GV giải : Nguyễn Thế Tưởng THCS Lê Qíu Đôn - TP Rạch Giá – Kiên Giang
Gọi AH = h ta có S
abc
=
1
2
BC.h. Vậy tập hợp các điểm A thuộc đường thẳng song song BC
và cách BC một khoàng không đổi là h .
Lấy B
1

đối xứng với B qua d , nối B
1
A ta có B
1
A = AB, nối B
1
với C cắt d tại A
1
. Vì BC
không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AB + AC = B
1
A + AC nhỏ nhất mà
theo bất đẳng thức trong tam giác thì B
1
A + AC ≤ B
1
C. Khi đó A trùng A
1
nên tam giác A bc
cân tại A . Vậy chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi tam giác ABC cân tại A.
Bài 6 :
I
P
K
N
H
D
C
M
O

B
A
a)
∆
MOA cân tại O =>
·
·
OAM OMA=
(1). Xét (O) có:
·
·
OAM MAC=
(T/c tt) (2).Từ (1) và (2) => OM // AC mà AC
⊥
MC => OM
⊥
CM (3).
Tương tự ta chứng minh được OM
⊥
MD (4) Từ (3) và (4) => CD là tiếp tuyến của (O)
tại tiếp điểm M.
b) Theo t/c hai tiếp tuyến => AC + BD = AH + HB = AB (không đổi).
Theo chứng minh trên AC + BD = AH + HB không đổi theo cô si tích AC.BD lớn nhất khi
AH = HB
⇔
H trùng tâm O
⇔
M là điểm nẳm chính giữa cung AB.
c) Gọi K là giao điểm IP và AN ta chứng minh được K là trung điểm AN . A, N cố định nên
K cố định mà B cố định nên KB cố định. Vậy P nhìn KB cố định dưới một góc 90

0
nên
P thuộc đường tròn cố định đường kính KB.
Đ T : 091 69 69 0 96